診斷教學對一位小六生擬題表現之影響－以時間計算問題為例

診斷教學對一位小六生擬題表現之影響

--以時間計算問題為例

邱微惠

1

_劉祥通

2

_*

1_{臺南市立仁光國民小學} 2_{國立嘉義大學 數理教育研究所}

摘 要

數 學 擬 題 乃 是 以 數 學 計 算 式 子 ， 給 學 生 編 製 數 學 應 用 問 題 的 活 動 ， 此 活 動 著 眼 於 建 立 數 學 概 念 與 生 活 情 境 相 結 合 。 學 生 的 擬 題 表 現 是 一 種 診 斷 工 具 ， 用 以 了 解 數 學 概 念 與 數 學 句 子 的 關 係 是 否 合 理 。 再 者 ， 根 據 研 究 者 教 學 經 驗 ， 時 間 計 算 問 題 對 於 高 年 級 學 生 有 很 大 的 困 擾 ， 於 是 先 做 擬 題 活 動 的 預 試 ， 再 挑 選 出 一 位 對 時 間 計 算 問 題 有 困 擾 的 國 小 六 年 級 女 學 童 進 行 擬 題 活 動 及 診 斷 教 學 的 研 究 。 本 研 究 旨 在 探 討 個 案 關 於 時 間 計 算 問 題 的 擬 題 表 現 ， 探 討 診 斷 教 學 的 策 略 ， 以 及 診 斷 教 學 對 個 案 擬 題 表 現 的 轉 變 。 本 研 究 發 現 ： 在 診 斷 教 學 前 ， 個 案 對 擬 題 的 表 現 不 夠 理 想 ， 「 時 刻 」 與 「 時 距 」 發 生 混 淆 ； 在 診 斷 教 學 時 ， 研 究 者 利 用 提 問 以 製 造 認 知 衝 突 ， 利 用 數 線 圖 表 徵 等 策 略 ， 幫 助 個 案 建 立 了 時 刻 與 時 距 的 關 係 ； 診 斷 教 學 後 ， 個 案 的 擬 題 表 現 有 顯 著 的 進 步 。 本 文 又 根 據 研 究 結 果 提 出 五 點 診 斷 教 學 上 的 建 議 。 關 鍵 詞 ： 時 間 計 算 問 題 、 數 學 擬 題 、 診 斷 教 學 、 數 學 解 題

壹、研究背景與目的

近 年 來 ， 擬 題 已 獲 得 數 學 教 育 社 群 更 多 的 重 視 (Brown 和 Walter, 1993; Silver, 1994)，但 研 究 者 發 現，在 時 間 方 面 的 擬 題 研 究 以 往 較 少 被 關 注 。 Brown 和 Walter （ 1993） 認 為 ， 就 擬 題 教 學 方 式 來 說 ， 學 童 在 擬 題 的 過 程 中 ， 一 方 面 主 動 理 解 數 學 概 念 ， 一 方 面 促 使 數 學 概 念 和 生 活 情 境 結 合 ， 同 時 提 供 老 師 一 種 獨 特 的 診 斷 工 具 ， * 為 本 文 通 訊 作 者 從 學 生 的 擬 題 寫 作 成 果 中 ， 顯 示 出 學 生 數 學 概 念 混 淆 不 清 的 地 方 。 因 此 ， 教 師 若 能 在 課 堂 上 適 度 調 配 擬 題 活 動 ， 將 有 助 於 學 生 理 解 數 學 概 念，進 而 增 進 數 學 相 關 能 力。 然 而 ， 根 據 研 究 者 的 教 學 經 驗 ， 學 童 對 於 時 間 計 算 教 材 之 學 習 ， 一 旦 脫 離 生 活 情 境 ， 有 關 文 字 題 的 處 理 ， 則 多 以 記 憶 、 熟 知 的 計 算 技 巧 來 解 題 。 因 此 ， 研 究 者 將 時 間 計 算 的 問 題 與 生 活 情 境 相 結 合 ， 想 關 心 如「 1 時 30 分 +2 時 20 分 ×3」及「 (1 時 30 分 +2 時 20 分 )×3」的 時 間 四 則 運 算 擬 題

是 否 相 同 ？ 並 對 於 「 3 時 10 分 — 1 時 50 分 」 的 算 式 是 否 能 擬 出 「 時 刻 — 時 刻 =時 刻 」、「 時 距 — 時 距 =時 距 」或 是「 時 刻 — 時 距 =時 刻 」 等 文 字 題 ， 關 於 「 時 刻 」 、 「 時 距 」 混 合 的 時 間 概 念 問 題 是 否 有 迷 思 ？ 同 時 ， 透 過 診 斷 教 學 策 略 來 釐 清 學 生 在 時 間 學 習 的 迷 思 概 念 。 本 研 究 旨 在 探 討 個 案 關 於 時 間 計 算 問 題 的 擬 題 表 現 ， 並 探 討 診 斷 教 學 的 策 略 ， 以 及 診 斷 教 學 對 個 案 擬 題 表 現 的 轉 變 。

貳、文獻探討

一、國小學童時間問題的學習

Piaget （ 1969 ） 認 為 ， 時 間 並 非 一 種 先 驗 的 概 念 ， 而 是 個 體 在 發 展 過 程 中 ， 隨 著 認 知 結 構 的 不 斷 重 組 而 逐 漸 構 設 形 成 的。 而 Piaget 更 進 一 步 指 出，國 小 六 年 級 學 童 在 時 間 概 念 的 發 展 已 達 精 確 衡 量 期 ， 多 數 學 童 已 能 精 確 計 算 從 開 始 到 終 止 的 時 距 。 在 南 一 書 局 (2014) 國 小 數 學 教 科 書 中 ， 為 了 釐 清 觀 念 ， 並 幫 助 學 童 學 習 ， 便 將 時 間 加 減 問 題 的 運 算 進 一 步 分 類 ， 也 就 是 將 時 刻 與 時 距 的 關 係 分 類，其 分 類 如 下： (一 )時 間 量 的 加 減 (時 距 ±時 距 ＝ 時 距 ) 如 ： 叔 叔 參 加 賽 車 ， 第 一 場 花 了 2 小 時 16 分 ， 第 二 場 花 了 1 小 時 58 分 ， 兩 場 共 花 了 多 少 時 間 ？ (二 )兩 時 刻 間 的 時 間 量 (時 刻 － 時 刻 ＝ 時 距 ) 如：妹 妹 從 8 時 45 分 開 始 上 數 學 課 ， 到 9 時 25 分 下 課 ， 數 學 課 的 時 間 有 多 久 ？ (三 )一 段 時 間 之 前 或 之 後 的 時 刻 (時 刻 ± 時 距 ＝ 時 刻 ) 如 ： 姊 姊 下 午 去 聽 音 樂 會 ， 結 束 時 是 下 午 10 時 5 分 ， 音 樂 會 長 1 小 時 56 分 ， 音 樂 會 是 在 下 午 幾 時 幾 分 開 始？ 在 「 時 刻 」 與 「 時 距 」 的 時 間 概 念 ， 鍾 靜 (1998)指 出 ， 若 能 將 時 間 的 表 徵 直 線 化 後 ， 對 「 時 刻 」 和 「 時 距 」 的 關 連 性 較 易 突 顯 ， 也 就 是 將 整 條 數 線 的 線 段 長 代 表 「 時 距 」，「 時 刻 」 為 時 間 的 位 置 ， 即 數 線 上 的 點 。 另 外 ， 蕭 毓 秀 和 鍾 靜 （ 2002） 的 研 究 顯 示 ， 學 生 對 於 時 間 的 應 用 問 題 的 解 題 表 現 上 ， 有 下 列 迷 思 ： (一 )以 題 目 的 關 鍵 字 來 決 定 算 式 的 運 算 符 號 ： 學 生 會 從 題 目 中 的 關 鍵 字 來 決 定 所 寫 算 式 的 運 算 符 號 ， 也 常 依 據 題 目 中 數 字 出 現 的 先 後 順 序 ， 來 安 排 數 學 問 題 的 運 算 式 。 (二 )不 管 題 意 ， 會 以 大 的 時 間 量 減 小 的 時 間 量 的 概 念 迷 思 ， 如：從 今 日 的 22 時 20 分 到 明 日 的 6 時 40 分，經 過 了 多 久 ？ 學 生 的 答 案 是 以 22 時 20 分 減 去 6 時 40 分，卻 沒 有 顧 及 題 意 及 跨 日 的 時 距 問 題 ， 研 究 者 尚 認 為 學 生 可 能 忽 略 了 在 22 時 20 分 和 6 時 40 分 之 間 尚 有 一 24 時 的 分 界 點，若 能 以 此 分 界 點 將 時 距 分 成 兩 個 時 段 來 計 算 就 容 易 解 決 此 問 題 了 。 此 時 ， 對 於 時 間 是 一 個 連 續 流 動 量 的 心 像 及 量 感 的 建 立 是 非 常 需 要 的 。 綜 上 所 述 ， 許 多 學 生 不 清 楚 時 間 是 連 續 不 斷 的 ， 或 無 法 區 分 時 刻 的 先 後 ， 若 先

