6-1-1多項式函數的極限與導數-函數及其圖形

(1)選修數學(I)1-1 多項式函數的極限與導數-函數及其圖形 【定義】 1. 函數： 「每一個變數 x 值，都恰有一個對應的 y 值」 ，這樣的關係就稱為 y 是 x 的函 數；習慣上以 y  f (x) 表示，其中變數 x 稱為自變數，變數 y 稱為應變數。 2. 實變數實數值函數： 當函數 f (x) 的自變數 x 都是實數，且對應的函數值 f (x) 也都是實數時，此 時函數 f (x) 稱為實變數實數值函數。 3. 定義域： 當實函數 f (x) 的變數 x 限定在集合 D 中時，可記為 f : D  R ，此時 D 就是 f (x) 的定義域。若未限定變數 x 的範圍時，我們規定其定義域就是使對應函 數值為實數的所有實數 x 所成之集合。 4. 有界區間： (1) [a, b]  {x  R | a  x  b} 為閉區間(如圖(a))。 (2) [a, b)  {x  R | a  x  b}為半開區間(如圖(b))。 (3) (a, b]  {x  R | a  x  b} 為半開區間(如圖(c))。 (4) (a, b)  {x  R | a  x  b} 為開區間(如圖(d))。. 5.. 無界區間： (1) [a, )  {x  R | x  a} (如圖(a))。 (2) (, a]  {x  R | x  a} (如圖(b))。 (3) (a, )  {x  R | a  x} (如圖(c))。 (4) (, a)  {x  R | x  a} (如圖(d))。 (5) (, )  R 。 註：  表示無窮大，   表示負無窮大，它們都不是實數。. 1.

(2) 【定義】 1. 函數的圖形： 實函數 f : D  R 的圖形就是坐標平面上所有坐標為 ( x, f ( x)) 的點 ( x  D) 所 成的圖形；以集合表示時，就是點集合 {( x, f ( x)) | x  D} 。 註：有些圖形並不是函數圖形。我們要研究的範圍是在圖形上某一點附近的 特徵時，有時候只要考慮其局部的圖形就夠了。 2. 一次函數： 一次函數 f ( x)  ax  b(a, b  R, a  0) 的圖形是直線 y  ax  b ，其斜率為 a ， 而 y 截距為 b 。 3. 二次函數： 二 次 函 數 f ( x)  ax2  bx  c (a, b, c  R, a  0) 的 圖 形 是 拋 物 線.  b 4ac  b 2 b ，頂點為 ( , )。 2a 2a 4a b 當 a  0 時，拋物線的開口向上，函數 f (x) 在 x  時有最小值； 2a b 當 a  0 時，拋物線的開口向下，函數 f (x) 在 x  時有最大值。 2a y  f (x) 圖形與 x 軸交點 方程式 ax2  bx  c  0 2 兩相異實根 兩交點 b  4ac  0 2 兩相等實根(重根) 一交點(相切) b  4ac  0 2 無實根 沒有交點 b  4ac  0 y  ax2  bx  c ，其對稱軸為 x . 2.

(3)