6-2-3導函數的應用-三次函數的圖形

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(1)選修數學(I)2-3 導函數的應用-三次函數的圖形【性質】 1. 圖形分類：實係數三次函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的可能圖形：項目判別式圖形特徵 a0 a0 1. 有兩條水平切線。 2. 有一極大值，也有一極小值。 (1) b2  3ac 3. 反曲點為極大點及極小點的連線段之中點。 1. 沒有水平切線。 2. f (x) 是嚴格遞增或嚴格遞減的函 (2) b2  3ac 數。 3. 沒有極大值，也沒有極小值。 1. 恰有一條水平切線。 2. f (x) 是遞增 (3) b2  3ac 或遞減的函數。 3. 沒有極大值，也沒有極小值。說明：對於一般的實係數三次函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d ，其中 a  0 ，要研究 y  f ( x) 的圖形，我們只需要考慮 a  0 的情況，再透過對稱性即可了解 a  0 時的圖形。. 11.

(2) 證明：多項式函數在每一點都可微分，因此函數 f (x) 會有極值點 x 就必須滿足 f ( x)  0 ，即 3ax2  2bx  c  0 。此方程式的兩根狀況，可由判別式   (2b) 2  4  (3a)  c  4(b 2  3ac) 來決定，以下簡化成三類來探討函數 f (x) 的可能圖形。 (1)   0 ，即 b2  3ac 。此時， f ( x)  0 恰有兩相異實跟，設為  ,  (   ) ，則 f (x)  3ax2  2bx  c  3a( x   )(x   ) ，  2b c 其中兩根和     ，兩根積為   。 3a 3a b   又 f (x)  6ax  2b  6a( x  )  6a( x  )， 3a 2   以 x  , ,  為分界點，列表如下： 2 x. x . . f ( x) f ( x). ┼ ─. 0 ─. f ( x).  x.  .  .  . 2. 2. 2. ─ ─. ─ 0   f( ) 2 反曲點. f ( ) 極大. x. ─ ┼. 因此 y  f (x) 的圖形(如下圖)具有以下性質： (a) 有兩條水平切線： y  f ( ), y  f ( ) 。 (b) 有一極大值 f ( ) 及一極小值 f ( ) 。     b b (c) 有一反曲點 ( ,f( )) ，即 ( , f ( )) 。 2 2 3a 3a. 12. . x. 0 ┼. ┼ ┼. f ( ) 極小.

(3) (2)   0 ，即 b2  3ac 。此時，恆有 f ( x)  0 ，因此 f (x) 是 R 上的一嚴格遞增函數，其圖形(如下圖)具有以下性質： (a) 沒有水平切線。 (b) 沒有極大值，也沒有極小值。 b b (c) 有一反曲點 ( , f ( )) 。 3a 3a. (3)   0 ，即 b2  3ac 。此時，恆有 f ( x)  0 ，因此 f (x) 是 R 上的一遞增函數，其圖形(如下圖)具有以下性質： b (a) 恰有一水平切線 y  f ( ) 。 3a (b) 沒有極大值，也沒有極小值。 b b (c) 有一反曲點 ( , f ( )) 。 3a 3a. 註：三次函數所有可能出現的六種圖形，都是點對稱圖形。一般而言，曲線 y  f ( x) 的圖形是以 M (a, b) 為對稱中心的點對稱圖形的意思，是指「 ( x0 , y0 ) 為曲線 y  f ( x) 上任意一點的充要條件為 (2a  x0 , 2b  y0 ) 也是曲線上的一點」。事實上，三次函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的圖形都是點對稱圖形，且以反曲點 (. b b , f ( )) 為圖形的對稱中心。 3a 3a. 13.

(4) 2.. 實係數三次函數的圖形：實係數三次函數 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的圖形都是點對稱圖形， b b 且以反曲點 ( , f ( )) 為對稱中心。 3a 3a 註： b b (1) 三次函數圖形可以用點 ( , f ( )) 為新原點，建立新坐標系 X  Y ， 3a 3a 3 則方程式將變成 F ( X )  AX  CX 的形式。由前可知三次函數圖形的基本形式可以分為： f ( x)  ax3 (嚴格遞增或遞減)，或 f ( x)  ax3  cx 其中 c  0 。 (2) f (x) 的圖形上恰有一反曲點，此點也是圖形的對稱中心，因此，當圖形上有極大點 A( , f ( )) 與極小點 B( , f ( )) 時， A 與 B 會對稱於反曲點，即反曲點為 AB 的中點，   f ( )  f (  ) 可得 f ( 。 ) 2 2 說明：欲證若 P( x1 , f ( x1 )) 在 y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的圖形上， 2b b 則 Q( x1  , f ( x1 )  2 f ( )) 在 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 的圖形上。 3a 3a 2b b (即想要證 f ( x1  )   f ( x1 )  2 f ( ) ) 3a 3a 證明： (方法一) 2b 2b 2b 2b f ( x1  )  a( x1  )3  b( x1  )2  c( x1  )  d 3a 3a 3a 3a 2b 3 2b 2 2b  a( x1  )  b( x1  )  c( x1  )  d 3a 3a 3a 2b 2b 2b   2b 2b   2b    a x13  3x12 ( )  3x1 ( ) 2  ( )3   b x12  2 x1 ( )  ( ) 2   c x1    d 3a 3a 3a   3a 3a   3a   2b 2b 2b 2b 2b 2b  ax13  3ax12 ( )  3ax1 ( )2  a( )3  bx12  2bx1 ( )  b( )2  cx1  c  d 3a 3a 3a 3a 3a 3a 2 3 2 3 4b x1 8b 4b x1 4b 2bc  (ax13  bx12  cx1  d )  2d     2 2 3a 27a 3a 9a 3a 3 3 8b 4b 2bc  (ax13  bx12  cx1  d )  2d   2 2 27a 9a 3a 3 3 8b 4b 2bc 4b3 2bc   f ( x1 )  (    2 d )   f ( x )  (   2d ) 1 27a 2 9a 2 3a 27a 2 3a 2b3 2b3 2bc b3 b3 bc   f ( x1 )  (    2 d )   f ( x )  2 (     d) 1 27a 2 9a 2 3a 27a 2 9a 2 3a b b b b   f ( x1 )  2(a( )3  b( )2  c( )  d )   f ( x1 )  2 f ( ) 。 3a 3a 3a 3a. 14.

