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數學科建構反應題診斷系統的建置-以七年級「指數律與科學記號」單元為例

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(1)

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授:施淑娟 博士

數學科建構反應題診斷系統的建置

-以七年級「指數律與科學記號」單

元為例

研究生:吳宜玲 撰

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謝 辭

「得之於人者太多,出之於己者太少。因為需要感謝的人太多了,就感謝 天罷。」--陳之藩(1961)。 一路走來,對於許多鼓勵與協助我的人只有滿滿的感激。 首先感謝指導教授施淑娟博士的專業指導,苦口婆心的諄諄教誨,不厭其 煩的釋難解疑,只有寬容與鼓勵,我會永遠謹記所有的點點滴滴。感謝孫扶志 教授與吳慧珉教授的指導,您們的建議著實讓我受用無窮。 感謝彥鈞學長、俊華學長、宗恩在相關系統的研發與建置,智為學長、育 隆學長、敏嫻學姐在撰寫論文上的協助,俊彥學長在施測後的資料協助分析與 整合,感激不盡。 感謝協助施測的學校、老師與同學們,謝謝你們的熱心幫忙與用心配合。 感謝金谷、佩苓、書薇、姵綺學妹,沒有你們的幫忙,我的學習過程不會 如此順利。 感謝我的父母與公婆,如果沒有您們的默默支持,我無法如此充實自己的 人生、成就自己的理想。 感謝所有的弟妹們,在歡樂的過年假期裡,合力批改堆積如山的預試試卷。 感謝我的好朋友:雅惠、侑儒和依欣,有妳們的陪伴,讓我不孤獨。感謝中信, 謝謝你幫我借了好多文獻。 感謝外子,你的支持與鼓勵是我很大的支柱。 感謝我的身體,飽受工作、學業、家庭三重壓力下,依舊如此的堅強! 最後,謹以此篇論文獻給我的寶貝兒子─Ethan,謝謝你的貼心,讓我可以 如期完成,你是我努力的動力與目標。 再次感謝所有協助我的人,謝謝大家! 謹誌 中華民國一百零一年六月

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中文摘要

建構反應題可以收集詳盡的學生作答反應,記錄學生解題時的所有過程, 可以藉此優點分析學生的錯誤類型。在數學科「指數律與科學記號」單元,是 學生初接觸新的記數方法與運算法,導致學生在學習新的概念時容易產生錯誤 類型。若以「選擇題」的方式出題,無法避免學生以「猜測」方式作答,教師 難以從中了解學生的能力。本研究以建構反應題的題型,建置出可自動計分之 七年級「指數律與科學記號」單元建構反應題線上診斷系統,透過學生實際操 作作答,記錄學生的解題歷程,分析學生的錯誤類型。 本研究所得之結論如下: 一、 本研究之「指數律與科學記號」建構反應題診斷測驗系統,能記錄受試 者的解題歷程,分析受試者的錯誤類型,可以自動計分。 二、 從選擇題題型與包含部分建構反應題的多點計分題型之測驗信度比較發 現,加入建構反應題題型的測驗信度優於全部選擇題型的測驗信度(0.890 < 0.894)。因此,在相同測驗長度的情況下,如能加入部分建構反應題題 型,可以提高測驗之信度。 三、 學生在「指數律與科學記號」單元之建構反應題診斷測驗之錯誤類型比 選擇題題型更詳盡與多元化。 四、 本研究所研發可自動計分之建構反應題模型在錯誤類型的偵測率達 100%,成效良好。結合選擇題和建構反應題作答反應之貝氏網路在子技 能與錯誤類型之辨識率皆優於傳統的貝氏網路。 關鍵詞:建構反應題、錯誤類型、指數律、科學記號

(4)

Developing an online diagnostic test system with multiple-choice

items and constructed-response items in Mathematics--taking

the "exponential laws and scientific notations" unit in grade

seven as an example

Abstract

The constructed-response items can collect the students' problem solving, including all actions while problem solving, so it is suitable to analyze the error types. In the " exponential laws and scientific notations " unit of math subject, students have many misconceptions. If the questions are "multiple-choice types", students can solve by guessing, teachers can not know what error types the students have. This research is base on constructed-response items to build a " exponential laws and scientific notations " diagnostic test system. With practicing, record the problem solving processes to analyze the students' error types.

The study result gives:

a. The diagnostic test system of this research can record the problem solving processes, analyze the students' error types, and score automatically.

b. The reliability of added constructed-response items is better than the multiple-choice types (0.890 < 0.894). Therefore, in the case of the same test length, if the questions can be added a part of constructed-response items, the reliability will be higher.

c. We can obtain more students' answering responses from the

constructed-response items than the multiple choice questions.

(5)

thesis can identify the error type attaining to 100% accuracy, and the performance is excellent. On the identification of sub-skills, and error types, rhe Bayesian network which is combined the multiple choice questions with the solving responses of the constructed-response items is better than the traditional one.

Key words: constructed-response items, error type, exponential laws, scientific notations

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目錄

表目錄………..…….V 圖目錄………....VII 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 名詞釋義 ... 4 第四節 研究範圍與限制 ... 8 第二章 文獻探討 ... 9 第一節 建構反應題與國際評量之建構反應題題型 ... 9 第二節 電腦化診斷測驗系統 ... 21 第三節「指數律與科學記號」教材探討與錯誤類型分析 ... 32 第三章 研究方法 ... 41 第一節 研究設計 ... 41 第二節 研究流程 ... 42 第三節 研究對象 ... 44 第四節 研究工具 ... 45 第五節 電腦化測驗系統之介面 ... 53 第六節 建構反應題之解題策略分析 ... 68 第七節 建構題與貝氏網路結合之認知診斷模式設計 ... 75 第八節 評估方法與指標 ... 80 第四章 研究結果 ... 84 第一節 建構反應題計分模式 ... 84 第二節 建構反應題型之成效評估 ... 92 第三節 貝氏網路之成效評估 ... 101 第五章 結論與建議 ... 104 第一節 結論 ... 104 第二節 建議 ... 105 參考文獻 ... 106 中文部分 ... 106 英文部分 ... 113 附錄一 ... 116 附錄二 ... 119 附錄三 ... 121 附錄四 ... 130 附錄五 ... 131

(7)

表目錄

表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究 ... 11 表 2-1-2 PISA 2012 數學素養評量在各歷程所佔的百分比 ... 17 表 2-1-3 PISA 的建構反應題型計分範例,以 2009 年學生能力國際評量計劃中文網站 數學科樣本試題為例 ... 18 表 2-1-4 TIMMS 的建構反應題型計分範例,以 2009 年數學科四年級樣本試題為例 ... 20 表 2-3-1「指數律與科學記號」之分年細目與對照能力指標 ... 32 表 2-3-2「指數律與科學記號」的子技能 ... 33 表 2-3-3「指數律與科學記號」的教材研究及錯誤類型相關文獻資料 ... 35 表 2-3-4「指數律與科學記號」的錯誤類型 ... 38 表 3-4-1「指數律與科學記號」的子技能與錯誤類型對應表 ... 46 表 3-4-2「指數律與科學記號」單元之試題範例 ... 48 表 3-4-3 預試試卷之評量架構表 ... 49 表 3-4-4「指數律與科學記號」單元預試試題參數、答題情形及信度表 ... 50

表 3-4-5 Ebel & Frisbie(1991)之試題難度等級表 ... 51

表 3-4-6 Ebel(1979)之鑑別度評鑑標準表 ... 52 表 3-5-1 資料庫所記錄之學生作答 ... 59 表 3-5-2 建構題第 21 題資料庫所記錄之學生解題歷程範例 ... 67 表 3-5-3 建構題第 22 題資料庫所記錄之學生解題歷程範例 ... 67 表 3-5-4 建構題第 23 題資料庫所記錄之學生解題歷程範例 ... 67 表 3-8-1 選擇題第 16 題各選項的錯誤類型 ... 80 表 3-8-2 選擇題第 18 題各選項的錯誤類型 ... 80 表 3-8-3 選擇題第 17 題各選項的錯誤類型 ... 81 表 3-8-4 選擇題第 14 題各選項的錯誤類型 ... 82 表 4-1-1「指數律與科學記號」單元建構反應題第 21 題編碼範例 ... 85 表 4-1-2「指數律與科學記號」單元建構反應題第 22 題編碼範例 ... 87

