4-1-4圓錐曲線-錐線與直線的關係

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(1)第四冊 1-4 圓錐曲線-錐線與直線的關係【定義】切線：設 L 為曲線 Γ 的一條割線， L 與曲線 Γ 交於 P, Q 兩點，今固定 P 點而讓另一個交點 Q 點沿著曲線逐漸趨近於 P 點，當 Q 點與 P 點非常接近時，若割線 L 與直線 L0 也非常接近，我們就稱 L0 為曲線 Γ 的切線， P 點稱為切點。割線斜率：若 P (a, f ( a )) 為函數 y = f (x ) 圖形上的一個固定點，令 Q ( a + h, f ( a + h)) 為圖形上 f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = 。趨近 P 點的動點，則割線 PQ 的斜率為 ( a + h) − a h 切線斜率與法線：當 Q 點沿著 y = f (x ) 的圖形逐漸趨近 P 點時，若割線 PQ 也非常趨近過 P 點的一 f ( a + h) − f ( a ) 條直線，此時切線斜率為 lim ， P 點為切點，而過 P 點且垂直此 h →0 h 切線的直線稱為過 P 點的法線。平均變化率：設函數 y = f (x ) 在 x = a 處及鄰近有意義，我們稱 f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = 為函數 y = f (x ) 由 x = a 至 a + h 之間的平均變 ( a + h) − a h 化率(或稱為差商)。瞬時變化率： f (a + h) − f ( a ) 的極設函數 y = f (x ) 在 x = a 處及鄰近有意義，當 h 趨近 0 時，若 h f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 存在，我們稱 lim 為函數限值存在，也就是 lim h →0 h →0 h h y = f (x ) 在 x = a 處的瞬時變化率(或稱為函數 y = f (x ) 在 x = a 處的導數)，以 f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a ) 。亦可表成為 f ' (a ) = lim 。 f ' ( a ) 表示，即 f ' ( a ) = lim h →0 x → a h x−a 切線方程式：以 P (a, f ( a )) 為切點的切線方程式為 y − f ( a ) = f ' ( a )( x − a ) 。法線方程式： −1 以 P (a, f ( a )) 為切點的切線方程式為 y − f (a ) = ( x − a) 。 f ' (a) 【討論】 1. 切線與曲線，是否必交於一點？ 2. 直線與曲線交於一點，是否必為切線？ 3. 已知斜率，如何求切線？ 4. 已知切點，如何求切線？ 5. 過曲線外一點，如何求切線？【方法】圓錐曲線與直線的關係：.

(2) 設 Γ : f ( x, y ) = 0 為一圓錐曲線的方程式，直線 L : ax + by + c = 0 ⎧ f ( x, y ) = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(1) 討論 Γ 與 L 的交點個數，依 ⎨ 的實數解 ( x, y ) 的個數 ⎩ax + by + c = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2) 將(2)中 L 的方程式代入(1)(消去其中一個變數)，化成一個一元二次方程式 Ax 2 + By + C = 0 ，根據判別式 D = B 2 − 4 AC ，則得到 1. 當 D > 0 時， L 與 Γ 交於相異兩點。 2. 當 D = 0 時， L 與 Γ 相切於一點(此時 L 為切線)。 3. 當 D < 0 時， L 與 Γ 沒有交點。【方法】 1. 給定斜率求切線：圓錐曲線. 斜率 m 的切線. x2 y2 + =1 a2 b2. y = mx ± a 2 m 2 + b 2. x2 y2 + =1 b2 a2. y = mx ± b 2 m 2 + a 2. x2 y2 − =1 a2 b2 x2 y2 − = −1 b2 a2. y = mx ± a 2 m 2 − b 2 y = mx ± a 2 − b 2 m 2 c m y = mx − cm 2 y = mx ±. y 2 = 4cx x 2 = 4cy. 將上表中的方程式沿向量 v = (h, k ) 平移時，切線方程式亦隨之沿向量平移。 2. 過圓錐曲線上一點求切線：過圓錐曲線 Γ : f ( x, y ) = ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 上一點 P ( x0 , y 0 ) 的切線方. x + x0 y + y0 ) + e( ) + f = 0。 2 2 過曲線上一點 P( x1 , y1 ) 求切線：圓錐曲線切線方程式 2 2 x1 x y1 y x y + 2 =1 + 2 =1 2 a2 b a b 程式為 ax0 x + cy 0 y + d (. x2 y2 + =1 b2 a2. x1 x b. x2 y2 − =1 a2 b2 x2 y2 − = −1 b2 a2. 2. +. y1 y a2. =1. x1 x y1 y − 2 =1 a2 b x1 x y1 y − 2 = −1 b2 a x + x1 ) y1 y = 4c( 2 y + y1 ) x1 x = 4c( 2. y 2 = 4cx x 2 = 4cy. 1.

