國中數學4 2 1生活中的平面圖形

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B A C A B L 直線曲線曲線射線AB ( ABJJJG) A B 射線BA ( BAJJJG) B A

2−1 生活中的平面圖形

本節課程學習重點： ◎能了解生活中的平面圖形：三角形、多邊形、正多邊形及圓形。 ◎能認識點、線、線段、射線、角、三角形及其符號的表示法。 ◎國中階段只處理凸多邊形。 ◎認識角的種類：銳角、直角、鈍角、平角、周角。 ◎認識兩角的關係：互餘、互補、對頂角。 ◎能理解等腰三角形、正三角形、鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的定義。 ◎能從幾何圖形的判別性質，判斷圖形的包含關係。 ◎能認識圓形的定義及相關名詞：圓心、半徑、弦、直徑、弧、弓形、扇形、圓心角。 ◎能計算弧長、弓形周長、扇形周長。 ◎能理解扇形面積計算公式，並利用圓的性質計算扇形面積。 ◎能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係。 ◎能計算複合平面圖形的周長及面積問題。一、點、線與角：約三千年前，古埃及人為了在尼羅河洪水氾濫後能重新丈量土地，漸漸衍生一套研究圖形的學問，如形狀、大小(度量)、圖形的性質及圖形之間的相互關係等。 西元前三百年左右，歐幾里得(EuClid)編撰了原本(Element)，書中包括了與圖形有關的知識統整。 明朝時，徐光啟和義大利傳教士利瑪竇將這本書翻譯成中文，並使用「幾何」一詞，將書名取名 為「幾何原本」。從此，跟圖形有關的知識，就稱為「幾何學(Geometry)」。 ◎點：幾何圖形中，「點」是最基本的圖形。【說明】在畫點時，只需要考慮它所在的位置，點沒有大小之分。如右圖，為了清楚標示平面上的各點，通常會在點的旁邊寫上大寫的英文字母，如：A、B、C、…來表示這些點， 並稱為A 點(或點 A)、B 點(或點 B)、C 點(或點 C)。 【觀念釐清】平面上，通過任意兩點可以畫出很多條曲線，但只能畫出一條直線。 ◎直線：相異兩點決定一直線。【說明】習慣上，用一個英文字母來表示直線，如L、M、…，有時也會用 L1、L2等符號來代表直線。 右上圖中，A、B 是直線 L 上的兩點，也可以把這條直線記為直線 AB 或HJJGAB。符號「↔」是 表示直線可以向兩邊無限延伸，所以直線是不分長短的。 ◎線段：右上圖中，直線AB 在 A 點與 B 點之間的部分(包含 A 點與 B 點) 就稱為線段，以線段 AB 或 ¯_{AB表示，而 A 點和 B 點都稱為 ¯}_{AB 的端點。} 【觀念釐清】(1)兩點之間的路線中，以線段的長度為最短，就稱這個線段的長度為兩點間的距離。 (2) ¯AB 這個記號既代表線段 AB，也可代表線段 AB 的長度。 ◎射線：如果有一條線只沿著線段一邊的方向延伸出去，則稱為射線，【說明】從A 點往 B 點的方向延伸出去的射線以JJJGAB表示；從B 點往 A 點的方向延伸出去的射線以 BAJJJG表示。 顯然 ABJJJG與 BAJJJG是不相同的。

