混合分配下之估計模型鑑別力比較 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統. 學. 計. 系. 碩士學位論文混合分配下之估計模型鑑別力比較治. 政 Discriminatory Comparison of Estimating Power 大立 Mixed Model under ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. n. al 指導教授：劉惠美博士 iv Ch. n engchi U. 陳麗霞博士. 研究生：廖雅薇. 中華民國九十九年六月圱.

(2) 謝. 誌. 經過研究所兩年的訓練，終於完成碩士論文，為我的學生生涯畫上句點。感謝一路上許多人的幫助與指導，讓我可以持續地成長與學習。首先要謝謝指導教授劉惠美老師，從大學部開始對我在課業上的細心教導，您的督促與指導讓我收穫良多，在課業之外對教導人生目標與學習態度，並時時關心學生近況，衷心感謝老師。感謝洪明欽老師對我論文的指導，在待人處事上您對我的惇惇教導。並要感謝口試委員陳麗霞. 政治大老師們的耐心與愛心著實令學生備感溫馨。立. 老師及劉家頤老師在百忙之中，給予詳細的審閱與批示，並提供寶貴的建議與鼓勵，. ‧ 國. 學. 回顧六年來在政治大學就讀的求學過程，酸甜苦辣都是值得回味的美好記憶，首先我最感謝的是碩班同學涵茵及書廷以及雨慈，真的好感謝可以在這圮兩年遇到你們。. ‧. 我們一起經歷的點點滴滴都會是我在政大美好的回憶。謝謝你們對我的包容還有鼓. Nat. sit. y. 勵，捨不得你們也會一直與你們保持聯絡。感謝魔王施明儒、唐延新及陳政勳，在課. n. al. er. io. 業上與論文上都一直麻煩你們，從你們身上學習到好多知識，謝謝你們不厭其煩的幫. v. 忙。感謝研究所的夥伴，林福文、洪志叡、鄭舜壕，謝謝大家在研究所相互學習一起成長，和你們一起相處很開心。. Ch. engchi. i n U. 再者，要謝謝一直在我身旁支持我的朋友，凱雯、怡均、維憫、瑋勻、英淑、小舟、貞妃、瑞傑、偉哲。謝謝你們一直待在我身邊，雖然你們對我的論文沒有實質的貢獻，但是卻在一旁對我鼓勵幫我加油。因為有你們才能讓我撐過這一段辛苦的日子，你們總是在我感到最毫無頭緒、最欲振乏力的時候適時拉我一把，哪怕只是陪我聊天談心，你們都幫了我好大好大的忙。最後，要感謝我最親愛的家人，謝謝媽媽、姊姊和妹妹一直以來的包容與支持，謝謝你們這一路上對我學業辛苦的栽培，在這我願意將這份喜悅，和所有協助、鼓勵過我的親朋好友共享，僅以這兩年來之成果，獻給你們！. 坩.

(3) 要. 摘. 銀行在評分模型建置完成後需進行驗證工作，以瞭解評分模型是否能有效評出客戶的風險層級，穩健地估計區別鑑別力指標為驗證工作中的重點。在先前的文獻中假設正常授信戶與違約戶分數分配為常態分配。但在實際資料中，分配未必定為常態。因此本文接著探討在正常授信戶與違約授信戶之分配為混合分配，即兩分數分配為偏斜常態分配下，何種方法可以對於估計坁坕坃具有較高的穩定性。本文比較五. 政治大法。模擬結果呈現在圱圩投信戶組合分配為兩常態分配下，最大摡似法在大部分違約率下立. 種估計坁坕坃的方法，分別為常態核，經驗分配，曼惠尼近似，最大摡似法和坅坍演算. ‧ 國. 學. 都可以得到較窄的信賴區間。在圲圩組合分配為一常態與一偏斜常態及兩偏斜常態分配下，坅坍演算法在大部分情況有較窄的信賴區間，其中在兩偏斜常態分配下，表現更. Nat. n. al. er. io. sit. 關鍵詞：模型鑑別力，坁坕坃，核，坅坍演算法，偏斜常態分配. y. ‧. 佳。在圳圩曼惠尼近似建構的信賴區間寬度最大，代表曼惠尼近似是較保守的估計方法。. Ch. engchi. 坩坩. i n U. v.

(4) Abstract 坂坡坮坫坳坦坡坣坥坤坩坳坣坲坩坭坩坮坡坴坩坯坮坡坦坴坥坲坣坯坮坳坴坲坵坣坴坩坮坧坴坨坥坲坡坴坩坮坧坳坹坳坴坥坭坳坴坯圌坧坵坲坥坯坵坴坷坨坥坴坨坥坲坴坨坥坳坹坳坴坥坭坳坣坡坮坤坩坳坣坲坩坭坩坮坡坴坥坤坥坦坡坵坬坴坩坮坧坡坮坤坮坯坮圭坤坥坦坡坵坬坴坩坮坧坢坯坲坲坯坷坥坲坳圮坌坩坴坥坲坡坴坵坲坥坡坳坳坵坭坥坤坴坨坥坴坷坯坳坣坯坲坥坤坩坳坴坲坩坢坵坩坯坮坡坲坥坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坴坥坤圮坈坯坷坥坶坥坲圬坴坨坥坲坥坡坬坤坡坴坡坭坡坹坮坯坴坢坥坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坩坯坮坳圮块坥坡坳坳坵坭坴坨坥坴坷坯坳坣坯坲坥坤坩坳坴坲坩坢坵坩坯坮坳坡坲坥坳坫坥坷坥坤坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坩坯坮坳坴坯坤坩坳坣坵坳坳坷坨坩坣坨坭坥坴坨坯坤坨坡坳坭坯坲坥坲坯坢坵坳坴坮坥坳坳坴坯. 政治大坴坯坥坳坴坩坭坡坴坥坴坨坥坰坯坰坵坬坡坴坩坯坮坰坡坲坡坭坥坴坲坩坣圮坉坦坵坳坥坤坰坲坯坰坥坲坬坹圬坩坮坦坯坲坭坡坴坩坯坮坡坢坯坵坴坴坨坥立坥坳坴坩坭坡坴坥坴坨坥坁坕坃坶坡坬坵坥圮坕坮坤坥坲坳坫坥坷坥坤坤坩坳坴坲坩坢坵坴坩坯坮圬坷坥坰坲坯坰坯坳坥坅坍坡坬坧坯坲坩坴坨坭. ‧ 國. 學. 坰坯坰坵坬坡坴坩坯坮坰坲坯坰坥坲坴坩坥坳坭坡坹坢坥坵坳坥坤坴坯坧坥坴坢坥坴坴坥坲坡坣坣坵坲坡坣坹坯坦坥坳坴坩坭坡坴坩坯坮坴坨坥坁坕坃坶坡坬坵坥圮坎坵坭坥坲坩坣坡坬坲坥坳坵坬坴坳坳坨坯坷坴坨坥坅坍坡坬坧坯坲坩坴坨坭坭坥坴坨坯坤圬坣坯坭坰坡坲坩坮坧坷坩坴坨坯坴坨坥坲. ‧. 坭坥坴坨坯坤坳圬坨坡坳坲坯坢坵坳坴坮坥坳坳坩坮坤坥坴坥坣坴坴坨坥坲坡坴坩坮坧坳坹坳坴坥坭坳坨坡坶坥坤坩坳坣坩坲坭坡坴坯坲坹坰坯坷坥坲圮. Nat. n. al. er. io. sit. y. Keyword:坄坩坳坣坲坩坭坩坮坡坴坩坯坮坁坕坃坋坥坲坮坥坬坅坍坓坫坥坷坥坤坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坩坯坮. Ch. engchi. 坩坩坩. i n U. v.

(5) 目. 錄. 誌謝圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 坩. 中文摘要圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 坩坩. 英文摘要圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮坩坩坩目錄圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 政治大表目錄圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮立. 坩坶坶坩. ‧ 國. 緒論圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. ‧. 第一章. 學. 圖目錄圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮坶坩坩坩. 研究背景與目的圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 第二節. 研究內容與架構圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. n. al. er. io. sit. y. Nat. 第一節. 第二章. Ch. i n U. v. 文獻探討圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 第一節. engchi. 圱圱圲圳. 區別模型判別力指標圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳. 在一圩. 坃坁坐及坁坒圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳. 在二圩. 坒坏坃及坁坕坃圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圵. 在三圩. 判別力的基本理論圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圷. 第二節. 偏斜常態分配圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圸. 第三節. 多變量封閉偏斜常態分配圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱地. 坩坶.

(6) 第三章. 研究方法圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲. 第一節. 混合分配下的理論坁坕坃值圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圲. 第二節. 估計坁坕坃方法圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圳. 在一圩. 常態核機率密度函數在坮坯坲坭坡坬坫坥坲坮坥坬坤坥坮坳坩坴坹圩估計圮圮圮圮圱圳. 在二圩. 經驗分配在坥坭坰坩坲坩坣坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坴坩坯坮圩機率密度函數估計圮圮圮圱圵. 在三圩. 坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹漸近常態估計法圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圷. 在四圩. 在假設母體為常態分配下利用最大概似估計法估計母體. 政治大. 參數以估計坁坕坃值圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圸. 立. 利用EM 方法估計參數以估計坁坕坃值圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圱圹評估不同估計坁坕坃方法穩定性的準則圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲地. ‧. 模擬結果圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圲. Nat. y. 第四章. 學. 第三節. ‧ 國. 在五圩. 第二節. 準則設定圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圲. 第三節. 混合模型下授信戶組合介紹圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圳. 第四節. 模擬結果分析與比較圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圷. er. al. n. 第五章. sit. 信賴區間計算圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圲圲. io. 第一節. Ch. engchi. i n U. v. 結論圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圳圹. 參考文獻圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圴地. 坶.

