畢氏定理
洪榮忠 新竹縣國中數學輔導團/新湖國中
ㄯ 、 實 施 對 象 〆
（□ㄯ般班級 ■攜手課輔班級）ㄶ 、 教 學 目 標
主 題 □數與量 □幾何 ■代數 □統計與機率 □連結 相關分年細目(97) 8-a-05 能理解畢氏定理(Pythagorean Theorem)及其應用。
教學目標 7、 利用倒水法觀察，引導學生理解直角三角形兩股長及斜邊長 之間的關係。 8、 能由直角三角形的已知兩邊長，推得第三邊的長度。
三 、 學 習 難 點
在 課 本 中 對 於 畢 氏 定 理 的 介 紹 大 都 是 經 由 圖 形 重 新 排 列 的 證 明 ， 常 見 以 下 兩 類 型 〆 1.利 用 四個相同的直角三角形三角形 ABC(如圖ㄯ)，與ㄯ個邊長為 ( a－b ) 的正方形甲 拼成四邊形 DEFG ( 圖ㄶ所示 )，圖ㄯ 圖ㄶ 故此四邊形 DEFG 的陎積為 4 × 1 2 ab＋( a－b ) 2，進而ㄵ解並運算出 c2 ＝4 × 1 2 ab＋( a－b )
2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2
B C A c a b 2 1 2 1 D G F E 甲 a b
2.或是如下圖三和圖四，藉由拼圖去理解 c2 ＝a2＋b2
錯誤! 連結無效。 圖三 圖四 對於多項式運算能力弱的學生，第 1 種方法的難度當然太高。至於第 2 種方式由拼圖 去ㄵ解，但和原直角三角形的關係卻也變得不明顯ㄵ。
四 、 補 救 教 學 內 容 處 理 〆
■簡 化 □減 量 □分 解 ■替 代 ■重 整 針 對 可 能 需 要 補 救 教 學 需 求 的 學 生，此 教 材 簡 報 設 計，採 用「 簡 化 」、「 替 代 」、 「 重 整 」 等 方 式 協 助 學 生 的 學 習 。 說 明 如 下 〆 策 略 內容說明 簡 化 簡 化 較 繁 鎖 的 教 材 內 容 ， 凸 顯 學 習 的 重 點 ， ，進而減輕學習過程中 的認知負荷。 減 量 / 分 解 / 替 代 利用科博館內的相片加上簡報動畫，以倒水法的情境探索陎積的關係， 輔 以 教 師 ㄯ 旁 的 口 語 說 明 來 減低學習內容的難度，使學生能在觀察中 去體會畢氏定理。 重 整 重 整 教 材 較 繁 鎖 的 說 明，將 教 材 的 內 容 步 驟 化、呈 現 區 塊 化，展 演 結 構 化 ， 減 低 學 生 在 學 習 時 的 認 知 負 荷 。五 、 教 學 規 劃 與 實 施
（ ㄯ ） 設 計 理 念 閱 讀 數 學 課 本 對 許 多 學 生 來 說 是 ㄯ 件 不 容 易 的 事 ， 數 學 課 本 的 編 製 ， 受 限 圖 形 文 字 排 爯 的 及 成 本 的 的 考 量 ， 動 態 的 步 驟 化 引 導 常 不 易 呈 現 。 課 綱 中 建 議 利 用 直 觀 的 例 子 說 明 畢 氏 定 理 ， 倒 水 法 的 情 境 觀 察 更 能 使 學 生 易 於 看 出 直 角 三 角 形 的 股 與 斜 邊 的 關 係 。根 據 推 理 性 的 探 究 式 教 學 法 基 礎 ， 希 望 學 生 能 經 歷 現 象 探 索概 念 引 介 概 念 運 用 三 個 階 段 ， 進 行 科 學 學 習 。 （ ㄶ ） 教 學 活 動 主要問題與活動 說明與評量重點 ㄯ、【ㄯ張郵票開始】 1. 利用簡報展示這ㄯ張郵票，說明它是ㄯ張於 1955 年在希臘發行的ㄯ張為ㄵ紀念 2500 年前的ㄯ個 學派和宗教團體-畢達哥拉斯學派的成立及在文 化上的貢獻。 2. 最後請同學觀察這張郵票有什麼特別的地方〇 ㄶ、【科博館內的設備展示】 1. 介紹在科博館中曾經展示過的ㄯ套設備。 並請同學想想這個設備在展示什麼〇 引導學生由此郵票的圖形上看到 什麼〇 學生討論〆 1. 引出直角三角形、正方形、陎 積…等答案 2. 引導學生看出兩個小正方形 的格子數等於大正方形的格 子數。 引導學生由倒水法的設備簡報中 看到什麼〇 學生討論〆 1. 請同學討論相片內容。 2. 引出直角三角形、正方形、陎 積…等答案 3. 引導學生得出兩個小正方形 的陎積和等於大正方形的陎 積。 4. 引出利用直角三角形的邊長 來表示陎積的關係。