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A B C 圖(一) ◎角：圖(一)中¯BA和¯BC相交於 B 點，形成一個角，B 點稱為這個角的頂點， ¯BA和¯BC都稱為這個角的邊。以「∠」表示角的符號，記為∠ABC(或∠CBA)， 讀作「角 ABC」(或角 CBA)，也可簡記為∠B，讀作「角 B」。 ∠B 除了表示角以外，也可以表示它的度數。 【說明】圖(二)中以B 點為頂點的角不只一個，如果都用∠B 來表示就 不夠清楚。習慣上會在角的每邊上各取一點，如圖(三)中，以∠ABD 表示左半邊的角，以∠ABC 表示右半邊的角。 A C B D B B 1 2 圖(二) 圖(三) 圖(四) 有時為了清楚地區分各角，也可以用代號來命名，如圖(四)中的∠1 與∠2。可用量角器量角的度數來比較兩角的大小。角的大小只和它的角度有關，而與邊的長短無關。 ◎銳角：度數大於0°且小於 90°的角稱為銳角。 ◎直角：度數恰為90°的角稱為直角。 ◎鈍角：度數大於90°且小於 180°的角稱為鈍角。 90 80 100 100 80 60 120 50 130 120 60 130 50 140 40 40 140 ₁₅₀ 30 30 150 160 20 20 160 180 0 0 180 90 80 100 100 80 60 120 50 130 120 60 130 50 140 40 40 140 ₁₅₀ 30 30 150 160 20 20 160 180 0 0 180 90 80 100 100 80 60 120 50 130 120 60 130 50 140 40 40 140 ₁₅₀ 30 30 150 160 20 20 160 180 0 0 180 銳角直角鈍角 ◎平角：兩個直角可以拼成一個平角(180°)，此時角的兩邊形成一直線，如圖(五)。 ◎周角：兩個平角可以拼成一個周角(360°)，如圖(六)。 180° 0° 90° 180° 0° 圖(六) 圖(五) ◎餘角：如果兩個角的和是90°，就說其中一角是另一角的餘角，或這兩個角互為餘角，簡稱互餘。【說明】如下圖，∠1 和∠2 可拼成一個直角，也就是∠1＋∠2＝90°，這時就說∠1 是∠2 的餘角， ∠2 是∠1 的餘角。 1 2 1 2 練習1：若∠2＝65°，∠1 和∠2 互餘，且∠1 和∠3 互餘，則∠1 和∠3 的度數為何？

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◎補角：如果兩個角的和是180°，就說其中一角是另一角的補角，或這兩個角互為補角，簡稱互補。【說明】如下圖，∠1 和∠2 可拼成一個平角，也就是∠1＋∠2＝180°，這時就說∠1 是∠2 的補角， ∠2 是∠1 的補角。 2 1 2 1 練習2：若∠2＝165°，∠1 和∠2 互補，且∠1 和∠3 互補，則∠1 和∠3 的度數為何？練習3：有兩個角∠AOC＝72°，∠COB＝108°，則 A、O、B 三點一定會在同一條直線上嗎？為什麼？ ◎對頂角：如右圖，直線AB 和直線 CD 相交於 O 點，形成四個角， 其中不相鄰的兩個角稱為對頂角，如∠1 的對頂角為∠3， ∠2 和∠4 也互為對頂角。【說明】由前面互補的關係可知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝180°－∠2＝∠3。同理可得∠2＝∠4，即對頂角相等。【觀念釐清】(1)若∠1＋∠2＝90°，則∠1 與∠2 互為餘角。 (2)若∠1＋∠2＝180°，則∠1 與∠2 互為補角。 (3)對頂角相等。練習4：如下圖，直線L、M、N 相交於 O 點，若∠1＝100°，∠3＝42°，則∠2、∠4、∠5、∠6 各為 多少度？ 1 2 3 4 5 6 O L M N 二、平面幾何圖形：例如：三角形、四邊形、五邊形、圓形、正方形、長方形、菱形、平行四邊形、梯形、…，這些在平面上的幾何圖形，稱為平面幾何圖形。 ◎多邊形：把平面上的幾個點依序用線段連接起來，像這樣的圖形稱為多邊形，如下圖。這些點都叫做多邊形的頂點，這些線段都叫做邊，相鄰的兩邊夾成一個內角。習慣上，會按照多邊形的邊數來命名。三邊形 (也稱三角形) 四邊形五邊形四邊形五邊形 A B C D O 1 2 3 4

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【觀念釐清】(1)如果將多邊形的任意一邊延長後，其他各邊都在這條延長線的同一側，就稱此多邊形為凸多邊形，如圖(七)。如果一個多邊形不是凸多邊形，就稱為凹多邊形，如圖(八)。 (2)在國中階段，如果沒有特別強調，所提到的多邊形都是指凸多邊形。圖(七) 圖(八) (3)除了按照多邊形的邊數命名，也可以用多邊形的頂點來稱呼多邊形。如右圖，從任意一個頂點(如頂點A)開始， 依順時針或逆時針方向，四個頂點依序為A、B、C、D

