第六屆中國數學奧林匹克
(1991 年)
1. 平面上有一凸四邊形 ABCD。 i. 如果平面上存在一點P，使得 ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP 面積都 相等，問四邊形ABCD 應滿足甚麼條件？ ii. 滿足(i)的點 P，平面上最多有幾個？證明你的結論。 2. 設 I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y 為 I 的元素}，求 G 到 I 的所有映射 f，使得對 I 的任何 x、y、z 有 i. f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )； ii. f(x, 1) =x， f(1,y)=y； iii. f(zx, zy) =zk f(x,y)。這裏，k 是與 x、y、z 無關的正數。 3. 地面上有 10 只小鳥在啄食，其中任意 5 只小鳥中至少有 4 只在一個圓上， 問有鳥最多的圓上最少有幾隻鳥？ 4. 求滿足方程 x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整數解組(x, y, z, n)，這裏 n≧2，z≦5×22n。 5. 求所有自然數 n，使得 min自然數k( k2+[n/k2] )=1991。這裏[n/k]表示 n/k 的整 數部份。 6. MO 牌足球由若干多邊形皮塊用三種示同顏色的絲線縫製而成，有以下 特點： i. 任一多邊形皮塊的一條邊恰與另一多邊形皮塊同樣長的一條用一 種六色的絲線縫合； ii. 足球上每結點，恰好是三個多邊形的頂點，每一結點的三條縫線 不相同。 求證：可以在MO 牌足球的每一結點上放置一個不等於 1 的複數，使得 每一多邊形的所有頂點上放置的複數的乘積都相等。
