中心对称图形——平行四边形全章复习与巩固（基础）
【学习目标】 1. 掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成 的角. 2. 理解中心对称图形的定义和性质. 3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 4. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法 , 并能运用这些知识进行有关 的证明和计算. 5. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连 线所成的角相等. 要点二、中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称， 也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点三、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3．面积：
S
平行四边形
底
高
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点四、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S
矩形＝长
宽
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点五、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 菱形＝底
高＝
对角线
2
对角线
S
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点六、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：
S
正方形=
边长×边长＝1
2
×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、旋转与中心对称图形 1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】 解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 【总结升华】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 2、如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且 AD⊥BC，∠BAC 的度数为（ ） A．60° B．75° C．85° D．90° 【思路点拨】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF 中易求∠B=25°，所以利用△ABC 的内角和是 180°来求∠BAC 的度数即可． 【答案】C； 【解析】解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°． 如图，设 AD⊥BC 于点 F．则∠AFB=90°， ∴在 Rt△ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°， ∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为 85°． 故选 C． 【总结升华】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角 互余的性质来求相关角的度数的． 类型二、平行四边形
3、如图，在口ABCD中，点 E 在 AD 上，连接 BE，DF∥BE 交 BC 于点 F，AF 与 BE 交于点 M，CE 与 DF 交于点 N． 求证：四边形 MFNE 是平行四边形． 【答案与解析】 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AD＝BC,AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行） 又∵DF∥BE（已知） ∴四边形 BEDF 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴DE＝BF（平行四边形的对边相等） ∴AD－DE＝BC－BF，即 AE＝CF 又∵AE∥CF ∴四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴AF∥CE ∴四边形 MFNE 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已 有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明. 举一反三：
【变式】如图，等腰△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段 DE，DF，AB 三者之间有什么关系，试说明你的结论．
【答案】AB＝DE＋DF， 提示：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形 AEDF 是平行四边形，∠C＝∠EDB ∴DF＝AE． ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE， ∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE 类型三、矩形
4、（2016 春 常州期末）如图，在△• ABC中，AB=AC，D 为 BC 的中点，AE∥BC，DE∥AB． 试说明： （1）AE=DC； （2）四边形 ADCE 为矩形． 【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形 ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD．结合 中点的性质得到 AE=CD； （2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形 ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直 角的平行四边形是矩形”证得结论． 【答案与解析】 证明：（1）如图，∵AE∥BC， ∴AE∥BD． 又∵DE∥AB， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AE=BD． ∵D为 BC 的中点，
∴BD=DC， ∴AE=DC； （2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即 AE=DC， ∴四边形 ADCE 是平行四边形． 又∵AB=AC，D 为 BC 的中点， ∴AD⊥CD， ∴平行四边形 ADCE 为矩形． 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据 “对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．
5、如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8．将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D 恰好落在 对角线 AC 上的点 F 处，求 EF 的长. 【思路点拨】要求 EF 的长，可以考虑把 EF 放入 Rt△AEF 中，由折叠可知 CD＝CF，DE＝EF，易得 AC ＝10，所以 AF＝4，AE＝8-EF，然后在 Rt△AEF 中利用勾股定理求出 EF 的值． 【答案与解析】 解：设 EF＝
x
， 由折叠可得：DE＝EF＝x
，CF＝CD＝6， 又∵ 在 Rt△ADC 中，AC
6
2
8
2
10
． ∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－x
． 在 Rt△AEF 中，AE
2
AF
2
EF
2， 即(8
x
)
2
4
2
x
2， 解得：x
＝3 ∴ EF＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
举一反三：
【变式】（2015 秋 抚州校级期中）在平行四边形• ABCD中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上， DF=BE， 连接 AF，BF． （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB． 【答案】证明：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴DC∥AB，即 DF∥BE， 又∵DF=BE， ∴四边形 DEBF 为平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形 DEBF 为矩形； （2）∵四边形 DEBF 为矩形， ∴∠BFC=90°， ∵CF=9，BF=12， ∴BC= =15， ∴AD=BC=15， ∴AD=DF=15， ∴∠DAF=∠DFA， ∵AB∥CD， ∴∠FAB=∠DFA， ∴∠FAB=∠DFA， ∴AF平分∠DAB． 类型四、菱形
6、如图,在菱形 ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连结 DF，则∠CDF 等于( ).
A.80° B.70° C.65° D.60°
【答案】D； 【解析】 解：连结 BF，由 FE 是 AB 的中垂线，知 FB＝FA， 于是∠FBA＝∠FAB＝ ＝40°. ∴∠CFB＝40°＋40°＝80°, 由菱形 ABCD 知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝ CF， 于是△DCF≌△BCF， 因此∠CFD＝∠CFB＝80°, 在△CDF 中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°. 【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们 的判定和性质. 举一反三： 【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明， 如果不是菱形请说明理由． 【答案】四边形 ABCD 是菱形； 证明：由 AD∥BC，AB∥CD 得四边形 ABCD 是平行四边形, 过 A，C 两点分别作 AE⊥BC 于 E，CF⊥AB 于 F． ∴∠CFB＝∠AEB＝90°． ∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴AB＝BC, ∴四边形 ABCD 是菱形. 类型五、正方形
7、（2015 春 上城区期末）如图，矩形• ABCD中，AD=6，DC=8，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，AH=2，连结 CF．
（1）若 DG=2，求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 DG=6，求△FCG 的面积．
【思路点拨】（1）通过证明 Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据 有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形 EFGH 为正方形；
（2）作 FQ⊥CD 于 Q，连结 GE，如图，利用 AB∥CD 得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得 HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到 AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解． 【答案与解析】 （1）证明：∵四边形 EFGH 为菱形， ∴HG=EH， ∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH， 在 Rt△DHG 和△AEH 中， ， ∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH， ∵∠AEH+∠AHG=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°， ∵四边形 EFGH 为菱形， ∴四边形 EFGH 为正方形； （2）解：作 FQ⊥CD 于 Q，连结 GE，如图， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE， ∵四边形 EFGH 为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH 和△QGF 中 ， ∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2， ∴△FCG的面积= CG•FQ= ×2×2=2．
【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱 形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．
举一反三：
【变式】如图所示，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH为________形． (1)当四边形满足________条件时，四边形 EFGH 是菱形． (2)当四边形满足________条件时，四边形 EFGH 是矩形． (3)当四边形满足________条件时，四边形 EFGH 是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】四边形 EFGH 为平行四边形； 解：(1)AC＝BD， 理由：如图①，四边形 ABCD 的对角线 AC＝BD，
此时四边形 EFGH 为平行四边形，且 EH＝