建 立 學 生 時 間 是 流 動 性 的 概 念 ， 再 嘗 試 使 用 外 在 表 徵 ， 如 ： 使 用 時 間 工 具 或 利 用 畫 線 段 圖 來 展 現 時 間 的 連 續 性 ， 標 出 時 刻 的 位 置 並 明 白 時 間 量 ， 讓 學 生 了 解 時 刻 和 時 距 的 關 係 ， 應 可 獲 得 完 整 的 時 間 概 念 。

二、數學擬題

梁 淑 坤 （ 1994） 根 據 Reitman 所 提 出 的 四 種 問 題 結 構，「 問 題 條 件 與 目 標 皆 已 定 義 清 楚 」、「 問 題 條 件 已 定 義 清 楚 ， 問 題 目 標 未 定 義 清 楚 」、「 問 題 條 件 未 定 義 清 楚 ， 問 題 目 標 已 定 義 清 楚 」 和 「 問 題 條 件 與 目 標 皆 未 定 義 清 楚 」 來 將 數 學 擬 題 活 動 分 類。梁 淑 坤（ 1994）強 調：「 自 己 想 出 一 個 題 目 來 就 是『 擬 題 』。在 擬 題 的 過 程 中，擬 題 者 會 將 自 己 的 數 學 知 識 和 生 活 經 驗 連 結 起 來 ， 並 且 把 既 有 的 情 境 、 人 物 、 事 件 、 數 字 、 圖 形 等 條 件 建 立 關 係 ， 組 織 關 係 擬 出 一 個 新 的 數 學 題 目 。 」 例 如 ： 給 一 個 算 式「 9 時 30 分 +40 分 」，可 以 擬 出「 上 午 9 時 30 分 上 課，一 節 課 是 40 分 鐘，下 課 是 幾 時 幾 分 ？ 」 的 數 學 文 字 題 來 。 Lin 和 Leng（ 2008）的 研 究 顯 示，擬 題 任 務 不 只 為 學 生 提 供 機 會 去 說 明 他 們 所 知 的 數 學 知 識 ， 也 讓 教 師 觀 察 學 生 數 學 學 習 和 思 考 模 式 。 因 此 ， 透 過 學 生 所 形 成 的 數 學 題 目 ， 可 以 讓 教 師 看 到 孩 童 的 學 習 困 難 處 ， 也 可 幫 助 學 生 了 解 數 學 概 念 。 研 究 者 將 擬 題 定 義 為 ： 學 生 根 據 教 師 的 佈 題 ， 依 照 佈 題 中 所 給 予 的 條 件 ， 再 連 結 自 己 已 具 備 的 數 學 知 識 和 生 活 經 驗 ， 創 造 出 一 個 新 的 數 學 題 目 。

三、擬題在數學學習的角色

荷 蘭 的 數 學 教 育 改 革 致 力 於 發 展 真 實 數 學 教 育（ Realistic Mathematics Education, 簡 稱 RME ）， 強 調 真 實 情 境 中 的 數 學 學 習 ， 也 就 是 數 學 教 育 應 與 真 實 世 界 相 連 結 (Freudenthal, 1971) 。 Freudenthal(1971) 認 為 RME 的 論 點 是 將 數 學 視 為 是 人 類 的 活 動，數 學 是 從 做 數 學 中（ doing mathematics） 而 獲 得 的 ， 數 學 是 幫 助 學 習 者 與 周 遭 環 境 產 生 意 義 的 一 種 工 具 ， 而 真 實 情 境 是 用 來 作 為 學 習 數 學 的 起 始 點 。 數 學 建 模 強 調 現 實 世 界 與 數 學 世 界 之 間 的 連 結（ connections），是 一 種 知 識 統 整 的 數 學 能 力 。 數 學 建 模 是 藉 由 模 式 來 探 究 現 象 的 規 律 ， 其 中 必 定 包 含 介 於 待 建 模 的 真 實 情 境 和 此 模 式 的 數 學 表 徵 之 間 的 轉 變 (Mason & Davis, 1991)。 左 台 益 和 胡 政 德 (2009)在 研 究 中 指 出 如 果 再 利 用 解 題 時 的 元 素 (問 題 ， 答 案 )將 現 實 世 界 和 數 學 世 界 各 區 分 成 兩 個 部 分 ， 分 別 是 情 境 模 式 、 情 境 結 果 、 數 學 模 式 與 數 學 結 果 等 四 個 元 素 。 其 中 現 實 世 界 與 數 學 世 界 之 間 的 交 互 作 用 和 複 雜 的 轉 換 與 推 論 關 係 如 圖 2-1。 Blum(2002)在 研 究 中 指 出 ， 數 學 建 模 的 歷 程 主 要 包 含 了 四 個 層 面 ： 理 想 化 、 數 學 化 、 數 學 操 作 和 解 釋 評 估 ， 而 且 數 學 建 模 是 在 這 四 個 層 面 中 循 環 。 (一 )數 學 化 ： 情 境 模 式 =>數 學 模 式 (問 題 ) 一 般 的 時 間 應 用 題 解 題 的 擬 定 計 畫 ， 如 ：「 下 午 2 點 開 始 寫 功 課 ， 每 樣 寫 30 分 鐘 ， 寫 了 3 樣 ， 寫 完 是 何 時 ？ 」 =>「 2+0.5×3」

圖 2-1 數 學 建 模 循 環 模 式 資 料 來 源 ： 左 台 益 、 胡 政 德 (2009)。 準 教 師 從 真 實 情 境 中 建 構 數 學 模 式 的 認 知 因 素 分 析 與 機 制 。 當 代 教 育 研 究 季 刊 ， 17 (4)， 61-101。 (二 )數 學 操 作 ： 數 學 模 式 (問 題 )=>數 學 結 果 一 般 的 時 間 應 用 題 解 題 的 執 行 計 畫 ， 如 ：「 2+0.5×3」 =>「 3.5」 (三 )解 釋 評 估 ： 數 學 結 果 =>真 實 情 境 回 顧 答 案 的 合 理 性 ， 如 ： 解 釋 與 評 估 「 下 午 2 點 開 始 寫 功 課 ， 每 樣 寫 30 分 鐘 ， 寫 了 3 樣 ， 寫 完 是 何 時 ？ 」， 此 答 案 是 否 為 「 下 午 3.5」?此 答 案 是 否 合 理 ? 研 究 者 認 為 ， 以 上 數 學 建 模 的 三 個 過 程 ， 與 擬 題 的 過 程 有 緊 密 的 關 係 。 當 學 生 依 據 教 師 所 佈 置 的 計 算 問 題 進 行 擬 題 活 動 時 ， 先 要 擬 出 題 目 ， 然 後 依 照 解 題 策 略 進 行 解 題 活 動 。 在 規 劃 解 題 策 略 時 ， 學 生 有 時 候 會 發 現 ， 已 擬 好 的 題 目 中 有 些 條 件 不 完 整 ， 所 以 無 法 順 利 進 行 解 題 策 略 ， 這 時 就 必 須 再 重 新 檢 視 已 擬 好 的 題 目 ， 做 修 正 或 重 新 進 行 擬 題 活 動 。 本 研 究 之 擬 題 乃 屬 於 將 「 數 學 模 式 」 轉 換 成 「 情 境 模 式 」 的 歷 程 ， 也 就 是 上 圖 數 學 化 的 逆 向 過 程，如：「 2+0.5×3」=>「 下 午 2 點 開 始 寫 功 課，每 樣 寫 30 分 鐘，寫 了 3 樣 ， 寫 完 是 何 時 ？ 」； 或 將 「 數 學 結 果 」 據 以 「 解 釋 評 估 」 的 歷 程 ， 於 真 實 情 境 中 解 釋 數 學 結 果 的 意 義 ， 並 檢 查 模 式 是 否 合 理 ， 如 ： 擬 出 數 學 文 字 題 「 下 午 2 點 開 始 寫 功 課，每 樣 寫 30 分 鐘，寫 了 3 樣，寫 完 是 何 時 ？ 」 之 後 ， 檢 查 答 案 是 否 為 下 午 3 點 半 ?， 是 否 合 理 ？

三、診斷教學

國 外 學 者 Bell（ 1993） 指 出 ， 數 學 教 師 在 教 學 時 ， 如 能 針 對 學 生 出 現 的 迷 思 概 念 ， 提 供 診 斷 教 學 策 略 ， 設 計 能 引 起 認 知 衝 突 的 活 動 ， 將 有 效 地 根 除 學 生 的 迷 思 概 念 。 近 年 來 ， 國 內 外 教 育 學 者 （ 林 福 來 、 黃 敏 晃 和 呂 玉 琴 , 1996; Bell, 1994）將「 診 斷 」 的 概 念 應 用 在 數 學 教 學 上 ， 強 調 在 教 學 過 程 中 ， 教 師 需 先 診 斷 出 學 生 的 迷 思 概 念 ， 再 針 對 迷 思 概 念 製 造 出 認 知 衝 突 的 情 境 ， 使 學 生 察 覺 、 承 認 自 己 的 錯 誤 ， 進 而 調 整 其 原 有 的 認 知 。 溫 世 展 (2011)的 研 究