或 A、D、C、B，把它記作四邊形 ABCD 或四邊形 ADCB，

但不能記作四邊形ACBD 或四邊形 ABDC。 ◎對角線：連接多邊形不相鄰兩頂點的線段稱為多邊形的對角線，如下圖， AC 、 BD 是四邊形 ABCD 的對角線。 A B _C D ◎正多邊形：每邊等長且每個內角相等的多邊形稱為正多邊形，例如正三角形、正四邊形(或正方形)。民間常用的八卦圖就是一個正八邊形，如圖(九)；而蜂巢則近似於正六邊形，如圖(十)。圖(九) 圖(十) ◎三角形：將右圖中三個點A、B、C 以線段連接起來，可形成一個三角形， 稱為三角形ABC，記為△ABC。其中 A、B、C 為三角形的三頂點， ¯AB 、¯BC、¯CA為三角形的三邊，∠A、∠B、∠C 為三角形的三內角。 三角形依內角的角度來分類，可分為： (1)銳角三角形(三個內角都是銳角)； (2)直角三角形(有一個內角是直角)； (3)鈍角三角形(有一個內角是鈍角)。 銳角三角形銳角銳角銳角直角直角三角形鈍角三角形鈍角三角形依邊長來分類，可分為： (1)等邊三角形(或正三角形)：三邊相等的三角形； (2)等腰三角形：有兩邊相等的三角形。其中等長的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊或底，兩腰所夾的角稱為頂角，其餘的兩個角都稱為底角。 A B C A B C D 順時針逆時針

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頂角底角底邊腰腰等腰三角形正三角形底角練習5：三角形的內角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？【觀念釐清】等邊三角形也是等腰三角形。 ◎四邊形： 右圖為四邊形ABCD，其中 AB 、 BC 、 CD 、 DA 是這個四邊形的四個邊， ∠A、∠B、∠C、∠D 是這個四邊形的四個內角。 在四邊形的四個邊中，有共用頂點且彼此相鄰的邊稱為鄰邊；沒有共用頂點且彼此相對的邊稱為對邊。例如： AB 和 BC 是鄰邊，而 AB 和 CD 是對邊。 同理，在四邊形的四個內角中，有共用邊且彼此相鄰的角稱為鄰角；沒有共用邊且彼此相對的角稱為對角。例如：∠A 和∠D 是鄰角，而∠B 和∠D 是對角。 ◎常見的四邊形： (1)正方形：四個角都是直角，且四個邊都等長的四邊形。 (2)長方形(又稱矩形)：四個角都是直角的四邊形。 (3)平行四邊形：兩雙對邊互相平行的四邊形。

正方形長方形平形四邊形 (4)菱形：四個邊都等長的四邊形。 (5)箏形(又稱鳶形)：兩雙鄰邊分別等長的四邊形。 (6)梯形：只有一組對邊平行的四邊形。不平行的邊，稱為腰，若一個梯形的兩腰相等，則稱為等腰梯形。

_菱形

_箏形 _梯形【觀念釐清】在上面各圖中，使用相同記號表示圖形中等長的線段和相等角度的角。 A B C D

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◎圓：在平面上，圓可以看成是與圓心距離相等的所有點所組成的圖形。【說明】可利用圓規來畫圓。如右圖，以圓規針尖所在的點O 為圓心， 圓規兩腳之間的距離( ¯OB)為半徑畫圓，此圓稱為圓 O，過圓心 且兩端點在圓上的線段(¯AB)稱為直徑，直徑長是半徑的 2 倍。 【觀念釐清】(1)如果兩圓的半徑相等，則稱為等圓。等圓的直徑相等。 (2)半徑和直徑都具有兩種意義，即「長度」與「線段」。 ◎弦：圓上任意兩點所連接的線段稱為弦。如果一弦恰好通過圓心，它就是直徑，所以直徑也是弦。【說明】右圖中，A、B、C、D 都在圓 O 上，¯AB、 ¯CD都是弦， ¯CD通過圓心，所以 ¯CD也是直徑。 ◎弧：一弦會將圓分成兩個部分，每個部分都稱為弧。若此弦不是直徑，則將圓分成大小兩個弧，較大的稱為優弧，較小的稱為劣弧。【說明】右圖中，¯AB將圓分成兩個弧，A、B 是這兩個弧的端點， 為了區別這兩個弧，在此二弧上各取一點C、D，則