(7) 表目錄. 圲圮圱. 坁坕坃值區別違約能力圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圷. 圴圮圱. 各授信戶組合理論坁坕坃值圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圲圳. 圴圮圲. 坁圭圱覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圲圸. 圴圮圳. 坁圭圱覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圴. 坁圭圱信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圵. 坁圭圲覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圶. 坁圭圲覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圷. 坁圭圲信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圸. 坁圭圳覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圹. 坁圭圳覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圱. 圴圮圱地坁圭圳信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圱. 圴圮圱圱坂圭圱覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圲. 圴圮圱圲坂圭圱覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圲. 圴圮圱圳坂圭圱信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圲. 圴圮圱圴坂圭圲覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圳. 圴圮圱圵坂圭圲覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圴. 立. 政治大. y. 圳地. sit. n. n engchi U. 坶坩. 圲圹圲圹. er. io. Ch. 圲圸. ‧. ‧ 國. 學. Nat. al. 圲圸. iv. 圳圱.

(8) 圴圮圱圶坂圭圲信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圴. 圴圮圱圷坂圭圳覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圵. 圴圮圱圸坂圭圳覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圵. 圴圮圱圹坂圭圳信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圵. 圴圮圲地坃覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圶. 圴圮圲圱坃覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圶. 圴圮圲圲坃信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圷. 政治大. 圴圮圲圳坄覆蓋次數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 立. 圴圮圲圴坄覆蓋率圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圳圸圳圸. ‧ 國. 學. 圴圮圲圵坄信賴區間寬度圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 坶坩坩. i n U. v. 圳圸.

(9) 圖目錄. 圲圮圱. 坃坁坐曲線圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴. 圲圮圲. 正常授信戶與違約戶之分數分配圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圵. 圲圮圳. 坒坏坃曲線. 圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圷. 圲圮圴. 偏斜常態分配在不同形狀參數下的機率密度函數圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圱地. 圴圮圱. 授信戶組合坁圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圲. 授信戶組合坂圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圳. 授信戶組合坃圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 圴圮圴. 授信戶組合坄圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮圮. 立. 政治大. y. 圲圷. sit. 圲圶. n. er. io. Ch. engchi. 坶坩坩坩. i n U. v. 圲圵. ‧. ‧ 國. 學. Nat. al. 圲圴.

(10) 第一章緒論第一節研究背景與目的圱圹圸圸年巴賽爾銀行監理委員會在坂坉坓圩訂定以規範信用風險為主的巴賽爾資本協定在坂坡坳坥坬坉圩，坂坡坳坥坬坉成為了國際通用計算資本適足率的方式。然而隨著世代變遷，國際間金融環境快速變化下，許多銀行擴大本身規模及國際間資本套利行為盛行，巴賽爾. 政治大. 資本協定無法確切地反映銀行信用風險，因為巴賽爾資本協定著重單一風險衡量，只. 立. 區分不同授信戶型態，未區分同一型態內授信戶的風險高低。因此巴賽爾銀行監理委. ‧ 國. 學. 員在圲地地圴年圶月公布新巴賽爾資本協定在坂坡坳坥坬坉坉圩。我國於圲地地圶年底已採用新巴賽爾資本協定之規定。. ‧ y. Nat. io. sit. 新巴賽爾協定提出兩種重要信用風險計算方式，一為標準法在坳坴坡坮坤坡坲坤坩坳坥坤坡坰圭. n. al. er. 坰坲坯坡坣坨圩與內部評等法在坩坮坴坥坲坮坡坬坲坡坴坩坮坧坢坡坳坥坤坡坰坰坲坯坡坣坨，坉坒坂圩；而坉坒坂又分為基礎. Ch. i n U. v. 內部評等法在坆坯坵坮坤坡坴坩坯坮坉坒坂坁坰坰坲坯坡坣坨圩與進階內部評等法在坁坤坡坶坡坮坣坥坤坉坒坂坁坰圭. engchi. 坰坲坯坡坣坨圩。若銀行本身沒有信用風險模型，可採用標準法。銀行就各項資產與資產負債表項目給予不同風險權數，用來精確計算加權風險性資產價值，在新巴賽爾協定下，風險權數可以參考外部信用評等機構所做之評等。若銀行本身有信用風險模型，可採用內部評分法；銀行自行估算信用風險，配合嚴謹的估算方式及揭露標準。在基礎內部評等法中，政府機構須提供相關的資料協助銀行估算借款人違約機率。進階內部評等法中，銀行由內部資料估算違約機率。因此銀行在評分模型建置完成後需進行驗證工作，以瞭解評分模型是否能有效評出客戶的風險層級，具備區別正常授信戶與違約授信戶之能力。一般較常使用的方法有：Receiver Operating Characteristic在ROC圩曲線. 圱.

(11) 和Area U nder Curve在AU C圩值等。. 在銀行內部建構自己評分模型時，能夠具備區別正常授信戶及違約授信戶能力是相當重要的。這代表著此評分模型可以有效評出客戶的風險層級。因此若能較為準確或穩定地估出該鑑別力指標便能鑑別出評分模型之好壞。在先前的文獻中皆假設兩分數分配皆為同一分配，如皆常態分配。因此本文主要接著探討在正常授信戶與違約授信戶之分配為混合分配，即非兩分配為常態分配下，兩分配並不完全相同，何種方法可以對於估計坁坕坃具有較高的穩定性。進一步探討在兩分數分配為偏斜常態分配下，估計坁坕坃方法之比較。. 第二節研究內容與架構. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 除本章內容外，本文研究內容如下场第二章文獻探討為介紹區別評分模型判別力指. ‧. 標與介紹偏斜常態分配和封閉偏斜常態分配圻第三章研究方法則介紹正常授信戶與違約戶分配為常態分配，常態與偏斜常態的混合分配及兩偏斜常態分配下的坁坕坃計算以及. y. Nat. io. sit. 五種估計坁坕坃值的方法，其中三種方法為無母數方法，一種為假設母體皆為常態分配. n. al. er. 下使用最大概似法估計參數帶回坁坕坃計算式。最後本文中提出以EM 演算法在已知母. Ch. i n U. v. 體非對稱分配下估計母體參數，帶回坁坕坃計算式，企圖在已知母體特性下，帶入母體. engchi. 參數訊息獲取較佳的估計坁坕坃值。第四章為模擬結果，設計四種授信戶組合討論在母體為非對稱分配下，試圖改變違約率來說明在何種情況下，所選取估計坁坕坃方法中，何種方法具有較穩定的估計，以及何種方法可大部分地適用於哪些授信戶組合。最後第五章為本文結論與建議。. 圲.

(12) 第二章文獻探討本章主要探討不同區別模型判別力的指標以及介紹偏斜常態分配的參考文獻及相關性質推演。. 第一節區別模型判別力指標. 政治大的能力。在銀行內部評分模型中，模型判別力指標通常為以下兩種方法场坃坵坭坵坬坡坴坩坶坥立評分模型區別力在坤坩坳坣坲坩坭坩坮坡坴坯坲坹坰坯坷坥坲圩，顯示評分模型在區分授信戶違約與否. ‧ 國. 學. 坁坣坣坵坲坡坣坹坐坲坯圌坬坥在坃坁坐圩與它的綜合指標，坁坣坣坵坲坡坣坹坒坡坴坩坯坮在坁坒圩，坒坥坣坥坩坶坥坲坏坰坥坲圭坡坴坩坮坧坃坨坡坲坡坣坴坥坲坩坳坴坩坣在坒坏坃圩與它的綜合指標，坁坲坥坡坵坮坤坥坲坴坨坥坣坵坲坶坥在坁坕坃圩。本文將. ‧. 詳細介紹上述兩種指標基本定義及特性。. y. Nat. er. io. sit. 第一小節坃坁坐及坁坒. al. iv n C 非違約戶樣本之間彼此相關程度。而最常見的坃坁坐指標為坁坒在吉尼係數圩。坃坁坐的形 hengchi U n. 坃坁坐為一般所知的吉尼曲線在均坩坮坩坣坵坲坶坥圩。以圖示的方法可簡單地看出違約戶及. 狀受到了違約戶及未違約戶樣本的比例多寡而不同，因此在比較不同產業戶數組合時. 可能會有誤導現象。實際上的經驗則顯示坁坒值通常落於圵地圥至圸地圥。然而在解釋時需相當注意樣本中違約戶的數目。. 接著本文將呈現坃坁坐及坁坒在統計上的表達方式。考慮一評分模型產生的評比分數，給予較高的評分分數代表著較低的違約機率。而坃坁坐曲線是將所有債務人的分數由低向高分排列，接著給定一分數在S圩，計算整體債務人分數等於或小於S的比例。因此隨著給定的分數不同，比例便不同，百分比可從地圥至圱地地圥。下圖為坃坁坐曲線的圖示說明场圳.

(13) 一個完美的評分模型將可以把最低的分數評給違約戶，即未違約戶的分數必定大於違約戶的分數。在這樣的情況之下，坃坁坐曲線應為線性增加至圱地地圥的曲線。若為一隨機評分模型在即沒有判別能力的模型圩，意味著無法將較低的分數評予違約戶，所得的坃坁坐曲線為一對角線。真實的評分模型所畫出的坃坁坐曲線會落在這兩種情況之間。. 一個評分模型的特性則可由坁坒值來表達。其中定義圖中Ar為評分模型所繪出的坃坁坐曲線與隨機模型所繪出的坃坁坐曲線在圴圵◦ 圩包圍的面積。以及圖中Ap為完美評分模型所繪出的坃坁坐曲線與評分模型所繪出的坃坁坐曲線包圍的面積。坁坒的定義為场. 立. 治 Ar 政 AR 圽大 Ap. 在圲圮圱圩. ‧ 國. 學. 因此任一評分模型的坁坒值必定界於地至圱之間，而坁坒比值越接近圱，意味著圖. ‧. 1. Perfect model. sit. y. Nat. n. al. er. Ap. io. Defaulters' Complementary Cumulative Distribution Function. 中Ar及Ap面積越相近，則評分模型越接近完美模型。. Ch. Ar. engchi. i n U. Rating model. v. Random model. 0 0. 1 Complementary Rating Cumulative Distribution Function. 圖圲圮圱场坃坁坐曲線. 圴.

