4-2-2排列組合-排列

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(1)第四冊 2-2 排列組合-排列【定義】 1. 階乘： n! 讀作 n 的階乘，其意義為 n! = n × ( n − 1) × ( n − 2) × L × 2 × 1 。 2. 完全相異物的直線排列：由 n 個不同物件中，取 m 個( m ≤ n )在固定位置上排列，其方法數為 Pmn 種， n × (n − 1) × L × (n − m + 1) × (n − m)L × 2 × 1 其中 Pmn = n × ( n − 1) × L × ( n − m + 1) = ( n − m) × L × 2 × 1 =. 3.. 4.. 5.. 6.. n! ，特別的， m = n 時， Pmn = Pnn = n! 。 (n − m)!. (規定 0!= 1，即想成取 0 個物品的方法數為 1 種，也就是不取的那一種方法) (1) 想法一：想成將位置固定，把物品放置到位置上。 (2) 想法二：想成將物品固定，將位置編號給物品。不盡相異物的直線排列（排列有先後順序之分，但相同物之間則不分順序）： n L 設個物件中，共有 k 類，其中第 1 類有 n1 個，第 2 類有 n2 個，，第 k 類有 nk 個， ( n1 + n2 + L + nk = n ) ，則這 n 個物件排成一列，其方法數為 n! 。 n1!n2!L nk ! 註：想成原來的方法當中，每幾種變成一種的意思。環狀排列： n! (1) 由 n 個相異物品圍成圓圈的排列數為 = (n − 1)! 。 n (2) 由 n 個相異物品中取出 m 個排成一個圓圈，只考慮相鄰關係，稱環狀排 Pmn n × ( n − 1) × L × ( n − m + 1) = 列，其排列數為。 m m 直排數。註：即環排數 = 旋轉數重複排列：由 n 種相異物品中取出 m 個排成一列，可重複選取且每種至少有 m 個，其方法數有 n m 種。 (1) 想法一：將 m 個不同物件分給 n 個人(每個人所得不限)有 n m 種分法。 (2) 想法二：從 n 類不同物件(每類物件至少 m 個)中取 m 個排列(可重複選)，總排列數為 n m 。註：在判別題目時，想成一對多的概念，即 1多的類型。項圈排列： Pn 由 n 個相異物品中取出 m 個串成一條項鍊，其排列數為 m 種。 2m 直排數註：即環排數 = 。旋轉數 × 翻轉數. 第四冊第二章. 排列、組合 — P5.

(2) 7.. 不盡相異物之項圈排列：方法數 1 = (非對稱環狀排列數)+(對稱環狀排列數) 2 1 = (全部環狀排列數-對稱環狀排列數)+(對稱環狀排列數) 2 1 = (全部環狀排列數+對稱環狀排列數)。 2 8. 正 k 邊形桌之排列數： Pn 由 n 個人中取出 m 個人坐入正 k 邊形桌，其方法數有 m k 長方形桌之排列數： Pn 由 n 個人中取出 m 個人坐入長方形桌，其方法數有 m 。 2 【定義】 1. 旋轉數：假設底面不變時，幾種視為同一種之意；底面不變時，原本直排時當不同的，現在卻當相同之情形。 2. 翻轉數：假設底面變化時，幾種視為同一種之意；底面翻了以後，原本直排時當不同的，現在卻當相同之情形。註：可以歸類到旋轉的情形就不能歸類到翻轉的情形，否則會重複計算。【討論】 1. 平面塗色問題：需分類討論某些區塊是否同色，再依序討論相鄰區塊塗色法，再把各類情形相加。 2. 立體塗色問題：直排數立體塗色方法數 = 。旋轉數 × 翻轉數 P6 (1) 塗直四角錐方法數有 5 種。 4 ×1 6 P (2) 塗角錐台方法數有 5 種。 4 ×1 6 P (3) 塗圓柱方法數有 3 種。 1× 2 P6 (4) 塗長方體方法數有 6 種。 4× 2 P6 (5) 塗正四面體方法數有 4 種。 3× 4 P6 (6) 塗正立方體方法數有 6 種。 4×6. 第四冊第二章. 排列、組合 — P6.

(3) 【問題】 1. 走捷徑：如圖由左下角的 A 點走到右上角的 B 點走捷徑，則共有幾種走法？ B. A. 2. 塗色問題：以 5 種顏色塗 A B C D E F 但相鄰要異色，其方法有 3380 種。註：對接觸最多面的那一面先塗色，可以使問題較為簡化。 3. 錯排(排容原理的應用)： (1) 甲、乙、丙、丁、 L ，共 n 個人排成一列， (a) 甲不排某一特定位置之方法數為 n!−( n − 1)! 。 (b) 甲、乙不排某兩特定位置之方法數為 n!−2( n − 1)!+ ( n − 2)! 。 (c) 甲、乙、丙不排某三特定位置之方法數為 n!−3( n − 1)!+3(n − 2)!−( n − 3)! 。註：利用巴斯卡三角形。 (2) 5 人坐 5 位，甲非 1、乙非 2、丙非 3 之方法數為 C 03 5!−C13 4!+C 23 3!−C 33 2! = 64 。 (3) 5 件不同之玩具分給 3 人，甲至少 1、乙至少 1、丙至少 1 之方法數為 C 03 3 5 − C13 2 5 + C 23 15 − C 33 0 5 = 150 。 (4) AABBCCDD 排成一列，同字不相鄰之方法數為 8! 7! 6! 5! C 04 − C14 + C 24 − C 34 + C 44 4! = 864 。 2!2!2!2! 2!2!2! 2!2! 2! 4. 數字排列問題：用 1,2,3,4,5 等 5 個數字排成五位數，但數字不重複使用，則總共有幾種情形？這些數字的總合為多少？ 5. 一筆劃問題： A B. 如圖共有 n 個圓圈相連在一起，現由 A 至 B 一筆劃，共有 2 n −1 × (3!) n 種方法。. 第四冊第二章. 排列、組合 — P7.

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