弧ACB 指的是優弧，記為「 ︵ACB 」，讀作「弧 ACB」；

弧ADB 指的是劣弧，記為「 ︵ADB 」，讀作「弧 ADB」。

【觀念釐清】通常用︵AB 表示以 A、B 為端點的劣弧(即 ADB )。 ︵︵AB 除了表示弧以外，也表示它的長度。 ◎弓形：圓的一弦將圓分為兩個弧，此弦與任一弧所圍成的圖形，稱為弓形，如下圖。弓形弓形 ◎圓心角：下圖中，∠AOB 與∠COD 的頂點都在圓心 O 上，且角的兩邊都是半徑，像這樣以圓心為 頂點，兩半徑為邊所組成的角，稱為圓心角。 A B C D O ◎扇形：圓上任意畫兩半徑，兩半徑將圓分為兩弧，兩半徑與任一弧所圍成的圖形，稱為扇形。

下圖中，半徑 ¯OA、 ¯OB將圓分成兩個扇形，扇形 AOB 通常是指圓心角較小的扇形。

A B O 扇形扇形 A B O 劣弧優弧弦 A B C D 直徑弦 A O B C D

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練習6：下列各角何者是圓O 的圓心角？ (1) (2) (3) A B O _C D O E F O 練習7：試回答下列各名稱。連接圓周上任二點的線段︰(2) 圓的一弦和一弧所圍成的圖形︰(3) 通過圓心的弦︰(4) 兩半徑和一弧所圍成的圖形︰(5) (1) ◎圓周長、圓面積公式：若圓的半徑為r，圓周率為 π，則 (1)圓周長＝直徑× 圓周率＝(2r)×π＝2 π r。 (2)圓面積＝半徑× 半徑× 圓周率＝r×r×π＝π r2。 ◎弧長、扇形面積、扇形周長公式： (1)弧長＝圓周長 × 圓心角_{360° ；(2)扇形面積＝圓面積 ×}圓心角_{360° ；(3)扇形周長＝弧長＋兩個半徑長。} 練習8：如下圖，圓O 的半徑為 10 公分，圓心角∠AOB＝60°，試問： (1)︵AB的長度為多少公分？ (2)扇形AOB 的面積為多少平方公分？ (3)扇形AOB 的周長為多少公分？ O 60° A B 練習9：下圖中圓O 的半徑為 8 公分，圓心角∠AOB＝135°，則 (1)︵CD 的長度為多少公分？ (2)扇形 AOB 的面積與周長分別為多少？ A B O 135°

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練習10：(1)已知一扇形的面積為 48π 平方公分，半徑為 12 公分，則該扇形對應的圓心角為幾度？ (2)已知半徑為 15 公分的圓中，有一弧長為 5π 公分，求此弧所對應的圓心角。練習11：(1)已知一扇形的面積為 2π 平方公分，半徑為 4 公分，則該扇形對應的圓心角為幾度？ (2)已知半徑為 8 公分的圓中，有一弧長為 2π公分，求此弧所對應的圓心角。練習12：如下圖，圓O 的半徑為 4 2 公分，圓心角∠AOB＝90°，試求圖中灰色弓形的面積及周長。 O A B 練習13：如下圖，圓O 的半徑 6，且正三角形 AOB 的面積 9 3 ，試求圖中灰色弓形的面積及周長。 O A B 練習14：如右圖，四邊形ABCD、CEFG 分別為邊長 2 公分、1 公分的 正方形。若以D 為圓心， DF 長為半徑畫弧，會與 AD 交於 H 點。求灰色部分的面積及周長。 A H G F E C D B

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自我評量

1. 右圖中，¯AB、 ¯CD、¯EF三線段交於一點 O，則：

(1)∠COE 的對頂角是。 (2)∠COF 的對頂角是。 2. 已知∠A 和∠B 互補： (1)若∠A＝58°，則∠B＝度。 (2)若∠B＝a°，則∠A＝度。 (3)若∠A＝(30＋b)°，則∠B＝度。 3. 已知一扇形的半徑為 6 公分，圓心角為 75°，則該扇形的面積與所對的弧長分別為多少？ 4. 如右圖，圓O 的半徑為 6 公分，圓心角∠AOB＝120°， 且△AOB 的面積為 9 3 平方公分，求灰色部分弓形面 積為多少平方公分？ 5. 如右圖，△ABC 中， AC ＝4 3 公分、 BC ＝4 公分，

