動態視覺化觸控式學習環境之實作：以國中多項式的乘法為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：左台益博士. 動態視覺化觸控式學習環境之實作：以國中多項式的乘法為例. 研究生：王偉斌. 中華民國一百零二年六月.

(2) 誌謝辭首先感謝三位口試委員劉遠楨教授、林晶璟教授與左台益教授，能夠抽空前來給予指導與鼓勵，你們的專業建議使我的論文能夠更為札實。其中特別感謝指導教授左台益老師，總是不斷的給予我學習的機會，以及提供我各種方向的建議，使我能夠在學習中，除了能夠獲得許多有關數學教育的專業知識外，還能夠吸收為人處世的道理。在左老師帶領的過程當中，從左老師對數學教育研究的嚴謹態度與精神，使我了解到做研究是要能讓自己覺得值得的，研究才會有價值，而且更重要的是我理解到做研究其實就是在訓練自己的溝通能力，因此跟著老師的這幾年以來，使我個人的溝通能力有明顯的提升。以及感謝研究團隊的各位伙伴，認識各位伙伴是我的福氣，能夠與各位伙伴一起討論與分享成果是件快樂的事。其中感謝在 M412 的各位研究生，在日常生活當中幫忙了許多事情，如程式的撰寫與除錯、教案的內容修定與各種問題的解惑等等。再感謝三位博士班的學長姊們提供對於研究的建議與修正。另外，感謝各位在職的老師與組長們，你們的教學專業知識技能以及熱心幫忙的態度，更讓我感受到教育現場的溫暖。並且感謝數學系的各位同學、研究生與老師們，你們的幫忙與指引使我從內心深深感激。最後感謝我的家人，因為有你們的支持與鼓勵，是我一路向前的動力。. 謹將這份論文獻給將來的各位讀者們，希望這篇論文對你們有幫助。.

(3) 摘要本研究目的在設計動態視覺化觸控式代數學習環境，期望讓學生透過觸控觀察與操作視覺物件，建立對多項式乘法中乘法分配律的概念，及熟練一次多項式的乘法運算。為了檢驗學習環境的學習效果，研究自變項分為學習策略（代數式分段運算、代數式整體運算與圖示分段運算）與環境（紙本環境與觸控環境）兩個維度。本研究依照學習策略與環境兩個變項設計了六組實驗組別進行實驗，研究對象選取 122 位國中八年級學生，使用測驗問卷檢測各組學生的學習成效以及學習成效的差異，主要研究結果顯示：（1）學生在紙本環境下，以代數表徵呈現（代數式分段運算、代數式整體運算）具有顯著的學習效果；但在觸控環境下則是分段學習策略（代數式分段運算、圖示分段運算）會有顯著的學習效果。（2）學生在紙本環境下並不會因不同學習策略（代數式分段運算、代數式整體運算與圖示分段運算）而對學習效果產生影響；但在觸控環境下，圖示分段運算的學習策略較能幫助低程度學生建立多項式乘法分配律的概念與熟練運算過程。（3）在代數式分段運算與圖示分段運算的學習策略下，觸控環境比紙本環境較能提供低程度學生具體、連續的視覺經驗，達到較好的學習效果。由上述主要研究結果得知，學習策略可以藉由觸控環境提供的動態視覺化來增強低程度學生的學習成效，研究者相信觸控環境可以結合更多的學習策略，來建立學生良好的代數運算基礎。. 關鍵字：動態視覺化、觸控式、學習環境、多項式的乘法.

(4) 目錄壹、. 緒論 ..................................................................................................................... 1. 第一節. 研究背景..................................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與問題......................................................................................... 2. 貳、. 理論架構與文獻探討 ......................................................................................... 3. 第一節. 國中多項式乘法的錯誤類型與迷思概念分析 ......................................... 3. 第二節. 學習理論..................................................................................................... 6. 第三節. 學習環境使用的學習策略....................................................................... 13. 第四節. 數位學習環境設計原則........................................................................... 20. 參、. 研究方法 ........................................................................................................... 26. 第一節. 研究設計................................................................................................... 26. 第二節. 研究對象................................................................................................... 31. 第三節. 研究工具................................................................................................... 32. 第四節. 研究流程................................................................................................... 39. 第五節. 研究限制................................................................................................... 41. 肆、. 結果與討論 ....................................................................................................... 43. 第一節. 實作學習環境樣貌................................................................................... 43. 第二節. 六組學習環境的學習情形....................................................................... 61. 第三節. 操弄變項對基本問題、認知負荷與遷移問題之差異 ........................... 68. 伍、. 結論與建議 ....................................................................................................... 96. 第一節. 結論........................................................................................................... 96. 第二節. 未來建議................................................................................................... 97. 參考文獻 ....................................................................................................................... 100 一、中文文獻 ........................................................................................................... 100 二、英文文獻 ........................................................................................................... 100 附錄 ............................................................................................................................... 103 i.

(5) 附錄一多項式的加減法與多項式的乘法測驗 ................................................... 103 附錄二認知負荷感受量表 ................................................................................... 105 附錄三軟體感受量表 ........................................................................................... 106 附錄四多項式的乘法測驗 ................................................................................... 107 附錄五前導性實驗的半結構式問卷 ................................................................... 109 附錄六紙本環境的題本樣貌 ............................................................................... 111 附錄七觸控環境的學習感想 ............................................................................... 128. ii.

(6) 圖目錄圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4. 訊息處理模式（引自 Atkinson & Shiffrin，1968） .................................... 7 視覺化的行為與類型的關係流程圖.......................................................... 10 Ayres（2006）的分段運算策略 ................................................................ 17 Lesh 的五大表徵連結圖 ............................................................................ 18. 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3. 研究架構圖.................................................................................................. 30 觸控環境的學習評量.................................................................................. 39 研究流程...................................................................................................... 41. 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7 圖 4-8 圖 4-9 圖 4-10 圖 4-11 圖 4-12 圖 4-13 圖 4-14 圖 4-15 圖 4-16 圖 4-17 圖 4-18 圖 4-19 圖 4-20 圖 4-21 圖 4-22 圖 4-23 圖 4-24 圖 4-25 圖 4-26. 學習軟體的工作範例.................................................................................. 44 相對應的敘述與動畫同時呈現.................................................................. 45 代數式整體運算組的連續視覺過程.......................................................... 46 代數式分段運算組的連續視覺過程.......................................................... 46 圖示分段運算組的連續視覺過程.............................................................. 47 圖示分段運算組的視覺連結...................................................................... 48 代數表徵呈現的文字說明.......................................................................... 49 圖示分段運算組的文字說明...................................................................... 49 學習環境的練習題...................................................................................... 50 練習題的互動機制.................................................................................. 50 學習軟體的學習評量.............................................................................. 51 學習評量的使用情形.............................................................................. 51 轉換代數式整體運算的學習策略.......................................................... 52 轉換代數式分段運算的學習策略.......................................................... 53 轉換圖示分段運算的學習策略.............................................................. 53 觸控式學習環境的學習流程.................................................................. 55 學習目標（一）的工作範例.................................................................. 56 學習目標（一）的練習題...................................................................... 56 學習目標（一）的學習評量.................................................................. 56 學習目標（二）的工作範例.................................................................. 57 學習目標（二）的練習題...................................................................... 57 學習目標（二）的學習評量.................................................................. 58 學習目標（三）的工作範例.................................................................. 58 學習目標（三）的練習題...................................................................... 59 學習目標（三）的學習評量.................................................................. 59 觸控代數式整體運算組的實作樣貌...................................................... 60 iii.

(7) 圖 4-27 圖 4-28 圖 4-29 圖 4-30 圖 4-31 圖 4-32. 觸控代數式分段運算組的實作樣貌...................................................... 60 觸控圖示分段運算組的實作樣貌.......................................................... 61 TAS 與 TAT 的兩條迴歸線 .................................................................... 76 TGS 與 TAS 的兩條迴歸線 .................................................................... 82 PAS 與 TAS 的兩條迴歸線 .................................................................... 89 PGS 與 TGS 的兩條迴歸線 .................................................................... 94. iv.