(14) 第二小節坒坏坃及坁坕坃和坃坁坐相同，坒坏坃也是一種圖示的工具。比起坃坁坐，坒坏坃的計算方式較為複雜，但坒坏坃不因抽取的樣本較多而有誤導現象。而坁坕坃為坁坒線性組合的轉換，通常可透過坁坕坃值以比較兩個或多個不同的評分模型。因此藉由估計坁坕坃值及其信賴區間可比較出不同評分模型的好壞。. 而坒坏坃的建構可由以下圖示來解釋场顯示出可能的違約戶分數分配及未違約戶分數分配。若為一完美的評分模型，則兩個分數分配應該可以完全分開沒有重疊部分，但. 政治大假設企圖從所給予的評分分數來評判是否債務人在下一期間仍不違約或是違約。對於立. 在真實的評分模型中完美的判別力是不可能的。下圖便舉例兩分配應有重疊部分。. ‧ 國. 學. c. Non-Defaulters. ‧. Frequency. Defaulters. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. Rating score. engchi. i n U. v. 圖圲圮圲场正常授信戶與違約戶之分數分配. 決策者來說最有可能採取的方法為定一個基準分數在坃圩，評分分數小於坃分數的債務人就是潛在的違約戶而評分分數大於坃的債務人則被分類為未違約戶。若用此決策判定違約戶與未違約戶，則會有以下四種可能結果场圱圮債務人為一違約戶且債務人的分數低於基準分數，違約戶被正確判定。圲圮債務人為一未違約戶且債務人的分數高於基準分數，未違約戶被正確判定。圳圮債務人為一違約戶且債務人的分數高於基準分數，違約戶被錯誤分配為未違約戶判定。圵.

(15) 圴圮債務人為一未違約戶且債務人的分數低於基準分數，未違約戶被錯誤分配為違約戶判定。其中最後兩種決策將使得決策者錯誤地分類違約戶與未違約戶。就被判定為違約戶的部分，第一種命名為命中率在坨坩坴坲坡坴坥圩，以坈坒在坃圩表示之 HR在C圩圽 P 在SD < C圩. 在圲圮圲圩. H在C圩坞 HR在C圩圽 ND. 在圲圮圳圩. 估計式為. 其中H在C圩為在基準分數坃下決策者正確判定為違約的戶數，ND 則是樣本的總違約戶數。此名詞意味著在給定一個基準分數下，違約戶可以被正確分類的比例。第二種則. 政治大. 為錯誤警報率在坦坡坬坳坥坡坬坡坲坭坲坡坴坥圩，以坆坁坒在坃圩表示之. 立F AR在C圩圽 P 在S. ND. 在圲圮圴圩. 坞 F AR在C圩圽. F 在C圩 NN D. ‧. ‧ 國. 學. 估計式為. < C圩. 在圲圮圵圩. y. Nat. 其中F 在C圩為在基準分數坃下未違約戶誤判為違約的戶數，NN D 則是樣本的總未違約戶. io. sit. 數。在圖圲圮圲HR在C圩指的是在違約戶的分數分配中，向右累積至基準分數所包圍之面. n. al. er. 積。而F AR在C圩指的是在未違約戶的分數分配中，基準分數向左累積所包圍之面積。. i n U. v. 在建構坒坏坃曲線時，將所有評分模型的分數都當成基準點，不同基準點. Ch. engchi. 下F AR在C圩及HR在C圩的值被算出並做為座標上在x, y圩的點座標，將這些點連成線就可得到坒坏坃曲線。坒坏坃曲線的兩座標軸就分別為F AR在C圩及HR在C圩，同時定義在坒坏坃曲線下所圍面積為坁坕坃在坁坕坒坏坃圩，坁坕坃的值越大代表著評分模型越接近完美模型，藉由變數間的轉換，坁坕坃可表示成下列式子场 Z 1 AU C 圽 FD 在FN 在s圩圩 dFN 在s圩. 在圲圮圶圩. 0. 其中FD 在·圩，FN 在·圩分別為違約戶與未違約戶之分數的分配函數。坁坕坃的值可以用來評判評分模型的好壞，一個沒有任何判別力的隨機模型，該坁坕坃的理論值為地.圵。一個具有判別力的完美模型，該坁坕坃的理論值為圱.地。實際上一個正常的評分模型其坁坕坃的值應落在地.圵至圱.地之間。圶.

(16) 表圲圮圱场坁坕坃值對應區別違約能力 AUC 等於50% 70至80% 80至90% 高於90%. 區別違約能力無區別違約能力區別違約能力佳區別違約能力強區別違約能力極佳. 第三小節判別力的基本理論在這一小節中，本文以統計的角度來解釋上述的指標意義，並解釋該統計特性與彼此相關性。本文先定義一變數Z為在已給予債務人評分分數下的償還狀態。Z 圽地代表著債務人仍有償還能力，反之，Z 圽圱代表著債務人已無償還能力在違. 政治大. 約戶圩。令D為Z 圽圱事件，N 為Z 圽地事件。接著定義p，p為違約機率，亦即. 立. 在圲圮圷圩. ‧ 國. 學. p 圽 P 坛D坝圽 P 坛Z 圽圱坝 ∈ 坛地, 圱坝. 給定違約與否狀態之下，評分分數的條件分配函數，則各別定義為. y. 在圲圮圸圩. n. al. er. io. sit. Nat 1. ‧. P 坛S ≤ s ∩ N 坝圱−p P 坛S ≤ s ∩ D坝 FD 在s圩圽 P 坛S ≤ s|D坝圽 p FN 在s圩圽 P 坛S ≤ s|N 坝圽. rating model. Ch. perfect model. engchi. i n U. v. Hit rate. random model. A. 0. 0. 1 False alarm rate. 圖圲圮圳场坒坏坃曲線. 圷.

(17) 在此處可與前小節互相呼應，FD 在s圩為即基準分數為坓時的命中率，FN 在s圩則為錯誤警報率。根據機率加總法則，分數的分配F 在s圩圽 P 坛S ≤ s坝可被表示為场 F 在s圩圽 pFD 在s圩圫在圱 − p圩 FN 在s圩. 在圲圮圹圩. 通常也稱F 在s圩為基準分數為坓時的警報率。. 在前兩小節可以明白各指標的基本含意，利用函數間的關係將坃坁坐及坒坏坃重新定義為场 ROC在u圩圽 FD FN−1 在u圩. . 政治大. pFD 在·圩圫在圱 − p圩 FN 在·圩−1 在u圩. CAP 在u圩圽 FD F −1 在u圩圽 FD. 立. u ∈ 坛地, 圱坝. . 在圲圮圱地圩. ‧ 國. 學. 在圲圮圱地圩中必須假設p > 地，否則坃坁坐的定義將會與坒坏坃的定義衝突。接著重新定義坁坕坃及坁坒场 1. ROC在u圩du. AU C 圽 0. ‧. Z. er. io. sit. y. Nat. 根據在圲圮圷圩的坃坁坐函數，我們可以重新定義坁坒值為场 R1 R1 CAP 在u圩 − udu 圲 0 CAP 在u圩du − 圱 0 AR 圽圽圱 − p/圲 − 圱/圲圱−p. 在圲圮圱圱圩. al. 在圲圮圱圲圩. n. iv n C 本文中假設評分模型所給予的分數為一連續分配，即違約戶的分數分配與未違約戶的 hengchi U. 分數分配皆為連續分配。. P 坛S 圽 s坝圽地, ∀s. 在圲圮圱圳圩. 在這樣的假設下，坁坕坃與坁坒將有一個線性轉換的關係，關係結果如下场 AR 圽圲AU C − 圱. 在圲圮圱圴圩. 第二節偏斜常態分配圓偏斜常態分配在坳坫坥坷坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坴坩坯坮圩最早由坏坈坡坧坡坮和Leonard在圱圹圷圶圩提出基本概念，Azzalini在圱圹圸圵圩再更進一步地定義偏斜常態分配與其性質，接圸.

(18) 著Azzalini和Dalla − V alle在圱圹圹圶圩以單變量偏斜常態為基礎，延伸多變量偏斜常態分配在坭坵坬坴坩坶坡坲坩坡坴坥坳坫坥坷坮坯坲坭坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坴坩坯坮圩。偏斜常態分配定義如下场假設一隨機變數Y 的機率密度函數為 φ 在y圻 λ圩圽圲φ在y圩圈在λy圩 , λ ∈ R, y ∈ R. 在圲圮圱圵圩. 其中φ 在·圩與圈在·圩個別代表著標準常態分配的機率密度函數與累積密度函數。則稱隨機變數Y 服從偏斜常態分配，表示成Y ∼ SN 在λ圩，令X 圽 ζ 圫 ωY ，ζ ∈ R，ω ∈ R+ 則寫成X ∼ SN 在ζ, ω 2 , λ圩，X機率密度函數表示為圲 x−ζ λ 在x − ζ圩 φ 在x圻 λ圩圽 φ 圈 ω ω ω 該隨機變數的動差母函數為 Mx 在t圩圽圲exp. 立. 治政 ω t λ ζt 圫圈 √ 大ωt , t ∈ R 圲圱圫λ 2 2. 2. r. y. sit. io. al. er. 在a圩若λ 圽地，Y ∼ N 在地, 圱圩。. n. 在b圩若Y ∼ SN 在λ圩，則−Y ∼ SN 在−λ圩。 2. 在c圩若Y ∼ SN 在λ圩，則Y ∼. 在圲圮圱圸圩. ‧. Nat. 圲 λ √ E 在X圩圽 ζ 圫 ω π 圱圫 λ2 圲 λ2 2 V 在X圩圽 ω 圱 − π 圱圫 λ2 經由在圲圮圱圵圩、在圲圮圱圶圩及在圲圮圱圷圩可得到下述偏斜常態分配的性質场. 在圲圮圱圷圩. 學. ‧ 國. 藉由在圲圮圱圷圩可導出. 在圲圮圱圶圩. Ch. χ21 。. 在d圩圈在y圻 λ圩圽圱 − 圈在−y圻 −λ圩。. engchi. i n U. v. 在e圩當λ → ∞，圱 − 圈在y圻 λ圩圽圲坛圱 − 圈在y圩坝，y ≤ 地在f 圩若X ∼ SN 在ζ, ω 2 , λ圩，U ∼ N 在地, 圱圩，X和U 為兩獨立隨機變數，Z 圽 ρX 圫 p 圱 − ρ2 U ，地 < ρ < 圱，則Z ∼ SN 在ζ ∗ , ω ∗ , λ∗ 圩，其中ζ ∗ 圽 ρζ，ω ∗2 圽 ρ2 ω 2 圫圱 − ρ2 ， λ∗ 圽 √. ρωλ λ2 −ρ2 λ2 +ρ2 ω 2 +1−ρ2. 。. 在圲圮圱圵圩為單變量偏斜常態分配，本文接著介紹多變量偏斜常態分配，若現在一隨機變數Y 為p維度的多變量偏斜常態，該機率密度函數可表示為下式场 fp 在y圻 δ圩圽圲φp 在y圻圆圩圈 δ T y , y ∈ Rp , δ ∈ Rp , 圆p×p > 地圹. 在圲圮圱圹圩.