指 出 診 斷 教 學 法 除 了 能 製 造 學 童 的 認 知 衝 突 ， 進 而 達 到 概 念 澄 清 與 糾 正 的 效 果 ， 有 效 改 善 學 童 的 迷 思 概 念 之 外 ， 並 能 節 省 教 師 設 計 教 學 活 動 所 需 花 費 的 時 間 。 而 鄭 淑 珍 (2003)在 國 小 五 年 級 學 童 時 刻 與 時 間 量 概 念 之 診 斷 教 學 研 究 中 ， 其 教 學 策 略 則 是 利 用 認 知 衝 突 的 方 式 使 學 生 重 新 對 時 刻 與 時 間 量 這 兩 個 概 念 重 新 思 考 ， 並 使 用 數 線 同 構 的 方 式 突 顯 時 間 量 的 概 念 ， 使 學 生 瞭 解 時 刻 和 時 間 量 的 關 係 。 結 果 顯 示 採 用 認 知 衝 突 診 斷 教 學 策 略 有 助 於 學 生 釐 清 時 刻 與 時 間 量 方 面 的 迷 思 概 念 。 因 此 ， 本 研 究 的 診 斷 教 學 步 驟 為 ： 先 診 斷 學 生 在 擬 題 時 所 犯 的 迷 思 概 念 ， 再 針 對 學 生 的 迷 思 概 念 製 造 認 知 衝 突 ， 讓 學 生 發 現 所 編 擬 的 文 字 題 是 否 合 理 ， 最 後 調 整 認 知 ， 評 估 擬 題 改 變 的 成 效 。

參、研究方法

本 研 究 是 為 了 解 國 小 六 年 級 學 童 在 時 間 計 算 問 題 的 擬 題 表 現 ， 以 及 透 過 診 斷 教 學 策 略 ， 來 探 討 個 案 在 擬 題 表 現 的 轉 變 。 本 研 究 採 個 案 研 究 法 ， 而 研 究 者 為 主 要 研 究 工 具 ， 並 以 立 意 取 樣 的 方 式 ， 選 取 臺 南 市 某 國 小 六 年 級 學 童 一 班 進 行 時 間 計 算 問 題 的 擬 題 預 試 ， 預 試 的 目 的 在 挑 選 研 究 對 象 並 充 實 擬 題 經 驗 。 預 試 後 ， 研 究 者 利 用 週 三 下 午 進 行 一 次 正 式 擬 題 施 測 及 兩 次 晤 談 ， 並 於 兩 次 晤 談 時 加 入 診 斷 教 學 ， 每 次 晤 談 歷 時 1.5 小 時 ， 並 於 診 斷 教 學 三 週 後 ， 再 進 行 一 次 結 構 相 同 但 數 字 不 同 的 類 似 題 來 檢 驗 個 案 的 擬 題 表 。

一、擬題活動的安排

本 研 究 乃 採 用 Reitman 的 第 二 種 結 構 「 問 題 條 件 已 定 義 清 楚 ， 問 題 目 標 未 定 義 清 楚 」，還 有 梁 淑 坤 (1997)的「 算 式 類 」擬 題 類 型 來 進 行 研 究 與 討 論 ， 更 有 特 色 的 是 在 預 試 工 作 單 中 引 用 坪 田 耕 三 (Tsubota)的 「 模 仿 法 或 類 題 法 」（ 引 自 梁 淑 坤 ， 1994） 給 學 生 擬 題 ， 以 彌 補 擬 題 經 驗 的 不 足 。 例 如 ： 姐 姐 看 偵 探 小 說 上 下 冊 ， 看 完 上 冊 花 了 2 時 48 分 ， 看 完 下 冊 只 花 了 1 時 54 分 ， 請 問 她 總 共 花 了 多 少 時 間 看 完 偵 探 小 說 ？ 請 模 仿 上 述 的 方 法 寫 一 個「 2 時 35 分 +1 時 50 分 」 的 數 學 文 字 題 。 大 多 學 生 對 於 時 間 計 算 的 解 題 幾 乎 能 掌 握 ， 但 在 擬 題 的 部 分 ， 預 試 時 ， 學 生 擬 出 與 工 作 單 較 類 似 且 情 境 相 仿 的 數 學 文 字 題 。

二、受試個案

從 預 試 的 表 現 中 選 取 一 名 具 有 時 間 計 算 問 題 迷 思 ， 且 表 達 能 力 佳 者 為 研 究 的 對 象，進行訪談與診斷教學。此研究對象為女 生，活潑開朗，與研究者互動良好，亦敢於 表達內心的想法，但對數學較沒信心。在預 試時，研究者發現個案在時間計算問題的解 題幾乎都能掌握，但對時間計算問題的擬題 卻存有一些概念的迷思與觀念的誤解，如： 擬「10 時 20 分—6 時 50 分」的數學文字題 時，個案擬出「妹妹從上午 10 時 20 分開始 看電影，下午 6 時 50 分看完電影，請問妹 妹共看了多久？」，研究者認為個案有起始 時刻與結束時刻混淆的情形，因而引起研究 者想深入探討的興趣。

三、研究工具

個 案 研 究 是 質 性 研 究 的 一 種 ， 研 究 者 是 最 主 要 的 研 究 工 具 。 茲 分 述 研 究 者 的 角 色 如 下 ： (一 )負 責 擬 題 工 作 單 本 研 究 的 擬 題 工 作 單 乃 依 據 教 育 部 (2008)九 年 一 貫 課 程 綱 要 中 ， 關 於 時 間 計 算 問 題 的 能 力 指 標：「 4-n-13 能 解 決 複 名 數 時 間 量 的 計 算 ， 以 及 時 刻 與 時 間 量 的 加 減 問 題。」和「 5-n-15 能 解 決 時 間 的 乘 除 計 算 問 題 。 」 ， 再 參 考 康 軒 版 於 五 下 時 加 入 時 間 的 雙 步 驟 (四 則 運 算 )計 算 問 題 ， 因 此 ， 研 究 者 以 時 間 的 計 算 問 題 將 工 作 單 分 為 兩 大 層 次 ， 分 別 為 「 單 步 驟 題 」 五 題 及 「 雙 步 驟 題 」 五 題 ， 各 個 層 次 又 依 不 同 的 時 間 概 念 的 內 涵 而 有 「 時 間 的 加 法 」 、 「 時 間 的 減 法 」 、 「 時 間 的 乘 法 」 、 「 時 間 的 除 法 」 及 「 時 間 的 四 則 運 算 」 五 類 子 問 題 ， 並 分 別 以 擬 題 「 算 式 類 」 的 題 型 呈 現 。 例 如 ： 第 1 題 的 單 步 驟 題 為「 請 擬 出 2 時 45 分 +1 時 55 分 的 數 學 文 字 題 」 及 第 9 題 的 雙 步 驟 題 為「 請 擬 出 (5 時 20 分 — 3 時 10 分 )×9 的 數 學 文 字 題 」 。 1. 內 容 效 度 ： 擬 題 工 作 單 含 有 單 步 驟 與 雙 步 驟 題 ， 涵 蓋 國 小 範 圍 各 式 時 間 計 算 問 題 ， 包 括 時 間 的 加 減 、 時 間 的 乘 除 法 、 時 間 的 四 則 計 算 等 內 容 ， 所 以 此 份 工 作 單 是 有 內 容 效 度 的 工 作 單 。 2. 專 家 效 度 ： 為 確 認 工 作 單 問 題 的 適 切 性 ， 於 工 作 單 擬 定 後 ， 特 別 請 數 學 教 育 學 者 及 具 有 多 年 任 教 數 學 課 程 經 驗 的 教 師 ， 審 視 每 道 題 目 ， 來 做 適 度 地 修 正 ， 例 如 原 先 工 作 單 設 計 的 第 一 題 ， 「 108 秒 +1 時 32 分 15 秒 」，因 考 量 個 案 尚 無 擬 題 經 驗 ， 不 宜 以 多 階 單 位 的 時 間 問 題 做 為 擬 題 的 初 始 活 動 ， 因 而 將 此 題 目 修 改 為 兩 階 單 位 的 算 式 擬 題 「 2 時 45 分 +1 時 55 分 」 。 3. 信 度 ： 因 考 慮 到 擬 題 表 現 受 個 人 擬 題 經 驗 的 影 響 甚 鉅 ， 個 案 的 擬 題 會 因 學 習 經 驗 與 診 斷 教 學 入 的 作 用 而 有 很 大 的 進 步 可 能 ， 故 本 研 究 工 作 單 的 信 度 並 未 列 入 考 慮 。 但 是 教 學 前 的 擬 題 表 現 ， 與 診 斷 教 學 後 個 案 的 改 變 是 否 有 穩 定 ? 本 研 究 將 以 類 似 題 持 續 考 驗 個 案 ， 以 增 進 資 料 分 析 的 信 度 。 (二 )擔 任 診 斷 教 學 工 作 研 究 者 利 用 診 斷 教 學 的 時 機 ， 提 供 診 斷 教 學 的 策 略 ， 包 括 認 知 衝 突 、 數 線 圖 表 徵 、 解 自 己 擬 的 文 字 題 等 ， 藉 以 提 升 個 案 的 擬 題 能 力 ， 而 研 究 者 的 提 問 策 略 與 品 質 會 影 響 研 究 結 果 ， 所 以 研 究 者 是 本 研 究 的 主 要 研 究 工 具 。