(8) 表目錄表 2-1 表 2-2 表 2-1. 多項式乘法的錯誤類型相關文獻................................................................ 4 多項式乘法的迷思概念分析表.................................................................... 6 三種認知負荷的基本假設.......................................................................... 15. 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 3-6. 研究變項...................................................................................................... 27 研究採用的學習策略.................................................................................. 28 六組不同的學習環境.................................................................................. 29 TGS、TAS 與 TAT 的使用智慧型行動裝置情形 ......................................... 32 四版本教科書例題分類表.......................................................................... 33 先備知識之雙向細目表.............................................................................. 34. 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13 表 4-14 表 4-15 表 4-16 表 4-17 表 4-18 表 4-19 表 4-20 表 4-21 表 4-22 表 4-23 表 4-24. 前測先備知識答對率（PGS、PAS 與 PAT） .......................................... 62 前測基本題型的答對率（PGS、PAS 與 PAT） ...................................... 62 基本題型的成對樣本 T 檢定（PGS、PAS 與 PAT） .............................. 63 題型（1）與題型（2）的樣本 T 檢定（PGS、PAS 與 PAT） .............. 63 認知負荷感受量表填答情形（PGS、PAS 與 PAT） .............................. 64 前測先備知識答對率（TGS、TAS 與 TAT） .......................................... 65 前測基本題型的答對率（TGS、TAS 與 TAT） ...................................... 65 基本題型成對樣本 T 檢定（TGS、TAS 與 TAT） ................................. 66 認知負荷量表填答情形（TGS、TAS 與 TAT） ...................................... 66 學習評量答對率（TGS、TAS 與 TAT） .............................................. 67 感受量表填答情形（TGS、TAS 與 TAT） .......................................... 68 PAS 與 PAT 在前、後測基本題型答對率 ............................................. 69 PAS 與 PAT 的共變數分析摘要表 ......................................................... 70 PAS 與 PAT 的認知負荷感受與 T 檢定 ................................................ 70 PAS 與 PAT 顯著進步摘要表 ................................................................. 71 PGS 與 PAS 在前、後測基本題型答對率 ............................................ 72 PGS 與 PAS 的共變數分析摘要表 ........................................................ 73 PGS 與 PAS 的認知負荷感受與 T 檢定 ................................................ 73 PGS 與 PAS 顯著進步摘要表 ................................................................ 74 TAS 與 TAT 在前、後測基本題型答對率 ............................................ 75 TAS 與 TAT 的共變數分析摘要表 ........................................................ 75 TAS 與 TAT 的基本題型（1）迴歸同質性考驗 .................................. 76 TAS 與 TAT 的認知負荷感受與 T 檢定 ................................................ 78 TAS 與 TAT 顯著進步摘要表 ................................................................ 79 v.

(9) 表 4-25 表 4-26 表 4-27 表 4-28 表 4-29 表 4-30 表 4-31 表 4-32 表 4-33 表 4-34 表 4-35 表 4-36 表 4-37 表 4-38 表 4-39 表 4-40 表 4-41 表 4-42 表 4-43. TGS 與 TAS 在前、後測基本題型答對率 ............................................ 79 TGS 與 TAS 的共變數分析摘要表 ........................................................ 80 TGS 與 TAS 的基本題型（2）迴歸同質性考驗 .................................. 81 TGS 與 TAS 的認知負荷感受與 T 檢定 ............................................... 83 TGS 與 TAS 顯著進步摘要表 ................................................................ 84 PAT 與 TAT 在前、後測基本題型答對率 ............................................. 85 PAT 與 TAT 的共變數分析摘要表 ......................................................... 85 PAT 與 TAT 的認知負荷感受與 T 檢定 ................................................ 86 PAT 與 TAT 顯著進步摘要表 ................................................................. 87 PAS 與 TAS 在前、後測基本題型答對率 ............................................ 87 PAS 與 TAS 的共變數分析摘要表 ........................................................ 88 PAS 與 TAS 的基本題型（1）迴歸同質性考驗 .................................. 88 PAS 與 TAS 的認知負荷感受與 T 檢定 ................................................ 90 PAS 與 TAS 顯著進步摘要表 ................................................................ 91 PGS 與 TGS 在前、後測基本題型答對率 ............................................ 92 PGS 與 TGS 的共變數分析摘要表 ........................................................ 92 PGS 與 TGS 的基本題型（2）迴歸同質性考驗 .................................. 93 PGS 與 TGS 的認知負荷感受與 T 檢定 ............................................... 95 PGS 與 TGS 顯著進步摘要表 ................................................................ 96. vi.

(10) 壹、第一節. 緒論研究背景. 在資訊科技（Information and Communication Technology，ICT）蓬勃發展的時代，數位化學習與教學環境也變得愈來愈友善，電腦動畫多媒體、觸控式環境都可做為學生學習的重要仲介。而近年來，政府提倡資訊融入教學，更使得學生透過科技學習的潛力大增，因此國內外的課程綱要也明確指出在教學上需善用科技，如國內九年一貫課程指出應將電腦當做學生學習的輔助工具與國外 NCTM （1983）提出為了達到有效的學習，各級的教師都應該使用科技的工具。科技之所以能作為數學學習的重要仲介，在於能提供強而有力的學習與知覺經驗，而且利用動畫、圖形的呈現或模擬操作可以幫助學生建構數學概念認知與熟練運算過程（Akpinar & Hartley，1996）。例如，Powerpoint 結合投影來展示圖表與重點歸納、動態數學軟體 Geogebra 用於有關幾何的展示與操作、Flash 的動畫以吸引學生的學習、圖片或影片提供學生視覺經驗。目前無線網路和觸控等新技術的呈現，提供直接以觸控來操作資訊工具的簡便，Segal(2011 )指出學生經由觸控可以讓知覺經驗更為強烈，而且這種觸控學習能促進學生使用更進階的策略。此外(Pelton & Pelton, 2011)認為 iOS 天生的觸控功能給予使用者充分的直接互動，對於成人和小孩來說，是具有魅力與效果的。而本研究嘗試利用動畫呈現連續的視覺圖形，充分展現運算的動態變化，並利用觸控提供的互動，讓學習者能夠透過身體的直覺經驗來察覺數學抽象概念。數學教育上已有許多的相關研究指出資訊科技對學習有助益，例如：電腦動畫呈現概念與模擬操作實驗（Chang， Chen， & Sung， 2008）、科技工具提供高互動的環境可以鼓勵較高層次的思考、提升學習成效與學習動機（Jonnassen， Howlan， Morre， & Marra， 2003）、在國中數學使用 iPod touch 是可行的（Frankline & Peng， 2009）、觸控環境可以提供體現數學運算的操弄過程、促 1.

(11) 進學生的思考策略（Segal，2011）。在代數學習上，視覺化可以促進學生理解掌握抽象數學概念的方法。傳統教學以靜態圖形為主，學生不容易理解圖形表徵與代數表徵的關係，而容易忽略幾何意義。目前代數的教學仍然是以代數的運算為主，但是圖形與代數的整合是相當重要的，如果透過科技的支撐，提供學生多重代數表徵來操弄代數運算，研究者相信可以強化並深入理解其運算背後的意義。多項式的乘法不僅牽涉乘法分配律的概念且運算需要大量的認知努力，但是過量的認知努力會導致學生無法理解數學概念(Sweller, van-Merrienboer & Paas, 1998)，而使得學生只記憶算則順序，無法理解其意義。然而如果適當運用科技設計的學習環境，相信除了可以讓學生熟練運算過程，並且可以建立對代數表徵與圖形表徵之間的鏈結。. 第二節. 研究目的與問題. 本研究目的為設計動態視覺化觸控式代數學習環境，期望此學習環境能夠幫助學生有意義的學習多項式的乘法。動態視覺化學習環境除了幫助學生計算多項式的乘法，並能理解含有代數符號的乘法分配律概念，而且學習環境可以降低學習上的認知負荷，藉此讓學生從任務工作量的減少，能夠分配更多的工作記憶區於學習單元主題，並透過結合觸控科技提供並提升學生理解多項式的乘法的意義。為了設計與檢測學習環境是否能夠幫助國中學生學習多項式的乘法，即能幫助學生計算多項式的乘法。本研究的學習環境分為紙本環境與觸控環境，再分別進行三種不同的學習策略（代數式分段運算、代數式整體運算與圖示分段運算），藉此產生六組學習環境的實驗組別，並針對研究目的擬出下列問題：一、依據理論與相關研究經驗之觸控學習環境為何？二、在不同的學習環境下學生學習多項式的乘法的學習效果為何？三、不同學習策略對學生學習多項式的乘法的學習效果與認知感受的差異為何？四、不同環境對學生學習多項式的乘法的學習效果與認知感受的差異為何？ 2.