∠CAB＝30°、∠CBA＝60°，求扇形 CAD 與扇形 CBE

重疊部分的面積(即灰色部分)。

(Hint：將扇形CAD 與扇形 CBE 的面積相加)

A B O C F D E A B O 6 6 120° 4 30° 60° A E D C B 4 3

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1 2 3 4 A B C F E D 習作 1. (1)已知∠1＝48°，若∠1 和∠2 互餘，且∠2 和∠3 也互餘，則∠3 是多少度？ (2)若銳角∠B＝a°，則∠B 的補角與∠B 的餘角相差多少度？ 2. 如右圖，兩直線相交於一點，所形成的四個角依次為∠1、∠2、∠3、∠4，若∠1＝(2x＋100)°，∠3＝(4x＋40)°，則∠1、∠4 各為多少度？ 3. 如右圖，圓O 的半徑為 12 公分，灰色區域的扇形周長為(24＋5π)公分，試問： (1)該扇形對應的圓心角為幾度？ (2)該扇形的面積為多少平方公分？ 4. 如右圖，圓O 的半徑為 8 公分，圓心角∠AOB＝90°，求灰色弓形的面積及周長。 5. 如右圖，四邊形ABCD 為邊長 15 公分的正方形，△ADE 為正三角形， 若以D 點為旋轉中心，順時針方向將△ADE 轉到△FDC 的位置， 則E 點轉動經過的路線為多少公分？ A B O O

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A 5 10 6. 如右圖，有一長方形農舍的長 10 公尺，寬 5 公尺，若有一繩的一端繫在A 點，另一端繫一隻狗，且繩長亦為 10 公尺。 則農舍外圍這隻狗的活動範圍面積為多少平方公尺？類題補充 1. 若∠B 等於其補角的 1_{4 倍，則∠B 是多少度？} 2. 若∠A 補角比∠A 餘角的 2 倍多 15 度，則∠A 是多少度？ 3. 從十二邊形的某一個頂點畫對角線，可畫出a 條對角線，且這些對角線將此十二邊形分割成 b 個 三角形，則a＋b＝？ 4. 等腰三角形的一個底角為(x－5)°，頂角為(2x＋30)°，則頂角的度數為多少？ 5. 如下圖，三直線交於一點，且∠1＝(2x＋74)°，∠5＝(2x－45)°，∠3＝(x＋1)°，則∠6 為多少度？ 1 2 3 4 5 6 6. 若大圓面積是小圓面積的 25 倍，且小圓的周長是 25 公分，則大圓的周長是公分。

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7. 如右圖，A、B、C 三點在同一條直線上，若∠ABD＝x°，∠DBE＝(3x－10)°， ∠CBE＝(3x＋50)°，則 x＝。 8. 如下圖，兩扇形之間所圍成灰色部分的周長為，面積為。 120° 6 9 9. 如下圖，ABCD 為邊長 12 公分的正方形，灰色區域為扇形重疊之部分，則其面積為多少平方公分？ D B C A 10. 有隻螞蟻在邊長 1 公尺的正方形外圍爬行。已知在爬行的過程中，螞蟻與正方形的邊界精確的保持 1 公尺的距離，則爬行完一整圈之後，它所圍的面積是多少？ 11. 如下圖，長方形ABCD 其周長為 22，以 D 為圓心，半徑為 4，畫四分之一圓，則 (1) 灰色部分周長為。(2) 灰色部分面積為。 B C A E D 12. 如下圖，直角△ABC 中∠A＝90°， ¯AB ＝ ¯AC ＝10 公分，分別以 B、C 為圓心， ¯AB 長為半徑畫弧， 則灰色部分面積為平方公分。 B A C E D C B A D E