四、資料來源與分析

學 童 進 行 擬 題 的 正 式 施 測 ， 主 要 透 過 擬 題 工 作 單 的 資 料 收 集 ， 來 了 解 學 童 的 擬 題 表 現 ， 再 進 行 晤 談 ， 期 望 在 學 童 擬 出 文 字 題 之 後 ， 能 進 一 步 瞭 解 學 童 的 背 後 想 法

及 進 行 診 斷 教 學 ， 所 以 工 作 單 、 晤 談 、 以 及 診 斷 教 學 的 對 話 是 本 研 究 的 資 料 來 源 。 資 料 分 析 主 要 靠 資 料 來 源 的 三 角 交 叉 比 對，例 如，原 案 2-9 請 擬 出「 (5 時 20 分 -3 時 10 分 )×9」 的 數 學 文 字 題 ， 個 案 在 工 作 單 上 寫 出「 媽 媽 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 才 回 來，連 續 做 了 9 天 ？ 」，此 種 擬 題 ， 似 乎 透 漏 了 她 有 起 始 時 刻 與 結 束 時 刻 錯 置 的 迷 思，但 是 她 在 受 訪 時 卻 說，「 媽 媽 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 」 ， 就 是 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 」 ， 以 上 「 所 寫 」 與 「 所 說 」 並 不 一 致 ， 研 究 者 最 後 又 發 現，個 案 不 會 處 理 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 的 問 題 ， 也 就 是 她 不 會 將 下 午 3 時 10 分 轉 成 15 時 10 分，所 以 才 有 初 始 擬 題 時 時 間 錯 置 的 現 象 出 現 。 再 者 ， 資 料 的 持 續 比 對 ， 例 如 在 原 案 2-6，個 案 在 診 斷 教 學 後，似 乎 改 善 了 擬 題 表 現 ， 研 究 者 為 了 確 認 個 案 是 否 真 正 的 進 步 ， 有 給 她 一 個 類 似 題 的 計 算 式 子 ， 如 ： 「 4 時 30 分 +20 分 ×5」 ， 請 她 再 次 擬 題 ， 她 寫 出 如 下 的 應 用 問 題 ： 「 妹 妹 從 下 午 4 時 30 分 開 始 寫 功 課 ， 每 樣 功 課 要 花 20 分 鐘 ， 一 共 有 5 樣 ， 她 什 麼 時 候 才 能 寫 完 功 課 ？ 」 ， 可 見 她 已 由 診 斷 教 學 ， 改 進 了 擬 題 表 現 ， 此 乃 資 料 的 持 續 比 對 。

肆、研究結果與討論

本 研 究 結 果 與 討 論 將 分 成 「 診 斷 教 學 前 」 、 「 診 斷 教 學 時 」 、 「 診 斷 教 學 後 檢 驗 」 三 階 段 ， 分 別 探 討 個 案 的 擬 題 表 現 與 迷 思 概 念 。

一、診斷教學前的擬題表現

在 教 學 前 ， 研 究 者 以 時 間 計 算 問 題 中 的 單 步 驟 題 及 雙 步 驟 題 ， 來 考 驗 個 案 對 於 時 間 計 算 的 擬 題 能 力，個 案 能 以「 包 含 除 」 及 「 等 分 除 」 的 結 構 來 呈 現 時 間 的 除 法 計 算 問 題 ， 但 是 擬 題 表 現 有 下 列 缺 失 ： (一 )受 加 法 運 算 符 號 的 影 響 ， 忽 略 了 時 刻 不 能 相 加 ， 仍 用 「 一 共 」 的 字 眼 來 擬 題 題 目 ： 請 擬 出 「 2 時 45 分 +1 時 55 分 」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-1 0101T： 請 你 唸 第 一 題 的 題 目 。 0102S： 姐 姐 從 1 時 55 分 開 始 騎 腳 踏 車 騎 到 2 時 45 分 ， 請 問 她 一 共 騎 了 多 久 ？ 0103T： 請 你 解 釋 一 下 你 出 的 題 目 。 0104S： 姐 姐 從 1 時 55 分 開 始 騎 腳 踏 車 ， 然 後 騎 到 一 個 地 方 是 2 時 45 分 ， 然 後 就 問 他 總 共 騎 了 多 久 ？ ………

0107T： 哪 裡 怪 怪 的 ？ 0108S： 一 共 騎 了 多 久 ？ ……… 0113T： 請 你 跟 我 講 1 時 55 分 ， 你 把 它 當 作 什 麼 ？ 0114S： 是 一 個 時 間 點 ！ 開 始 刻 ！ 0115T： 是 開 始 的 時 刻 ！ 0116S： 嗯 ！ 0117T： 那 2 時 45 分 呢 ？ 0118S： 終 點 ！ 0119T： 是 結 束 的 時 刻 ！ 0120S： 嗯 ！ 0121T： 所 以 ， 開 始 的 時 刻 ， 結 束 的 時 刻 ， 這 樣 怎 麼 知 道 騎 多 久 ？ 0122S： 就 把 它 加 起 來 ， 知 道 他 一 共 騎 了 多 久 ？ 分 析 ： 個 案 將 算 式 中 的 1 時 55 分 及 2 時 45 分 視 為 開 始 的 時 刻 及 結 束 的 時 刻 (行 號 0114、 行 號 0118)， 又 因 為 是 加 法 算 式 ， 所 以 ， 就 擬 出 了 「 一 共 騎 多 久 」 的 數 學 文 字 題 來 (行 號 0122)。 而 蕭 毓 秀 和 鍾 靜 (2002)的 研 究 指 出 ， 在 時 間 計 算 的 解 題 中 ， 學 童 容 易 以 題 目 的 關 鍵 字 來 決 定 算 式 的 運 算 符 號 。 同 樣 的 ， 在 擬 題 中 ， 本 研 究 的 個 案 仍 以 算 式 的 加 法 運 算 符 號 ， 來 決 定 文 字 題 的 擬 題 應 該 用 「 一 共 」 的 關 鍵 字 。 (二 )「 時 刻 」與「 時 距 」的 時 間 概 念 混 淆 (不 了 解 時 距 可 以 當 成 被 乘 數， 但 是 時 刻 不 能 ) 題 目 ： 請 擬 出 「 2 時 35 分 ×6」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-3 0301T： 請 你 唸 第 三 題 的 題 目 。 0302S： 弟 弟 從 2 時 35 分 游 泳 ， 他 游 了 6 趟 ， 請 問 他 游 了 幾 次 ？ ……… 0308S： 應 該 是 問 他 游 了 幾 趟 ？ 0309T： 你 題 目 不 是 說 他 游 了 6 趟 ？ 0310S： ……… 0311T： 好 ！ 那 我 問 你 ， 2 時 35 分 ， 你 把 他 當 成 什 麼 ？ 0312S： 開 始 的 時 間 ！ 0313T： 開 始 的 時 間 ？ 來 回 游 6 趟 嗎 ？ 0314S： 對 ！ 分 析 ： 個 案 起 先 覺 得 「 游 了 幾 次 」 這 句 話 問 得 怪 怪 的 ， 因 為 題 目 有 說 游 了 6 趟 了 ， 因 此，他 覺 得 問 法 不 對。後 來，他 又 表 示 2 時 35 分 是 開 始 的 時 間 (行 號 0312)，

因 而 以 開 始 的 時 間 乘 以 它 的 倍 數 ， 所 以 ， 研 究 者 認 為 個 案 有 時 刻 、 時 距 混 淆 的 迷 思 概 念 ， 不 了 解 時 距 可 以 當 成 被 乘 數 ， 但 是 時 刻 不 能 。 (三 )個 案 受 算 式 中 時 間 出 現 的 先 後 順 序 ， 有 「 起 始 時 刻 」 及 「 結 束 時 刻 」 錯 置 的 迷 思 題 目 ： 請 擬 出 「 (5 時 20 分 -3 時 10 分 )×9」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-9 0901T： 請 你 唸 第 九 題 的 題 目 。 0902S： 媽 媽 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 才 回 來 ， 連 續 做 了 9 天 ？ 0903T： 請 你 解 釋 一 下 這 一 題 。 0904S： 媽 媽 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 ， 就 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 ， 就 是 媽 媽 出 去 經 過 了 多 少 時 間 ， 再 去 乘 以 9。 0905T： 為 什 麼 是 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 ？ 0906S： 因 為 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 啊 ！ 0907T: 如 何 計 算 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 呢 ？ 0908S: (想 了 很 久 ) 我 不 會 ！ 分 析 ： 個 案 起 初 依 據 算 式 中 時 間 出 現 的 先 後 順 序 ， 來 進 行 擬 題 ， 因 而 擬 出 「 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 」 (行 號 0902)， 當 研 究 者 請 她 解 釋 一 下 此 題 時 ， 個 案 即 說 明 「 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 」 計 算 時 就 是 要 用 「 下 午 3 時 10 分 來 減 5 時 20 分 」 (行 號 0904)。 個 案 雖 知 道 要 用 下 午 (結 束 )時 刻 減 去 早 上 (起 始 )時 刻 (行 號 0906)， 但 是 ， 她 不 會 將 下 午 3 時 轉 換 成 15 時 (行 號 0908)， 所 以 擬 題 時 ， 個 案 有 起 始 時 刻 及 結 束 時 刻 錯 置 的 敘 述 。 (四 )不 精 熟 四 則 運 算 規 則 ， 把 「 時 距 +時 距 ×倍 數 」 的 算 式 當 成 「 (時 距 +時 距 )×倍 數 」 的 算 式 來 擬 題 題 目 ： 請 擬 出 「 1 時 20 分 +2 時 40 分 ×4」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-6

