5-4-1不等式-條件不等式

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(1)5-4-1 不等式-條件不等式【定義】條件不等式：只有某特定範圍內的實數使不等式成立者，稱條件不等式。【討論】常見的條件不等式如下： 1. 多項式不等式：若 f (x ) 是一個實係數多項式，則 f ( x ) > 0, f ( x) < 0, f ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ 0 都稱為多項式不等式。且當 f (x ) 是次數為 n( n ≥ 1) 時，這些不等式就是一元 n 次不等式。 2. 一元一次不等式：若 a, b 為實數， a ≠ 0 ，則 ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0 等都是一元一次不等式。對於 ax + b > 0 而言 (1)若 a > 0 ，則 x > − b 。 a b (2)若 a < 0 ，則 x < − 。 a 3. 一元二次不等式：設 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c 為實數， a > 0 ，判別式解 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0 不等式. x< f ( x) > 0. − b − b 2 − 4ac 2a. b 2a 之任一實數. 任意實數. 無解. 無解. x≠−. 2 或 x > − b + b − 4ac 2a. − b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac <x< 2a 2a 4. 一元二次不等式：設 α , β 為實數且 α < β ，則： (1) ( x − α )( x − β ) < 0 之解為 α < x < β 。 (2) ( x − α )( x − β ) > 0 之解為 x > β 或 x < α 。 f ( x) < 0. ┼. ─. α. ┼. β. x. 5. 一元三次不等式：設 α , β , γ 為實數且 α < β < γ ，則： (1) ( x − α )( x − β )( x − γ ) > 0 之解為 α < x < β 或 x > γ 。 (2) ( x − α )( x − β )( x − γ ) < 0 之解為 x < α 或 β < x < γ 。.

(2) ─. ┼. α. ─. ┼. γ. β. x. 6. 一元 n 次不等式：設 x1 , x 2 ," , x n 皆為實數且 x1 < x 2 < " < x n ，若 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )" ( x − x n ) ，則判別 f ( x) 的正負時，先將 x1 , x 2 ," , x n 標在數線上由最右邊 f (x) 取正，並由最右往左 f (x) 依序取一正一負，如圖： ....... x1. 7.. x2. x3. ┼. ─. x n− 2 x n −1. x4. ┼. xn. 二次函數恆正或恆負的判別：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c 為實數且 a ≠ 0 ， (1) a > 0 且 b 2 − 4ac < 0 ，則開口向上且與 x 軸無交點，即 f ( x) 恆正。 (2) a < 0 且 b 2 − 4ac < 0 ，則開口向下且與 x 軸無交點，即 f ( x) 恆負。 (3) a > 0 且 b 2 − 4ac ≥ 0 ，則開口向上且與 x 軸交一點，即 f (x) 恆非負。 (4) a < 0 且 b 2 − 4ac ≤ 0 ，則開口向下且與 x 軸交一點，即 f ( x) 恆非正。 b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac = 0 b 2 − 4ac < 0. y. y. y. a>0. x. y. a<0. 8. 9.. x. y. x. x. y. x. 整式不等式：化成首項係數為正。分式不等式：分母不為 0。分式不等式：設 a < b ，則： x−a (1) ≤ 0 ⇔ ( x − a)( x − b) ≤ 0 且 x ≠ b ⇔ a ≤ x < b x−b. x.

(3) x−a < 0 ⇔ ( x − a)( x − b) < 0 ⇔ a < x < b 。 x−b 10. 根式不等式：根號內要非負。根式不等式： ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ 或 ⎨ g ( x) ≥ 0 。 (1) f ( x) ≥ g ( x) ⇔ ⎨ ⎩ g ( x) < 0 ⎪ 2 ⎩ f ( x) ≥ ( g ( x)) ⎧ f ( x) ≥ 0 ⎪ (2) f ( x) ≤ g ( x) ⇔ ⎨ g ( x) ≥ 0 。 ⎪ f ( x) ≤ ( g ( x)) 2 ⎩ 11. 絕對值不等式：分段討論正負。絕對值不等式：設 f ( x) =| x − a1 | + | x − a 2 | + " + | x − a n |, a1 < a 2 < " < a n 其圖形的折點為 (a k , f (a k )), k = 1,2," , n (1)若 n 為奇數，則當 x = a n +1 時， f ( x) 有最小值。 (2). 2. (2)若 n 為偶數，則當 a n ≤ x ≤ a n 時， f ( x) 有最小值。, 2. 2. +1. 12. 指數不等式：底數大於 1 則遞增，底數小於 1 則遞減。指數函數：設 a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ，稱函數 f ( x) = a x 為以 a 為底數的指數函數。對於任意實數 x ， f ( x) = a x > 0 恆成立。 13. 對數不等式：底數大於 0，真數大於 0 且不等於 1。對數：如果 a > 0, a ≠ 1, b > 0 ，當 a x = b 時，我們用符號 log a b 來表示 x ，即 x = log a b 。我們稱 log a b 為以 a 為底數， b 的對數，其中 a 稱為底數， b 稱為真數。反過來說，如果 x = log a b ，那麼 a x = b 。即 a x = b ⇔ x = log a b.