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表 4-1-3「指數律與科學記號」單元建構反應題第 23 題編碼範例 ... 89 表 4-1-4「指數律與科學記號」單元正式測驗選擇題與建構試題信度分析比較表 ... 91 表 4-1-5「指數律與科學記號」單元正式測驗選擇題與建構試題鑑別度、難度分析比較 表 ... 91 表 4-2-1 學生於建構反應題所增加之錯誤類型 ... 92 表 4-2-2 第 21 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 93 表 4-2-3 第 21 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 95 表 4-2-4 第 22 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 96 表 4-2-5 第 22 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 97 表 4-2-6 第 23 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 99 表 4-2-7 第 23 題全體學生錯誤類型數量統計表 ... 100 表 4-3-1 四種貝氏網路之子技能辨識率比較表 ... 101 表 4-3-2 四種貝氏網路之錯誤類型辨識率比較表 ... 102 表 4-3-3 四種貝氏網路之平均辨識率比較表 ... 103

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圖目錄

圖 2-1-1 NAEP 的建構反應題型範例,以 2011 年 8 年級的測驗試題為例:Josh 家到外 婆家距離與時間的關係圖。 ... 15 圖 2-1-2 PISA 的建構反應題型範例,以 2009 年學生能力國際評量計劃中文網站數學 科樣本試題為例:一個男生步行的腳印 ... 18 圖 2-1-3 TIMMS 的建構反應題型範例,以 2007 年數學科四年級樣本試題為例:圖形 A 與圖形 B ... 19 圖 2-2-1 BNAT 電腦化適性測驗與學習系統登入介面 ... 29 圖 2-2-2 KSAT 電腦適性測驗診斷系統登入介面 ... 30 圖 2-2-3 國民小學及國民中學補救教學學生評量系統登入介面 ... 31 圖 3-2-1 研究流程圖 ... 43 圖 3-4-1 「指數律與科學記號」單元的專家知識結構圖 ... 47 圖 3-5-1 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 21 題之選擇題形式介面 ... 54 圖 3-5-2 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 22 題之選擇題形式介面 ... 54 圖 3-5-3 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 23 題之選擇題形式介面 ... 55 圖 3-5-4 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 21 題之選擇題形式介面作答範例 56 圖 3-5-5 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 22 題之選擇題形式介面作答範例 57 圖 3-5-6 「指數律與科學記號」單元建構反應題第 23 題之選擇題形式介面作答範例 57 圖 3-5-7 「指數律與科學記號」單元之施測範例 1 ... 58 圖 3-5-8 「指數律與科學記號」單元之施測範例 2 ... 58 圖 3-5-9 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 21 題介面 ... 60 圖 3-5-10「指數律與科學記號」單元建構題試題第 22 題介面 ... 61 圖 3-5-11「指數律與科學記號」單元建構題試題第 23 題介面 ... 61 圖 3-5-12「指數律與科學記號」單元建構題試題第 21 題題目區 ... 62 圖 3-5-13「指數律與科學記號」單元建構題試題第 22 題題目區 ... 62 圖 3-5-14「指數律與科學記號」單元建構題試題第 23 題題目區 ... 62 圖 3-5-15 建構題工具區 ... 63 圖 3-5-16 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 21 題、第 22 題之作答區 ... 64 圖 3-5-17 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 23 題之作答區 ... 65 圖 3-5-18 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 21 題之作答範例 ... 65 圖 3-5-19 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 22 題之作答範例 ... 66 圖 3-5-20 「指數律與科學記號」單元建構題試題第 23 題之作答範例 ... 66 圖 3-6-1 第 21 題解題策略分析流程圖 ... 70 圖 3-6-2 第 22 題解題策略分析流程圖 ... 72 圖 3-6-3 第 23 題解題策略分析流程圖 ... 74 圖 3-7-1 「指數律與科學記號」的貝氏網路圖模式一 ... 76

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圖 3-7-2 「指數律與科學記號」的貝氏網路圖模式二 ... 77

圖 3-7-3 「指數律與科學記號」的貝氏網路圖模式三 ... 78

圖 3-7-4 「指數律與科學記號」的貝氏網路圖模式四 ... 79

圖 3-8-1 5-fold cross validation 的評估方法圖 ... 83

圖 4-1-1 第 21 題解題策略計分流程圖 ... 86 圖 4-1-2 第 22 題解題策略計分流程圖 ... 88 圖 4-1-3 第 23 題解題策略計分流程圖 ... 90 圖 4-2-1 與建構題 21 題有相同概念之選擇題 ... 94 圖 4-2-2 與建構題 21 題有相同概念之選擇題解題範例 ... 94 圖 4-2-3 與建構題 22 題有相同概念之選擇題 ... 96 圖 4-2-4 與建構題 22 題有相同概念之選擇題解題範例 ... 97 圖 4-2-5 與建構題 23 題有相同概念之選擇題 ... 99 圖 4-2-6 與建構題 23 題有相同概念之選擇題解題範例 ... 100

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第一章 緒論

本研究欲建置可自動計分之七年級「指數律與科學記號」單元建構反應題 線上診斷系統,進行測驗與結果分析,而後評估其與選擇題型試題診斷成效之 差異。所測驗之試題與內容,配合現行課程單元,採自行編製,題型分為選擇 題與建構反應題,均使用線上施測。依據測驗結果,針對學生在建構反應題之 解題歷程與答案,進行學習結果的診斷與分析,整理分類出學生的錯誤概念, 診斷學習盲點,以達教學成效評估之目標。 本論文共分五章,第一章為緒論,第二章為文獻探討,第三章為研究方法, 第四章為研究結果,第五章為結論與建議。本章則分為四節,第一節為研究動 機,第二節為研究目的,第三節為名詞釋義,第四節為研究範圍與限制。

第一節 研究動機

指數的概念在日常生活中的應用範圍相當廣泛,舉凡以科學記號表示數值、 化學元素的半衰期問題、生物學的細胞分裂問題、社會人口問題、單複利利息 計算、微積分的應用以及單複變數函數問題(謝哲仁、黃渼淳,2005;Charles,

Branch-Boyd, Illingworth, Mills, & Reeves, 2004),都需要應用指數的概念加以解

決。雖然科學記號可以應用在任何正數的運算,更重要的是科學記號可以用來 表示很大和很小的數(教育部,2010)。因此在國內外的數學課程中,指數的概 念與科學記號皆列為國、高中重要學習內容之ㄧ(教育部,2004;NCTM, 2000)。 然而,學生在國小以前的數學學習,只有乘法的概念並未有指數的概念,因此, 導致學生在國、高中階段,有為數不少的學生在指數的概念發展及運算上有學 習困難,甚至將指數及乘法的概念混為一談(黃渼淳,2001)。

(12)

數學概念的學習往往都是環環相扣,只要一個環節產生錯誤,便會影響下 一個環節,例如:田銘舜(2009)針對高職學生的對數概念錯誤類型之研究便 指出:學生對對數性質的理解困難,有很大的原因是因為指數律的不熟練,為避 免學生在學習指數過程中產生的錯誤概念造成其後續學習的阻礙,因此,有必 要在學生學習後,針對學生的學習情況進行學習診斷,如果能及早發現學生的 錯誤與困難,便可立即對症下藥進行補救教學,避免因為錯誤概念導致學習落 差的累積,教師的教學成效亦能有所提升。 過去的診斷通常都是採用紙筆測驗的方式進行,測驗結束後,伴隨著教師 閱卷的費時費力。若是可以以嶄新的電腦化測驗方式取代舊有的紙筆測驗,不 但可以節省教師人工閱卷的時間,也可以讓教師在學生評量後立即得到作答反 應的回饋,不僅可以呈現新的教學風貌,真實影響學生的學習,讓學生在學習 上更有效率,提升學習成效。以美國明尼蘇達州的教學改革方案為例:其試圖 以「反向學習」(flipped learning)搭配 Moodle 學習管理系統,把學生的測驗作答 完整記錄,讓教師能了解學生的學習狀況,評估教學指導進行的方向(李岳霞,

2012)。

依據International Experiences with Technology in Education (IETE) (2011)的研 究指出,大多數的國家持續以科技輔助教學,冀望藉此提升學生的學習成就,儼 然已成為目前的教育趨勢。影響所及,在評量的部分,科技的應用已成為一種潮 流,為了可以使學生的診斷評量更有效率,更易於實施。近年來,國內外已經有 大量的研究,致力於開發電腦化診斷學習系統,可以在學生診斷評量後,快速的 自動計分與診斷,節省人工閱卷的時間與精力。例如:以知識結構為基礎的電腦化 適性診斷測驗系統(Knowledge Structure based Adaptive Test,KSAT)(郭伯臣,2003,