0601T： 請 你 唸 第 六 題 的 題 目 。 0602S： 姐 姐 做 一 件 上 衣 1 時 20 分 ， 妹 妹 做 一 件 褲 子 2 時 40 分 ， 他 們 共 做 4 件 ， 請 問 花 了 多 少 時 間 ？ 0603T： 請 你 解 釋 一 下 這 一 題 ！ 0604S： 做 一 件 衣 服 1 時 20 分 ， 做 一 件 褲 子 2 時 40 分 ， 兩 個 的 時 間 加 起 來 ， 再 去 乘 以 4 件 ， 就 可 以 知 道 他 們 兩 個 總 共 花 了 多 少 時 間 。 分 析 ： 個 案 起 初 依 據 算 式 中 時 間 出 現 的 先 後 順 序 ， 來 進 行 擬 題 ， 因 而 擬 出 「 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 」 (行 號 0902)， 當 研 究 者 請 她 解 釋 一 下 此 題 時 ， 個 案 即 說 明 「 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 」 計 算 時 就 是 要 用 「 下 午 3 時 10 分 來 減 5 時 20 分 」 (行 號 0904)。 個 案 雖 知 道 要 用 下 午 (結 束 )時 刻 減 去 早 上 (起 始 )時 刻 (行 號 0906)， 但 是 ， 她 不 會 將 下 午 3 時 轉 換 成 15 時 (行 號 0908)， 所 以 擬 題 時 ， 個 案 有 起 始 時 刻 及 結 束 時 刻 錯 置 的 敘 述 。

二、診斷教學時的擬題表現

在 教 學 前 ， 研 究 者 發 現 個 案 有 「 兩 時 刻 相 加 」、「 時 刻 、 時 距 混 淆 」 及 「 起 始 時 刻 和 結 束 時 刻 混 淆 」 的 迷 思 ， 後 來 又 發 現 個 案 對 於 雙 步 驟 時 間 計 算 擬 題 更 不 熟 悉 ， 因 此 ， 在 進 行 診 斷 教 學 時 ， 藉 由 一 些 診 斷 教 學 的 策 略 ， 期 盼 個 案 能 順 利 擬 題 成 功 。 (一 )經 提 問 以 製 造 認 知 衝 突 ， 個 案 調 整 認 知 ， 提 升 了 擬 題 的 表 現 題 目 ： 請 擬 出 「 2 時 45 分 +1 時 55 分 」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-1 0123T： 嗯 ！ 時 刻 和 時 刻 可 以 相 加 嗎 ？ 0124S： ...(笑 )， 好 像 不 行 耶 ！ 0125T： 所 以 ， 要 加 起 來 要 用 什 麼 ？ 0126S： 要 有 時 間 的 量 才 可 以 相 加 ！ 兩 個 點 是 不 能 相 加 的 ！ 0127T： 那 你 要 怎 麼 調 整 題 目 ？ 0128S： 把 其 中 一 個 點 換 成 時 間 量 ！ 0129T： 好 ！ 那 可 以 怎 麼 出 ？ 0130S： 姐 姐 從 這 裡 開 始 騎 的 時 候 是 1 時 55 分 ， 經 過 了 2 時 45 分 ， 那 她 總 共 騎 了 多 久 ？ 0131T： (畫 圖 表 示 出 的 題 目 )所 以 ， 這 題 就 可 以 用 加 的 ！ 0132S： 對 ！ 0133T： 那 要 問 什 麼 ？ 0134S： 總 共 騎 了 多 久 ？ 0135T： 總 共 騎 了 多 久 ？ 你 不 是 題 目 有 說 了 嗎 ？ 0136S： 喔 ！ 應 該 要 問 騎 到 的 時 候 ！ 0137T： 那 你 再 幫 我 重 新 整 理 一 下 這 題 ！ 0138S： 姐姐從 1 時 55 分開始騎腳踏車，騎了 2 時 45 分，她騎到的時間是什麼時候？ 0139T： 好 ！ 分 析 ： 因 研 究 者 質 疑 〝 時 刻 和 時 刻 可 以 相 加 嗎 ？ 〞 (行 號 0123)個 案 也 認 為 兩 個 時 刻

是 兩 個 點 ， 所 以 不 能 相 加 (行 號 0126)。 因 此 ， 他 便 做 了 調 整 ， 把 其 中 一 個 時 刻 換 成 經 過 的 時 間 量 試 試 看，於 是 就 擬 出 了「 姊 姊 從 1 時 55 分 開 始 騎 腳 踏 車， 經 過 了 2 時 45 分，她 總 共 騎 了 多 久 ？ 」(行 號 0130)。接 著，研 究 者 畫 數 線 圖 解 釋 題 意 之 後 ， 再 度 提 問 ， 個 案 經 由 數 線 圖 ， 以 及 自 己 的 擬 題 ， 兩 方 對 照 之 下 ， 發 現 問 得 不 對 ， 應 該 是 問 到 達 的 時 候 (行 號 0136)， 於 是 ， 便 擬 出 了 「 姊 姊 從 1 時 55 分 開 始 騎 腳 踏 車，騎 了 2 時 45 分，她 騎 到 的 時 間 是 什 麼 時 候 ？ 」 的 文 字 題 。 在 此 題 中 ， 研 究 者 則 依 據 Bell（ 1993） 及 林 福 來 （ 1999） 提 出 的 論 點 ， 研 究 者 先 診 斷 出 個 案 的 迷 思，引 起「 時 刻 和 時 刻 是 否 可 以 相 加 ?」的 認 知 衝 突，個 案 經 過 反 思 之 後，重 新 調 整 認 知，因 而 擬 出 正 確 的 數 學 文 字 題，破 除 了 部 分 時 間 概 念 的 迷 思 。 (二 )經 過 研 究 者 質 疑 ， 經 多 次 提 問 教 學 ， 個 案 調 整 認 知 後 ， 又 再 度 產 生 迷 思 概 念 ， 以 直 線 表 徵 重 新 溝 通 ， 建 構 正 確 的 概 念 題 目 ： 請 擬 出 「 2 時 45 分 +1 時 55 分 」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-3 0315T： 開 始 的 時 間 ， 怎 麼 算 6 趟 ？ 0316S： ...是 游 一 趟 經 過 的 時 間 ！ … … … 0319T： 所 以 ， 題 目 可 以 怎 麼 出 ？ 0320S： 弟 弟 從 某 個 時 間 開 始 游 泳 ， 經 過 了 2 時 35 分 ， 他 游 了 6 趟 ， 請 問 他 游 6 趟 花 了 多 少 時 間 ？ 0321T： 這 一 次 請 你 畫 圖 解 釋 一 下 ！ 0322S：(畫 圖 )(將 一 個 線 段 2 時 35 分 切 成 6 塊 )弟 弟 從 某 個 時 間 開 始 游 泳，然 後 他 經 過 了 2 時 35 分 ， 他 總 共 游 了 6 趟 ， 請 問 他 游 了 6 趟 花 了 多 少 時 間 ？ 0323T： (指 著 線 段 )經 過 了 2 時 35 分 ， 這 段 時 間 他 游 6 趟 ... 0324S： 那 就 變 成 2 時 35 分 除 以 6 了 ！ 0325T： 對 啊 ！ 所 以 ， 要 怎 麼 調 整 ？ 0326S：...啊 ！ 弟 弟 從 某 個 時 間 開 始 游 泳，游 一 趟 經 過 了 2 時 35 分，他 游 了 6 趟 ， 請 問 他 游 6 趟 花 了 多 少 時 間 ？ 分 析 ： 經 過 研 究 者 質 疑 〝 開 始 的 時 間 可 以 算 6 趟 嗎 ？ 〞， 個 案 想 了 又 想 ， 認 為 2 時 35 分 應 該 是 經 過 的 時 間 才 對，於 是 就 擬 出 了「 弟 弟 從 某 個 時 間 開 始 游 泳，經 過 了 2 時 35 分，他 游 了 6 趟，請 問 他 游 6 趟 花 了 多 少 時 間 ？ 」(行 號 0320)， 然 而，研 究 者 便 根 據 個 案 的 第 二 次 擬 題，以 直 線 表 徵，質 疑〝 是 2 時 35 分 的 時 間 游 了 6 趟 嗎 ？ 〞，他 很 快 就 發 現 題 目 就 變 成「 2 時 35 分 ÷6」了 (行 號 0324)， 因 此，再 經 過 第 三 次 的 擬 題，個 案 終 於 可 以 擬 出「 弟 弟 從 某 個 時 間 開 始 游 泳 ， 游 一 趟 經 過 了 2 時 35 分，他 游 了 6 趟，請 問 他 游 6 趟 花 了 多 少 時 間 ？ 」的 數 學 文 字 題 。