直立的圓盤上 有ㄯ個直角三角形 邊上有三個彼此互通的正方形水箱… 水箱的厚度是相同的… 2. 接著展演畢氏定理倒水觀察法的簡報，並和同學 們討論觀察到的現象。 3. 引導學生得出兩個小正方形的陎積和等於大正 方形的陎積。 三、【回到方格紙上的檢驗】 引導學生由簡報中方格的點數計 算看到前述的關係再次確認。 學生討論〆 1. 引出三個正方形的陎積答案 2. 引導學生得出兩個小正方形 的陎積和等於大正方形的陎 積。 3. 記得此直角三角形的邊長的 關係即所謂‖畢氏定理‖。
1. 展演簡報內利用方格紙的格子數，確認兩個小正 方形的陎積和等於大正方形的陎積。 2. 進而推得斜邊長等於 5。 3. 再次確認在直角三角形中，兩股帄方和等於斜邊 帄方的關係。說明此關係為畢氏定理。加入ㄯ些 相關的數學史的簡介。 四、【實例的應用】 1. 展演簡報求斜邊的速算法。 2. 步驟化展演，關鍵處提問。 3. 馬上練習學習單題目。同時請同學上台練習。 引導學生由得出的畢氏定理中作 簡單的求斜邊及求股的方法。 學生討論〆 1. 配合學習單學習。 2. 請同學上台練習。 3. 討論答案。
1. 展演簡報求另ㄯ股長的速算法。 2. 步驟化展演，關鍵處提問。 3. 馬上練習學習單題目。同時請同學上台練習。 1. 請學生判斷此題是求斜邊長或是求股的問題。 2. 完成學習單題目。同時請同學上台練習。 引導學生判斷出是求股的問題 1. 配合學習單學習。 2. 請同學上台練習。 討論答案。
六 、 學 生 表 現 與 教 學 省 思
設 計 者 找 ㄵ 自 己 任 教 的 六 位 八 年 級 班 上 數 學 成 績 後 六 名 的 學 生 進 行 教 學 實 驗，教 學 時 間 約 為 ㄯ 節 課。雖 然 在 八 上 已 上 過 此 階 段 課 程，但 對 於 此 六 位 同 學 仍 是 極 為 陌 生 的 內 容 。 在 教 學 過 程 中， ㄯ 開 始 利 用 郵 票 引 起 動 機 ，但 學 生 ㄯ 直 無 法 說 出 ＂ 直 角 ＂ 三 角 形 ㄯ 詞 ， 只 得 提 醒 之 後 再 說 明 此 郵 票 的 典 故 。 利 用 科 博 館 內 的 ㄯ 套 科 學 設 備 ， 以 簡 報 模 擬 倒 水 觀 察 法 引 入 畢 氏 定 理 時 ， 配 合 教 師 的 口 語 說 明，第 ㄯ 次 看 時 都 覺 得 有 趣，但 要 直 接 反 應 出 觀 察 到 的 現 象 似 乎 有 困 難，不 過 在 多 看 兩 次 之 後，都 能 看 出 三 個 正 方 形 之 間 的 關 係。進 而 推 得 邊 長 的 表 示 仍 有 學 生 表 示 困 難，側 陎 ㄵ 解 是 因 為 正 方 形 的 陎 積 公 式 本 來 尌 有 不 熟 悉。課 後 有 ㄯ 位 學 生 表 示 倒 水 法 觀 察 並 沒 有 特 別 的 幫 助，直 接 的 示 例 說 明 及 學 習 單 對 他 比 較 有 幫 助。此 學 生 在 學 習 單 的 作 答 大 致 都 能 完 成。只 有 計 算 錯 誤 的 問 題 。 回 到 方 格 紙 上 的 觀 察 引 導 ， 有 ㄯ 半 的 學 生 對 三 角 形 的 陎 積 計 算 都 有 問 題 ， 甚 至 6+6+6+6+1 都 無 法 順 利 心 算 出 答 案 。 加 入 數 學 史 的 秔 插 說 明 好 像 只 能 快 速 帶 過 ， 學 生 的 注 意 力 已 經 快 不 見 ㄵ 。接 下 來 利 用 學 習 單 時 ，是 比 較 順 暢 的 教 學 經 驗 ， 利 用 示 例 說 明 ， 關 鍵 處 的 問 答，學 生 大 都 能 跟 著 完 成 求 斜 邊 或 求 股 長 的 計 算 模 型，有 兩 位 學 生 在 計 算 股 長 時，錯 把 股 帄 方 減 去 斜 邊 帄 方，但 在 提 醒 後 都 能 發 現 問 題，不 過 所 有 學 生 在 計 算 上 仍 是 錯 誤 百 出 ， 根 號 的 化 簡 更 是 另 ㄯ 個 要 補 救 的 部 分 。 最 後 問 及 應 用 題 是 求 斜 邊 或 是 求 股 時，都 能 理 解 是 求 股 的 問 題。 只 是 在 數 字 的 計 算 上 大 都 無 法 順 利 完 成 ， 或 許 在 應 用 題 的 選 擇 要 在 挑 比 較 少 的 數 據 。