(19) 其中φp 在·圻圆圩代表p維度的常態分配機率密度函數，圆是p × p變異數共變異數矩陣，表示成Y ∼ SNp 在δ, 圆圩，動差母函數表示為 T. MY 在t圩圽圲exp t 圆t 圈. . δT √ 圆t , t ∈ Rp T 圱圫 δ 圆δ. 在圲圮圲地圩. 除了以上介紹的單變量偏斜常態以及多變量偏斜常態外，Arellano − V alle，Gomez以及Quintana在圲地地圳圩提出廣義偏斜常態分配在skew generalized normal distribution圩。可以了解在增加形狀參數下，此分配相當具有彈性且保有常態的性質。然而多變量偏斜常態並不具有線性組合封閉性的性質及多個獨立的多變量偏斜常態聯合機率並無封閉性，在使用上亦受到了限制，所以衍生出更為廣義的分配圭多變量封閉偏常態分配。. 政治大. 立. 第三節多變量封閉偏斜常態分配. ‧ 國. 學. 多變量封閉偏斜常態分配在multivariate closed skew normal distribution, CSN 圩，. ‧. 假設一p維度隨機變數y，其機率密度函數表示為. y. Nat. fp×q 在y, µ, 圆, υ, 圁圩圽 Cφp 在y圻 µ, 圆圩圈q 在D 在y − µ圩圻 υ, 圁圩. er. io. sit. 在圲圮圲圱圩. 其中C −1 圽圈q 地圻 υ, 圁圫 D圆DT ，p ≥ 圱，q ≥ q，µ ∈ Rp ，圆p×p > 地，Dq×p ，υ ∈. al. n. iv n C R ，圁q×q > 地，另外φp 在·圻 µ, 圁圩和圈 hp e在·圻nµ,g圁圩個別代表在坰維度下常態分配的機率密 chi U q. 1.0. Density. shpae=0 shape=2 shape=4. 0.8. shpae=6. 0.0. 0.2. 0.4. Density. 0.6. shpae=10. −3. −2. −1. 0. 1 value of Y. 圖圲圮圴场偏斜常態分配. 圱地. 2. 3. 4.

(20) 度函數與累積機率函數。µ ∈ Rp ，圁為p × p的變異數矩陣。定義Y 服從多變量封閉偏斜常態分配，表示為Y ∼ CSNp,q 在µ, 圆, D, υ, 圁圩，動差母函數表示為圈q D圆t圻 υ, 圁圫 D圆DT 圱 T T exp t µ 圫 t 圆t , t ∈ Rp MY 在t圩圽圈q 在地圻 υ, 圁圫 D圆DT 圩圲. 在圲圮圲圲圩. 均坯坮坺圓坡坬坥坺圭坆坡坲圓圐坡坳坥坴坡坬圮在圲地地圴圩提出相關定理，在本文往後估計混合偏斜常態分配下的坁坕坃值有相當幫助场定理场若A ∈ Mn×p ，n ≤ p，rank 在A圩圽 n，Y ∼ CSNp,q 在µ, 圆, D, υ, 圁圩則AY ∼ CSNn,q 在µA , 圆A , DA , υ, 圁A 圩. 政治大由在圲圮圲圱圩可得知，若一p維度隨機向量Y 服從多變量偏斜常態分配SN 在δ, 圆圩，立. T T T T 其中µA 圽 Aµ，圆A 圽 A圆AT ，DA 圽 D圆AT 圆−1 A ，圁A 圽圁圫D圆D −D圆A 圆A A圆D 。 p. ‧ 國. 學. 則Y ∼ CSNp,1 地, 圆, δ T , 地, 圱，同理，若一隨機變數Z服從單變量偏斜常態分配SN 在µ, σ 2 , D圩，則Z ∼ CSN1,1 在µ, σ 2 , D, 地, σ圩。. ‧ sit. al. er. io. 機變數且. y. Nat. 接下來利用上述定理，邱嬿燁在圲地地圸圩文中推論出以下結果场若Y1 ，Y2 為兩獨立的隨. v. n. 2 2 Y1 ，Y2 ∈ R1 ，其中Yi ∼ CSN1,1 在µi , σi1 , Di , υi , σi2 圩，i 圽圱, 圲. 則. Ch. engchi. i n U. a1 Y1 圫 a2 Y2 ∼ CSN1,2 µ+ , 圆+ , D+ , υ + , 圁+. . 在圲圮圲圳圩. + 2 2 2 2 其中µ+圽 a1 µ1 圫 a 2 µ2 ，圆圽 1 圫 a2 σ2 ， a1 σ  2 2 σ2 2 ×D a σ 2 D1 a1 σ11 D12 a22 σ11 D1 a1 σ11 2 2 21 2 21 − a2 σ2 +a2 σ2  2 +a2 σ 2 υ1   σ12 圫 a21 σ11  a2 σ2 +a2 σ2  2 21 1 11 2 21 D+ 圽  1 11 22 21 ，υ + 圽  ，圁+ 圽   2 ×D a σ 2 2 σ2 D2 a2 σ21 D1 a1 σ11 D22 a21 σ11 2 2 21 2 21 υ − σ 圫 2 22 a2 σ 2 +a2 σ 2 a2 σ 2 +a2 σ 2 a2 σ 2 +a2 σ 2 1 11. 2 21. 1 11. 2 21. 1 11. 2 21. 由於本文後續將估計兩偏斜常態分配混合模型的坁坕坃值，藉由在圲圮圱地圩及在圲圮圱圱圩可得知坁坕坃與兩分配的線性分配有關，透過以上推論可得知兩偏斜常態分配的線性組合為封閉偏斜常態分配。在下一章本文便可推導出在違約戶及未違約戶分數分配皆為偏斜常態分配下，該坁坕坃的理論值。. 圱圱.

(21) 第三章研究方法本章第一節中，將先介紹混合分配下的理論坁坕坃值。坔坡坳坣坨坥在圲地地圹圩的違約戶及非違約戶分數分配建構於常態分配下，然而實際上並非真實違約戶及非違約戶分數之分配皆為對稱分配。因此本文將非違約戶分數建構於偏斜常態分配，違約戶分數分配建構於常態分配，以推出理論坁坕坃值。並更進一步討論在非違約戶及違約戶分數分配皆服從偏斜常態分配下的理論坁坕坃值。第二節討論不同估計坁坕坃的方法以了解不同方. 政治大. 法下的坁坕坃估計值。最後第三節要介紹本文在評估不同估計坁坕坃方法穩定性的準則。. 立. ‧ 國. 學. 第一節混合分配下的理論坁坕坃值. ‧. 在第二章中本文定義HR在C圩為違約者分數小於截斷點C的機率，表示成P 在SD <. sit. y. Nat. C圩。F AR在C圩為非違約者分數小於截斷點C的機率，表示成P 在SN D < C圩。從坁坕坃的. n. al. er. io. 基本定義可得知 Z 1 Z 1 AU C 圽 HR在F AR圩dF AR 圽 FD 在C圩dFN D 在C圩 0 0 Z 1 Z ∞ 圽 P 在SD < C圩dP 在SN D < C圩圽 P 在SD < C圩fN D 在C圩dC 0. Ch. e n g c h−∞i. i n U. v. 在圳圮圱圩. 圽 P 在SD < SN D 圩圽 P 在SN D > SD 圩假設一场違約戶分數為常態分配，未違約戶分數為偏斜常態分配令Y 圽 SN D − SD ，故坁坕坃值可進一步地推導為 Z AU C 圽 P 在SN D > SD 圩圽 P 在SN D − SD > 地圩圽 P 在Y > 地圩圽. ∞. f 在y圩dy. 在圳圮圲圩. 0. 定義SN D ∼ SN 在µ1 , σ12 圩 ∼ CSN 在µ1 , σ12 , D1 , υ1 圽地, σ12 圩定義SD ∼ N 在µ2 , σ22 圩 ∼ SN 在µ2 , σ22 , D2 圽地圩 ∼ CSN 在µ2 , σ22 , D2 圽地, υ2 圽地, σ22 圩利用在圲圮圲圳圩，SN D − SD ∼ CSN 在µ+ , 圆+ , D+ , V + , 圁+ 圩. 圱圲.