由 此 題 中 ， 研 究 者 請 個 案 將 時 間 的 表 徵 直 線 化 ， 再 經 過 幾 次 的 提 問 後 ， 重 新 建 構 正 確 的 概 念 ， 因 而 順 利 擬 題 ， 證 實 了 鍾 靜 (1998)的 論 述 ， 將 時 間 的 表 徵 直 線 化 ， 對 解 決 時 間 概 念 的 問 題 是 有 效 的 。 (三 )個 案 在 解 自 己 擬 的 數 學 文 字 題 時 ， 發 現 與 原 來 算 式 不 符 合 ， 而 調 整 認 知 、 重 新 擬 題 題 目 ： 請 擬 出 「 (5 時 20 分 -3 時 10 分 )×9」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-9 0904S： 媽 媽 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 ， 就 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 ， 就 是 媽 媽 出 去 經 過 了 多 少 時 間 ， 再 去 乘 以 9。 0905T： 為 什 麼 是 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 ？ 0906S： 因 為 從 早 上 5 時 20 分 到 下 午 3 時 10 分 啊 ！ 0907T: 如 何 計 算 下 午 3 時 10 分 減 5 時 20 分 呢 ？ 0908S: (想 了 很 久 ) 我 不 會 ！ 0909T： 那 你 出 的 題 目 跟 原 本 算 式 一 樣 嗎 ？ 0910S： 不 一 樣 ！ 0911T： 為 什 麼 不 一 樣 ？ 0912S： 前 後 時 間 要 調 換 ！ 0913T： 前 後 時 間 是 什 麼 ？ 0914S： 開 始 的 時 間 和 結 束 的 時 間 。 0915T： 所 以 ， 題 目 可 以 怎 麼 出 ？ 0916S： 媽 媽 從 下 午 3 時 10 分 ， 工 作 到 下 午 5 時 20 分 才 回 來 ， 連 續 做 了 九 天 ， 問 這 九 天 一 共 用 了 多 少 時 間 ？ 分 析 ： 當 研 究 者 要 求 個 案 試 著 把 自 己 擬 的 題 目 解 釋 一 下 ， 並 列 成 算 式 時 ， 個 案 發 現 與 原 本 的 算 式 不 符 合，是 因 為 他 將 起 始 時 刻 和 結 束 時 刻 調 換 了，重 新 修 正 後， 便 能 擬 出 正 確 的 數 學 文 字 題 。 題 目 ： 請 擬 出 「 1 時 20 分 +2 時 40 分 ×4」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-6 0605T： 嗯 ！ 所 以 ， 這 一 題 算 式 要 怎 麼 列 ？ 0606S： 1 時 20 分 加 2 時 40 分 ， 加 起 來 的 答 案 再 乘 以 4。 0607T： 那 跟 原 來 的 算 式 一 樣 嗎 ？ 0608S： (搖 頭 ) 0609T： 哪 裡 不 一 樣 ？ 0610S： 不 是 加 起 來 乘 以 4， 而 是 只 有 2 時 40 分 乘 以 4 而 已 。

0611T： 對 啊 ！ 所 以 ， 題 目 可 以 怎 麼 出 ？ 0612S： 姐 姐 做 一 件 上 衣 1 時 20 分 ， 妹 妹 做 一 件 褲 子 2 時 40 分 ， 姐 姐 做 了 1 件 上 衣 ， 妹 妹 做 了 4 件 褲 子 ， 請 問 他 們 一 共 花 了 多 少 時 間 ？ 分 析：個 案 原 本 擬 的 題 目，經 由 檢 驗 後，發 現 列 出 的 算 式 為 (1 時 20 分 +2 時 40 分 ) × 4(行 號 0606)，與 原 題 目 算 式 不 符，對 照 之 下，個 案 發 現 並 非 兩 個 時 間 量 加 起 來 後 再 乘 以 4， 而 是 後 者 的 時 間 量 乘 以 4 而 已 (行 號 0610)， 經 過 修 正 後 ， 個 案 重 新 擬 題 為 ： 姐 姐 做 一 件 上 衣 1 時 20 分 ， 妹 妹 做 一 件 褲 子 2 時 40 分 ， 姐 姐 做 了 1 件 上 衣 ， 妹 妹 做 了 4 件 褲 子 ， 請 問 他 們 一 共 花 了 多 少 時 間 ？ 根 據 Blum(2002)的 研 究 指 出，數 學 建 模 的 三 個 過 程 中，也 就 是 數 學 建 模 中，從 「 數 學 模 式 」轉 換 成「 情 境 模 式 」，再 從「 情 境 模 式 」轉 換 成「 數 學 模 式 」或「 數 學 結 果 」，最 終 再 回 到「 情 境 模 式 」的 相 互 循 環 過 程。由 以 上 兩 題，研 究 者 請 個 案 依 據 自 己 所 擬 出 的 題 目 進 行 列 式 解 題 時 ， 個 案 便 發 現 列 式 與 原 算 式 不 符 ， 因 而 重 新 檢 視 已 擬 好 的 題 目 ， 再 一 次 修 正 ， 獲 得 了 正 確 的 擬 題 表 現 。

三、診斷教學後檢驗的擬題表現

經 由 研 究 者 的 診 斷 教 學 後，發 現 個 案 已 能 克 服「 起 始 時 刻 和 結 束 時 刻 混 淆 」的 迷 思 ， 因 此 ， 再 進 一 步 佈 類 似 題 予 以 檢 驗 。 檢 驗 說 明 如 下 ： (一 ) 「 時 刻 +時 距 ×倍 數 」 =時 刻 ， 但 個 案 用 「 時 刻 +時 距 ×倍 數 」 =時 距 來 擬 題 ， 可 能 是 忽 略 起 點 的 時 刻 ， 只 專 注 回 答 對 應 於 算 式 「 時 距 ×倍 數 」 =時 距 的 應 用 問 題 題 目 ： 請 擬 出 「 1 時 20 分 +2 時 40 分 × 4」 的 數 學 文 字 題 原 案 2-6 0613T： 好 ！ 但 是 你 還 有 沒 有 別 的 出 法 ？ (請 你 根 據 剛 才 的 算 式 「 1 時 20 分 +2 時 40 分 ×4」 再 出 另 外 一 個 應 用 問 題 ) 0614S： ㄣ ... 0615T： 你 剛 剛 把 1 時 20 分 當 作 什 麼 ？ 0616S： 做 一 件 上 衣 的 時 間 。 0617T： 你 把 它 當 作 時 間 ， 那 可 不 可 以 把 它 拿 來 當 作 時 刻 ？ 0618S： 時 刻 喔 ？ ...(思 考 )應 該 是 可 以 ， 但 是 要 想 一 下 ！ 0619T： 好 ！ 讓 你 再 想 想 看 ！ 0620S： ... 0621T： 請 你 試 著 解 釋 看 看 ！ 0622S：(在白紙上 畫數 線，畫 其中 一點是 1 時 20 分，接 著 畫四段，每 段是 2 時 40 分) 0623T： 所 以 ， 你 把 1 時 20 分 當 作 時 刻 ？ 0624S： 嗯 ！ 0625T： 那 它 是 開 始 的 時 刻 ？ 還 是 結 束 的 時 刻 ？ 0626S： 開 始 的 時 刻 ！ 0627T： 好 ！ 所 以 ， 這 一 題 可 以 怎 麼 出 ？ 0628S： 姐 姐 從 1 時 20 分 開 始 做 衣 服 ， 每 做 一 件 衣 服 花 了 2 時 40 分 ， 連 續 做 了 4 件 ， 共 花 了 多 久 ？