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Adaptive Test, BNAT)(郭伯臣、曾彥鈞,2007),這些系統皆可依據測驗結果, 立即呈現學生的學習成效,把需要補救教學的學生,分類到適當的補救教學模組。 然而這些電腦診斷測驗多半是以選擇題題型為主,其最大的缺點便是無法降低學 生猜測因素,造成學生的作答反應,有較大的測量誤差,導致診斷結果不精準。 Berlak(1992)認為測驗除了選擇題以外,應包含建構反應題等開放性試題。 以選擇題的方式測驗,無法避免學生機率性地「挑中」正確答案,測驗的結果 就未必是學生真正的學習成果。而建構反應題能夠真實記錄學生的作答反應, 確保學生答題狀況並非僥倖地猜選(鄭俊彥、黃玉臺、謝俊逸、劉湘川、郭伯 臣、劉育隆,2010)。因此,最近開始有學者引入以電腦化建構反應題題型來進 行數學能力的診斷,不過目前的研究大多聚焦於小學的數學科與中小學自然科 (吳任婕,2008;黃文信,2009;張永鑫,2009;陳宗楹,2009;莊峰魁,2009; 巫俊杰,2009;李彥慧,2010;鄭涵,2010),較少研究針對國中數學(簡啟全, 2010)領域進行電腦化建構反應題之設計。 有鑑於此,本研究將電腦化建構反應題之診斷測驗設計延伸至國中七年級 「指數律與科學記號」單元,選擇此單元除了基於指數概念的重要性,亦因指 數概念是國中新教材,面臨新的符號思考且以往國小並沒有相關的課程,學生 經常發生學習上的困難,且目前電腦化建構反應題較缺乏可輸入指數算式的模 組。因此,本研究將以此單元為例,開發包含選擇題題型與建構反應題題型之 線上診斷系統,並應用此系統進行施測,以評估包含建構反應題型對錯誤類型 診斷之影響,並評估建構反應題型之評量資料如何與貝氏網路(鄭涵,2010; 施淑娟,2006;許雅菱,2005;謝典佑,2006;Russell, Almond, Robert, & Mislevy, 1999)結合以達到較佳的認知診斷效果。

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第二節 研究目的

基於上述之研究動機,本研究將以「指數律與科學記號」單元為例,開發 包含選擇題型與建構反應題型的診斷測驗系統,並與貝氏網路結合,進行學生 的錯誤類型與子技能有無之分析,欲探討的目的分為以下三個部分: 壹、 開發國中七年級「指數律與科學記號」單元之建構反應題型與計分模式。 貳、 探討建構反應題型自動診斷結果與專家診斷結果之一致性。 參、 比較傳統選擇題題型及建構反應題題型之錯誤類型差異。 肆、 建置以貝氏網路為基礎之建構反應題型診斷測驗系統,並加以評估成 效。

第三節 名詞釋義

壹、建構反應題(constructed-response items)

建構反應題(constructed-response items)的形式為非選擇題,可以用來評量學 生釋義、整合、應用、分析、評估與表達科學資訊之能力(National Assessment Governing Board, 2004)。學生可以依據題目,自由呈現想法、表達陳述與解釋 作答的測驗題型,用以評量學生解釋前後因果關係、描述以及應用原理、剖析 論證、假設關係、組織與整合資訊、表達自我想法…等能力(Linn & Gronlund, 2000)。在本研究中,建構反應題所指的是非選擇題的題型。

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貳、錯誤類型

在數學計算式中所產生錯誤的答案步驟,依據犯錯的關鍵處,所區分的類 型,稱為錯誤類型(Kathleen,1987)。在本研究所討論之錯誤類型,是指學生在進 行數學科解題時,使用與專家或教師不同的知識概念,所導致的錯誤解題行為。 所有錯誤類型的制定,係由專家學者依據國中七年級「指數律與科學記號」單 元教材與相關文獻探討,進行分類。

叁、指數律(exponential laws)

乘方的運算規則,又稱為指數律。底數相同的乘方相乘,若 a 為不為 0 的 整數,則𝑎𝑛⋅ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+𝑛,其中 m、n 為整數,即為指數律的第一個基本性質; 乘方的乘方,(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛𝑚,即為指數律的第二個基本性質;兩數相乘的乘方, 若 b 為不為 0 的整數(𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚⋅ 𝑏𝑚,即為指數律的第三個基本性質(李建宗、 洪萬生,2010);底數相同的乘方相除,則𝑎𝑚÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛,即為指數律的第四 個基本性質。

肆、科學記號(scientific notations)

利用 10 的整數次方特點,簡記非常大或非常小的數。將任何一個非零的數 寫成𝑎 × 10𝑛的唯一形式,其中1 ≤ 𝑎 < 10,且 n 為整數,稱為科學記號,規定 0 的科學記號就是 0(單維彰,2010)。

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伍、貝氏網路(Bayesian network)

貝氏網路(Bayesian network)是結合機率與圖形理論,為描述不確定之事物 加以推論的工具(Pearl, 1988),又稱信任網路(belief network)或是有向非循環圖 形模型(directed acyclic graphical model),以貝式定理為基礎。用以表示機率的 相關性,常用於決策、診斷、預測、自動監控、製程控制與資訊取 得…等 (Heckerman, Mamdani, & Wellman, 1995)。

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陸、計分方式

一、二元計分 針對作答反應區,將答案分成「對」和「錯」兩種計分方式,稱為二元計 分(余民寧,2009),此計分方式應用於本研究之選擇題型。 二、多元計分 多元計分係指評分時,具有超過兩種以上的計分類別。又可分為次序型的 多元計分與名義型的多元計分;次序型的多元計分是指反應類別在測量本質上 具有次序性(De Ayala, 2009) ,例如:李克特氏(Likert-typed)點量表,或是申論

題的計分可以分成「字彙」、「文法」、「文章結構」、「創意」等層面,分別給予

不同的得分(余民寧,2009)。名義型的多元計分,則適用於反應類別不具有次

序性的量表,例如:你喜歡下列哪一種顏色?選項有紅色、藍色、綠色,在顏 色的選擇上並沒有次序型態。本研究之建構反應題應用次序型的多元計分方 式。

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第四節 研究範圍與限制

壹、研究範圍

因時間、資源及人力的限制,本研究所探討的僅以「指數律與科學記號」 單元內容為主。

貳、研究限制

一、測驗範圍的限制 測驗試題的編製、子技能與錯誤類型的整理與歸納,僅以「指數律與科學 記號」單元內容為主,電腦測驗設計系統也以該範圍為限。 二、研究取樣的限制 樣本採部分地區之國中七年級學生,且學校有附設電腦教室,與該年級也 有電腦課程之國中,可能會受到取樣限制的影響,而造成結果推論上的限制。 三、研究工具之限制 (一)硬體設備之限制 本測驗需使用電腦教室,進行線上測驗時,與伺服器之網路連線均需正常, 電腦設備也必須齊全,方可進行測驗。 (二)軟體設備之限制 本系統所開發之建構反應題為限制式的建構反應題,在系統建置上已限制 輸入模式,避免學生因猜測而作答,其效果無法推論至擴展式的建構反應題。

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第二章 文獻探討

本研究欲建置可自動計分之建構反應題線上診斷系統,單元科別設置為國 中七年級數學科「指數律與科學記號」,針對學生的測驗結果,探究學生的作答 反應,分析評估系統的診斷成效與選擇題型診斷之差異。 本章針對研究主題與相關文獻加以闡述,第一節為建構反應題與國際評量 之建構反應題題型,第二節為電腦化診斷測驗系統,第三節為「指數律與科學 記號」教材探討與錯誤類型分析。

第一節 建構反應題與國際評量之建構反應題題型

壹、建構反應題

建構反應題(constructed-response items),形式為非選擇題題型,需要學生寫 出自己的作答內容(Popham, 2000, p.226)。可以用來評量學生解釋、統整、應用、 分析、評估與表達科學資訊之能力。(National Assessment Governing Board, 2004)。 建構反應題能讓學生展現獨立思考、自我批判、組織整合與系統評鑑之能力(教

育部,2004),是學生可以依據題目,自由呈現想法、表達陳述與解釋作答的測

驗題型,用以評量學生解釋前後因果關係、描述以及應用原理、剖析論證、假 設關係、組織與整合資訊、表達自我想法…等能力(Linn & Gronlund, 2000)。舉 例來說,在數學科領域利用建構反應題,可以從學生的解題過程、利用文字解 釋數學定理、或是以圖解方式解答數學來評量學生的數學能力(Livingston, 2009)。

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建構反應題可分為簡答題(short answer item)、填充題(completion item)與論 文題(essay item)。簡答題能測量特定事實的記憶,填充題要求學生在已知的條 件下,填入明確的答案;論文題則為開放式試題,可以讓學生自由呈現答案, 可以測量組織、綜合、評鑑及解決問題的能力。然而論文題又可分為限制反應 題(restricted-response question)和擴展反應題(extended-response question),限制反 應題會對於學生的作答形式有所限制,擴展反應題則給予學生更開放的答題空 間,常見的擴展反應題即為申論題(郭生玉,2007;盧雪梅,2009)。本研究採 用之建構反應題題型為限制反應題,避免猜測因素影響施測結果,以及答題範 圍過大而難以客觀評分,並期望藉著利用電腦自動化判別系統,改善以往限制 反應題在人工閱卷上的費時費力與評分不易客觀之缺失(鄭涵,2010)。