(12) 貳、. 理論架構與文獻探討. 為了達到「幫助中學生計算多項式的乘法，即理解乘法分配律的概念」目的，本章從學科內容、學習策略、多媒體設計等面向分析學習環境的設計理念，並分節說明，第一節為國中多項式乘法的錯誤類型與迷思概念的分析；第二節為學習理論，是學習環境的理論架構；第三節為學習環境使用的學習策略依據；第四節為數位學習環境的相關設計原則文獻，作為設計良好的數位學習環境的參考。. 第一節. 國中多項式乘法的錯誤類型與迷思概念分析. 美國數學教師協會（National Council of Teacher Mathematics，簡稱 NCTM），在 2000 年的『學校數學的原則和標準』（Principles and Standards for School Mathematics）當中提到不管在工作或學習上，代數能力是重要的。例如，在工作上使用物理法則、運用人口模型和分析統計結果等都需要代數的語言表示；而在高等代數中，除了研究數與量之間的關係，還需要操弄抽象化的結構與符號來解決問題。因此在國中代數方面的學習，需要建立良好的基礎。國內九年一貫課程綱要將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五大主題，在代數部分，課程綱要提到「在國小學習了簡單的代數基礎，進入了國中階段，熟練正、負數的四則運算之後，於是展開學習代數的另一個起點。」「代數方面則要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。」顯示國內課程的設計對於代數方面的學習非常重視。其中學習代數的許多相關單元都與多項式的運算有關，例如：在二元一次聯立方程式的單元中，學生需要先列出方程式，然後對方程式做運算；在配方法的單元中，學生需要將複雜的多項式變換成具有完全平方形式的多項式。換句話說，在這些往後的相關單元其實都需要多項式運算的基礎。而這些代數式的運算的基礎來自於含有代數符號 x 的多項式運算，有別於以 3.

(13) 往的一般多項式的四則運算，例如：算術運算 (3 + 5)(4 + 2) = 12 + 6 + 20 + 10 與含有代數符號 x 的多項式運算 (3x + 5)(4 x + 2)= 12 x 2 + (6 + 20) x + 10。國小學習算術運算著重於具體操作，而國中傾向以形式操作的邏輯推理。進一步翻閱國中數學教科書內容，其中發現多項式的乘法，不僅具有單項式的乘積、同類項合併等代數式的運算概念基礎，而且多項式乘法的運算核心在於乘法分配律，由此可見多項式的乘法扮演算術與代數之間的重要橋梁。雖然多項式的乘法是中學多項式運算的重要基礎，但對於很多學生而言，學習多項式的乘法是不容易的。例如： ( ax − b)( cx + d ) ，依照係數會形成各種不同正負號轉換的代數式的運算，對於學生而言將含有代數符號 x 納入一般多項式的四則運算是有難度的，因此學生在學習多項式的乘法也產生一些錯誤類型。為了瞭解學生有哪些錯誤類型，本研究整理分析國內有關多項式乘法的錯誤類型的相關文獻(張嵐雄, 2011; 郭正仁, 2001; 郭正仁 & 謝哲仁, 2003; 陳怡如, 2007; 黃信達, 2008; 戴文賓 & 邱守榕, 2000)，如表 2-1。. 表2-1 研究者. 多項式乘法的錯誤類型相關文獻. 研究結果. 戴文賓 & 邱守榕國一學生在多項式化簡的困難有：括號外的數字先和括號內的第一項相乘，忽略第二項。 (2000) 括號外的數字若是負數，未隨著變號。不曉得括號內的算式要和括號外的的哪一項進行運算。郭正仁(2001); 郭正仁 & 謝哲仁 (2003) 陳怡如(2007). 國二學生常犯的錯誤有：類推、括號、移項、遺漏、定義認知的錯誤、明顯的計算錯誤、粗心筆誤、運算不完全、隨意寫、空白。國二學生在多項式乘法的錯誤類型有：使用指數律規則錯誤。數字乘法錯誤。粗心（例：將題目誤算成加法）。正負符號處理錯誤。分配律使用不當。 4.

(14) 乘法公式使用錯誤，例：將平方差及差的平方搞混、以為等於。看不懂題意（例：將展開題型誤以為需因式分解）。黃信達（2008）. 國二學生在多項式乘法的錯誤類型有：係數方面仍會延續四則運算的運算錯誤。不清楚括號的使用意義及使用時機。不知道平方的定義與範圍。係數與文字分開獨立處理，數字與數字運算，文字與文字運算，同一項裏的係數與文字採取不同的運算方式，例如：係數用加法而文字用乘法。學生沒有確實瞭解四則運算的規則。所有的錯誤類型以圖形題錯誤率最高，單項式計算題錯誤率最低。. 張嵐雄（2010）. 國二學生在多項式的乘法造成錯誤的原因有：計算錯誤。對次方的意義不了解。對指數律、分配律和乘法公式的記憶錯誤。. 研究者整理並分類這些錯誤，再整理成表 2-2 的迷思概念分析表，並試圖分類分析其原因。研究者認為可能有五種原因造成這些錯誤類型，其中四種原因源於先備知識不足，因此學生在計算多項式乘法時有各種不同的原因在困擾他，因此研究者認為應該幫助學生處理這些造成困難的原因。在計算多項式乘法時，首先分析計算多項式乘法的運算過程，如下：第一步驟 ( ax + b)( cx + d ) 第二步驟 = ax cx + ax d + bcx + bd 第三步驟 = acx 2 + adx + bcx + bd 第四步驟 = acx 2 + ( ad + bc ) x + bd 分析多項式乘法的運算過程主要有四個步驟，第一步驟到第二步驟之間，學生主要處理的數學任務是乘法分配律，包含正負號的意義；第二步驟到第三步驟之間，學生主要處理的數學任務是單項式的乘積，包含指數律的規則；第三步驟 5.

(15) 到第四步驟之間，學生主要處理的數學任務是同類項合併，包含四則運算的規則。從四個步驟可以發現其實學生是在各個步驟間遭遇學習困難，這些學習困難中，單項式的乘積與同類項合併是與之前所學是類似的形式，但是乘法分配律與之前是有差異的。之前所學的乘法分配律的計算過程不含代數符號 x ，學生比較容易計算數值並找出分配的結構，但在計算多項式的乘法時，學生必須從更加複雜的含代數符號 x 的多項式中去尋找乘法分配律的結構是不容易的。因此，本研究想利用數位學習環境去幫助學生計算並熟練多項式的乘法，並使學生理解含有代數符號的乘法分配律概念。. 表2-2. 多項式乘法的迷思概念分析表. 錯誤類型可能表現. 原因. 乘法分配律使用錯誤，可能表現：括號外的數字只與括號內的第一項相乘。不清楚括號內的算式要和括號外的哪一項進行運算。不清楚括號的使用意義及使用時機。. 對乘法分配律的意義尚未掌握。. 未隨著變號。. 對正負號的意義尚未掌握。. 係數相乘錯誤。單項式的乘法算成加法。. 對四則運算的規則尚未熟練。. 次方錯誤。次方的意義不了解。不會次方。. 對指數律的規則與意義尚未掌握。. 不懂題意，可能表現：空白。作答內容與題意不合。. 先備知識不足，或對學習內容無法理解。. 第二節. 學習理論. 人們學習與認識可以視為一個訊息處理（Information Processing）的歷程， 6.

(16) 如圖 2-1，Atkinson & Shiffrin(1968)指出訊息對個體造成感覺刺激（Sensory Input），個體開始發生感覺記憶（Sensory Memory），然後開始在工作記憶區（Working Memory）中處理這些訊息，將這些訊息吸收並儲存於長期記憶區（Long-Tern Memory）。. 圖2-1. 訊息處理模式（引自 Atkinson & Shiffrin，1968）. 人們透過外在的訊息認識與操作來建立心理的概念網絡，這些外在的訊息並非為單一的運作，而是將接收到的訊息分為數個不同階段處理，按照階段處理的先後可分為感覺記憶區、工作記憶區及長期記憶區。訊息在感覺記憶區，這些訊息可能被忽略而遺忘，未消失的訊息移到工作記憶區中處理，如果經過刻意的複述（rehearsal），將可被編碼（encoding）後儲存於到長期記憶區，未經過刻意的複習可能被遺忘，而長期記憶區儲存的資訊能因感覺刺激而被搜尋及檢索（retrieval），可運用於外顯行為。視覺是人們處理資訊的重要入口。在目前的心理學、認知科學、教育學的研究中皆認為視覺化是進行溝通與理解的重要仲介，也是重要的研究議題。因此， 7.