0629T： 你 的 問 法 對 嗎 ？ 請 你 再 想 想 看 。 0630S： 喔 哦 ！ 應 該 是 問 什 麼 時 候 做 完 ？ 0631T： 好 ！ 不 錯 ！ 那 我 再 出 一 題 讓 妳 寫 寫 看 ！ 0632S： 好 ！ 0633T： (在 白 紙 上 寫 下 4 時 30 分 +20 分 ×5 的 算 式 ) 這 一 題 可 以 怎 麼 出 ？ 0634S： 妹 妹 從 下 午 4 時 30 分 開 始 寫 功 課 ， 每 樣 功 課 要 花 20 分 鐘 ， 一 共 有 5 樣 ， 她 什 麼 時 候 才 能 寫 完 功 課 ？ 0635T： 好 ！ 不 錯 ！ 分 析 ： 研 究 者 要 求 個 案 將 1 時 20 分 當 作 時 刻 來 擬 題 ， 他 起 初 思 考 許 久 ， 經 由 研 究 者 的 提 醒，請 他 畫 圖 再 想 想 看，他 在 紙 上 畫 了 一 條 線 段，同 時 指 定 其 中 一 點 ， 並 將 線 段 平 分 成 四 等 分，後 來 經 晤 談 得 知，個 案 將 1 時 20 分 當 作 開 始 的 時 刻， 並 重 新 擬 題 為「 姐 姐 從 1 時 20 分 開 始 做 衣 服，每 做 一 件 衣 服 花 了 2 時 40 分， 連 續 做 了 4 件，共 花 了 多 久 ？ 」(行 號 0628)，但 問 法 錯 誤，經 修 正 後 應 為 “ 問 結 束 時 刻 ” 才 對 。 此 外 ， 研 究 者 再 以 類 似 題「 4 時 30 分 +20 分 ×5」考 驗 個 案 時 ， 個 案 即 能 很 快 回 答 「 妹 妹 從 下 午 4 時 30 分 開 始 寫 功 課 ， 每 樣 功 課 要 花 20 分 鐘，一 共 有 5 樣，她 什 麼 時 候 才 能 寫 完 功 課 ？ 」(行 號 0634)，可 見 個 案 的 擬 題 表 現 進 步 許 多 。 在 此 題 中 ， 研 究 者 為 了 檢 驗 個 案 是 否 已 能 克 服 「 時 刻 」 與 「 時 距 」 時 間 概 念 的 迷 思 ， 請 個 案 把 其 中 一 個 時 間 當 作 時 刻 來 擬 題 ， 個 案 於 是 利 用 畫 數 線 的 策 略 來 擬 文 字 題 ， 解 釋 了 時 刻 與 時 距 的 關 係 ， 雖 然 問 法 有 錯 誤 ， 但 最 終 能 做 修 正 。 (二 ) 診 斷 教 學 三 週 後 ， 以 類 似 題 持 續 考 驗 ， 個 案 的 擬 題 表 現 進 步 許 多 題 目 ： 請 擬 出 「 10 時 20 分 —6 時 50 分 」 的 數 學 文 字 題 個 案 擬 題 ：「 華 華 從 6 時 50 分 開 始 游 泳 ， 游 完 是 10 時 20 分 ， 請 問 他 游 了 多 久 ？ 」 原 案 2-2-1 1203T： 請 你 唸 一 下 這 一 題 ！ 1204S： 華 華 從 6 時 50 分 開 始 游 泳 ， 游 到 10 時 20 分 ， 他 花 了 多 久 的 時 間 ？ 1205T： 為 什 麼 是 6 時 50 分 開 始 游 泳 ， 游 到 10 時 20 分 ？ 12106S： 6 時 50 分 是 前 面 的 時 刻 ， 10 時 20 分 是 後 面 的 時 刻 ， 用 後 面 的 時 刻 減 前 面 的 時 刻 ， 就 是 它 要 算 的 時 間 量 。 12107T： 為 什 麼 要 用 後 面 的 時 刻 減 前 面 的 時 刻 呢 ？ 1208S： (在 白 紙 上 畫 數 線 ， 畫 其 中 一 點 是 6 時 50 分 ， 另 一 點 是 10 時 20 分 ) 1209T： 這 代 表 什 麼 ？ 1210S： 它 要 算 中 間 經 過 的 時 間 量 。 1211T： 那 為 什 麼 不 是 從 10 時 20 分 開 始 游 ， 游 到 6 時 50 分 呢 ？ 1212S： 10 時 20 分 比 較 慢 到 啊 ！ 6 時 50 分 比 較 先 到 ！ 不 可 能 從 後 面 的 時 間 走 到 前 面 的 時 間 ， 這 樣 時 間 不 就 倒 退 走 了 ~~ 分 析 ： 研 究 者 請 個 案 擬 出 時 間 減 法 的 文 字 題 時 ， 個 案 很 快 就 擬 出 「 華 華 從 6 時 20 分 開 始 游 泳，游 完 是 10 時 20 分，請 問 他 游 了 多 久 ？ 」，當 研 究 者 詢 問 為 何 要

如 此 擬 時，個 案 即 回 答「 6 時 50 分 是 前 面 的 時 刻，10 時 20 分 是 後 面 的 時 刻 ， 用 後 面 的 時 刻 減 前 面 的 時 刻 ， 就 是 它 要 算 的 時 間 量 」 (行 號 1206)。 研 究 者 再 追 問 ， 為 什 麼 要 這 樣 減 呢 ？ 個 案 於 是 在 紙 上 畫 了 一 條 數 線 ， 分 別 把 兩 時 刻 及 欲 求 的 未 知 量 表 示 出 來 ， 可 見 個 案 已 經 有 直 線 表 徵 的 概 念 了 。 而 研 究 者 繼 續 追 問 ， 那 為 什 麼 不 是 「 從 10 時 20 分 開 始 游 ， 游 到 6 時 50 分 呢 ？ 」， 個 案 說 明 「 10 時 20 分 比 較 慢 到 啊 ！ 6 時 50 分 比 較 先 到 ！ 不 可 能 從 後 面 的 時 間 走 到 前 面 的 時 間 ， 這 樣 時 間 不 就 倒 退 走 了 ~~」 (行 號 1212)。 由 此 可 知 ， 個 案 不 但 對 起 始 時 刻 與 結 束 時 刻 的 判 斷 十 分 正 確 ， 甚 至 還 以 直 線 表 徵 來 解 釋 此 題 並 幫 助 理 解 。 題 目 ： 請 擬 出 「 5 時 30 分 +30 分 ×3」 的 數 學 文 字 題 個 案 擬 題：「 媽 媽 從 5 時 30 分 開 始 煮 飯，每 煮 一 道 菜 需 要 花 30 分 鐘，一 共 煮 了 3 道 菜 ， 請 問 媽 媽 什 麼 時 候 才 能 煮 完 ？ 」 原 案 2-6-1 1603T： 請 你 唸 一 下 這 一 題 ！ 1604S：媽 媽 從 5 時 30 分 開 始 煮 飯，每 煮 一 道 菜 需 要 花 30 分 鐘，一 共 煮 了 3 道 菜 ， 請 問 媽 媽 什 麼 時 候 才 能 煮 完 ？ 1605T： 請 你 解 釋 一 下 ！ 1606S： (畫 數 線 )(先 畫 一 點 是 5 時 30 分 ， 再 畫 三 段 ， 每 段 是 30 分 ) 1607T： 你 可 不 可 以 說 明 一 下 ？ 1608S： 把 5 時 30 分 當 成 時 刻 ， 30 分 鐘 是 花 的 時 間 ， 一 共 是 三 段 30 分 鐘 ， 所 以 要 問 什 麼 時 候 煮 完 ？ 1609T： 什 麼 時 候 煮 完 ？ 是 什 麼 意 思 啊 ？ 1610S： 是 結 束 的 時 間 。 分 析：研 究 者 請 個 案 擬 時 間 四 則 運 算 的 文 字 題 時，個 案 思 考 了 一、兩 分 鐘 就 擬 出「 媽 媽 從 5 時 30 分 開 始 煮 飯 ， 每 煮 一 道 菜 需 要 花 30 分 鐘 ， 一 共 煮 了 3 道 菜 ， 請 問 媽 媽 什 麼 時 候 才 能 煮 完 ？ 」 (行 號 1604)， 當 研 究 者 請 個 案 解 釋 時 ， 個 案 於 是 仿 造 前 幾 例，運 用 畫 數 線 來 解 決 問 題，「 把 5 時 30 分 當 成 時 刻，30 分 鐘 是 花 的 時 間，一 共 是 三 段 30 分 鐘，所 以 要 問 什 麼 時 候 煮 完 ？ 」(行 號 1608)，研 究 者 再 問，「 什 麼 時 候 煮 完 ？ 」是 代 表 什 麼 意 思 啊 ？ 個 案 便 回 答「 是 結 束 的 時 間 」， 可 見 個 案 對 時 刻 與 時 距 的 概 念 已 能 掌 握 。 由 此 可 知 ， 個 案 已 能 清 楚 分 辨 時 刻 與 時 距 的 不 同 ， 對 於 解 釋 題 意 已 習 慣 利 用 直 線 表 徵 來 說 明 。 類 似 題 的 持 續 考 驗 ， 個 案 的 擬 題 能 力 也 明 顯 改 善 許 多 。 在診斷教學後約三週，類似題的持續考驗之下，研究者認為個案已能克服「時刻」與 「時距」時間概念的迷思，並能以時間的流動性來判斷「起始時刻」與「結束時刻」的先 後順序，同時並利用畫數線的策略來解釋所擬的文字題，因此，個案的擬題能力進步許多。