(5) (方法二) 利用綜合除法可得 b 3 b2 b 2b3 bc f ( x)  a( x  )  (c  )( x  )    d (＊) 3a 3a 3a 27a 2 3a 若點 P ( x 0, y0 ) 在 y  f ( x) 的圖形上， b b 則以反曲點 ( , f ( )) 為對稱中心， 3a 3a 點 P ( x 0, y0 ) 的對稱點為 Q( x, y ) 時， b b x  2( )  x 0 , y  2 f ( )  y 0 。 3a 3a b b b b 2b3 bc 又 f ( )  a( )3  b( )2  c( )  d   d ， 3a 3a 3a 3a 27a 2 3a 2b 4b3 2bc   故x   x0 , y    2d  y 0 。 3a 27a 2 3a 由(＊)式可得 b b2 b 2b3 bc f ( x)  a(  x 0)3  (c  )(  x 0)  (   d) 3a 3a 3a 27a 2 3a b b2 b 2b3 bc 2b3 bc  [a(  x 0)3  (c  )(  x 0)    d ]  2 (  d ) 2 2 3a 3a 3a 27a 3a 2 7a a 3 3 4b 2bc   f ( x 0)    2d 2 27a 3a 4b3 2bc    2d  y0  y ， 27a 2 3a 亦即 Q( x, y ) 在 y  f ( x) 的圖形上。因此 y  f ( x) 圖形上的任意點，以反曲點為中心的對稱點都在 y  f ( x) 的圖形上，所以 y  f ( x) 的圖形對稱於反曲點。. 15.

(6) 3.. 根的討論：實係數三次方程式 ax3  bx2  cx  d  0 的根：判別式三根 2 1. b  3ac 。三相異實根。 2. 極大值大於 0 且極小值小於 0 。 1. b2  3ac 。兩相異實根， 2. 極大值等於 0 其中一根是二重根。或極小值等於 0 。 1. b2  3ac 。一實根及兩共軛複數根。 2. 極大值小於 0 或極小值大於 0 。一實根及兩共軛複數根。 b2  3ac 2 一實根且為三重根 b  3ac. (f). 圖形( a  0 之情形) 如圖(a). 如圖(b),(c). 如圖(d),(e) 如圖(f) 如圖(g). (g). 討論：設 f ( x)  ax3  bx2  cx  d (1) b2  3ac ( f (x) 有極大值，也有極小值)： (a) 當極大值大於 0 且極小值小於 0 ，則 f ( x)  0 有三相異實根。 (b) 當極大值大於 0 或極小值小於 0 ，則 f ( x)  0 有兩相異實根，其中一根是二重根。 (c) 當極大值大於 0 或極小值小於 0 ，則 f ( x)  0 有一實根及兩共軛複數根。 (2) b2  3ac ：此情況下， f (x) 恆正，故 f (x) 是一嚴格遞增的函數，此時， f ( x)  0 恰有一實根及兩共軛複數根。 (3) b2  3ac ：此情況下， f (x) 是一遞增的函數，此時， f ( x)  0 恰有一實根且為三重根。 16.

(7) 【應用】 1. 設 f ( x)  ax3  bx2  cx  d 為實係數三次多項式函數。 b 詴證：若 b2  3ac 且 f ( )  0 ，則 f ( x)  0 恰有一實根，且為三重根。 3a 註： b b2  3ac 且 f ( )  0 也是 f ( x)  0 有三重根的必要條件。 3a 證明： b b b b 由 f ( )  0 得 a( )3  b( )2  c( )  d  0 ， 3a 3a 3a 3a 3 9abc  2b 化簡整理可得 d  ， 27a 2 9abc  2b3 b3 又 b2  3ac ，故 d  ，  27a 2 27a 2 於是可得 b b2 b3 3 2 3 2 f ( x)  ax  bx  cx  d  ax  bx   a ( x  )3 ， x 2 3a 3a 27a b 故 f ( x)  0 恰有一實根 x   ，且為三重根。 3a 2. 已知實係數三次方程式 ax3  bx 2  cx  d  0 恰有一實根，且為三重根，詴證： b2  3ac 且 d . b3 。 27 a 2. 證明：設三重根為  ，則 ax3  bx2  cx  d  a( x   )3 。由三根和 3 . b b ，可知   ， a 3a. 代回原式得 ax3  bx 2  cx  d  a( x . 得c  3.. b2 b3 b 3 x ﹐ )  ax 3  bx 2  3a 27 a 2 3a. b2 b3 ,d ，故得證。 3a 27 a 2. 設 a, b 為實數，詴證：方程式 x3  ax  b  0 有三相異實根的充要條件是 4a3  27b2  0 。證明：令 f ( x)  x3  ax  b ，則 f ( x)  3x 2  a 。 f ( x)  0 有三相異實根的充要條件是 f ( x)  0 有兩相異實根，故x. a ， 3. 且極大值 f (. a a )  0 ，而極小值 f ( )0。 3 3. a a ) f ( )  0， 3 3 由此可得 4a3  27b2  0 。. 因此， f (. 17.

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