(17) 以下將說明關於視覺化與體現認知的相關理論基礎。. 一、. 視覺化. 視覺化（visualization）一詞除了常見於生活當中，長久以來其教育功能也受各不同領域所重視，如認知心理學、數學教育與科學教育等，由於視覺化是人們認識與理解的重要方式。不少教育學者在定義視覺化都強調視覺化的雙向連結與促進觀念理解的作用，如 Zazkis, Dubinsky & Dautermann(1996)將視覺化定義為視覺化是指個體於內外在表徵之間建立一個強烈的雙向連結，其動作的組成之一是個體將外在世界中所接受的相關事物形成的內在表徵，另一個則為個體將心智的物件或程序對外在的物件與事件加以辨識，並利用工具的幫助進行解釋。Arcavi(2003)整合 Hershkowitz et al. 和 Zimmerman、Cunningham 的定義，將視覺化定義為個體在心智中、在紙上或是利用科技的協助，對圖片、圖像或圖表進行創造、解釋、使用與反映的能力、過程與結果。其目的在於描述、溝通訊息，思考並發展未知的想法，並促進觀念的了解。而本研究綜合以上的觀點，認為視覺化在數學教育上，個體利用內在表徵的心智物件與外在表徵的實體物件操弄符號與圖像的訊息，使其內外在表徵之間形成強烈聯結，其目的在於描述並溝通、思考並發展未知的想法，並促進學生對於數學觀念的理解。一般日常生活中視覺化的常見用法主要有以下三種：. 8.

(18) 1. 第一種視覺化的用法是指人做過看過的某些事物，他們再次想像的，也就是說想法是由用眼睛看到的事物內容所構成。這個視覺化所生成的想法，其想法是類似的、相同的。例如：在本研究的觸控學習環境乘法分配動作是具體可操作的物件，想像多項式乘法的乘法分配動作就是第一種視覺化的用法，許多人對於多項式乘法圖像的想法可能是類似的。 2. 第二種視覺化的用法是指想像，憑空而成的想法，想法是由不曾看過的的事物內容所構成。例如：遇到未操作過的多項式乘法題目，學生可以想像多項式乘法題目在觸控學習環境的操作樣貌，雖然操作還未發生，但可以在腦海中呈現想像出來，那個想法就是第二種視覺化的用法。 3. 第三種視覺化的用法是指科技的動畫，是透過使用科技製作的一種視覺技術。它是利用快速的圖像更換的原理，讓觀察者產生視覺暫留的生理現象，使觀察者看到圖像平滑的改變。例如：在本研究的觸控學習環境，以動畫呈現多項式乘法的乘法分配過程。本研究參考 2010 年的『Visualization in Mathematics， Reading and Science Education』一書，此書回顧視覺化在心理學的歷史發展並討論在數學、閱讀與科學三個領域的相關研究文獻，指出視覺化的仲介物（visualization object），可以是指一個圖片，示意圖，電腦模擬，或影片。並將學習者視覺化的行為定義為以分為兩種類型，一種為當學習者使用視覺化物件，學習者的行為是視覺化的（visualizing），另一種為當學習者在沒有視覺化物件的情況下使用視覺圖像，學習者的行為是想像地視覺化的（introspectively visualizing）。並指出在學習上，視覺化類型分為三種：. 9.

(19) 1. 物件的視覺化（Visualization Objects）：這些是實體物件（physical objects），是被個人所看到。並往後如果為了理解其他某些事物，這些實體物件會被拿來作為解釋。 2. 想像的視覺化（Introspective Visualization）：這些是心智物件（mental objects），而被個人所相信為類似物件的視覺化。想像的視覺化是一種虛構的某些可能的視覺經驗（visual experience）。 3. 作為說明的視覺化（Interpretive Visualization）：這是一個產生有意義的動作。利用從實體的或想像的物件詮釋訊息，並從個人的信念現有網路（existing network of beliefs）、經驗與理解作認知解釋。研究者將視覺化的行為與類型的關係流程圖，整理如圖 2-2。學習者的行為依據仲介物件的類型分為視覺化的行為與想像的的視覺化的行為，如果將仲介物件拿來做為解釋某些事物，以實體物件來解釋，則稱為實體物件是物件的視覺化；反之若以心智物件來解釋，則稱心智物件為是想像的視覺化，而這種將仲介物件拿來做為認知解釋的動作，則稱作為說明的視覺化。. 圖2-2. 視覺化的行為與類型的關係流程圖. 一般認為動態視覺化是指在科技環境中將視覺圖像以動畫的方式呈現，而動畫在學習成效上的相關文獻(莊雅茹, 1996)，歸納出幾項結果：（1）符合動畫特質的知識內容，動畫圖形比靜態圖形更有效果；（2）動畫比靜態圖片更能讓學習 10.

(20) 者掌握課程中隱含的附隨知識，動態式互動環境對激發持續性的學習動機有顯著的效果；（3）動態加文字的學習效果優於靜態圖加文字。根據 Hegarty(2004)對動態視覺化學習發表之評論，研究者將動態視覺化分為兩類並定義如下： 4. 無互動性動態視覺化（Non-interactive dynamic visualization）：只能由播放、暫停觀看固定一段展演，學習者無法自行選擇何時開始或結束展演。例如：教學影片或動畫。 5. 互動性動態視覺化（Interactive dynamic visualization）：學習者可以經由動作讓電腦知道何時開始或結束展演。例如：學習者經由拖曳拼圖、選擇按鈕或是填充空格等動作，讓電腦開始或結束某一段展演。而國中數學的學習單元不同於以往的國小數學所學，部份單元所蘊含的數學知識與意義愈來愈抽象，學生與以往相比更不易了解，例如：多項式的乘法、因式分解、配方法與函數等等與代數符號有關的內容，常令學生無法理解，造成學習效果不佳，因此本研究設計以動態視覺化展現的數位學習環境，將多項式乘法的乘法分配律過程以動畫的方式呈現，並結合互動的環境，讓動畫不僅僅是展示的動畫，而是可以根據學習者的行為進度而改變的動畫。許多教育上的研究指出視覺化具有學習與教育的功能，視覺化的表徵（visual representation）有助於新知識的建構及記憶，視覺化的思考工具可以幫助學生表達及分享想法、主動建構知識、解決問題，並以非語言表徵方式建構知識。學習過程中，學生隨著知識理解的增長，持續地修改這些知識表徵，教師由此歷程中不僅可以瞭解學生的學習，學生藉此也可以主導自己的學習。例如：張國恩(2008) 認為若欲提高學習效果，有必要將抽象化的學習單元以視覺化展現，如將函數以真實的圖形表現出來更有助於學生理解。Noss, Healy & Hoyles(1997)也認為學生在學習概念的過程中，提供視覺化的過程非常重要。潘霈榕(2008)在研究中指出視覺圖像對於概念的學習可提升學生的認知理解與記憶，尤其是運用在科學或數 11.

(21) 理學科的抽象概念中，可促進學生的概念學習成效，以及學生的心智圖象。本研究設計之學習內容採用視覺化的方式呈現，幫助學生理解兩個一次多項式相乘，換句話說，將一般文數字的運算， ( a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd ，推向含有代數符號 x 的多項式運算， ( ax + b)( cx + d )= acx 2 + ( ad + bc ) x + bd ，而這種含有代數符號 x 的多項式運算，即抽象的代數式運算。而乘法公式的教學研究(方鳳娟, 2002)，顯示不同的視覺教材對國中學生從幾何轉化到代數的學習特徵與學習成效不同，第一種的幾何呈現方式是全現性的，亦即將矩形的邊長、面積等相關條件全部同時呈現；第二種的幾何呈現方式是漸層性的，亦即從一個邊長、再細分為兩個邊長，從一個面積、再細分為兩個面積等類似方式由簡而繁逐次呈現。研究結果顯示以漸進性的呈現幾何圖形能讓大部分學生依其認知學習程序提昇主動學習數學的興趣，進而讓學生更瞭解並體會乘法公式中乘法分配的過程。學習代數的許多相關單元，如學習多項式的乘法，通常在視覺化的呈現上提供並使用靜態的視覺圖形或事物，而郭正仁 & 謝哲仁(2003)在調查國二生多項式四則運算錯誤類型的研究結果提到國中數學教材以面積拼圖的方式是靜態的，讓學生缺乏嘗試的動機與探索的樂趣，而不連續的視覺過程，讓學生缺乏深層的認知跟推廣，研究更建議教材融入資訊科技，可以考量視覺化的連續過程與自我動態操作的圖像，因此多項的乘法教學，如果提供靜態、不連續的視覺圖形，則會無法表達動態的運算過程。. 二、. 體現認知. 隨著智慧型行動裝置的普及，觸控的操作方式提供了更人性化的人機介面，觸控的操作方式比起一般滑鼠左、右鍵單擊、雙擊等操作，更能夠讓使用者親身體驗直接操作物件的知覺。除此之外，對於教育上是具有最突破性的關鍵，如 12.