貳、建構反應試題在教育測驗上的應用

由上述文獻可知,建構反應題具有選擇題所無法達到的測量功能,因此在 傳統的紙筆測驗中,通常會設法加入建構反應題,以補足只有選擇題型的不足。 然而,若建構題題型採紙筆測驗,測驗結果也採用人工閱卷方式評分,計分及診 斷分析將非常費時費力,因此,有部分學者嘗試將建構反應試題開發成電腦化建 構反應題型,採電腦作業方式作答,但是只是純粹將試題電腦化,評量後的試題 作答分析仍仰賴人工閱卷,而人工閱卷的評分較不具客觀因素(鄭涵,2010)。 為改進此缺失,電腦化建構反應題型具備自動計分及自動診斷的功能是一必要的 發展方向。研究者整理國內學者所進行將建構反應題應用於教育測驗的相關研究 (如表2-1-1),亦發現此研究趨勢。故本研究欲建置可自動計分之建構反應題線 上診斷系統,並將建構題之分析結果加入貝氏網路,藉以提高學生錯誤類型與子 技能有無之辨識率。

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表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究 研究者 論文名稱 研究內容摘要 吳任婕 (2008)  以建構反應題題型為基 礎之數學科診斷測驗系 統建置 依據張玲婉(2008)研究之試題, 挑選適合的試題,建立數學單元「分 數的乘法」自動化分析模型及建置 診斷系統,分析建構反應題之錯誤 類型,藉由電腦診斷減輕教師閱卷 負擔,學生也可獲得立即的學習回 饋,幫助教師掌握學生的迷思概念。 賴淑錦 (2008)  資訊科技融入數學多元 評量設計─以五年級容 量單元為例 以國小五年級「容量」單元進行多 元評量設計。探討多元評量的設計 理念,藉由多元評量活動與問卷調 查,觀察學生表現。 黃文信 (2009)  自然科「簡單電路」單 元之建構反應題及診斷 測驗系統 由於選擇題題型的電腦化測驗無法 收集到學生的作答歷程,因此由建 構反應題收集學生的作答反應,分 析學生的錯誤類型。 張永鑫 (2009)  數學科建構反應題診斷 系統的建置-以五年級 「平行四邊形和三角形 的面積」單元為例 結合建構反應試題與電腦化診斷測 驗的優點,開發建構反應題題型及 計分模式並建置以建構反應題題型 為基礎之診斷系統。

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表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 陳宗楹 (2009)  電腦化建構反應題型與 自動計分模式之研發— 以「長方體和正方體」 單元為例 以國小「長方體和正方體」單元, 設計電腦化建構反應題之診斷測驗 系統。讓學生動手操作的建構反應 試題,記錄學生的答題結果與作答 歷程,透過分析學生的作答歷程, 了解學生的錯誤類型。 莊峰魁 (2009)  「光」單元之選擇題與 建構反應試題之線上測 驗研發 設計理化科之電腦化建構反應題, 詳細紀錄學生的解題歷程,並根據 解題過程之規則,對學生的錯誤類 型進行自動化診斷與分類,並自動 計分,使學生測驗完畢,可以即時 獲得回饋。 巫俊杰 (2009)  「聲音」單元之電腦化 建構反應試題與診斷模 式開發 以國中自然科「聲音」單元,結合 貝氏網路、OT順序理論為基礎的 教學內容,透過電腦呈現建構適性 題庫,經由一連串的設計實驗過 程,教師可以分析學生的迷思概 念,針對缺點進行補強的工作。研 究結果顯示,使用建構反應試題得 以有效評估學生之技能。

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表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 林孟君 (2009)  國小「圓面積」單元電 腦化診斷測驗研發 診斷學生學習困難處,再進行補救 教學,結合貝氏網路研發兼具選擇 題與建構反應試題之電腦化診斷測 驗,利用電腦紀錄學生 的解題歷 程,由系統自動化計分與分析,得 到學生更多元的錯誤類型及解題策 略,改善教師閱卷上的負擔。 郭俊賢 (2009)  證據為中心的電腦化診 斷測驗系統 以數學單元「對稱圖形」為研究主 題,依課程網要挑選適合的試題設 計成建構題。診斷系統詳細的記錄 學生之作答過程,藉由電腦診斷學 生的錯誤類型,減輕教師閱卷負 擔,學生也可獲得立即的學習回饋。 鄭涵 (2010)  具選擇題與建構反應題 之電腦化測驗診斷模式 探討—以國小「容量」 單元為例 結合貝氏網路研發出一套兼具選擇 題與建構反應題之電腦化診斷測 驗,利用電腦記錄學生的解題歷程 藉由系統自動化計分與分析學生作 答之反應,得到學生的錯誤類型及 解題策略,以協助老師閱卷與補救 教學的實施。

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表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 梁志強 (2010)  人工智慧方法於線上診 斷測驗之應用~以國小 五年級「表面積」為例 研發電腦線上診斷測驗教材,使用 於實際教學的實驗。研究範圍為國 小五年級數學科領域「表面積」單 元,並編製知識結構圖、貝氏網路 圖來進行設計電腦適性測驗的數位 教材,編製型式以選擇題及建構反 應題為主。選定實驗對象後進行教 學,教學完後一週給予實驗對象進 行電腦線上診斷系統測驗,以測量 教學及測驗之效果。 簡啟全 (2011)  國中數學科「相似形」 單元電腦化測驗與診斷 模式研發 本研究單元「相似形」之電腦化建 構反應題可以診斷出學生的多種錯 誤類型,有助於學生知道自己的錯 誤概念,也可幫助教師掌握學生的 錯誤類型,進行集體補救教學。

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叁、國際評量之建構反應題題型

一、國家教育進展評量(The National Assessment of Educational Progress, NAEP)

(一)簡介

國家教育進展評量(NAEP)定期評量美國四、八、十二年級學生在數學、閱 讀、科學、寫作、藝術、公民、經濟、地理與美國歷史的學習成就。每十年都 會重新檢視與更新主要的評量內容(Lee, Grigg, & Dion, 2007)。

(二)NAEP 的建構反應試題題型範例 以 2011 年 8 年級的測驗試題為例,其題目及計分方式說明如下: 1.題目 Josh 家到外婆家距離與時間的關係圖,如圖 2-1-1。 圖 2-1-1 NAEP 的建構反應題型範例,以 2011 年 8 年級的測驗試題為例:Josh 家到外婆家距離與時間的關係圖。 (1)求出 Josh 家到外婆家的距離。

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(2)從 Josh 家到外婆家要花多少時間? (3)Josh 的平均速度為何?請說明你的答案。 (4)請說明為什麼圖形會與 x 軸有交點? 2.解答(Key/Scoring Guide): (1)正確的寫出 160 公尺(160 miles.)。 (2)正確的寫出 4 小時(4 hours.)。

(3)平均速度為 40 公尺/小時(40 miles per hour. )。

(4)Josh 已經到外婆家了,所以與外婆家的距離為 0。

3.得分與說明(Score & Description):

(1)正確的回答(extended):四小題完全答對。

(2)令人滿意的答案(satisfactory):四小題中,答對了其中三小題。

(3)部分答對(Partial):四小題中,答對了其中兩小題。

(4)答對最小部分(Minimal):四小題中,答對了其中一小題。

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二、國際學生能力評量計畫(the Programme for International Student Assessment, PISA)

(一)簡介

國際學生能力評量計劃(the Programme for International Student Assessment, PISA),為經濟合作暨發展組織 (Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD)自 1997 年起籌劃跨國評量計劃,重點在評估十五歲學生的 知識技能包括;溝通、適應性、學習策略、彈性、時間管理、自我信念、問題 解決、資訊技巧等,除了紙筆測驗外亦有開發線上評量系統,2012 年的測驗內 容是以數學為主科,表 2-1-2 為 PISA 2012 數學素養評量在各歷程所佔的百分比, 閱讀和科學為輔,另加測線上問題解決能力 (problem solving) (臺灣 PISA 國 家研究中心,2010 年 7 月)。 表 2-1-2 PISA 2012 數學素養評量在各歷程所佔的百分比 轉化 解題 建模 合計 40-50% 40-50% 10-20% 100% (二)PISA 的建構反應題型範例 以 2009 年學生能力國際評量計劃中文網站數學科樣本試題為例,其題目及 計分方式說明如下: 1.題目 圖 2-1-2 為一個男生步行的腳印。步長 P 表示兩個連續腳步腳跟之間的距離。 下列公式表示男生步行時 n 與 P 之間的大略關係: ,n:每分鐘的步數,p:步長(公尺)