(3) 將上表中的方程式沿向量 v = (h, k ) 平移時，切線方程式亦隨之沿向量平移。 3. 過已知點求切線：假設切線為 ( y − y 0 ) = m( x − x 0 ) 方程式代回二次曲線化成一個一元二次方程式 Ax 2 + By + C = 0 根據判別式 D = B 2 − 4 AC = 0 求解【問題】就雙曲線外一點 P 的位置，討論過 P 點切線的數目？【性質】 x2 y2 1. 橢圓 Γ : 2 + 2 = 1 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段，此線段稱 a b 為此橢圓的直徑。記作 Dm ，直徑 Dm 所在的直線方程式是 b 2 x + a 2 my = 0 。 b2 為斜率之平行弦的中點軌跡又是另一條直徑 a2m b2 Dm '，直徑 Dm ' 的方程式為 b 2 x + a 2 m' y = 0 得 b 2 x + a 2 (− 2 ) y = 0 ，即 y = mx ， a m. 2. 以直徑 Dm 的斜率 m' = −. 我們稱 Dm ' 和 Dm 為共軛直徑，它們斜率的乘積為定值 −. b2 。 a2. x2 y2 3. 試證：雙曲線 Γ : 2 − 2 = 1 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段， a b 這條線段在通過中心的一條直線 b 2 x − a 2 my = 0 裡。同橢圓的情形，這條線段稱為雙曲線的直徑。 4. 試證：拋物線 Γ : y 2 = 4cx 之「平行弦(斜率 m )的中點」軌跡是一條線段，這 2c 裡。同橢圓的情形，這條線段稱為拋物條線段在通過中心的一條直線 y = m 線的直徑。【重點】圓錐曲線的參數式：圓錐曲線方程式參數式 2 2 2 2 圓 x +y =r x + y2 = r2 拋物線. x = ay 2 + by + c. 橢圓. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2. (t , at 2 + bt + c) ⎧ x = h + a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b sin θ. 雙曲線. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2. ⎧ x = h + a sec θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b tan θ. 2.

(4) 【定義】有心錐線：橢圓與雙曲線都有一個對稱中心，稱為有心錐線。【性質】有心錐線的光學性質：有心錐線上任意一點 P ，都對應兩條焦半徑 PF , PF ′ ，這兩條焦半徑與通過 P 點的切線，它們所夾出來的角度相等。註：可以利用切線、法線、焦半徑等與軸的焦點以及角平分線的性質來證明。 1. 拋物線的光學性質：若拋物線的焦點為 F ，設 P 是拋物線上的任一點， L 是拋物線在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會平行對稱軸。證明： (方法一) 過點 P ( x0 , y 0 ) 切拋物線 y 2 = 4cx 的切線 L 為 yy 0 = 2c( x + x0 ) 設切線 L 與 x 軸交於點 Q 令 y = 0 得 Q(− x0 ,0) 因此 FQ = c − (− x0 ) = x0 + c 又 PF = ( x 0 − c) 2 + y 0 2 = ( x 0 + c) 2 = x 0 + c 得 PF = QF ，故 ∆FPQ 為等腰三角形，即 α = γ 又 PF ' 平行 x 軸，故 β = γ 由上知 α = β. β P(x0,y0). α. F'. γ Q(-x0,0). F(c,0). (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 2c ⎧ ⎪m L = y ⎪ 0 已知 ⎨ ，又 y 0 2 = 4cx 0 ⎪m = y 0 ⎪⎩ PF x 0 − c y0 2c − 2 2c( x 0 − c) − y 0 y x0 − c − 2cx 0 − 2c 2 2c = = 則 tan α = 0 = y0 2c y 0 ( x 0 − c) + 2cy 0 y0 x 0 y 0 + cy 0 1+ × y 0 x0 − c. 且 tan β =. 2c y0. 由上知 α = β 3.

(5) 2. 橢圓的光學性質：若橢圓的焦點為 F , F ′ ，設 P 是橢圓上的任一點， L 是橢圓在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會經過 F ′ (即反射光線為 PF ′ )。證明： (方法一) x x y y x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切橢圓 2 + 2 = 1 的切線 L 為 02 + 02 = 1 a b a b x 設切線 L 與軸交於點 Q 令 y = 0 得 Q(. a2 ,0) x0. 因此 FQ =. a 2 − cx0 a2 −c = x0 x0. a 2 + cx0 a2 +c = x0 x0 c c 又 PF = a − x 0 , PF ' = a + x 0 a a 得 FQ : F ' Q = PF : P ' F 故切線平分 ∠F ' PF 的外角(即 α = γ ) 又 β = γ (對頂角) 由上知 α =β F 'Q =. β θ θ' F'. P. α. F. γ. Q. (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切橢圓 2 + 2 = 1 的切線 L a b x x y y 為 02 + 02 = 1 a b 直線 PF 為 y 0 x − ( x0 − c) y − cy 0 = 0 直線 PF ′ 為 y 0 x − ( x0 + c) y + cy 0 = 0 設切線 L 與直線 PF 的夾角為 θ 4.