(22) Graven(2011)提到智慧型行動裝置對生活的影響並描述：「每當丈夫帶著一隻 i-phone 回家，我就可以下載許多 app 小遊戲（幾乎免費），且我的孩子也能在系統監督模式之下玩這些遊戲，我突然明白觸控科技為學習工具帶來強大力量。」從 Johnson(2008)的體現認知來看，知識是來自於身體所經驗到的本質，也就是說個體與環境的互動過程當中，產生對於理解世界的方式，因此觸控式操作的過程比起以往數位科技的操作，個體與裝置之間的互動更為密切。而 Babb(2012) 更進一步明確指出智慧型行動裝置在數學任務的學習上，與其他科技（如電腦、電子白板）相比，與學生的交互作用更為密切。這種交互作用更為密切的原因在於使用者操作物件的感受更為強烈，比起一般滑鼠左、右鍵單擊、雙擊等操作，更能夠讓使用者親身體驗操作的感受。Farr, Price & Jewitt(2012)研究探索體現認知、數位科技與學習三者之間的關係，研究指出要實作設計一個有效的觸碰式學習環境應該強調塑造意義的產生。從上述體現認知的觀點來看，觸控式學習環境對於學生而言不只是儲存資訊的載體而已，而是學生從觸控式學習環境獲得資訊，而且在與學習環境的互動過程使身體累積經驗並塑造知識。因此本研究的學習環境不單指研究所設計的學習軟體，而是在於學習軟體與學習者之間的互動關係，這種互動關係是藉由互動介面上的觸控操作行為與學習者逐漸塑造的數學知識所構成的，也就是說本研究的觸控式學習環境，能夠讓學習者的身體與環境的互動中產生認知與學習，並且學習者觸控操作中產生獲得解決數學問題的想法與過程。. 第三節. 學習環境使用的學習策略. 本研究試圖使用一些學習策略，讓學生能過透過本研究設計的學習策略學習。其一提供分段運算，降低學生學習的認知負荷；其二提供多重表徵，使學生獲得更為完整的概念知識。 13.

(23) 一、. 認知負荷理論與分段運算學習. 自 1960 年代開始，認知心理學家主要在探索人類是如何處理訊息，進而產生許多不同的理論，這些理論有共通的假設是人能處理的訊息量是有限的。而 Sweller(1988)結合認知心理學研究成果與教學設計的觀點提出了認知負荷理論。「認知負荷」是指當學習者在訊息接收、處理的過程中，因訊息內容、環境、與互動方式等因素，超過學習者所能知覺的認知能力，在心理或生理造成的負擔，也就是說學習者對學習任務感到負擔，便是認知負荷。認知負荷學習的一個主要宗旨是過多的工作記憶量會抑制學習，近年來隨著認知負荷理論相關研究成果的增多，認知負荷理論更是越來越受到心理與教育學者的重視。為了設計可以幫助學習者學習數學的學習策略，在此研究中討論認知負荷理論與其教學設計原則。首先參考 Sweller et al.(1998)將認知負荷分為三種類型，與 Sweller（2010）進一步從學習者與互動要素（interacting elements）間的關係，研究者說明認知負荷的三種類型如下： 1. 內在認知負荷（Intrinsic Cognitive Load）：內在認知負荷來自於教材本身，也就是學生需學習的知識，與它的複雜性相關。且與外在教學呈現或活動進行無關。若給定一任務給特定知識程度的學習者，則其內在認知負荷是固定的，無法去改變。除非將任務或是知識程度作更動，內在認知負荷才會改變。例如：本研究提供的教材為學習兩個一次多項式相乘，學習兩個一次多項式相乘是學生需學習的知識，對於國二學生其內在認知負荷基本上是固定的，而研究所設計的其中其中兩種學習策略是將兩個一次多項式相乘作切割降低其複雜性，因此內在認知負荷會比未切割學習內容的低。 2. 無關的認知負荷（Extraneous Cognitive Load）：非理想的教學程序被認為是無關的認知負荷。認知負荷理論主要思考如何設計才能降低無關的認知負荷。而本研究為了盡量減少無關的認知負荷的干擾影響學習成效，因此考量學習的流程，將學習的流程盡量保持一致。 14.

(24) 3. 有效的認知負荷（Germane Cognitive Load）：假設工作記憶區是用來處理內在與無關的兩種認知負荷，有效的認知負荷功能是使工作記憶資源（working memory resources）作用於互動要素（interacting elements）。有效的認知負荷不像內在與無關的兩種認知負荷為獨立的認知負荷，有效的認知負荷與工作記憶處理的要素內在互動（element interactivity）有關，其要素內在互動與內在認知負荷相關聯。因工作記憶資源的總和有限，若越多工作記憶資源作用於無關的認知負荷，則越少工作記憶資源去處理內在認知負荷。換句話說，若有效的認知負荷下降表示更多工作記憶可被用於與無關的認知負荷的要素外在互動（element activity），其要素外在互動與無關的認知負荷相關聯，所以要素內在互動的工作記憶降低。若無關的認知負荷下降表示有效的認知負荷增多，工作記憶資源從作用於無關的認知負荷的要素轉換到內在認知負荷的要素。有關上述的三種認知負荷類型與對學習的影響，參考 Cierniak, Scheiter & Gerjets(2009)歸納如表 2-1。顯示高的內在認知負荷可能會導致認知資源的過度負荷，為了讓更多的工作資源去處理內在認知負荷，需要支持的教學設計提高有效的認知負荷，以幫助學習者學習並建立基模，因此研究者設計的多項式乘法的教學需要去依照多媒體學習理論與觸控環境的教學設計原則減少無關的認知負荷並增加有效的認知負荷外，進一步再降低多項式乘法的內在認知負荷，讓學生可以有足夠的工作記憶資源去處理內在認知負荷。表2-1. 三種認知負荷的基本假設. 認知負荷類型. 來源. 認知過程. 內在認知負荷. 領域複雜性（要素必須平行的維持. 高的內在認知負. 互動性）與先備知工作記憶區中的. 荷可能會導致認. 識的交互作用. 知資源的過度負. 要素互動. 對學習的影響. 荷，而對學習有害 15.

(25) 無關的認知負荷. 不良的教學設計. 無助於基模的建. 對學習有害；對學. 構與自動化；應該習無效去克服改善不良的教學設計的問題有效的認知負荷. 支持的教學設計. 有助於基模的建. 對學習有幫助，對. 構與自動化；高層學習有效次的認知過程與深層過程有關. 而 Sweller（2010）指出學習任務的內在認知負荷，來自於學習任務的要素互動（Element interactivity），因此若要幫助學生學習學習多項式乘法，降低內在認知負荷減少其複雜性可以從學習任務的要素互動著手。故此研究的教學架構進一步的討論要素互動。要素互動是指任務的各要素與其他的要素的互動方式，可以分為較低的要素互動與較高的要素互動。 1. 較低的要素互動：當學習任務的要素可以被單獨學習，不與其他要素進行連結或關係時，則會產生較低的要素互動（low element interactivity）。而且因工作記憶區只需要處理單獨的要素，所以其內在認知負荷較低。 2. 較高的要素互動：當學習任務的要素不可以被單獨學習，需要與其他要素進行連結或關係時，則會產生較高的要素互動（high element interactivity）。而且因工作記憶區需要處理多個要素，所以其內在認知負荷較高。舉個例子來說，對於學習者計算兩個一次多項式相乘，因乘法分配律的各動作可以先不管之間的關係，因此這些動作是較低的要素互動，學習者只需在工作 16.