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如果此公式適用於海翔的步行,若他每分鐘步行 70 步,則他的步長為何?請寫 出你的作法。 圖 2-1-2 PISA 的建構反應題型範例,以 2009 年學生能力國際評量計劃中文網 站數學科樣本試題為例:一個男生步行的腳印 2.計分說明。 上述例題之多元計分方式如表 2-1-3 所示。 表 2-1-3 PISA 的建構反應題型計分範例,以 2009 年學生能力國際評量計劃中文 網站數學科樣本試題為例 得分 滿分 部分分數 零分 代號 2 1 0 9 作答反應範例 70=140p 將數字正確地 代入公式,但 答案不正確。 其他答案 沒有作答

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三、國際數理趨勢研究(TIMSS) (一)簡介

國際數理趨勢研究(Trends for International Mathematics and Science Study, TIMSS) 由 國 際 教 育 學 習 成 就 調 查 委 員 會 (International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA)主辦,自 1995 年開始,每隔四年針 對四年級與八年級學生進行抽樣,評量數學與科學的學習成就。提供各國長期 追蹤學生數學與科學學習成就趨勢,以瞭解其在教育與課程改革等措施。 (二)、TIMSS 的建構反應題型範例 以 2007 年四年級的測驗試題為例,其題目及計分方式說明如下: 1.題目 圖 2-1-3 為兩個圖形,請各寫出一個相同處及一個相異處。 A B 圖 2-1-3 TIMMS 的建構反應題型範例,以 2007 年數學科四年級樣本試題為例: 圖形 A 與圖形 B 2.計分說明 上述例題之多元計分方式如表2-1-4所示。

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表 2-1-4 TIMMS 的建構反應題型計分範例,以 2009 年數學科四年級樣本試題 為例 相同處 正確的作答 代號10  都有三個角、都有三個邊、都是三角形。 不正確的作答 代號70  形狀相同。 沒有作答 代號99  空白。 相異處 正確的作答 代號10  一個是直角三角形,一個是等腰三角形。 不正確的作答 代號79  其它不正確回答(包括不完整、不合理或其他不相關內容…等)。 沒有作答 代號99  空白。

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第二節 電腦化診斷測驗系統

壹、電腦化測驗的優勢

以客觀性的試題,評量出受試者外在的表現行為與潛在特質,利用紙與筆進 行測驗,稱為紙筆測驗(paper-pencil test)(Cramer, 1993)。然而,紙筆測驗在教學 實務上為教師帶來人工閱卷上的負擔,藉由電腦化測驗可以快速自動計分,讓學 生得到立即的回饋,電腦化測驗將會成為未來的趨勢。由於可以透過標準的施測 模式,以電腦測驗降低測量誤差;而在計分方面,藉由電腦的計算功能,亦可以 適合不同型態的計分法,再藉由試題參數,擷取並產生試題區塊與型態一致的平 行測驗,比起傳統的紙筆測驗,更能迅速有效的評鑑測驗品質等方式,能比紙筆 測驗節省時間的效益(Johnson, 2006)。 當今因電腦設備與網際網路的傳播發達,電腦網路化測驗能擴展測驗的應用 性與加強教學評量的密切度,國際間重要的測驗也都走向網路化施測的方式(陳 淑渟,2007)。由於電腦本身除了具有強大的計算能力外,加上網路傳輸功能, 若再整合圖像、影音等多媒體功能,最後佐以傳統的測驗理論,勢必使電腦化測 驗成為未來測驗發展的新趨勢(方今雅、陳新豐、黃秀霜,2004)。 在眾多的電腦化測驗中,有一部分具備診斷學生在學習上所具有的錯誤概念, 此種測驗稱之為「電腦化診斷測驗」。王志嵩(2010)亦定義,所謂「電腦化診 斷測驗」是泛指利用電腦來協助測驗的編製、施測(單機或透過網際網路)、計 分、分析結果與評定受試者的學習狀況。電腦診斷測驗之含意不單單是僅限於線 上測驗,可以隨時更新資訊,以線上社群當成媒介,讓受試者有更多機會溝通討 論與學習支持;也可用來評量成長歷程與提供受試者自我監控;建置回饋系統, 提供測驗練習的機會(Bartram, 2006)。

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目前國內已有許多研究學者,針對電腦化診斷測驗系統進行開發(施雅文, 2010;黃瓊瑩,2010;張靜惠,2010;李惠娟,2009;葉俊谷,2006;江秉叡, 2005),其中最常被引用的以BNAT和KSAT為主,以下便針對電腦化診斷測驗系 統說明。

貳、電腦化診斷測驗系統

一、以貝氏網路為基礎之電腦化測驗(Bayesian Network Based Adaptive Test, BNAT) 隨著網際網路科技與電腦多媒體的興盛,現今的教學活動常使用電腦化測 驗取代傳統的紙筆測驗。近年來,以網際網路為基礎的教學方式也逐漸被受重 視,現行的教學現場也時常導入網際網路的學習,多元化的學習方式也使用電 腦多媒體來輔助原本的書本教材。 貝氏網路應用機率圖形的模式,用節點與有向連線的網路結構呈現及說明 變數之間的影響,了解各種事件發生之機率大小。貝氏證據推論根據此網路結 構的先驗機率分佈,結合所觀察到的證據資料,計算尚未觀察之變數的後驗機 率,再依後驗機率推論未觀察之變數狀態(游國昌,2007),且具有絕佳的預測 及診斷能力(鄭涵,2010)。

以貝氏網路為基礎之電腦測驗(Bayesian Network based Adaptive Test, BNAT) 系統(郭伯臣、曾彥鈞,2007),如圖 2-2-1,可以依照學生的作答反應,詳細 的診斷出學生有哪些學習概念需要加強,也能診斷出學生在學習過程中所擁有 的錯誤類型,導致形成學習的迷思概念,依此系統所診斷之結果,可以使得評 量、診斷與補救教學皆個別化與適性化,以期「因材施測」與「因材施教」之 目標(郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎,2005)。

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學生於測驗完畢後立即顯示學習診斷報告,給予最立即的回饋,除了測驗 的一些基本資訊以外,有提供百分等級給學生參考大概的落點,也有詳盡的概 念診斷列表,直接指出學生的錯誤類型與學習障礙,施以補救教學,且系統會 自動列出同單元的學習紀錄,提供給學生作為學習上的參考(楊智為、劉育隆、 楊晉民、曾彥鈞,2006)。 國內已有許多將貝氏網路應用於教育測驗上的研究,整理如表 2-2-1。綜觀 國內數學領域之電腦化診斷系統,大多是以選擇題或填充題形式呈現,往往只 能記錄學生答案,無法判斷學生是猜對或是同一錯誤選項之不同解題歷程。因 此,本研究所使用的建構反應題電腦化評量系統,可以詳細記錄學生之解題與 型式歷程,精準診斷學生之迷思概念,讓教師可以依學生診斷之結果,了解學 生的學習成效並加以補強,讓學生的學習更加完善。 表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用 研究者 論文名稱 研究內容摘要 高健智 (2007)  以貝氏網路為基礎之 學生分數概念診斷系 統 針對學童在數學分數概念學習,開發 出一套以貝氏網路為基礎的分數學 習診斷系統,以診斷出學童在分數學 習上的錯誤概念並提出補救學習路 徑。

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表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 邱靖惠 (2008)  應用貝氏網路進行國 中地理「台灣天氣與氣 候」單元之學習診斷測 驗編製及適性補救教 學設計 本研究以國中一年級地理「台灣天氣 與氣候」單元為例,探討貝氏網路的 機率推論功能,在國中社會領域地理 科是否能發揮預測及診斷學生錯誤 類型、子技能及單元目標的功能,並 以貝氏網路為基礎,配合順序理論發 展出一套適用於此單元的電腦適性 診斷測驗及電腦適性補救教學系 統,並探討此系統的診斷精準度及補 救教學成效。 蘇珍文 (2008)  以知識結構及貝氏網 路為基礎開發國小語 文領域「說明文」教材 與評量 本研究主要目的在驗證一套國小語 文領域「說明文」的數位個別指導教 材之教學效果,並以知識結構為基 礎,分析教材內容,再結合貝氏理論 與能力指標的概念,編製試題,建立 題庫以適用於電腦化診斷測驗評量 系統,作為實施測驗的工具來診斷學 生錯誤類型;並依據其錯誤概念即時 進行適性補救教學。