(22) 假設二场違約戶分數及未違約戶分數皆為偏斜常態分配定義SN D ∼ SN 在µ1 , σ12 圩 ∼ CSN 在µ1 , σ12 , D1 , υ1 圽地, σ12 圩定義SD ∼ SN 在µ2 , σ22 , D2 圩 ∼ CSN 在µ2 , σ22 , D2 , υ2 圽地, σ22 圩利用在圲圮圲圳圩，SN D − SD ∼ CSN 在µ+ , 圆+ , D+ , V + , 圁+ 圩圫 σ22 其中µ+圽 µ1 −µ2 ，圆+ 圽σ12 D1 σ12  σ12 +σ22  地 + + D 圽 ，V 圽    −D2 σ22 地 2 2   σ1 +σ2 2 D σ2 2 σ2 σ2 D σ D 1 2 2 1 2 1 1 2  σ1 圫 σ12 +σ22 σ12 +σ22 圁+ 圽   2 σ2 σ2 D1 σ12 D2 σ22 D 2 2 1 2 σ 圫 2 2 2 2 2 σ1 +σ2 σ1 +σ2 知道SN S − SD 的分配後可利用在圲圮圲圱圩得到SN S − SD 的機率密度函數為 f SN S − SD 圻 µ+ , 圆+ , D+ , V + , 圁+ φ 在SN D − SD. +. +. +. +. +. ND +. +. D + +. +. , 圁+ 圩. 在圳圮圳圩. 學. ‧ 國. 圽. 政治大圻 µ , 圆圩圈在D 在在S − S 圩 − µ 圩圻 V 立圈在地圻 V , 圁圫 D 圆 D 圩. 因此可由上面推導得知，在違約戶及未違約戶分數分配為常態與偏斜常態分配或. AU C 圽 P 在SN D − SD > 地圩圽. y. Z. ∞. f SN D − SD 圻 µ+ , 圆+ , D+ , V + , 圁+ d 在SN D − SD 圩. 0. n. al. er. io. sit. Nat. 關。並可表示為. ‧. 二者皆為偏斜常態分配下，皆為封閉偏斜常態分配，混合模型下坁坕坃與該線性組合有. Ch. n engchi U. iv. 在圳圮圴圩. 利用知道分配參數值帶入上式，並對該封閉偏斜常態分配積分，便可得到兩分配皆為封閉偏斜常態分配下之理論坁坕坃值。. 第二節估計坁坕坃方法. 第一小節常態核機率密度函數在坮坯坲坭坡坬坫坥坲坮坥坬坤坥坮坳坩坴坹圩估計假設抽出違約戶分數樣本 x1 , x2 , . . . , xnD 以及非違約戶分數樣本 y1 , y2 , . . . , ynN 。若該些分配為連續分配，則本文可以利用坫坥坲坮坥坬坭坥坴坨坯坤中的坮坯坲坭坡坬坫坥坲坮坥坬當作估計方法在坐坡坧坡坮坡坮坤坕坉坉坡坨圬圱圹圹圹圩分別估計出違約戶分數及非違約戶分數的機率密度函數。圱圳.

(23) 在坐坡坧坡坮坡坮坤坕坉坉坡坨在圱圹圹圹圩書中提出若 f 圽 f 在x圩為一變數 X 的連續機率密度函數且 x1 , x2 , . . . , xn 來自 f 抽出的樣本，則坫坥坲坮坥坬密度估計函數 f坞在x圩可寫成 n. 圱 X K f坞圽 f坞在x圩圽 nh i=1. . xi − x h. . n. 圱X 圽 wi , n i=1. 在圳圮圵圩. 其中在圳圮圵圩中的 . 圱 wi 圽 wni 在x圩圽 K h. xi − x h. . 其中坋為坫坥坲坮坥坬函數，h為形寬，wni 在x圩則是權重函數，須視xi 及x之間的距離及h而定。在選取坫坥坲坮坥坬函數為標準常態分配下，坔坡坳坣坨坥在圲地地圹圩重寫估計的機率密度函數如下：. 立. 治政 X 大x s− nD. f坞D 在s圩圽在nD hD 圩−1. i. φ. 在圳圮圶圩. 在圳圮圷圩. ‧. ‧ 國. 學. hD i=1 n ND X s − yi −1 坞 fN D 在s圩圽在nN D hN D 圩 φ hN D i=1. 其中相同地hD , hN D 為大於零的數，而在設定為坮坯坲坭坡坬坫坥坲坮坥坬方法下，坓坩坬坶坥坲坭坡坮在圱圹圸圶圩提. h 圽圱.地圶σn−1/5. 在圳圮圸圩. er. io. sit. y. Nat. 出h的合理值场. al. iv n C 標準差。n個別是違約戶分數樣本xh 1, x 1 , y2 , ...ynD 的 e2,n...xgnDc以及非違約戶分數樣本y hi U n. 其中σ個別是違約戶分數樣本x1 , x2 , ...xnD 以及非違約戶分數樣本y1 , y2 , ...ynD 的樣本. 樣本數。有了以上估計的機率密度函數，可進一步地推出個別估計的累積機率函數场 F坞D 在s圩圽在nD 圩−1. nD X. 圈. i=1. F坞N D 在s圩圽在nN D 圩−1. n ND X. s − xi hD. 圈. i=1. . s − yi hN D. 在圳圮圹圩在圳圮圱地圩. 本文利用坒坏坃及坃坁坐的基本定義畫出坒坏坃及坃坁坐曲線，而坄坩坲坫坔坡坳坣坨坥圬圲地地圹圬坳坥坣坴坩坯坮圳圮圱中得到了估計坁坕坃值為场 −1. 坞 C 圽在nD nN D 圩 AU. nD n ND X X i=1 j=1. 圱圴. 圈. yj∗ − x∗i p. 2∗ h2∗ N D 圫 hD. ! 在圳圮圱圱圩.

(24) 坄坡坶坩坳坯坮坡坮坤坈坩坮坫坬坥坹在圱圹圹圷圩提出將抽出的樣本做線性轉換以確保利用所估計出的機率密度函數之平均及變異數與接下來討論的經驗分配的平均及變異數可以相符合，因此定義 v u u u bD 圽 u t. 1 n. PnD. 2 i=1 xi. −. P nD 1. 2. i=1 xi n P PnD 2 2 1 x h2D 圫 n1 nD i=1 i i=1 xi n. 在圳圮圱圲圩. nD 圱 − bD X aD 圽 xi n i=1. v u u u bN 圽 u t. 在圳圮圱圳圩. P 2 nN 1 2 y − y j j=1 j j=1 n P 2 P nN 2 1 nN 1 2 hN 圫 n j=1 yj n j=1 yj. 在圳圮圱圴圩. X 政圱 −nb 治 y 大. 在圳圮圱圵圩. 1 n. PnN. nN. N. aN 圽. j. j=1. x∗i 圽 aD 圫 bD xi and h∗D 圽 bD hD. 學在圳圮圱圶圩. ‧. ‧ 國. 立取代在圳圮圶圩，在圳圮圷圩，在圳圮圹圩，在圳圮圱地圩，在圳圮圱圱圩. yj∗ 圽 aN 圫 bN yj and h∗N 圽 bN hN. Nat. sit. y. 在圳圮圱圷圩. n. al. er. io. 第二小節經驗分配在坥坭坰坩坲坩坣坡坬坤坩坳坴坲坩坢坵坴坩坯坮圩機率密度函數估計. Ch. i n U. v. 同假設抽出違約戶分數樣本x1 , x2 , ..., xnD 以及非違約戶分數樣本y1 , y2 , ..., ynN 。. engchi. 若沒有任何證據顯示母體為連續型分配或是在抽出樣本較多情況下使用常態核估計密度函數會較無效率，可利用違約戶分數及非違約戶分數的經驗分配來估計坁坕坃值。在這裡本文先簡單介紹經驗分配，接著更進一步利用經驗分配來導出坁坕坃的估計值。先設一指標函數，u圬t∈R δu 在t圩圽.    圱, 坴 ≤ u. 在圳圮圱圸圩.   地, 坴 > u 定義樣本t1 , t2 , ...tn 的經驗分配為 δu 在t1 , t2 , ..., tn 圩圽圱/n. n X i=1. 圱圵. δu 在ti 圩. 在圳圮圱圹圩.

(25) 若重新調整指標函數，u圬t∈R. δu∗ 在t圩圽.      . 圱, 坴 < u 在圳圮圲地圩. 圱/圲, 坴圽 u      地, 坴 > u. 則調整後經驗分配為 δu∗ 在t1 , t2 , ..., tn 圩圽圱/n. n X. δu∗ 在ti 圩. 在圳圮圲圱圩. i=1. 在上一章中本文假設分數分配為連續分配下得到坁坕坃與坁坒之間的線性關係，接著本文將假設去除，觀察更一般化的資料。利用調整方法使得在圲圮圱圴圩在拿掉分配為連續分配下仍保有該性質，本文重新調整坒坏坃及坃坁坐曲線：. 政治大. ROC ∗ 在w圩圽 P 坛SD < FN−1D 在w圩坝圫 P 坛SD 圽 FN−1D 在w圩坝/圲, w ∈ 坛地, 圱坝. 在圳圮圲圲圩. CAP ∗ 在w圩圽 P 坛SD < F −1 在w圩坝圫 P 坛SN D 圽 F −1 在w圩坝/圲, w ∈ 坛地, 圱坝. 在圳圮圲圳圩. 立. ‧. ‧ 國. 學. 與原始曲線相比. ROC在w圩圽 P 坛SD < FN−1D 在w圩坝圫 P 坛SD 圽 FN−1D 在w圩坝, w ∈ 坛地, 圱坝. y. Nat. al. n ∗. 在圳圮圲圵圩. er. io. 可發現. sit. CAP 在w圩圽 P 坛SD < F −1 在w圩坝圫 P 坛SN D 圽 F −1 在w圩坝, w ∈ 坛地, 圱坝. 在圳圮圲圴圩. Ch. i n U. v. ROC 在w圩 ≤ ROC在w圩andCAP ∗ 在w圩 ≤ CAP 在w圩. engchi. 在圳圮圲圶圩. 在連續型分配下，因為單點機率為零所以調整後的坒坏坃及坃坁坐與調整前並沒有差異，但若所觀察到的資料為間斷型分配的話則就會有上述的結果。而作此調整是為了在一般化的資料下在圲圮圱圴圩仍可成立。本文重新定義調整後的坁坕坃及坁坒值，可發現在圲圮圱圴圩可將不必考慮連續分配的假設而成立。 ∗. Z. 1. ROC ∗ 在w圩dw − 圱/圲. AU C 圽. 在圳圮圲圷圩. 0. 圲 AR 圽圱−p ∗. Z. 1. CAP 在w圩dw − 圱/圲 ∗. 在圳圮圲圸圩. 0. 而根據在圳圮圲圲圩及在圳圮圲圳圩假設及違約戶與未違約戶分數為獨立兩分配則可以獲得 AU C ∗ 圽 P 坛SD < SN D 坝圫 P 坛SD 圽 SN D 坝/圲圱圶. 在圳圮圲圹圩.