(26) 記憶區處理分配過程的的一個分配的動作，並不需要處理與乘法分配的動作的關係。所以設計上可以透過適當的教學設計降低學習任務的內在認知負荷。在實徵研究上，Ayres(2006)的研究曾藉由降低內在認知負荷的策略來減少多項式的複雜性，其學習策略是讓學生一次只完成代數式中一個乘法分配的動作，即分段（isolated）學習任務（多項式運算）中較低的要素（動作）互動，如圖 2-3。Ayres 設計了三種實驗組，第一種為代數式整體學習，符合傳統多項式的計算方式，讓學生一次計算代數式中全部的乘法分配運算；第二種為代數式分段運算的學習策略讓學生一次只完成一個乘法分配運算的分配動作；第三種為混合的學習策略是將前兩組的學習策略相結合，通過順序切換將分段運算學習轉換至整體運算學習。其研究顯示代數式分段學習組的錯誤率和認知負荷比其他組都低。. 圖2-3. Ayres（2006）的分段運算策略. Ayres(2012)更近一步的研究設計，教學策略除了獨立要素學習策略的策略之外，並加上複習先備知識與練習的策略，額外的練習策略分為兩種針對性的與完整的，針對性的練習是根據四次乘法分配的動作中，學生較容易犯錯的第二、四次的乘法分配動作；完整的練習是四次乘法分配一起練習，研究結果顯示切割的多項式運算加上額外的針對性練習會比整體的多項式運算具有更好的學習效果，而對低先備知識的學生而言，完整的額外練習會比針對性的練習有更好的學習效果。而本研究繼續延伸 Ayres（2006）與 Ayres（2012）的研究採取分段運算的學習策略。 17.

(27) 二、. 多重表徵與圖示學習. 在數學學習的領域內，對於表徵方式的分類，有許多不同的看法。例如 Lesh et al. （1987）認為在數學概念的學習上，表徵類型可分為五類，而對於這五種表徵類型，學生除了學習各個表徵所蘊含的意義外，亦須具備不同表徵之間轉移的能力。Lesh et al.所歸類的表徵方式有書寫符號表徵（algebraic formula）、口說語言表徵（verbal description）、圖形影像表徵（graph & images）、具體操作表徵（mechanical manipulation）、具體事物經驗表徵（relation of variables）等五個類型。如圖圖 2-4。而且這五種表徵方式可以個別單獨存在，或是彼此互相組合以形成混合的（mixed）表徵方式。. 圖2-4. Lesh 的五大表徵連結圖. 如果以多種不同的表徵方式來呈現一個相同的概念，例如同時運用文字與圖像時，則可稱為「多重表徵」（Multiple Representation）。多重表徵在概念上的學習是相當重要的，這是因為一個數學概念基本上都涵蓋了許多面向，但單一表徵往往只能呈現數學概念的其中幾種面向。而 Ainsworth （1999）認為多重表徵有三大功能，如下。 18.

(28) 1. 互補角色功能：當表徵無法提供一個概念的所有訊息或當所有訊息共同呈現會導致過度複雜時，可結合兩個提供不同訊息的表徵，使學生從不同表徵中，獲得所需的訊息。如此多重表徵的呈現可激勵學生在解決問題時，採用多元而非單一的策略。 2. 限制詮釋：呈現較為熟知的表徵來幫助詮釋一個較不熟知的表徵，或利用表徵其內在的本質來幫助詮釋，例如：圖形表徵比文字表徵較為特定化，當兩者一起呈現時，文字中模糊不清的部分便會受到圖像的制約，因此有助於將事物加以外顯。 3. 建構深層理解：當學習者融貫多重表徵的訊息時，則可產生更深層的理解，包含：學習者自行創造出一個心智實體來做為高層次概念的基礎（抽象化）；學習者從已知到未知的表徵之間的知識轉移方式（延伸化）；兩個表徵之間的連結過程（關連化）。在蔡志仁（2000）的相關研究中指出科技整合教學環境具有在教學上有提升教學效果、減少學習時間、以及正面學生學習態度等幾項功能，也說到課室中無法做到的外在動態表徵（dynamic external representation），可以利用電腦科技的技術來詮釋抽象的概念。電腦可以利用動態圖像的方式提供學習者強有力的學習與知覺經驗，讓學習者的抽象概念，能夠有知覺的基礎。電腦環境應可以降低認知負荷。在整合科技的學習環境中，電腦以及平板等具有螢幕的科技裝置，除了能提供視覺化的效果外，亦能以多重表徵的方式來整合教學素材，並規劃其呈現方式。並透過數位環境的設計，學習環境還可以將紙本環境中不容易呈現的表徵連結，透過科技的技術以動態鏈結的方式呈現，藉以提升學生表徵處理與轉換的能力。此外現在科技技術的發展，各種數位教學設計已經能建立學生與呈現內容互動的學習環境，Noss et al.(1997)認為數位學習環境可以使數學意義在學生與學習環境的互動中逐漸形成，因此本研究的學習環境設計當學生透過人機介面的操作， 19.

(29) 呈現的表徵內容能提供適當的回應，學生可以在與學習環境的互動中獲得數學意義。Patsiomitou（2010）的研究也指出在動態圖形的互動環境中，透過幾何的重建可以使學生可以理解代數的意義，以及可以作為幾何與代數間的橋梁。. 第四節. 數位學習環境設計原則. NCTM（1983）曾提出為了達到有效的學習，所有各級的教師都應該使用科技的工具，而近年來電腦被普遍的用於數學教學上，利用科技展示提供學習者強有力的學習與知覺經驗，例如：Powerpoint 結合投影來展示圖表與重點歸納、動態數學軟體 Geogebra 用於有關幾何的展示與操作、Flash 的動畫以吸引學生的學習、圖片或影片提供學生視覺經驗等等…。而本節的重點在設計良好的數位學習環境，因此特別提出在設計數位學習環境上需要注意的原則，分為認知負荷理論的教學設計原則、多媒體學習理論的教學設計原則以及觸控環境的教學設計原則。. 一、. 認知負荷理論的教學設計原則. (Sweller et al., 1998)提出對認知負荷理論的七種教學設計原則，包含開放目標效應（Goal-Free Effect）、示例效應（Worked Example Effect）、完成問題效應（Completion Problem Effect）、分散注意力效應（Split Attention Effect）、形式效應（Modality Effect）、重複效應（Redundancy Effect）、變化效應（Variability Effect），研究結合 Sweller（2010）的認知負荷定義，本研究參考兩項與有關本研究設計的教學設計原則： (一) 示例效應（worked example effect ）：示例效應是指在教授初學者結構良好（well-structure）的概念與程序知識前，特別是數學學科，適當的呈現示例有助於降低學習者的無關的認知負荷以及能夠 20.

(30) 協助學習者對於問題狀態與解題過程建立相關的基模。所謂示例是指一步一步的完整展示如何處理任務或是解題過程的工作例。Paas & Van-Gog(2006)更進一步針對示例教學提出重點不應只是示範解題過程，更應該在教學的過程中適度的增加學習者的有效的認知負荷，刺激學習者將可用的認知資源用於建立與統整相關的知識基模。本研究在各學習目標皆有工作範例，工作範例的設計有助於增加有效的認知負荷，讓學習者減少工作記憶資源去處理對學習策略的不熟悉（無關的認知負荷），以及從學習策略的工作範例引導（增加更多的工作記憶資源）來學習兩個一次多項式相乘（內在認知負荷），進而能夠幫助學習者對問題狀態與解題過程建立相關的基模。 (二) 分散注意力效應（split attention effect）：學習者需要將注意力分散到不同的訊息來源以獲得資訊，並需要花費心力將這些資訊加以整合才能達到理解，就會造成學習者的認知負荷，因此，必須將相關資訊有效整合，以降低學習者的認知負荷。本研究在設計上將不同的訊息做相關的視覺連結，來降低這些不同的訊息對學習者額外造成的認知負荷。. 二、. 多媒體學習理論的教學設計原則. 為了設計良好的數位學習環境，本研究利用多媒體教材（代數磁磚、動畫）設計數位的學習環境。本研究依據 Mayer(2009)的多媒體學習理論的教學設計原則，Mayer 以結合多媒體學習認知理論、強調如何設計減少降低無關的認知負荷，並根據許多相關實驗與實驗結果整理出十項多媒體教材設計的原則。並且在「The Cambridge Handbook of Multimedia Learning」第二版書中將十項教學設計原則分為三大類原則，分別是減少額外過程原則（Principles for reducing extraneous processing）、管理必要過程原則（Principles for managing essential processing）與培養創建過程原則（Principles for fostering generative processing）。接下來研究者 21.