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表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 廖久緯 (2008)  以貝氏網路為基礎之 電腦適性測驗編制– 以國中七年級之「整數 的加減」為例 本研究採用證據中心的評量設計及 貝式網路為推論工具,建立能力指標 知識結構,並依此結構命題,進行紙 筆診斷測驗,測驗完成後,再依順序 理論建立電腦適性診斷測驗施測流 程,以進行測驗及評估節省題數之成 效。 戴榮輝 (2008)  以貝氏網路與知識結 構為基礎進行數位個 別指導模式教材之研 發及教學成效之探討 -以國小六年級圓周 長單元為例 本研究旨在以國小六年級圓周長單 元為例,研發可運用於個別指導及適 性補救教學之數學教材與教學媒,並 結合以貝氏網路為基礎的電腦化適 性診斷測驗,根據常見的ㄧ對ㄧ、ㄧ 對二個別指導方式,分別設計完整的 教學、評量以及補救教學活動,成為 一對ㄧ以及一對二的「數位個別指導 模式」。 白曉珊 (2008)  以知識結構及貝氏網 路為基礎之數學教材 及電腦適性測驗 本研究主要在建立一套以知識結構 和貝氏網路為基礎之數學教材與電 腦適性測驗,供教師進行數學教學與 補救教學使用,希冀達到「因材施測」 與「因材施教」之效果。

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表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 林建福 (2008)  以知識結構及貝氏網 路為基礎進行國小五 年級小數乘法單元課 程設計與評量建構之 研究─以彰化縣某國 小為例 本研究是以國小五年級「小數乘法」 單元為特定研究領域,根據教育部 (2003)編訂之九年一貫數學領域課 程綱要,結合知識結構理論及貝氏網 路來進行小數乘法單元課程設計與 評量研發。 楊淑菁 (2009)  以知識結構與貝氏網 路為基礎之數位教材 與評量研發-以六年級 柱體體積單元為例 本研究主要在建立一套以知識結構 與貝氏網路為基礎之數學教材與電 腦適性測驗,以提供教師進行教學及 補救教學使用。 陳威聖 (2009)  以貝氏網路為基礎進 行資訊科技融入國中 數學課程與評量之實 施研究---以一元一次 方程式元為例 本研究以國中數學領域七年級之「一 元一次方程式」單元為例,以貝氏網 路理論基礎建立電腦適性教材及電 腦適性診斷測驗試題,再進行教學及 補救教學成效評估。 林清煌 (2009)  以貝氏網路為基礎之 國中數學數位教材及 電腦適性測驗之研發 ─以最大公因數與最 小公倍數單元為例 本研究以國中七年級數學領域「因數 與倍數」、「最大公因數與最小公倍 數」單元為例,研發可運用於教學及 補救教學的數位指導教材,以及結合 貝氏網路的電腦適性診斷測驗,並進 行教學實驗,期能同時達到教學、診 斷評量、補救教學的功能。

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表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 張玲婉 (2009)  貝氏網路於數學多元 評量之應用 本研究應用貝氏網路設計國小六年 級數學「分數的乘法」單元之多元評 量活動,根據教學目標、子技能、錯 誤類型建立專家知識結構,融入 NEAP、PISA 的評量架構以及能力指 標建立評量活動完整的貝氏網路 圖,並發展電腦化測驗。 陳嘉慶 (2009)  以貝氏網路為基礎的 資訊融入數學教學對 不同學習風格學生教 學成效之探究─以分 數的乘法單元為例 本研究是以國小五年級「分數的乘 法」單元為例,以貝氏網路理論為基 礎來進行資訊融入單元教學設計與 評量研發。 廖盈絜 (2009)  以貝氏網路為基礎之 電腦化適性診斷測驗 結合電腦輔助教學對 國中輕度障礙學生數 學學習成效之研究 本研究旨在探討國中輕度障礙學生 接受以貝氏網路為基礎之電腦化適 性診斷測驗與電腦輔助教學後,對其 在數學學習的影響。 陳燕珠 (2010)  結合數學簡報軟體及 貝氏網路適性學習系 統之資訊融入擴分約 分通分教學設計與應 用 本研究是以國小五年級「擴分約分通 分」單元為例,結合數學簡報軟體及 貝氏網路適性學習系統,進行資訊融 入單元教學設計與評量研發。

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表 2-2-1 貝氏網路在教育上的應用(續) 研究者 論文名稱 研究內容摘要 林玉華 (2011)  應用二階段貝氏網路 適性學習系統進行補 救教學之成效分析- 以比、比值與成正比單 元為例 本研究是以國小六年級「比、比值與 成正比」單元為例,應用「二階段貝 氏網路診斷測驗暨適性學習系統」為 工具,進行適性化電腦自學、資訊融 入教學、傳統教學三種不同的補救教 學模式後,對學生學習成效的影響。 江啟明 (2011)  二階段試題之貝氏網 路與電腦化測驗研發 本研究以國小五年級數學能力指標 5-n-13「能解決時間的乘除計算問 題」為例,建立「二階段試題貝氏網 路診斷模型」。將學童的作答反應輸 入診斷模型中,依提供的證據分為三 種不同的模式,並比較不同模式之診 斷成效。 黃珮瑜 (2011)  貝氏網路適性診斷測 驗暨學習系統融入國 中英語時態教學 採用貝氏網路適性診斷測驗系統編 製國中英語時態診斷測驗試題,分析 學生在英語時態方面常犯的錯誤類 型,以此編製電腦輔助教學與補救教 學媒體,並應用於教學實驗中。

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二、以知識結構為基礎之電腦化測驗(knowledge structure based adaptive test, KSAT) KSAT 能精準地診斷出學生學習所產生之迷思概念,在系統建置時使用專 家知識結構、學生知識結構、補救教學結構(郭伯臣、謝友振、張峻豪、蔡坤穎, 2005) ,如圖 2-2-2。能提供學生測驗及立即的回饋,並有相關研究顯示電腦化 適性測驗確實可以節省施測題數、時間,且有不錯的精準度(蔡昆穎,2004; 許志毅,2004;黃碧雲,2005)。學生透過 KSAT 診斷出錯誤概念,再針對個別 的錯誤部分進行適性補救教學。雖可於短時間內對學童的學習狀況進行診斷, 了解學童的知識結構有何不足之處,但獲得學童的學習診斷並非教育的最終目 的,最終應該是學會完整的教材內容,因此測驗後之補救教學實有必要。 圖 2-2-2 KSAT 電腦適性測驗診斷系統登入介面

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三、國民小學及國民中學補救教學學生評量系統

教育部攜手計畫課後扶助方案(ASAP)於民國 95 年啟動,目的在提昇學習 弱勢學生基礎的學習能力,建置攜手計畫課後扶助方案科技化評量系統(After School Alternative Program technology-based testing,ASAP-tbt),一方面支援全 臺灣國民中小學學習落後學生鑑定,另一方面分析、追蹤並累積攜手計畫各校 學生學習進展資訊,作為教育部 補救教學效益統整探討的教育統計資料庫(國 立臺南大學,2012 年),如圖 2-2-3。 圖 2-2-3 國民小學及國民中學補救教學學生評量系統登入介面

透過上述的文獻探討,可以發現以貝氏網路為基礎之電腦化測驗(BNAT), 可以針對學生的錯誤類型與子技能進行診斷分析,與本研究之研究目標最符合, 因此本研究採用貝氏網路作為診斷測驗之認知診斷模式。

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第三節「指數律與科學記號」教材探討與錯誤類型

分析

壹、能力指標

依據國民中小學九年一貫數學課程綱要(教育部,2003),將「指數律與科 學記號」之分年細目與對照能力指標整理如表 2-3-1 所示: 表 2-3-1「指數律與科學記號」之分年細目與對照能力指標 分年細目 對照指標 7-n-10 能理解指數為非負整數的次方,並能運 用到算式中。 N-4-09 能認識指數的記號與指數律。 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。 7-n-12 能用科學記號表示法表達很大的數或很 小的數。 N-4-10 能認識科學記號。 指數的概念,將會衍生至科學記號的表示法、因倍數的關係、質數與質因 數分解,因此,在後續的單元學習,指數的應用便成為先備知識。科學記號表 示法可以應用在任何正數的運算,而科學記號的重要性在於可以用以十為底的 指數表示很大和很小的數(包括日常生活長度、重量、容積等單位,如奈米、 微米、公分或厘米、公尺或米、…)(教育部,2003)。

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貳、子技能

本研究之子技能為用以解決學生「指數律與科學記號」概念問題所需之基 本能力,將依據相關文獻探討,將「指數律與科學記號」概念之子技能整理如 表 2-3-2 所示: 表 2-3-2「指數律與科學記號」的子技能 代號 子技能 相關文獻 S-01 能進行含乘方的四則運算。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-02 能將底數相同的乘方相乘除。 教育部(2003) S-03 能計算乘方的乘方。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-04 能進行指數含有負整數的乘 方計算。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-05 能理解底數為不同整數且指 數為非負整數的運算。 教育部(2003) S-06 知道科學記號的定義。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-07 能進行分數、小數與 10 的次 方互換。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-08 能將科學記號乘開。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-09 能用科學記號表示法表達很 大的數或很小的數。 教育部(2003) S-10 能進行科學記號的比較大小。 康軒文教事業股份有限公司(2011) S-11 能進行科學記號的四則運算。 康軒文教事業股份有限公司(2011)