伍、結論與建議

根 據 上 述 的 研 究 結 果 與 討 論 ， 我 們 對 於 個 案 目 前 的 時 間 計 算 擬 題 表 現 ， 做 出 以 下 幾 點 結 論 ：

一、結論

在 教 學 前 ， 研 究 者 以 時 間 計 算 問 題 中 的 單 步 驟 題 及 雙 步 驟 題 ， 來 考 驗 個 案 對 於 時 間 計 算 的 擬 題 能 力，個 案 能 以「 包 含 除 」 及 「 等 分 除 」 的 結 構 來 呈 現 時 間 的 除 法 計 算 問 題， 但 是 擬 題 表 現 有 下 列 缺 失 ： (一 )教 學 前 的 擬 題 表 現 ， 個 案 表 現 不 夠 理 想 個 案 能 以 「 包 含 除 」 及 「 等 分 除 」 的 結 構 來 呈 現 時 間 的 除 法 計 算 問 題，但 是 研 究 者 發 現， 她 對 於 四 則 運 算 規 則 不 精 熟 ， 如 原 案 2-6， 以 致 影 響 了 擬 題 表 現 。 再 者 ， 她 在 擬 題 時 有 起 始 時 刻 與 結 束 時 刻 錯 置 的 迷 思，如：原 案 2-9；更 有 甚 者， 她 有 時 刻 與 時 俱 混 淆 的 困 擾 ， 將 時 刻 當 成 被 乘 數 來 擬 題 ， 如 原 案 2-3。 ( 二 ) 教 學 時 ， 經 由 診 斷 教 學 策 略 的 介 入 ， 個 案 能 順 利 擬 題 成 功 經 由 研 究 者 製 造 認 知 衝 突 的 介 入 ， 如 原 案 2-1， 讓 個 案 察 覺 錯 誤 ， 主 動 調 整 認 知 ， 並 改 變 迷 思 概 念 ， 提 升 擬 題 能 力 。 再 者 ， 研 究 者 經 由 多 次 提 問 教 學 後 ， 也 以 數 線 表 徵 與 個 案 重 新 溝 通 ， 如 原 案 2-3， 建 構 正 確 的 概 念 。 更 甚 者 ， 給 個 案 解 自 己 擬 的 文 字 題 ， 產 生 與 原 算 式 衝 突 ， 如 原 案 2-6 和 原 案 2-9，幫 助 個 案 檢 視 擬 題 的 正 確 性 。 (三 )個 案 在 診 斷 教 學 後 的 擬 題 表 現 進 步 許 多 診 斷 教 學 策 略 介 入 後 ， 個 案 對 於 起 始 時 刻 與 結 束 時 刻 已 能 掌 握 ， 且 能 清 楚 分 辨 時 刻 與 時 距 ， 並 能 利 用 數 線 表 徵 的 策 略 來 編 擬 文 字 題 ， 對 於 類 似 題 的 持 續 考 驗 也 能 順 利 擬 題 ， 如 原 案 2-6、檢 驗 原 案 2-2-1 及 檢 驗 原 案 2-6-1。

二、建議

( 一 ) 擬 題 活 動 融 入 課 室 可 以 發 現 問 題 ， 藉 由 診 斷 教 學 可 以 破 除 學 生 的 迷 思 概 念 給 個 案 擬 數 學 文 字 題 時 ， 發 現 個 案 在 時 間 概 念 問 題 的 困 惑 ， 例 如 ： 在 原 案 2-1 中 ， 個 案 忽 略 了 兩 個 時 刻 是 不 能 相 加 的 ， 而 用 「 一 共 」 的 字 眼 來 擬 題 。 因 此 ， 在 教 學 時 ， 以 擬 題 方 式 融 入 課 室 活 動 ， 可 以 發 現 學 生 的 可 能 問 題 ， 若 能 藉 用 診 斷 教 學 ， 來 了 解 學 童 的 舊 經 驗 或 迷 思 概 念 ， 並 透 過 適 時 地 製 造 認 知 衝 突 ， 使 迷 思 概 念 產 生 正 向 的 改 變 ， 便 能 有 效 幫 助 學 童 調 整 認 知 。 (二 )利 用 數 線 表 徵 「 時 刻 」 與 「 時 距 」 的 關 係 ， 是 提 昇 擬 題 表 現 的 有 效 策 略 在 研 究 者 請 個 案 擬 出「 2 時 35 分 ×6 的 數 學 文 字 題 」時，個 案 將 2 時 35

分 視 為 開 始 的「 時 刻 」，而 非 一「 時 距 」 ， 因 此 在 教 學 上 ， 為 了 避 免 學 童 對 時 刻 和 時 距 產 生 混 淆 ， 可 利 用 鐘 面 與 數 線 圖 ， 以 建 立 「 時 刻 」 與 「 時 距 」 的 時 間 概 念 。 因 時 間 是 連 續 不 斷 的 ， 藉 由 畫 數 線 圖 的 過 程 ， 來 輔 助 學 童 釐 清 時 間 計 算 問 題 的 迷 思 。 此 種 表 徵 能 將 抽 象 的 情 境 轉 化 為 半 具 體 的 工 具 ， 讓 學 童 試 著 畫 畫 看 ， 可 了 解 時 刻 和 時 距 的 關 係 ， 並 獲 得 完 整 時 間 概 念 ， 有 助 於 理 解 題 意 與 澄 清 概 念 。 ( 三 ) 教 師 可 讓 學 童 解 自 己 擬 的 文 字 題 製 造 認 知 衝 突 ， 以 幫 助 學 童 擬 題 表 現 的 提 昇 在 原 案 2-9 中 ， 因 為 解 擬 題 時 ， 發 現 學 童 有 起 始 時 刻 與 結 束 時 刻 錯 置 的 迷 思 ， 產 生 了 錯 誤 的 擬 題 ， 此 時 教 師 介 入 並 診 斷 提 問 ， 利 用 認 知 衝 突 的 方 式 ， 讓 學 童 能 反 思 ， 以 幫 助 他 們 建 構 正 確 的 概 念 。 然 而 教 師 在 教 學 現 場 能 否 立 即 發 現 學 童 的 迷 思 概 念 並 製 造 認 知 衝 突 、 調 整 童 認 知 ， 都 考 驗 著 教 師 的 臨 場 反 應 。 (四 )對 甚 少 接 觸 擬 題 的 學 童 ， 可 提 供 類 似 題 讓 其 模 仿 擬 題 或 解 同 儕 擬 的 文 字 題 教 師 在 教 學 時 ， 為 了 讓 學 童 充 實 擬 題 經 驗 ， 可 多 舉 例 各 種 時 間 概 念 類 型 和 不 同 情 境 內 容 的 題 目 ， 如 預 試 的 擬 題 工 作 單 題 目 ， 來 協 助 學 童 依 循 相 關 脈 絡 進 行 擬 題 ， 再 讓 學 童 將 擬 出 的 問 題 讓 同 儕 來 解 題 ， 也 是 一 個 極 大 的 誘 因 與 擬 題 的 魅 力 所 在 。 (五 )加 強 閱 讀 指 導 與 文 字 寫 作 ， 有 助 於 題 意 的 了 解 與 擬 題 的 敘 述 在 原 案 2-6「 (時 距 +時 距 ) ×倍 數 」 算 式 的 擬 題 中 ， 個 案 忽 略 了 題 目 只 有 褲 子 做 4 件 ， 上 衣 只 有 做 一 件 ， 而 列 出 「 時 距 +時 距 ×倍 數 」 算 式 的 擬 題 ， 因 此 在 擬 數 學 文 字 題 的 歷 程 中 ， 涉 及 數 學 概 念 、 閱 讀 能 力 和 語 文 表 達 ， 屬 於 綜 合 能 力 的 培 養 ， 許 多 學 童 在 擬 題 產 生 困 難 ， 往 往 不 是 因 為 概 念 理 解 錯 誤 或 是 數 學 能 力 不 足 ， 而 是 理 解 題 意 與 語 文 寫 作 出 現 了 障 礙 。 所 以 ， 加 強 閱 讀 指 導 與 提 高 學 生 的 語 文 理 解 能 力 ， 培 養 寫 作 的 習 慣 更 能 增 進 擬 題 的 文 字 敘 述 。

三、致謝

感 謝 科 技 部 計 畫 ( 代 號 :104-2511- S-415-003-MY3)的 支 持 與 補 助 ， 以 及 匿 名 審 查 委 員 的 寶 貴 意 見 ， 使 得 本 文 得 以 完 成 與 更 完 善 。

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投 稿 日 期 ： 104 年 12 月 08 日 接 受 日 期 ： 105 年 05 月 16 日

The Intervention Effects of Diagnosis Teaching on a

Sixth Grader’s Problem Posing Performance: Time

Computation Problems as a Research Task

Wei-Hui Chiu

1

_{* and Shiang-Tung Liu}

2

1 _{Ren-Guang Elementary School of Tainan City}

2 _{Graduate Institute of Mathematic & Science Education, National Chiayi University}

Abstract

Mathematics problem posing refers to a kind of activity in which students create mathematical word problems based on time computational problems. Mathematics problem posing can also be used as a sort of diagnostic tool to detect whether students’ concepts and statements about math are reasonable. From the authors’ teaching experiences, the time computation problems are hard to upper graders of elementary school students. To examine students’ difficulty of computation problem, problem posing activities was organized for warming up their experiences and for choosing the research case from the pilot. The purpose of this study was to explore the problem posing performance and the effect of diagnosis teaching intervention of this case. This case had difficulty with computational operations when completing math problems; however, the student had no difficulties responding orally during the interview. The researcher finally monitored the student’s performance while providing diagnosis teaching intervention.

The study found the student confused two terms: “interval of time and “point in time”, thus causing her to pose incorrect mathematics problems. She was successfully able to adjust some of her misconceptions after the researcher intervened by questioning. In addition, the strategy of using number lines to represent the structure of the problems she posed was found to be an effective method in adjusting her problem posing. Moreover, the strategy of asking her to solve the problems she posed drove her to understand the mistakes she had made.

Key words: time computation problems, mathematics problem posing, mathematics problem solving, diagnosis teaching