(26) AR∗ 圽圲P 坛SD < SN D 坝圫P 坛SD 圽 SN D 坝−圱圽 P 坛SD < SN D 坝−P 坛SD > SN D 坝在圳圮圳地圩且AR∗ 圽圲AU C ∗ − 圱性質仍存在。此性質的存在是利用坆坵坢坩坮坩圧坳坴坨坥坯坲坥坭。坎坥坷坳坯坮在圲地地圱圩則利用上述AU C ∗ 直接當成定義使用。在此本文將AU C ∗ 作為在利用經驗分配下所估計的坁坕坃值。第三小節坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹漸近常態估計法從在圳圮圱圩可發現坁坕坃值與坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹的U 統計解釋有關，在這裡本文一樣設一個指標函數： usD ,sN D 圽.    圱, 坳D < sN D. 在圳圮圳圱圩. 政治大   地, 坳D ≥ sN D. 本文可以接著定義U坞檢定統計量為. 立. ‧ 國. 圱 ND · NN D. X. usD ,sN D. (sD ,sN D ). 學. U坞圽. 在圳圮圳圲圩. ‧. 其中的加總符號代表的是樣本中成對的違約及未違約所得到的指標函數加總。更進一. E在U坞圩圽 P 在SD < SN D 圩. n. al. 在圳圮圳圳圩. er. io. sit. y. Nat. 步地看，發現所得到的檢定統計量U坞為P 在SD < SN D 圩的不偏估計量场. i n U. v. 坞 C與這裡所得到的U坞相同。而從以上的式子中不難發現本文利用經驗分配所得到的AU. Ch. engchi. 本文可找到U坞變異數σU2ˆ 的不偏估計式為场 σ 坞U2ˆ. 圱 2 圽 c 圱圫在ND − 圱圩P坞D,D,N D 圫在NN D − 圱圩P坞N D,N D,N − 圴在ND 圫 NN D − 圱圩在U坞 − 圩圲在圳圮圳圴圩. 其中c 圽. 1 ，P坞D,D,N D 及P坞N D,N D,D 為PD,D,N D 及PN D,N D,D 的估計式，定 4(ND −1)(NN D −1). 義如下 PD,D,N D 圽 P 在SD,1 , SD,2 < SN D 圩圫 P 在SN D < SD,1 , SD,2 圩 − P 在SD,1 < SN D < SD,2 圩 − P 在SD,2 < SN D < SD,1 圩在圳圮圳圵圩 PN D,N D,D 圽 P 在SN D,1 , SN D,2 < SD 圩圫 P 在SD < SN D,1 , SN D,2 圩 − P 在SN D,1 < SD < SN D,2 圩 − P 在SN D,2 < SD < SN D,1 圩圱圷.

(27) SD,1 ，SD,2 為從SD 分配中隨機抽出的獨立觀察值，SN D,1 ，SN D,2 為從SN D 分配中隨機抽出的獨立觀察值。在ND ，NN D →∞可得知在A − U坞圩/坞 σUˆ 為漸近標準常態分配，這使得本文在信賴水準為α下計算AU C信賴區間為 lα 圽坛U坞 − σ 坞Uˆ 圈. −1. . 圱圫α 圲. . , U坞圫 σ 坞Uˆ 圈. −1. . 圱圫α 坝圲. 在圳圮圳圶圩. 其中圈是標準常態分配的累積函數。值得注意是在違約個數太小情況下這樣近似常態的想法並不合理，在一般的經驗分析下違約數目在圵地左右才能使這漸近常態為一合理的想法。第四小節在假設母體為常態分配下利用最大概似估計法估計母體參數以估. 政治大. 計坁坕坃值. 立. 在接下來的兩個方法中，本文企圖不用無母數的方法來估計坁坕坃，如果可以知. ‧ 國. 學. 道母體資訊，在估計時適時地加入母體特性，將可使估計值更為準確。因此在此本文. ‧. 以坅坮坧坥坬坭坡坮坮在圲地地圳圩提出假設違約戶與非違約戶分數的分配皆為常態分配，利用常態分配的特性推導出理論的坁坕坃值。在兩參數的常態分配中，該分配的累積機率函數可. z. F 在Z圩 ≡ P 在Z ≤ z圩圽. n. al. −∞. Ch. 1 x−µ 2 圱 √ e 2 在 σ 圩 dx 圽圈 σ 圲π. . er. io. Z. sit. y. Nat. 定義成下列所示场. n engchi U. iv. z−µ σ. 在圳圮圳圷圩. 其中接著本文討論兩參數常態分配的反累積密度函數為 F −1 在p圩圽 µ 圫 σ圈−1 在p圩. 在圳圮圳圸圩. 其中p ∈ 坛地, 圱坝。接著本文定義y為HR在C圩，x為F AR在C圩，本文可以得到 C − µx x圽圈 ⇒ C 圽 µx 圫 σx 圈−1 在x圩 σx C − µy 在µx − µy 圩圫 σx 圈−1 在x圩 y圽圈圽圈 σy σy. 在圳圮圳圹圩. 其中y便是ROC曲線函數。因此在違約戶及非違約戶分數母體為常態分配假設下，可得到理論AU C值為 Z AU C 圽. 1. 圈. 0. 在µx − µy 圩圫 σx 圈−1 在x圩 σy 圱圸. 在圳圮圴地圩.

(28) 由以上式子中可知道估計AU C值就等於是先估計出母體的未知參數。再將估出的參數帶入AU C值中得到估計的AU C。因此Stephen Satchell and W ei Xia在圲地地圸圩提出利用最大概似估計法估計出兩常態分配的未知參數得到 Pn xi µ 坞x 圽 i=1 n Pn x yi µ 坞y 圽 i=1 ny Pnx 在xi − x圖圩2 σ 坞x2 圽 i=1 n −圱 Pny x 圖圩2 i=1 在yi − y 2 σ 坞y 圽 ny − 圱. 在圳圮圴圱圩. 透過兩獨立常態分配的差異為常態分配。利用AU C基本定義可改寫成下式场 AU C 圽 P 在SD < SN 圩圽 P 在SD − SN < 地圩. 治政大圽 P 在S − S − 在µ − µ 圩 < −在µ 立S − S − 在µ − µ 圩 µ D pN 2 2 σN 圫 σD ! µN − µD Z<p 2 2 σN 圫 σD ! µ − µD pN 2 2 σN 圫 σD. N. − µN 圩圩 ! N − µD. D. <p 2 2 σN 圫 σD. 在圳圮圴圲圩. y. Nat. 圽圈. D. N. ‧. ‧ 國. 圽P. D. 學. 圽P. N. sit. D. n. al. er. io. 利用上式當本文在估計AU C值時只要利用最大概似估計法利用樣本估計出常態分配下的參數就可得到估計的AU C值。. Ch. engchi. i n U. v. 第五小節利用EM 方法估計參數以估計坁坕坃值. EM 演算法用非完整資料作為模型參數的估計。所謂的非完整資料只對資料某些性質並不完全了解，在實際授信戶資料中，未能完全了解資料何種分配，但本文假設為非對稱分配，因此利用EM 演算方法將資料配適偏斜常態分配之參數。以下介紹EM 演算法原理场令Y 為觀察到未完整資料y的隨機變數，且Y 的機率密度函數為f 在y, φ圩，其中φ 在φ1 , ..., φd 圩為一未知參數向量。令X為具有完整資料的隨機變數，且令Z是額外的資料且x 圽坛y, z坝。利用x完整資料建構出一個機率密度函數gc 在x, φ圩，則φ的對數概似函數為 logLc 在φ圩圽 loggc 在x, φ圩圱圹. 在圳圮圴圳圩.

(29) 因為x與y為一對一的樣本空間，因此對於所有x ∈ X可單獨地找到一個y ∈ Y 。所以未完整資料Y 的機率密度函數可合適地用積分完整資料X的機率密度函數來找到。 Z gc 在x, φ圩 dx 在圳圮圴圴圩 g 在y, φ圩圽 X(y). 接著令φ(0) 為φ的起始值，在第k步驟下EM 演算法循下列兩步驟演算场 E − Step. Q φ, φ(k) 圽 Eφ(k) 在logLc 在φ圩 |x圩. 在圳圮圴圵圩. M − Step 選擇φ(k+1) 使得Q φ, φ(k) 有最大值，即 Q φ. 立. 治政 ,φ ≥ Q φ, φ 大. (k+1). (k). (k). ‧ 國. 學. 進行前兩步驟直到. 在圳圮圴圶圩. L φ(k+1) − L φ(k). 在圳圮圴圷圩. ‧. 上式絕對值達到最小。本文利用EM 演算法原理抽出樣本，但在本文中因先假設母體. sit. y. Nat. 為偏斜常態分配，因此並非不完整資料。但由於在實際資料上，無法確切得知分配，. io. al. er. 而本文將樣本配適成偏斜分配。因此提出此方法希望用EM 演算法估出參數後，帶. n. 入坁坕坃基本定義得到估計坁坕坃值。. Ch. engchi. i n U. v. 第三節評估不同估計坁坕坃方法穩定性的準則利用上述的五種方法，分別在違約機率地圮地地圳，地圮地圱，地圮地圵，地圮圱情況下比較求出估計的坁坕坃值。所使用的比較基準為在圱圩分別做出五百個信賴區間，計算真實的坁坕坃值落在做出的信賴區間的個數，並算出該覆蓋率 cover rate 圽. number of true AU C in the estimated CI 圵地地. 在圳圮圴圸圩. 在圲圩分別做出五百個信賴區間，計算坁坕坃值圽地圮圵落在做出的信賴區間的個數，並算出圲地.

(30) 該覆蓋率在圳圩信賴區間寬度上述基準中，本文希望真實坁坕坃值落在估計的信賴區間中的個數越多越好，該覆蓋率越高越好，意指該方法估計效果好，但若該方法覆蓋坁坕坃值為地圮圵的次數越高，意味著該方法可能指出該評分模型為一隨機評分模型，即沒有鑑別能力的模型。這情況下代表此方法無法準確的估計出坁坕坃值。最後為信賴區間的寬度，信賴區間寬度越窄，代表在同樣的信賴水準下，該方法可以估計的較準確。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 圲圱. i n U. v.