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「an」這種記數方法是由法國數學家笛卡兒在 1637 年首先提出,由於學生 在此單元才接觸此種新的記數方法,因此必須先從指數的意義開始導入,接著 說明指數律的運算規則,在這個單元裡限定指數中的底數必須為整數,爾後才 會呈現小數與分數的情形。接著探討指數為 0 或負數的情形,透過 10 的負指數 作為科學記號的鋪排。科學記號對學生而言也是新的數值表示方法,首要先建 立學生次方與位值的觀念,再介紹科學記號的表示法,讓學生可以利用科學記 號表示數值後,應用在數值的比較大小、數值運算與應用問題的解題技能。在 科學記號的運算中,也可以應用乘法的交換律、指數律與結合律,然而在乘除 運算過程中,指數部分容易計算錯誤,教師可以提醒學生多加注意(康軒文教 事業股份有限公司,2011)。

叁、錯誤類型

本研究希望以限制式的建構反應題題型保留學生多樣化的解題歷程,進行 診斷與分析。診斷測驗主要依據學生的解題歷程,分析學生的錯誤類型,了解 學生的真實想法,讓教師可以更清楚學生是否有學習上的錯誤類型,進而了解 學生學習的問題所在,並可以依此根據進行補救教學。根據文獻資料(如表 2-3-3)、現任國中數學科專科教師教學經驗與數學專家學者之意見,彙整相關 錯誤類型(如表 2-3-4),由於關於指數律與科學記號之研究不多,而多以高中 指數概念為主,故將較簡易之錯誤類型彙整,以下是相關文獻整理。

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表 2-3-3「指數律與科學記號」的教材研究及錯誤類型相關文獻資料 研究者 (年份) 論文名稱 研究內容摘要 黃渼淳 (2001)  高中生指數概 念及運算錯誤 類型分析之研 究 指數的概念應用範圍廣泛,舉凡化學元素半 衰期、生物的細胞分裂、人口問題、複利利 息計算、微積分應用以及複變數函數問題, 學業成就較高的學生作答率較高,學業成就 中、下的學生,空白人數明顯增加。 謝哲仁 黃渼淳 (2005)  高中生概念及 運算錯誤類型 分析之學習理 論背景- 以指 數為例 學生乘法概念與指數概念相混淆其他學科概 念不清楚也會影響指數應用問題的作答。 藍國華 (2005)  宜蘭地區高中 生在指數函數 單元錯誤類型 之分析研究 研究發現學生錯誤類型有:指數律的運算法 則錯誤、粗心漏看題目的條件、與對數運算 規則混淆、沒有重新檢視自己的答案、四則 運算錯誤、任意猜測答案、筆誤。

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表 2-3-3「指數律與科學記號」的教材研究及錯誤類型相關文獻資料(續) 研究者 (年份) 論文名稱 研究內容摘要 陳英世 (2008)  台南縣地區高 一生在指數單 元錯誤類型之 分析研究 本研究歸納出高一學生在指數函數單元概念 與運算錯誤類型有以下十一種:(一)概念不清 產生的錯誤。(二)濫用規則產生的錯誤。(三) 忽略題目的條件或隱藏條件產生的錯誤。(四) 計算錯誤。(五)看錯題目、誤解題意、筆誤、 遺漏負號、沒有注意到單位的不同、求不等 式解時遺漏等號。(六)題目抄寫錯誤、答案抄 寫錯誤。(七)括號處理的錯誤。(八)四則運算、 十字交乘法、因式分解、根式運算、根式有 理化或化簡、平方根概念、乘法公式、方程 式的解、不等式的解等基礎數學知識不足、 先前技巧欠熟練造成的錯誤。(九)將文字符號 代換成數字。(十)在解代數方程式或不等式 時,移項產生的錯誤。(十一)依現有數據胡亂 猜答或憑直覺或關鍵字作答。 田銘舜 (2009)  對數概念及運 算錯誤類型之 研究--以高雄 市五所高職學 生為例 學生對對數性質的理解困難,有很大的原因 是因為指數律的不熟練。

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表 2-3-3「指數律與科學記號」的教材研究及錯誤類型相關文獻資料(續) 研究者 (年份) 論文名稱 研究內容摘要 郭佾玄 (2010)  高雄市地區高 職生在指數單 元錯誤類型之 分析研究 本研究歸結出高職一年級學生在指數函數單 元概念與運算錯誤類型有以下六種:(一) 概 念造成的錯誤。(二) 先備知識的不足。(三) 筆誤。(四) 忽視條件產生的錯誤。(五) 直 覺作答。(六) 沒有解題能力及作答動機。 郭佾玄 (2011)  淺談高職生在 指數函數的錯 誤類型分析 藉由錯誤類型的分析,可以了解造成學生錯 誤的原因有以下九種:(一) 對指數定義及指 數律的觀念不清楚,指數函數圖形概念模 糊。(二) 對指數定義及指數律的觀念不清 楚,指數函數圖形概念模糊。(三) 缺乏預備 知識、先前技巧欠熟練。(四) 忽略題目所給 的條件、把給定的條件特殊化。(五) 受題目 情境設計、文字敘述及編排方式的影響。(六) 文字符號概念模糊。(七) 專注力不足,粗心 疏忽的漏失。(八) 憑直覺或關鍵字作答。 (九) 不合邏輯的推論。

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表 2-3-4「指數律與科學記號」的錯誤類型 代號 錯誤類型 相關文獻 M-01 誤認乘方的定義。 黃渼淳(2001) 、謝哲仁、黃渼淳 (2005) 、藍國華 (2005) 、郭佾玄 (2010)、郭佾玄(2011) M-02 乘方的計算錯誤。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、田銘舜 (2009)、郭佾玄(2011) M-03 含乘方的四則運算錯誤。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、 M-04 底數相同的乘方,乘法運算錯 誤。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、田銘舜 (2009)、郭佾玄(2011) M-05 底數相同的乘方,除法運算錯 誤。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、田銘舜 (2009)、郭佾玄(2011) M-06 乘方的乘方運算錯誤。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、田銘舜 (2009)、郭佾玄(2011) M-07 10 的次方與數值間的轉換錯 誤。 康軒文教事業股份有限公司(2011) M-08 誤認負指數的定義。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、田銘舜 (2009)、郭佾玄(2011) M-09 不明白科學記號 a×10 n,1≦a <10 的條件。 現任國中數學科專科教師教學經驗 M-10 不明白科學記號 a×10n,n 為 整數的條件。 現任國中數學科專科教師教學經驗 M-11 科學記號表示法錯誤。 現任國中數學科專科教師教學經驗

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表 2-3-4「指數律與科學記號」的錯誤類型(續) 代號 錯誤類型 相關文獻 M-12 無法將科學記號乘開,轉換為 數值。 現任國中數學科專科教師教學經驗 M-13 無法以科學記號表示數。 現任國中數學科專科教師教學經驗 M-14 無法以科學記號比較大小。 現任國中數學科專科教師教學經驗 M-15 含科學記號的四則運算錯誤。 康軒文教事業股份有限公司(2011) M-16 誤看題意。 藍國華 (2005) 、陳英世(2008)、郭佾玄 (2010)、郭佾玄(2011)

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第三章 研究方法

本研究欲建置以建構反應試題為基礎,並結合貝氏網路的可自動計分之數 學科建構反應題線上診斷系統,讓學生能利用電腦與網際網路進行線上施測, 以專家所建立的錯誤類型分析探討學生之解題歷程,建置自動化記分的流程。 本章節分為五個部份來說明本研究之方法,第一節為研究設計,第二節為 研究流程,第三節為研究對象,第四節為研究工具,第五節為電腦化測驗系統 之介面,第六節為建構反應題之解題策略分析,第七節建構題與貝氏網路結合 之認知診斷模式設計,第八節為評估方法與指標。

第一節 研究設計

為了能夠確實瞭解學生在指數律與科學記號單元產生的錯誤類型,以 建構反應題進行線上施測,並結合貝氏網路分析認知診斷模式的準確度,本研 究蒐集資料的過程設計如下: 一、 為了降低學生因為不熟悉硬體與軟體操作的方式,降低施測的成效,設 計模擬試題,讓學生於施測前一週進行系統操作模式練習,提升學生熟 悉度。 二、 告訴學生電腦測驗規則,並於測驗用計算紙再次載明電腦測驗規則。請 學生於電腦測驗時,請勿點選「重新整理」或「上一頁」,若不小心按到, 請點選「取消」後繼續作答。選擇題若未選取答案,將無法進入下一題, 若不小心按到「作答完畢」,會留在同一題繼續作答。 三、 所設計之建構反應題,均有與之對應之選擇題,若有其中一題建構題未 作答,會造成後續結果無法對應分析,因此,施測時間不受限制,讓學 生自由作答完畢才結束施測。