(31) 參考 Mayer(2009)整理的三大類原則的十項教學設計原則，提出與本研究環境設計相關設計原則，如下： (1). 連貫性原則（Coherence Principle）額外設計教材會在工作記憶區（working memory）與其他認知資源競爭，且在重要教材上會轉移注意力，中斷組織教材的過程，使學習者將教材整合到不適當的主題。在多媒體學習環境中，應將無關教材排除。連貫性原則分三點：（a）排除無關的文字與圖片；（b）排除無關的音效與音樂；（c）減少不需要的文字與符號。此連貫性原則對低工作記憶（working-memory）容量或是低學科知識的學習者，有其重要性。本研究考量額外設計教材會導致其他認知資源競爭，因此學習環境的設計上不加入音效與音樂，而且根據連貫性原則在學習環境的呈現上所有的文字說明、代數符號與圖片都是操作或學習上必要的且必需理解的。 (2). 標記原則（Signaling Principle）標記（Signaling）引導學習者注意重要元素，並幫助學習者建立其間的關聯性，減少額外過程。所以必要教材被加入學習系統時，應以提示方法強調其內容。當多媒體單元雜亂或包含額外教材時，謹慎的使用標記對低閱讀技巧的學習者是有幫助的。本研究的學習環境在增加圖形表徵時，會建立標記以引導學習者代數表徵與圖形表徵之間的關聯性，並會調整標記的出現時機。 (3). 時間靠近原則（Temporal Contiguity Principle）當相對應的敘述與動畫同時呈現時，學習者較能同時將心智表徵存放在工作記憶區。因此，學習者能夠在口語與視覺表徵間建立心智上的連結。當相對應部分的敘述與動畫分開呈現時，學習者較不能同時將心智表徵存放在工作記憶區。因此，學習者無法在口語與視覺表徵間建立心智上的連結。本研究設計的學習環境將工作範例的文字說明與圖形指示同時出現，以幫助 22.

(32) 學習者熟悉學習環境，並且直到學習者完成指示，文字說明與圖形指示才會消失。 (4). 分割原則（Segmenting Principle）在一過程中的步驟解釋，透過觀看快步驟的動畫敘述時，某些學習者在下一個步驟還沒出現前無法完全理解當時的步驟。因此，他們可能沒時間看到某一步驟和下一步驟間的因果關係。多媒體訊息應以使用者步驟分段呈現而不是連續呈現整個單元。若教材是複雜的，或是快步驟的演示，或是學習者對此教材沒有經驗，這些情形下較適合使用分割原則。本研究設計的工作範例是依照步驟分段呈現，而且每個步驟學習者都要完成指示才能到下個步驟，因此學習者是完全理解當時的步驟在進行學習。 (5). 先行訓練原則（Pre-training Principle）在過程中的步驟解釋，透過觀看快步驟的動畫敘述時，學習者不但必須建立因果的心智模型（此數學系統如何運作的模型），而且為每部分的重點組成心智模型（每個部分重點敘述的模型）。主要數學內容學習前將某些過程分開並插入先前訓練，可幫助在必要過程中管理這兩種需求。所以，應讓學習者知道主要學習概念的名稱與特徵。當教材是複雜的，或多媒體單元是快步驟的，或是學習者對教材不熟悉等，這些情形使用先行訓練原則是有效的。本研究設計的學習環境，包含先備知識的複習與學習主題內容，因此對於教材不熟悉的學習者可能無法適應，因此學習環境的設計上將先備知識與操作說明的分段並融入到學習目標中的工作範例，讓學習者在工作範例中適應教材內容。 (6). 多媒體原則（Multimedia Principle）當文字和圖片同時呈現時，學習者有機會去建構視覺與口說的心智模型，並建立之間的連結。當文字單一呈現時，學習者有機會去建立口說的心智模型，但較無法建立視覺心智模型，且也無法建立口說與視覺心智模型間的連結。以文字、圖片學習會比只有文字學習來的好。 23.

(33) 而研究設計的數位學習環境，除了代數式分段運算的學習策略外，並額外加入具有圖示（圖形表徵：代數磁磚）的分段運算學習策略，並且根據學習策略的文獻與多媒體設計原則，研究假設圖示（圖形表徵：代數磁磚）的分段運算的學習策略會比代數式分段運算的學習策略好。. 三、. 觸控環境的教學設計原則. Segal （2011）指出觸控介面比滑鼠介面學習更有效果，可以提供學生體現數學運算的操弄過程，並且促進學生使用更進階的策略。Pelton & Pelton(2011) 也提出要製作有意義的數學應用程序（Meaningful Mathematics Apps）需要注意保持簡單與提供有意義的模型與操作。參考楊進中(2012)考慮認知負荷理論和多媒體學習認知理論的基礎提出的八項教學設計原則，列出與本研究有關，特別在觸控環境需要注意的教學設計原則，如下： 1. 界面簡單原則：由於智慧行動裝置，通常螢幕界面較小，在電腦上呈現內容剛好的訊息資訊，如果放到智慧行動裝置上，反而會過於複雜，因為觸控的環境特色是在於提供使用者容易閱讀訊息與便利操作，因此一次性顯示的內容不能太多，因此在教學設觸控環境的教學設計應該遵循簡單夠用的原則。在此研究在電腦環境設計觸控學習環境，然後再傳輸應用程序（Application）到行動裝置下模擬學習者操作，因此在模擬學習者操作時，會去考量呈現的訊息量是否適中、字體大小是否容易閱讀、操作上是否便於觸控。 2. 小主題呈現原則：從認知負荷的文獻知道，學習者一次處理的訊息量是有限的，而且由於目前智慧行動裝置強調體積輕巧易於攜帶，在處理器的效能上與電腦相比較不成熟，而且電腦學習環境通常是在專門的環境下使用電腦，環境較無噪音的問題，但智慧行動裝置的趨勢，偏向於隨時隨地都可使用，因此學習環境更容易受到噪音的 24.

(34) 影響，因此觸控學習適合一次處理比較小的學習單元並且聚焦於時間較短的學習活動。在觸控環境的教學設計應該把學習內容分割成較小的主題呈現，使學習者能夠一次處理一個小主題。同時每個小主題需要具有相對獨立性，時間最好控制在 10-20 分鐘左右。. 25.

(35) 參、. 研究方法. 本章共有五部分：第一節為研究設計；第二節為研究對象；第三節為研究工具；第四節為研究流程；第四節為研究限制。. 第一節一、. 研究設計. 實驗設計. 本研究一共找六個班級進行實驗三種不同的學習策略，其中三個班級在紙本的環境下進行實驗，另外三個班級在觸控的環境下實驗，學習策略分別為代數式分段運算的學習策略、代數式整體運算的學習策略以及圖示分段運算的學習策略，並從環境與學習策略的搭配形成六組學習環境的實驗組別。這六組實驗組，因為需配合上課時間、實驗場地等因素無法隨機分組，因此以班級為單位。為了方便之後進行討論，研究將簡稱各組名稱，紙本環境圖示分段運算組（paper graphic isolated group，簡稱 PGS）、紙本代數式分段運算組（paper algebraic isolated group，簡稱 PAS）、紙本代數式整體運算組（paper algebraic integrated group，簡稱 PAT）、觸控圖示分段運算組（touchscreen graphic isolated group，簡稱 TGS）、觸控代數式分段運算組（touchscreen algebraic isolated group，簡稱 TAS）、觸控代數式整體運算組（touchscreen algebraic integrated group，簡稱 TAT）。六組學生皆進行無老師介入的自我學習多項式的乘法。此實驗設計以班級為單位將六組學生分為六組實驗組，實驗介入之前，六組學生均接受「多項式的加減法與多項式的乘法測驗」，且經過實驗介入後，再接受「多項式的乘法測驗」。在紙本環境的三組學生是在題本上自我閱讀練習，而觸控環境的三組學生是在 iPad2 上自我操作練習。. 26.

(36) 二、. 研究變項. 研究變項說明如表 3-1。. 表3-1 控制變項 1. 起點行為 2. 學習時間 3. 學習內容. 研究變項. 操弄變項 1. 環境 2. 學習策略. 依變項 1. 學習成效 2. 學生在學習環境學習的認知負荷 3. 學生對軟體的感受. (一) 控制變項 1. 起點行為：題目分為兩大部分，一部分題目為檢驗學生的先備知識，包含單項式的乘積、同類項合併、一次式的乘積展開，例： a ( bx + c ) ，並以單因子變異數分析檢驗；另一部分題目為檢測學生在學習學習多項式的乘法前，計算基本題型的表現，以單因子變異數分析檢驗發現六組學生表現並無顯著差異（F 值=1.308，顯著性=0.285），表示六組學生的起點行為可視為一致，但從表面上起點行為看起來有差異，因此事後分析進步情形。採用單因子共變數分析，排除前測的影響。 2. 學習時間：一節課內，約 25 分鐘。但依個人的自學期學習進度會有所差異，但以不超過 25 分鐘為限。 3. 學習內容：內容皆為學習多項式的乘法。. 27.