(6) 設切線 L 與直線 PF ′ 的夾角為 θ ′ 得 cosθ b 2 x0 y 0 − a 2 y 0 ( x0 − c) = 2 2 2 b 4 x0 + a 4 y 0 y 0 + ( x0 − c) 2 a 2 cy 0 − c 2 x0 y 0. =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. (b 2 −. b2 2 x 0 ) + ( x0 − c) 2 2 a. cy 0 (a 2 − cx0 ). =. b x0 + a y 0 4. 2. 4. 2. c2 2 x − 2cx0 + a 2 2 0 a. cy0 (a 2 − cx0 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. 2. 2. (a −. c x0 ) 2 a. acy 0 b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 及 cosθ ′. =. b 2 x0 y 0 − a 2 y 0 ( x0 + c) b 4 x0 + a 4 y 0 2. y 0 + ( x0 + c) 2 2. a 2 cy 0 + c 2 x0 y 0. =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. (b 2 −. b2 2 x0 ) + ( x0 + c) 2 2 a. cy 0 (a 2 + cx0 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. c2 2 x + 2cx0 + a 2 2 0 a. cy0 (a 2 + cx0 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. 2. 2. (a +. c x0 ) 2 a. acy 0 b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 故 cosθ = cosθ ′ 又 θ 與 θ ′ 都是銳角故 θ =θ′ 5.

(7) 3. 雙曲線的光學性質：若雙曲線的焦點為 F , F ′ ，設 P 是雙曲線上的任一點， L 是雙曲線在 P 點的切線，則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射，反射光線會經過 F ′ (即反射光線為 PF ′ )。 (方法一) x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切雙曲線 2 − 2 = 1 的切線 L a b x x y y 為 02 − 02 = 1 a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q 令 y = 0 得 Q(. a2 ,0) x0. 因此. a2 FQ = c − x0 及 F 'Q = c +. a2 x0. 又 PF =. c x0 − a a. 及 PF ' =. c x0 + a a. 得 FQ : F ' Q = PF : P ' F 故切線是 ∠F ' PF 的角平分線知 α =β (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 x2 y2 過點 P ( x0 , y 0 ) 切雙曲線 2 − 2 = 1 的切線 L a b x0 x y 0 y 為 2 − 2 =1 a b 直線 PF 為 y 0 x − ( x0 − c) y − cy 0 = 0. 直線 PF ′ 為 y 0 x − ( x0 + c) y + cy 0 = 0 設切線 L 與直線 PF 的夾角為 θ 設切線 L 與直線 PF ′ 的夾角為 θ ′ 得 cosθ 6.

(8) =. b 2 x0 y 0 + a 2 y 0 ( x 0 − c) b 4 x0 + a 4 y 0 2. y 0 + ( x0 − c) 2 2. c 2 x 0 y 0 − a 2 cy 0. =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. (. b2 2 x 0 − b 2 ) + ( x0 − c) 2 a2. cy 0 (cx0 − a 2 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. c2 2 x − 2cx0 + a 2 2 0 a. cy0 (cx0 − a 2 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. 2. 2. c ( x0 − a) 2 a. acy 0 b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 及 cosθ ′. =. b 2 x0 y 0 + a 2 y 0 ( x 0 + c) b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 2. c 2 x 0 y 0 + a 2 cy 0. =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. (. b2 2 x0 − b 2 ) + ( x0 + c) 2 a2. cy 0 (cx0 + a 2 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. c2 2 x + 2cx0 + a 2 2 0 a. cy0 (cx0 + a 2 ). =. b 4 x0 + a 4 y 0 2. =. y 0 + ( x0 + c) 2. 2. c ( x0 + a) 2 a. acy 0 b 4 x0 + a 4 y 0 2. 2. 故 cosθ = cosθ ′ 又 θ 與 θ ′ 都是銳角故 θ =θ′. 7.

(9) 【定義】圓錐曲線的其他定義方法：設直線 L : x = 0 ，點 F (c,0) ，設動點 P ( x, y ) 滿足 e =. PF ， d ( P.L). 試就 e 討論 P 點的軌跡方程式圖形為何？註：根據上例的討論，我們可以發現圓錐曲線中橢圓與雙曲線可仿照拋物線的定義方式， PF 而由 e = 的方式來定義， d ( P.L). PF 稱為離心率， d ( P.L) 而 F , L 分別稱為焦點、準線。我們將 e =. 從上面的例子中，比較標準式可以得到離心率 e =. c 。 a. 【結論】若設 L 是座標平面上的一給定直線，點 F 不在 L 上，實數 e > 0 ， ⎧ PF ⎫ 令 Γ = ⎨P | e = ⎬， d ( P.L) ⎭ ⎩ c 1. 則當 e = = 1 時， Γ 為拋物線， a c 2. 當 0 < e = < 1 時， Γ 為橢圓， a c 3. 當 e = > 1 時， Γ 為雙曲線，此時 F , L 分別稱為焦點、準線。 a. 8.

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