2-2-1三角函數的基本概念-銳角三角函數

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(1)第二冊. 第二章. 三角函數的基本概念. 第二冊 2-1 三角函數的基本概念-銳角三角函數【定義】銳角三角函數：設 θ 為銳角，若以 θ 為一內角的直角三角形中，斜邊長為 r ，θ 的鄰邊長為 x ，對邊長為 y 。定義六個三角函數如下： r. θ. y. x. 對邊 y 鄰邊 x = ， θ 的餘弦(cosine)為 cos θ = = ，斜邊 r 斜邊 r 對邊 y 鄰邊 x θ 的正切(tangent)為 tan θ = = ，θ 的餘切(cotangent)為 cot θ = = ，鄰邊 x 對邊 y 斜邊 r 斜邊 r θ 的正割(secant)為 sec θ = = ，θ 的餘割(cosecant)為 cscθ = = 。鄰邊 x 對邊 y 註：注意符號不要誤用，如 sin x 2 ≠ sin 2 x = (sin x) 2 。【意義】銳角三角函數的幾何意義： (1)如圖： ∆ABC 為直角三角形，且 AD = 1 ， AD ⊥ BC , DE ⊥ AC , DF ⊥ AB ，. θ 的正弦(sine)為 sin θ =. 可得 DE = sin θ , DF = cos θ , CD = tan θ , BD = cot θ , AC = sec θ , AB = csc θ ，且 sin θ < tan θ < sec θ , cos θ < cot θ < csc θ 。 A F 1 B. E. θ D. C. (2)如圖：單位圓的一部份中，設 O 為圓心， ∆OAB 為直角三角形且 ∠BOA = θ ， B, C , E 在圓上， BA ⊥ OA, DC ⊥ OC , EF ⊥ OE ，可得 AB = sin θ , OA = cos θ , CD = tan θ , EF = cot θ , OD = sec θ , OF = csc θ ，且 sin θ < tan θ < sec θ , cos θ < cot θ < csc θ 。 E. F B. D. 1. θ O. AC.

(2) 【性質】大小關係：討論當角度由 0° 增加到 90° 時，六個銳角三角函數值的變化情形。 1. 當 0° < θ < 90° 時， sin θ , tan θ , sec θ 為遞增函數，且 sin θ < tan θ < secθ ； cos θ , cot θ , csc θ 為遞減函數，且 cosθ < cot θ < cscθ 。 2. 當 0° < θ < 45° 時， sin θ < cosθ ；當 45° < θ < 90° 時， sin θ > cosθ 。取值範圍：角度取值範圍 0° → 90° 三角函數 (0,1) ↗ sin θ (0,1) ↘ cosθ (0, ∞ ) ↗ tan θ (0, ∞ ) ↘ cot θ (1, ∞ ) ↗ secθ (1, ∞ ) ↘ cscθ 【問題】 1. 三角形的三個邊長，可以產生幾種比值? 2. 六個銳角三角函數的定義與邊長的比值是否有關？ 3. 六個銳角三角函數的定義與所取直角三角形大小是否有關？ 4. 若已知一個銳角三角函數值，可以求得其餘的五個銳角三角函數值？ 5. 已知直角三角形的兩股長分別為 5 與 12 ，試求其餘五個三角函數值。 3 6. 已知 sin θ = ，試求其餘五個三角函數值。 5 7. 試求單位圓的內接正三角形的周長與面積？ 180° 解答：周長為 3 ⋅ (2 sin ) = 6 sin 60° = 3 3 ， 1 3 3 3 1 180° 180° 。面積為 3 ⋅ [ ⋅ (2 sin ) ⋅ (cos )] = 3 sin 60° cos 60° = 4 2 3 3 8. 試求單位圓的外切正三角形的周長與面積？ 180° 解答：周長為 3 ⋅ ( 2 tan ) = 6 tan 60° = 6 3 ， 3 1 180° 1 面積為 3 ⋅ [ ⋅ ( 2 tan ) × 1] = 3 tan 60° = 3 3 。 2 3 9. 試求單位圓的內接正 n 邊形的周長與面積？ 180° 解答：周長為 n ⋅ ( 2 sin )， 1 180° n n 1 180° 180° 180° 180° 。面積為 n ⋅ [ ⋅ (2 sin ) ⋅ (cos )] = n ⋅ sin ⋅ cos 2 n n n n 10.試求單位圓的外切正 n 邊形的周長與面積？ 180° 解答：周長為 n ⋅ (2 tan )， n 180° n 1 180° 180° 1 。面積為 n ⋅ [ ⋅ (2 tan ) × 1] = n ⋅ tan 2 n n.

(3) 11.試利用幾何作圖的方法求出下列幾個特別角的三角函數值：角度 θ 30° 45° 三角函數. sin θ. 1 2. cosθ. 3 2. tan θ. 1. 60°. 1. 3 2. 2 1. 1 2. 2. 1. 3. cot θ. 3. 1. secθ. 2 3. 2. cscθ. 2. 2. 3 1 3. 2 2 3. 求 45° 的三角函數值：. 求 30°,60° 的三角函數值：. 45 °. 30°. 12.試利用幾何作圖的方法求出下列幾個非特別角的三角函數值：角度 θ 15° 75° 三角函數. 22.5°. sin θ. 6− 2 4. 6+ 2 4. 2− 2 2. cosθ. 6+ 2 4. 6− 2 4. 2+ 2 2. tan θ cot θ. 2− 3. 2+ 3. 2 −1. 2+ 3. 2− 3. 2 +1. secθ. 6− 2. 6+ 2. cscθ. 6+ 2. 6− 2. 求 15° 的三角函數值：(由 θ 求. θ. 之法). 2 (1)方法一. 30°. 15 °. 2 2+ 2 2 2− 2. 求 22.5° 的三角函數值：(由 θ 求. θ. 之法) 2 (1)方法一. 45°. 22.5°. (2)方法二. (2)方法二. 15°. 22.5°. 15°. 22.5°.

(4) 13.試利用幾何作圖的方法求出下列幾個非特別角的三角函數值：角度 18° 72° 36° 三角函數. 54°. sin θ. 5 −1 4. 10 + 2 5 4. 10 − 2 5 4. 5 +1 4. cosθ. 10 + 2 5 4 5 −1. 5 −1 4. 5 +1 4. 10 + 2 5. 10 − 2 5. 10 − 2 5 4 5 +1. 10 + 2 5. 5 −1. 5 +1. 10 − 2 5. 10 + 2 5. 5 −1. 5 +1. 10 − 2 5. 5 −1 4. 10 + 2 5. 10 − 2 5. 5 +1. 5 −1. 5 +1 4. tan θ cot θ secθ cscθ. 10 + 2 5. 4. 5 +1. 10 − 2 5. 4. 5 −1 10 − 2 5 求 18°,72°,36°,54° 的三角函數值：. 10 + 2 5. A. 18 ° 18 °. 1. x. F. x. E. 36 °. 18 °. 18 °. B. 72 °. D. C. 註：取等腰直角 ∆ABC ， ∠B = ∠C = 72° ，設 AB = 1, BC = x ，. ∠ABC 平分線交 AC 於 F 點， ∠FBC 平分線交 AC 於 E 點， 1− x 則 BF = AF = x, EF = EC = ， 2 1+ x x 。由 ∆ACD 可得 sin 18° = ，由 ∆ABE 可得 cos 36° = 2 2 14.對於其它的角度，應該如何用作圖法求出其三角函數值？.

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