(37) (二) 操作變項 1. 環境：學生進行自我學習的環境，分為紙本環境與觸控環境。紙本的環境是以題本為學習媒介進行紙本學習；觸控的環境是以 iPad2 為學習媒介進行觸控學習。 2. 學習策略：在一節課內，學生依據不同的學習策略自我學習，學習策略分別為代數式整體的學習策略、代數分段運算的學習策略以及圖形分段運算的學習策略。三種學習策略的區分是由有無分段運算的動作與有無額外圖形的輔助，分段運算的動作換句話說是讓學生一次只處理乘積內一個相乘的動作，例如. 3x (4 x + 6) 內相乘的動作可以先分為 3x 與 4x 相乘，以及 3x 與 6 相乘，讓學生只計算一個相乘的動作（ 3x 與 4x 相乘），暫不處理其他相乘的動作（ 3x 與 6 相乘）；而額外圖形的輔助是指教材的呈現上提供圖示學習，圖示學習比代數式學習多出圖形表徵，如表 3-2 顯示三組的學習策略差異。. 表3-2. 研究採用的學習策略讓學生一次只處理乘積內一個相乘的動作. 額外圖形的輔助. 有. 無. 有. 圖示分段運算. ╳. 無. 代數式分段運算. 代數式整體運算. 依據環境與學習策略兩個變項分為六組不同的學習環境，如表 3-3。. 28.

(38) 表3-3. 六組不同的學習環境環境. 學習策略. 紙本. 觸控. 代數式整體運算. PAT. TAT. 代數式分段運算. PAS. TAS. 圖示分段運算. PGS. TGS. (三) 依變項 1. 學習成效：「多項式的乘法」（後測）內基本題型之答對率的結果。 2. 學生在學習環境學習的認知負荷：在「學習感受問卷」第一部分的認知負荷感受量表的分數。 3. 學生對軟體的感受：此感受為分析在觸控環境使用學習軟體的感受，在「學習感受問卷」第二部分的學習軟體感受量表分數。. 三、. 研究架構. 本研究架構如圖 3-1。. 29.

(39) 圖3-1. 研究架構圖. 本研究架構分為兩大部分：第一部分為設計學習環境；第二部分為檢驗學習環境的學習效果。研究問題一主要透過分析多項式乘法相乘學科內容、設計學習策略與布置環境三個部分來實作出學習環境。研究問題二在探討各學習環境的學習效果，而研究問題三更進一步分析學習策略間學習效果的差異，研究問題四是從環境探討學習策略的學習效果差異。而此研究的學習效果包含學習表現與學習感受，其中學習表現是指學生在基本題型與遷移題的答對率，學習感受是指學生在認知負荷感受與學習軟體感受所勾選的選項。. 30.

(40) 第二節. 研究對象. 為了檢測本研究的學習軟體的實作以及正式實驗的時間估計，在進行正式實驗之前先進行前導性研究。前導性的研究對象為台北市某國中三位國二學生，這些學生剛學完多項式的乘法且分別隨機分到三個實驗組 TGS、TAS 與 TAT 所設計學習軟體的初步實作，其中男生 2 位，女生有 1 位。研究的正式研究對象來自於台北市 A 高中附屬國中部的三班國二上學生與台北市 B 國中的三班國二上學生，學生均為常態分班、男女合班制。這些學生班級的數學進度都是剛學習完多項式的加減單元，且未學過多項式的乘除單元的。正式的研究樣本數，是將下列狀況的人扣除： (1). 未接受完整實驗流程：本研究需要的樣本是完整的接受實驗流程的學生，因此未接受完整實驗流程的學生會被從樣本扣除。 (2). 未認真作答：因研究班級人數有限，若學生未認真作答可能會影響研究的結果，例如：前測中有稍微作答，而後測卻未作答的學生，因此未認真作答的學生會被從樣本扣除。 (3). 基本題型答對率皆為 100 分的學生：研究的目的在於幫助學生計算兩個一次多項式相乘，即理解乘法分配律的概念，因此對於在前後測中皆能獲得滿分的學生對於本研究想分析的內容無意義，因此基本題型答對率皆為 100 分的學生會被從樣本扣除。因此六組實驗組真正視為有效樣本數為 122 人，人數分別為紙本代數式整體運算組（簡稱 PAT）20 人，紙本代數式分段運算組（簡稱 PAS）21 人與紙本圖示分段運算組（PGS 簡稱 PGS）18 人；觸控代數式整體運算組（簡稱 TAT）21 人，觸控代數式分段運算組（簡稱 TAS）21 人與觸控圖示分段運算組（簡稱 TGS） 21 人。為了增加對研究樣本的概況，並附上在觸控環境使用學習軟體的三組實驗組學生平日使用智慧型行動裝置的情形，如表 3-4，從表中顯示觸控各組的學生各 31.

(41) 組至少有過半的學生平日使用智慧型行動裝置。表3-4. TGS、TAS 與 TAT 的使用智慧型行動裝置情形 TGS. TAS. TAT. 使用頻率. 人數. %. 人數. %. 人數. %. 平日使用. 13. 62. 17. 82. 17. 82. 從未使用. 8. 55.0. 4. 45.0. 4. 45.0. 總人數. 21. 100. 20. 100. 20. 100. 第三節. 研究工具. 為了解學生在使用學習軟體前後，數學知識的改變與使用軟體的認知負荷情形，本研究使用下列研究工具來收集所需要的資料。本研究的前後測的題目設計參考教育部民國 97 年修訂的數學學習領域的教科書版本，研究挑選了四個版本南一版、翰林版、康軒版以及部編版。研究者根據南一版、康軒版、翰林版與部編版這四個版本的多項式乘法單元進行分類整理，發現題目上大致上可分為五種。如表 3-5 所示，第一種例題為檢測單項式的乘積，例如：計算 (3x ) 2 、檢測哪些是單項式？；第二種例題為檢測同類項合併，例如：求 (5 + 3x 2 ) + (2 x + x 2 ) 的和；第三種例題為檢測兩個一次多項式相乘，例如：計算 (3x + 1)( x + 4) 、計算 (2 x − 1) 2 + ( x + 3) ；第四種例題為混 2 和檢測單項式的乘積與同類項合併，例如：若 A 為單項式，且 A 加上 2 x − 4 x + 1. 的一次項係數為 3，求 A？；第五種例題為檢測多項式相乘的應用，例如：計算以多項式表示的各邊長線段的圖形、計算 ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) 。兩個一次多項式相乘為多項式乘法的主要學習內容，因此在設計測驗上主要為第三類有關兩個一次多項式相乘的題目，而前兩類單項式的乘積與同類項合併 32.

(42) 的題目檢驗學習內容的先備知識，並且多項式的相乘主要為乘法分配律的分配運算過程，因此本研究檢驗先備知識額外再加入有關乘法分配律的一次式乘積展開的題目，最後第五類的題目當作遷移題，檢驗學生是否能延伸計算兩個一次多項式相乘。. 表3-5. 四版本教科書例題分類表. 版本. 第一類. 第二類. 第三類. 第四類. 第五類. 南一. 4. 55. 35. 0. 5. 康軒. 11. 36. 16. 1. 5. 翰林. 14. 35. 28. 0. 2. 部編. 0. 31. 19. 0. 2. 總和. 29. 157. 98. 1. 14. 一、. 多項式的加減法與多項式的乘法測驗（前測）. 多項式的加減法與多項式的乘法測驗總共有五大題，第一大題為檢測學生先備知識中的單項式的乘積，分為 6 小題；第二、三大題為檢測學生先備知識中的同類項合併，第二大題有 9 個選項，檢測學生是否能夠區分同類項，第三大題有兩小題計算題，判斷學生是否能夠合併同類項；第四大題中的（1），（2）小題為檢測學生是否能夠計算先備知識中的一次式的乘積展開，形如 a (bx + c ) ；最後第四大題中的（3），（4），（5）小題與第五大題為檢測學生在學習學習多項式的乘法前，計算多項式的乘法其基本題型，形如 ax (bx + c ) 與 ( ax + b)( cx + d ) 。表 3-6 為多項式的加減法與多項式的乘法測驗內的先備知識之雙向細目表，而題目的敘述上，由研究者定期與數學教育專家、3 位數學教育的博士生與 4 位數學教育的研究生進行討論與修訂，若有意見不一致的時候，會提出來共同修改題目直到達 33.