(4) 14. 三角不等式：可圖解或用單位圓配合討論正負，注意同界角，常用公式列於下面。 (a)奇偶性與週期、定義域與值域、振幅、漸近線：奇偶振 y = f (x) 週期定義域值域漸近線函數幅 y = sin θ 奇 { y ∈ R || y |≤ 1} 1 2π R y = cos θ 偶 { y ∈ R || y |≤ 1} 1 2π R. y = tan θ. 奇. π. y = cot θ. 奇. π. y = secθ. 偶. 2π. {x ∈ R | x ≠ kπ +. π. , k ∈ Z}. 2 {x ∈ R | x ≠ kπ , k ∈ Z }. {x ∈ R | x ≠ kπ +. x = kπ +. R. π. , k ∈ Z } { y ∈ R || y |≥ 1} 2 {x ∈ R | x ≠ kπ , k ∈ Z } { y ∈ R || y |≥ 1}. y = cscθ 奇 2π (b)和角公式: 1. sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2. sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β 3. cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β 4. cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β (c) tan 和角公式: tan α + tan β 1. tan(α + β ) = (其中 1 − tan α tan β ≠ 0 ) 1 − tan α tan β tan α − tan β 2. tan(α − β ) = (其中 1 − tan α tan β ≠ 0 ) 1 + tan α tan β (d)二倍角公式： 1. sin 2θ = 2 sin θ cos θ 2. cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ 2 tan θ 3. tan 2θ = 1 − tan 2 θ (e) tan 二倍角公式： 2 tan θ 1. sin 2θ = 1 + tan 2 θ 1 − tan 2 θ 2. cos 2θ = 1 + tan 2 θ 2 tan θ 3. tan 2θ = 1 − tan 2 θ (f) tan 表示式公式(可用於三角函數的積分)：設 t = tan. 2t 1+ t 2 1− t2 2. cos θ = 1+ t2 2t 3. tan θ = 1− t2 1. sin θ =. π. ,k ∈ Z 2 x = kπ , k ∈ Z. R. θ. 2. ，則.

(5) (g)半角公式： 1. sin. θ. 2. cos 3. tan. 2. θ 2. θ. =±. 1 − cos θ 2. =±. 1 + cos θ 2. =±. 1 − cos θ , (θ ≠ nπ , n 為奇數 ) 1 + cos θ. 2 (h)三倍角公式： 1. sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ 2. cos 3θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ (i)積化和差公式: 1. 2 sin α cos β = sin(α + β ) + sin(α − β ) 2. 2 cos α sin β = sin(α + β ) − sin(α − β ) 3. 2 cos α cos β = cos(α + β ) + cos(α − β ) 4. 2 sin α sin β = − cos(α + β ) + cos(α − β ) (j)和差化積公式: α +β α −β 1. sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α +β α −β 2. sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α +β α −β 3. cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β 4. cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 (k)如何求 y = a sin x + b cos x + c 的極值？ y = a sin x + b cos x + c = sin x × a + cos x × b + c a b ) +c = a 2 + b 2 × (sin x × + cos x × a2 + b2 a2 + b2. = a 2 + b 2 × (sin x × cos θ + cos x × sin θ ) + c b ⎧ ⎪sin θ = 2 a + b2 ⎪ = a 2 + b 2 × sin( x + θ ) + c ，其中 ⎨ a ⎪cos θ = 2 ⎪⎩ a + b2. 則 | a 2 + b 2 × sin( x + θ ) |≤ a 2 + b 2 故 y 的最大值為 a 2 + b 2 + c ，最小值為 − a 2 + b 2 + c (l)棣美弗定理：若 z = r (cosθ + i sin θ ) ，則 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ), ∀n ∈ N 均成立。.

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