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第二節 研究流程

本研究為建置一套建構反應題的數學診斷系統,其研究流程如圖 3-2-1 所 示。 研究步驟如下: 步驟 1:確定研究主題,並蒐集相關文獻,依據相關文獻建立專家知識結構與 錯誤類型,並編製試題。 步驟 2:進行預試並分析預試結果,依據預試結果修正試題。 步驟 3:依據建構反應題錯誤類型分析的結果建立「自動化分析建構反應題模 型」 步驟 4:建置診斷測驗系統並正式施測。 步驟 5:將實際施測所得到的結果,再次進行錯誤類型分析與計分模式確立, 並確定欲評估之貝氏網路架構。 步驟 6:建置診斷系統進行結合建構反應題之貝氏網路成效評估。

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圖 3-2-1 研究流程圖 擬定研究主題 文獻探討 建立專家知識結構 建立錯誤類型 編製試題 預試 結合貝氏網路分析 結論與建議 預試結果分析 建立貝氏網路架構 蒐集作答反應 分析錯誤類型 建立計分模式 建立自動化分析模型 正式施測 確立貝氏網路架構 蒐集作答反應 再次分析錯誤類型 確立計分模式 模擬施測練習

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第三節 研究對象

壹、預試紙筆測驗對象

預試採紙筆測驗,母群為一百學年度入學之國中七年級學生,以立意抽樣 法(judgemental sampling)抽取:嘉義縣一所國中 2 個班級、臺中市一所國中 9 個 班級、桃園縣兩所國中分別為 2 個班級與 9 個班級,抽到的國中所有七年級學 生均接受施測,扣除未作答學生,有效樣本共計 521 人。

貳、電腦線上測驗對象

正式施測採電腦線上測驗,母群為一百學年度入學之國中七年級學生,以 立意抽樣法(judgemental sampling)抽取:嘉義縣一所國中 2 個班級、桃園縣三所 國中分別為 4 個班級、6 個班級和 9 個班級、新北市三所國中分別為 2 個班級、 9 個班級和 22 個班級,抽到的國中所有七年級學生均接受施測,由於試卷內容 有三題建構反應題均有與之對應的選擇題,所以只要有一題建構反應題未作答, 均視為無效樣本,扣除無效樣本後,有效樣本共計 523 人。

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第四節 研究工具

壹、MATLAB R2010a

MathWorks於1984年所推出的MATLAB軟體是一高階科學運算語言,可以分 析資料與計算數值、進行系統模擬、發展演算法和互動式環境之應用。「MATLAB R2010a」中涵蓋了許多不同的功能,隨著數值運算需求的演變與不斷更新改版, 可以更有效率地撰寫程式、編碼及繪圖,同時提升視覺化、數學運算能力、資料 擷取與效能;因此,本研究將運用MATLAB軟體撰寫自動化分析模型的程式。

貳、貝氏網路工具箱

以MATLAB結合Murphy(2004)所設計的 Bayes Net Toolbox for Matlab之相關 函數,再加上TASBN (Test Analysis Software based on Bayesian Network)工具箱, 三者結合成一完整程式(郭伯臣、謝典佑,2007),依施測樣本的單元目標、子技 能、錯誤類型、試題等資料,來計算貝氏網路的辨識率。

參、SPSS 18.0 (Statistical Product and Service Solutions)

SPSS為統計分析軟體,本研究用以分析試題信度。

肆、自編「指數律與科學記號」單元診斷測驗

本研究目的之ㄧ在建置可自動計分之數學科建構反應題線上診斷系統,以下 對試題編製的過程做說明: 一、彙整子技能與錯誤類型 根據之前收集的相關文獻、專家學者、實際教學工作者的意見,彙整出與能 力指標中「指數律與科學記號」學習內容相關的子技能及錯誤類型,將錯誤類型 與子技能相對應關係整理如表3-4-1所示。

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表 3-4-1 「指數律與科學記號」的子技能與錯誤類型對應表 代號 錯誤類型 對應子技能 M-01 誤認乘方的定義。 S-01、S-02、S-04、S-08 M-02 乘方的計算錯誤。 S-01、S-04、S-05 M-03 含乘方的四則運算錯誤。 S-01、S-02、S-03、S-04、 S-05 M-04 底數相同的乘方,乘法運算錯誤。 S-02、S-11 M-05 底數相同的乘方,除法運算錯誤。 S-02、S-03、S-05 M-06 乘方的乘方運算錯誤。 S-03、S-05 M-07 10 的次方與數值間的轉換錯誤。 S-06、S-07 M-08 誤認負指數的定義。 S-04、S-09 M-09 不明白科學記號 a×10 n,1≦a<10 的條件。 S-06 M-10 不明白科學記號 a×10n,n 為整數的條件。 S-06 M-11 科學記號表示法錯誤。 S-06、S-09 M-12 無法將科學記號乘開,轉換為數值。 S-08、S-11 M-13 無法以科學記號表示數。 S-09 M-14 無法以科學記號比較大小。 S-10 M-15 含科學記號的四則運算錯誤。 S-09 M-16 誤看題意。 S-01、S-02、S-05、S-06、 S-07、S-11

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二、建立專家知識結構與命題卡 本研究與二位專家及四位現場教學教師一起討論建立出「指數律與科學記號」 學習內容的專家知識結構圖,如圖3-4-1所示,每一個節點代表一個學習概念,每 一個學習概念均可以命題,命題卡內容詳如附錄三。本測驗長度共20題,選擇題 題型20題,其中挑選3題適合之題目,另建置為建構反應試題之題型3題,節點內 容和研究中子技能的部份相同。 圖 3-4-1 「指數律與科學記號」單元的專家知識結構圖 S-01 S-06 S-02 S-03 S-04 S-05 S-07 S-08 S-09 S-11 S-10

數據

表 2-1-1 建構反應題在教育測驗上之相關研究(續)  研究者  論文名稱  研究內容摘要  梁志強 (2010)    人工智慧方法於線上診斷測驗之應用~以國小 五年級「表面積」為例    研發電腦線上診斷測驗教材,使用於實際教學的實驗。研究範圍為國小五年級數學科領域「表面積」單 元,並編製知識結構圖、貝氏網路 圖來進行設計電腦適性測驗的數位 教材,編製型式以選擇題及建構反 應題為主。選定實驗對象後進行教 學,教學完後一週給予實驗對象進 行電腦線上診斷系統測驗,以測量 教學及測驗之效果。  簡啟全 (
表 2-2-1  貝氏網路在教育上的應用(續)  研究者  論文名稱  研究內容摘要  邱靖惠 (2008)    應用貝氏網路進行國 中地理「台灣天氣與氣 候」單元之學習診斷測 驗編製及適性補救教 學設計    本研究以國中一年級地理「台灣天氣 與氣候」單元為例,探討貝氏網路的機率推論功能,在國中社會領域地理科是否能發揮預測及診斷學生錯誤類型、子技能及單元目標的功能,並 以貝氏網路為基礎,配合順序理論發 展出一套適用於此單元的電腦適性 診斷測驗及電腦適性補救教學系 統,並探討此系統的診斷精準度及補 救教
表 2-2-1  貝氏網路在教育上的應用(續)  研究者  論文名稱  研究內容摘要  廖久緯 (2008)    以貝氏網路為基礎之電腦適性測驗編制– 以國中七年級之「整數 的加減」為例    本研究採用證據中心的評量設計及 貝式網路為推論工具,建立能力指標知識結構,並依此結構命題,進行紙筆診斷測驗,測驗完成後,再依順序 理論建立電腦適性診斷測驗施測流 程,以進行測驗及評估節省題數之成 效。  戴榮輝 (2008)    以貝氏網路與知識結構為基礎進行數位個 別指導模式教材之研 發及教學成效之探討 -
表 2-2-1  貝氏網路在教育上的應用(續)  研究者  論文名稱  研究內容摘要  林建福 (2008)    以知識結構及貝氏網路為基礎進行國小五 年級小數乘法單元課 程設計與評量建構之 研究─以彰化縣某國 小為例    本研究是以國小五年級「小數乘法」單元為特定研究領域,根據教育部(2003)編訂之九年一貫數學領域課程綱要,結合知識結構理論及貝氏網路來進行小數乘法單元課程設計與評量研發。  楊淑菁  (2009)    以知識結構與貝氏網路為基礎之數位教材 與評量研發-以六年級 柱體體積單元為例
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參考文獻

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