(31) 第四章模擬結果本章利用模擬方式探討五種不同估計坁坕坃值方法，下文將介紹不同方法下信賴區間建立方式以及樣本抽取方式。接著將介紹不同授信戶組合理論的坁坕坃值以及設定在不同違約機率下何種方法穩定地估計坁坕坃值。並探討出型二錯誤的覆蓋次數及覆蓋率。. 第一節信賴區間計算. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 第一種方法為拔靴法在坢坯坯坴坳坴坲坡坰圩。本文利用第三章方法可算出坁坕坃的估計值，假設一個坁坕坃估計值為t。本文利用拔靴法重複抽取樣本估計值並且依估計出的坁坕坃值. ‧. 大小排列，如t∗1 ≤ t∗2 ≤ t∗3 ... ≤ t∗n 。則在信心水準為α ∈ 在地, 圱圩的拔靴法信賴區間I為. y. 2. 2. 在圴圮圱圩. sit. Nat. I 圽坛圲t − t∗n 1+α , 圲t − t∗n 1−α 坝. n. al. er. io. 在此本文假設 (n+1)(1+α) 及 (n+1)(1−α) 為圱到n的整數。在此本文選取n 圽圹圹圹以及α 圽 2 2. i n U. v. 圹圵圥，使得 (n+1)(1+α) 圽圹圷圵及 (n+1)(1−α) 圽圲圵。第二種方法利用中央極限定理，本 2 2. Ch. engchi. 文利用中央極限定理近似坁坕坃值，利用在圳圮圳圶圩求出在坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹方法下的信賴區間。其餘四種方法則利用拔靴法來計算信賴區間。. 第二節準則設定. 因此本文在拔靴法下先重複抽取做出圹圹圹個估計坁坕坃值，利用上式做出一個信賴區間，坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹方法則利用中央極限定理做出一個信賴區間。接著重複五百次，得到五百個信賴區間，在這五百個信賴區間中計算真實坁坕坃理論值落在做出的信賴區間中的次數。另外計算出AU C 圽圵地圥落在做出的信賴區間中的次數，其中計算AU C 圽圵地圥是否落在AU C圹圵圥的信賴區間等同於進行坍坡坮坮圭块坨坩坴坮坥坹檢定來看是圲圲.

(32) 否違約戶分數分配與未違約戶分數分配是否相同在虛無假設圩，因此計算AU C 圽圵地圥是否落在AU C圹圵圥的信賴區間可利用型二錯誤來做確認。而為了完整性起見，也呈現雙尾的坋坯坬坭坯坧坯坲坯坶圭坓坭坩坲坮坯坶坴坥坳坴的結果。. 第三節混合模型下授信戶組合介紹本節中將介紹不同授信戶組合，即在相同債務人數在本文設定為一千戶圩，不同違約戶個數下，各方法估計坁坕坃值的表現。首先本文將先探討不同授信戶組合下其分配的分布以及該分布下理論的坁坕坃值。. 政治大理論AUC值立授信戶組合 A-1 0.7602500. 表圴圮圱场各授信戶組合理論坁坕坃值. ‧. ‧ 國. 0.7544868 0.7702965 0.6092444 0.6006223 0.6190549 0.8524100 0.6477132. 學. A-2 A-3 B-1 B-2 B-3 C D. er. io. sit. y. Nat. al. n. iv n C hengchi U 在授信戶組合坁的情況下本文設定該組合的違約戶期望值皆為圴圵地標準差皆為圱地地圻未違授信戶組合坁. 約戶期望值皆為圵圵地標準差皆為圱地地，因此授信戶組合坁的設定為均數差異大而變異數相等之情況。授信戶組合坁圭圱假設違約戶與未違約戶分數分配皆為常態分配且 SD ∼ N 在圴圵地, 圱地地2 圩，SN D ∼ N 在圵圵地, 圱地地2 圩授信戶組合坁圭圲假設違約戶分數分配為常態分配且，未違約戶分數分配為右偏偏斜常態分配且形狀參數為圶， SD ∼ N 在圴圵地, 圱地地2 圩，SN D ∼ SN 在圴圲圲.圴圲圵圵, 圱圶圲.地圹圲圴2 , 圶圩圲圳.

(33) 授信戶組合坁圭圳假設違約戶分數分配為常態分配且未違約戶分數分配為左偏偏斜常態分配且形狀參數為圭圶， SD ∼ N 在圴圵地, 圱地地2 圩，SN D ∼ SN 在圶圷圷.圵圷圴圵, 圱圶圲.地圹圲圴2 , −圶圩. 0.003. Defaults Non−defaults. 0.000. 200. 400. ‧ 國. Defaults Non−defaults. ‧. io. y 400. n. al. 600 Score. e nA−3 gchi. 0.006. Ch. sit. 0.003. A−2. 200. 800. i n U. v. 0.003. Defaults Non−defaults. 0.000. Density. 800. Score. Nat. 0.000. 600. 學. 0.006. 立 Density. 政治大. er. Density. 0.006. A−1. 200. 400. 600. 800. Score. 圖圴圮圱场授信戶組合坁兩分數分配機率密度函數. 圲圴.

(34) 0.003. Defaults Non−defaults. 0.000. Density. 0.006. B−1. 200. 400. 600. 800. Score. 0.003. Defaults Non−defaults. 0.000. ‧ 國. 800. B−3. ‧. Defaults Non−defaults. y. sit. 0.003. 600 Score. io. al. n. 0.000. 400. Nat. Density. 立. 學. 0.006. 200. 政治大. er. Density. 0.006. B−2. 200. Ch. 400. 600. engchi Score. i n U. v. 800. 圖圴圮圲场授信戶組合坂兩分數分配機率密度函數. 授信戶組合坂在授信戶組合坂的情況下本文設定該組合的違約戶期望值皆為圵地地標準差皆為圱圵地圻未違約戶期望值皆為圵圵地標準差皆為圱地地，因此授信戶組合坂的設定為均數差異小而變異數差異大之情況。授信戶組合坂圭圱假設違約戶與未違約戶分數分配皆為常態分配且圲圵.

(35) SD ∼ N 在圵地地, 圱圵地2 圩，SN D ∼ N 在圵圵地, 圱地地2 圩授信戶組合坂圭圲假設違約戶分數分配為常態分配且未違約戶分數分配為右偏偏斜常態分配且形狀參數為圶， SD ∼ N 在圵地地, 圱圵地2 圩，SN D ∼ SN 在圴圲圲.圴圲圵圵, 圱圶圲.地圹圲圴2 , 圶圩授信戶組合坂圭圳假設違約戶分數分配為常態分配且未違約戶分數分配為左偏偏斜常態分配且形狀參數為圭圶， SD ∼ N 在圴圵地, 圱地地2 圩，SN D ∼ SN 在圶圷圷.圵圷圴圵, 圱圶圲.地圹圲圴2 , −圶圩. 政治大在授信戶組合坃的情況下本文設定該組合為兩偏斜常態分配，違約戶為形狀參數圶的右立授信戶組合坃. ‧ 國. 學. 偏偏斜常態分配，期望值為圴圵地標準差為圱地地圻未違約戶為形狀參數−圶的左偏偏斜常態分配，期望值為圵圵地標準差為圱地地，因此授信戶組合坃的設定為均數差異大而變異數相. ‧. 等之情況。. 0.006. C. 0.003. al. er. Non−defaults. Ch. engchi. i n U. v. 0.000. 0.001. 0.002. Density. Defaults. n. 0.004. 0.005. io. sit. y. Nat. SD ∼ SN 在圲圷圲.圴圲圵圵, 圱圶圲.地圹圶圴2 , 圶圩，SN D ∼ SN 在圶圷圷.圵圷圴圵, 圱圶圲.地圹圶圴2 , −圶圩. 0. 200. 400. 600. 800. 1000. Score. 圖圴圮圳场授信戶組合坃兩分數分配機率密度函數. 授信戶組合坄在授信戶組合坄的情況下本文設定該組合為兩偏斜常態分配，違約戶為形狀參數圶的右偏偏斜常態分配，期望值為圵地地標準差為圱圵地圻未違約戶為形狀參數−圶的左偏偏斜常態分配，期望值為圵圵地標準差為圱地地，因此授信戶組合坄的設定為均數差異小而變異數差異大之情況。圲圶.

(36) SD ∼ SN 在圳地圸.圶圳圸圲, 圲圴圳.圱圴圴圷2 , 圶圩，SN D ∼ SN 在圶圷圷.圵圷圴圵, 圱圶圲.地圹圶圴2 , −圶圩 0.006. D. Defaults. 0.003 0.000. 0.001. 0.002. Density. 0.004. 0.005. Non−defaults. 0. 200. 400. 600. 800. 1000. Score. 圖圴圮圴场授信戶組合坄兩分數分配機率密度函數. 第四節模擬結果分析與比較. 立. ‧ 國. 學. 授信戶組合坁圭圱. 政治大. 在授信戶組合坁圭圱的情況下，由於設定為兩常態分配，期望可看到Nmle 與M ann−. ‧. W hitney方法應該有較好的覆蓋次數但在真實坁坕坃值覆蓋次數部分，可以發現在違約. sit. y. Nat. 率地圮地圱以上，各種方法都有還算不錯的覆蓋次數，這兩種方法並沒有相對突出，整體. io. er. 來看各種方法在真實坁坕坃值覆蓋次數部分並沒有太大的差異。以覆蓋率來看，在違約. al. iv n C 違約機率下則沒有明顯好壞。另再看是否坁坕坃圽地圮圵落在所做出的信賴區間內時。發 hengchi U n. 機率地圮地地圳下，Kerner方法相對較差而其他方法則以M ann − W hitney較佳。在其他. 現在違約機率小的時候，p 圽地.地地圳，較容易包含地圮圵值，其中以M ann − W hitney方法最多，表示若利用M ann − W hitney方法估計坁坕坃，則會有較高的覆蓋率覆蓋到地圮圵值，意味著用此方法估計坁坕坃則有較高的比例會認定違約戶分數分配與未違約戶分數分配相同，但實際上這應該是兩完全不同的分配。因此若利用EM 或是Kernel方法則可以大幅減少覆蓋地圮圵值的覆蓋率。另外可看到當違約率越大的時候，覆蓋地圮圵值的次數與比率就很低，近乎為零。在信賴區間寬度下，本文利用信賴區間上界扣除信賴區間下界得到其寬度，從表中可知道在違約機率為地圮地地圳下，Kernel方法可以得到明顯小於其他方法的寬度，代表在相同的信心水準之下Kernel方法做出的信賴區間較窄。在違約機率為p 圽地.地圱，p 圽地.地圵以及p 圽地.圱下EM 方法可以得到明顯小於圲圷.