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13. 如下圖，已知圓O1與圓O2的半徑各為12 和 9，若∠AO1B＝45°，且扇形 AO1B 面積與扇形 CO2D 面積相等，則∠CO2D＝度。 12 O1 A B O2 ₉ C D 14. 如下圖，ABCD 為正方形， ¯AB ＝8 公分，若分別以四個邊為直徑畫出四個半圓，則灰色部分面積 為平方公分。 A D B C 15. 下圖的長方形是由 4 個等腰直角三角形和 1 個小正方形緊密排列而成的，若長方形的面積為 24，則正方形的面積為何？ A C D B 16. 已知等腰直角△ABC 中，∠B＝90°， AB ＝ BC ＝12 公分，以 A 為圓心， AB 為半徑畫弧， 交 AC 於 D 點，則灰色區域的面積和周長分別為多少？ 12 12 A B C D

17. 如下圖，ABCD 為正方形，¯BC＝6 公分，以 A 為圓心，¯AB為半徑畫弧，交 ¯AD於 D 點，試求

灰色弓形的面積及周長。 A C B D 6

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加強練習 1. 下列敘述何者錯誤？ (A) 正方形是菱形的一種 (B) 長方形兩組對邊分別等長 (C) 四個角都是直角的四邊形是矩形 (D) 四個邊都等長的四邊形是正方形 2. 下列敘述何者錯誤？ (A) 圓上任取兩點所連成的線段叫做弦 (B) 圓的一弦與其所對的一弧所組成的圖形稱為弓形 (C) 圓上最長的弦就是直徑 (D) 任兩弦與其所夾的弧所組成的圖形稱為扇形 3. 半徑 10 公分的圓，弦長不可能為多少公分？ (A) 11 (B) 21 (C) 0.5 (D) 20。 4. 若∠A 度數是∠B 度數的 1_{2 倍，∠A 補角度數是∠B 補角度數的}3_{2 倍，則∠A 與∠B 度數的等差中項} 為度。 5. 若∠A＝(2x＋30)°，則分別依下列各條件求 x 的值。 (1) ∠A 是平角，則 x＝。 (2) ∠A 的餘角是 30°，則 x＝。 (3) ∠A 的補角是直角，則 x＝。 6. 若∠A 與∠B 互補，∠B 和∠C 互餘，且已知∠A＝130°，則∠C＝？ 7. 用 8 公分、10 公分的木條各兩根，可以拼出下列哪些四邊形？甲：菱形乙：鳶形丙：正方形丁：長方形戊：平行四邊形己：等腰梯形 (A) 乙、己 (B) 乙、丁 (C) 丁、戊 (D) 乙、丁、戊。 8. 某森林遊樂區要在園區內設立A、B、C、D、E 共五個遊客休憩中心，且任三間不在同一直線上， 為方便遊客遊覽，需開闢步道使各休憩中心能相互連結，請問需要開闢幾條步道呢？ (A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 20。 9. 設一圓的半徑為 10，若此圓內有一扇形的面積恰為圓面積的 _{10，則此扇形兩半徑的夾角是多少度？} 1

10. 有A、B 兩角，若∠A 的度數：∠B 的度數＝3：4，且∠A 的補角度數：∠B 的餘角度數＝9：2，

則∠B 為度。 11. 一個三角形最少有個銳角；一個四邊形的四個內角中最多有個鈍角。 12. 圓周上相異五點可決定m 條弦，n 個弧，則 m＋n＝。 13. 已知一扇形的周長為 18＋5π，半徑為 9，則該扇形的面積為何？ 14. 有一圓形時鐘，分針長 6 公分，時針長 3 公分(分針、時針均視為線段)，若時間從 12 點走到 12 點 24 分(共 24 分鐘)，則 (1)分針針尖所走過的路徑長為公分。(2)時針所掃過的面積為平方公分。 15. 如下圖，水平地面上有一邊長為 10 公分的正方形ABCD，若在沒有滑動的情況下，將正方形 ABCD 以C 點為旋轉中心順時針旋轉，直到 B 點落在水平地面上，則 A 點移動的路徑長為公分。 D B B C A A A A

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Ans：1.(D)；2.(D)；3.(B)；4. 67.5；5.(1) 75，(2) 15，(3) 30；6. 40°；7.(D)；8.(C)；9. 36°；10. 60； 11. 2，3；12. 30；13. 45_{2 π；14(1)}24 5 π ，(2) 3 10π；15.5 2π。心得筆記