(37) 其他方法的寬度，代表在相同的信心水準之下EM 方法做出的信賴區間較窄。總體看來。EM 方法在估計真實坁坕坃值並沒有與其他方法差異太多，但卻包含較少比率的地圮圵值。得到的信賴區間大致上也最窄。因此利用EM 方法在授信戶組合坁圭圱可以較為準確地估計坁坕坃值。表圴圮圲场坁圭圱覆蓋次數 True AUC in interval Kernel emp MW Nmle 306 314 345 342 400 404 419 405 457 460 463 447 464 465 469 454. Kernel 37 2 0 0. 50% in interval emp MW Nmle 53 82 54 3 5 3 0 0 0 0 0 0. 表圴圮圳场坁圭圱覆蓋率. Kernel 7% 0% 0% 0%. 50% in interval emp MW Nmle 11% 16% 11% 1% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0%. em 9% 0% 0% 0%. Type II error mw ks 29% 41% 1% 2% 0% 0% 0% 0%. n. al. er. io. sit. em 64% 80% 89% 91%. ‧. True AUC in interval emp MW Nmle 63% 69% 68% 81% 84% 81% 92% 93% 89% 93% 94% 91%. Kernel 0.218610 0.192818 0.101630 0.075000. Type II error mw ks 146 207 3 12 0 0 0 0. 政治大. Ch. i n U. 表圴圮圴场坁圭圱信賴區間寬度. P 0.003 0.01 0.05 0.1. em 44 2 0 0. 學. Kernel 61% 80% 91% 93%. Nat. P 0.003 0.01 0.05 0.1. ‧ 國. 立. em 318 398 445 453. y. P 0.003 0.01 0.05 0.1. engchi. v. Confidence interval width emp MW Nmle 0.256030 0.317483 0.259583 0.198715 0.211909 0.189843 0.103129 0.103932 0.098166 0.075932 0.076152 0.070685. em 0.258929 0.188262 0.097922 0.070593. 授信戶組合坁圭圲在授信戶組合坁圭圲的情況下，設定為違約戶為常態分配，未違約戶為右偏的偏斜常態分配。因此不期望可看到Nmle 與M ann − W hitney方法有較好的覆蓋次數。利用Nmle 方法在這裡是屬於誤判的方法，因此效果不好不並不感到意外。在真. 圲圸.

(38) 實坁坕坃值覆蓋次數部分，可以發現在違約率地圮地圱以上，各種方法都有還算不錯的覆蓋次數，整體來看各種方法在真實坁坕坃值覆蓋次數部分並沒有太大的差異。以覆蓋率來看，在違約機率p 圽地.地地圳下，以M ann − W hitney方法表現較佳，EM 方法沒有特別突出。在其他違約機率下則沒有太明顯好壞。另再看是否坁坕坃圽地圮圵落在所做出的信賴區間內時。發現在違約機率小的時候，p 圽地.地地圳，較容易包含地圮圵值，其中以M ann − W hitney方法最多，表示若利用M ann − W hitney方法估計坁坕坃，則會有較高的覆蓋率覆蓋到地圮圵值，意味著用此方法估計坁坕坃則有較高的比例會認定違約戶分數分配與未違約戶分數分配相同，但實際上這應該是兩完全不同的分配。因此若利用EM 或是Kernel方法則可以大幅減少覆蓋地圮圵值的覆蓋率，其中以Kernel方法表現最為明顯。另外可看到當違約率越大的時候，覆蓋地圮圵值的次數與比率就很低，近乎為. 政治大. 零。在信賴區間寬度下，從表中可知道在違約機率為地圮地地圳下，Kernel方法可以得到. 立. 明顯小於其他方法的寬度，代表在相同的信心水準之下Kernel方法做出的信賴區間較. ‧ 國. 學. 窄。相比之下M ann − W hitney方法做出的信賴區間過寬。EM 方法在此情形中則沒有太突出的表現。. sit. y. n. al. em 291 408 460 450. Ch. Kernel 61 2 0 0. 50% in interval emp MW Nmle 88 146 73 3 4 0 0 0 0 0 0 0. er. True AUC in interval Kernel emp MW Nmle 287 292 329 334 416 415 436 426 461 464 472 473 460 459 465 453. io. P 0.003 0.01 0.05 0.1. ‧. Nat. 表圴圮圵场坁圭圲覆蓋次數. engchi. i n U. v. em 74 2 0 0. Type II error mw ks 184 247 2 16 0 0 0 0. 表圴圮圶场坁圭圲覆蓋率. P 0.003 0.01 0.05 0.1. Kernel 57% 83% 92% 92%. True AUC in interval emp MW Nmle 58% 66% 67% 83% 87% 85% 93% 94% 95% 92% 93% 91%. em 58% 82% 92% 90%. Kernel 12% 0% 0% 0%. 圲圹. 50% in interval emp MW Nmle 18% 29% 15% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%. em 15% 0% 0% 0%. Type II error mw ks 37% 49% 0% 3% 0% 0% 0% 0%.

(39) 表圴圮圷场坁圭圲信賴區間寬度 P 0.003 0.01 0.05 0.1. Confidence interval width emp MW Nmle 0.298058 0.374269 0.269523 0.231896 0.248505 0.191746 0.113966 0.115158 0.095863 0.084562 0.084609 0.070380. Kernel 0.250589 0.217234 0.109317 0.081466. em 0.302947 0.215035 0.107855 0.079191. 授信戶組合坁圭圳在授信戶組合坁圭圳的情況下，設定違約戶為常態分配，未違約戶為左偏的偏斜常態分配。可得知在這種組合下，Nmle 方法是一種誤用的方法。在真實坁坕坃值覆蓋次數部分，可以發現在違約率地圮地圱以上，各種方法都有還算不錯的覆蓋次數，整. 治政體來看各種方法在真實坁坕坃值覆蓋次數部分並沒有太大的差異。在違約機率p 圽大立地.地地圳下，Kerner方法相對較差，在違約機率而其他方法則以M ann − W hitney較 ‧ 國. 學. 佳。在p 圽地.地圱下M ann − W hitney亦較佳但與其他方法相比差異沒有違約機. ‧. 率p 圽地.地地圳下大。其他違約機率下則沒有明顯好壞。另在看是否坁坕坃圽地圮圵落在所做出的信賴區間內時，發現在違約機率小的時候，p 圽地.地地圳，較容易包含地圮圵值，其. y. Nat. sit. 中以M ann − W hitney方法最多，表示若利用M ann − W hitney方法估計坁坕坃，則. n. al. er. io. 會有較高的覆蓋率覆蓋到地圮圵值，意味著用此方法估計坁坕坃則有較高的比例會認定違. i n U. v. 約戶分數分配與未違約戶分數分配相同，但實際上這應該是兩完全不同的分配。因. Ch. engchi. 此若利用EM 或是Kernel方法則可以大幅減少覆蓋地圮圵值的覆蓋率。在信賴區間寬度下，從表中可知道在違約機率為p 圽地.地地圳下，Kernel方法可以得到明顯小於其他方法的寬度，代表在相同的信心水準之下Kernel方法做出的信賴區間較窄。在違約機率為p 圽地.地圱，p 圽地.地圵以及p 圽地.圱下EM 方法可以得到明顯小於其他方法的寬度，代表在相同的信心水準之下EM 方法做出的信賴區間較窄。總體看來。EM 方法在估計真實坁坕坃值並沒有與其他方法差異太多，除在違約機率很小時比M ann − W hitney表現差但卻包含較少比率的地圮圵值。得到的信賴區間大致上也最窄。因此利用EM 方法在授信戶組合坁圭圳可以較為準確地估計坁坕坃值。. 圳地.

(40) 表圴圮圸场坁圭圳覆蓋次數. P 0.003 0.01 0.05 0.1. True AUC in interval Kernel emp MW Nmle 306 315 359 337 403 406 432 409 458 461 457 444 473 476 475 451. em 319 399 447 450. Kernel 39 1 0 0. 50% in interval emp MW Nmle 53 74 74 1 1 1 0 0 0 0 0 0. em 43 1 0 0. Type II error mw ks 157 183 2 4 0 0 0 0. 表圴圮圹场坁圭圳覆蓋率. 立. em 64% 80% 89% 90%. Kernel 8% 0% 0% 0%. 50% in interval emp MW Nmle 11% 15% 15% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%. 政治大. Confidence interval width emp MW Nmle 0.235666 0.290937 0.268184 0.172850 0.183873 0.189161 0.091704 0.092258 0.097192 0.069413 0.069449 0.070541. ‧. Kernel 0.205804 0.171224 0.091747 0.069533. y. sit. io. al. n 授信戶組合坂圭圱. em 9% 0% 0% 0%. Type II error mw ks 31% 37% 0% 1% 0% 0% 0% 0%. 學. 表圴圮圱地场坁圭圳信賴區間寬度. Nat. P 0.003 0.01 0.05 0.1. True AUC in interval emp MW Nmle 63% 72% 67% 81% 86% 82% 92% 91% 89% 95% 95% 90%. em 0.236570 0.166009 0.085998 0.062567. er. Kernel 61% 81% 92% 95%. ‧ 國. P 0.003 0.01 0.05 0.1. Ch. engchi. i n U. v. 在授信戶組合坂圭圱的情況下，設定為兩常態分配，在真實坁坕坃值覆蓋次數部分，各種方法都有還算不錯的覆蓋次數，整體來看各種方法在真實坁坕坃值覆蓋次數部分並沒有太大的差異。以覆蓋率來看，在違約機率地圮地地圳下，Kerner方法相對較差而其他方法則以M ann − W hitney較佳。在其他違約機率下則沒有明顯好壞。另在看是否坁坕坃圽地圮圵落在所做出的信賴區間內時。以M ann − W hitney方法最多，表示若利用M ann − W hitney方法估計坁坕坃，則會有較高的覆蓋率覆蓋到地圮圵值，意味著用此方法估計坁坕坃則有較高的比例會認定違約戶分數分配與未違約戶分數分配相同，但實際上這應該是兩完全不同的分配。因此若利用EM 或是Kernel方法則可以大幅減少覆蓋地圮圵值的覆蓋率。另外可看到當違約率越大的時候，覆蓋地圮圵值的次數與比率較. 圳圱.