3-1-2三角-廣義角與極坐標

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(1)1-2 廣義角與極坐標【目標】能理解廣義角及其同界角的概念，以便延伸銳角的三角函數到廣義角的三角函數之定義，並建立廣義角與銳角的三角函數關係，作為探索一般三角形的問題及三角函數應用的基礎。再者，能理解極坐標的意涵及點的極坐標表示，並藉由三角函數來建立點的極坐標與直角坐標的轉換，以便應用。【定義】 1. 角：共端點的兩條射線作為兩邊就形成一個角。每個角有其角度，角度是描述角的兩邊打開的程度。最小的角是 0 ，最大的角是 180 。. 2.. 3.. 邊 (1)正向角：逆時針方向旋轉的角，就稱為正向角或正角。 (2)負向角：順時針方向旋轉的角，就稱為負向角或負角。有向角：在平面上將一射線 OA 繞端點 O ，沿著一個固定的方向旋轉到射線 OB 上，就形成一個有向角，稱射線 OA 為始邊，射線 OB 為終邊，而旋轉量就是此有向角的角度。為了方便，我們將有向角的角度標示在終邊。逆時鐘旋轉，角度取正；順時鐘旋轉，角度取負。正向角與負向角統稱為有向角。 B. . 終邊 O 4.. 始邊. A. 廣義角：角度的度數若有正向角與負向角之分且不限於 0 至 180 之間，統稱為廣義角。在 xy 平面上， x 軸是一條直線，而 x 軸的正向是一條射線，以它為基準，稱為始邊，將射線繞原點 O 作一旋轉，無論是逆時鐘方向旋轉或順時鐘方向旋轉，停住的一邊稱為終邊，如圖。為了方便，逆時鐘方向旋轉的角度以正號表示；而順時鐘方向旋轉的角度以負號表示。這種角度不受範圍限制，又帶正負號的角稱為廣義角，有時為了方便，將廣義角的角度標示在終邊。. 11.

(2) 5.. 四個象限的角：坐標平面上以 x 軸正向為始邊的一個有向角，若它的終邊在第 n 象限內，則這個角稱為第 n 象限角( n  1,2,3,4 )。第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角分別以 I, II, III, IV 表示。即   I   是第一象限角  360  n  0    360  n  90, (n  Z ) ，   II   是第二象限角  360  n  90    360  n  180, (n  Z ) ，   I I I  是第三象限角  360  n  180    360  n  270, (n  Z ) ，   IV   是第四象限角  360  n  270    360  n  360, (n  Z ) 。 y II. I. III O. IV. x. 象限角：若一角的終邊恰好落在坐標軸上，則這角稱為象限角，即  是象限角    90  n, (n  Z ) 。 7. 同界角：一般而言，如果一個廣義角的角度為  ，則所有角度為   360 n 的廣義角，都是它的同界角，其中 n 是整數（正﹑負﹑零皆可）；反之，它的每一個同界角的角度都是這樣。換句話說，同界角就是角度差為 360 的整數倍的角。兩個廣義角  ,  有共同的始邊與終邊，我們將這樣的  ,  角稱為同界角。而兩個同界角之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可得     360  k , k  Z 。可知同界角有相同的三角函數值。 8. 最小正同界角：正同界角中最小的。一個廣義角，若不與 0 為同界角，則必有一最小正同界角  ， 0    360 。一般而言，任意廣義角都有唯一的同界角  ，滿足 0    360 。 9. 最大負同界角：負同界角中最大的。註：對於任意廣義角  ，  的六個三角函數之間的倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係等仍然都成立。 6.. 12.

(3) 【問題】 1. 有了廣義角的定義之後，應該如何定義其六個三角函數值？是否可以仿照銳角三角函數來定義呢？【定義】 1. 銳角三角函數的坐標化：在坐標平面上，設 O 是原點， r 是一個正實數， A 是定點 (r , 0) ，則 OA  r 。現將 OA 繞原點 O 旋轉一銳角  ，點 A(r , 0) 落在點 P( x, y ) ，即 OA 旋轉成 OP ，如圖：. y r. 此時， sin   , cos  . x 。 r. 若旋轉角  不限定為銳角，而是任意廣義角，則點 P( x, y ) 可能落在每一個象限，也可能落在坐標軸上， x 與 y 就不恆為正數了，如圖：. y x 。 r r 特別地，當 r  1 時， sin   y, cos   x 。換言之，點 P 的坐標為 (cos , sin ) 。. 對任意廣義角  ，仍定義： sin   , cos  . 坐標平面上，以原點為圓心且 1 為半徑的圓稱為單位圓。設  是一個廣義角，則  的終邊與單位圓的交點坐標是 (cos , sin  ) ，如圖：. 設 r  0 ，點 A(r , 0) 繞原點 O 旋轉一廣義角  ，落在點 P( x, y ) ；換言之，P( x, y ) y 是  終邊上一點，且 OP  r  0 。此時，若 x  0 ，則定義 tan   ， x 在 x  0 時，tan  才有定義，即  的終邊不落在 y 軸上，亦即  不是 90 或  90 y y r sin  的同界角， tan  才有意義。由於 tan     。 x x cos  r sin  故當 tan  有意義時， tan   仍然成立。 cos  13.

(4) 2.. 銳角三角函數的坐標化：若  為銳角，我們將  角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，於其終邊上任取一點 P( x, y) ， P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 PQO 為直角三角形， POQ   。設 OP  r ，則可定義銳角  的六個三角函數值為： y x y x r r sin  , cos  , tan   , cot  , sec  , csc  。 r r x y x y. 3.. 廣義角三角函數：若  為廣義角，我們將  角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，於其終邊上任取一點 P( x, y) ， P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 PQO 為直角三角形， POQ   。設 OP  r ，則可定義廣義角  的六個三角函數值為： y x y x r r sin  , cos  , tan   , cot  , sec  , csc  。 r r x y x y. 注意： 1. 以上的三角函數要在它的比值有意義的情況下才能定義，否則視為沒有定義。 2. 當 P 點在 x 軸上時，則 P 點的 y 坐標為 0 ，此時 cot 和 csc 的分母為 0 ，所以這種比值是沒有意義的。 3. 當 P 點在 y 軸上時， P 點的 x 坐標為 0 ，此時 tan  和 sec 的分母為 0 ，所以這種比值是沒有意義的。 4. 當變換廣義角  ，使 90    90 時， y 可歷經所有實數。由此可知， tan  的值可取為任意實數。【問題】 1. 銳角三角函數的坐標化定義與所取的 P 點是否有關？為什麼？ 2. 廣義角的倒數關係、商數關係、平方關係、餘角關係等是否還成立？試說明。. 14.

(5) 【公式】 1. 距離公式數線上兩點 P1 ( x1 ), P2 ( x2 ) 的距離 P1P2  | x1  x2 | 。於是，坐標平面上兩點 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，當 x1  x2 且 y1  y2 時，由圖及畢氏定理，可知兩點的距離 PP 1 2 . | x1  x2 |2  | y1  y2 |2  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 。. 而 x1  x2 或 y1  y2 時，易知上式仍然成立。. 15.

(6) 【討論】 1. 試填入下列各象限角的三角函數值：  0 90 180 270 360 sin  0 1 0 0 1 cos 1 0  1 0 1 ╳ tan  0 ╳ 0 0 ╳ cot ╳ 0 ╳ 0 sec 1 ╳  1 ╳ 1 csc ╳ 1 ╳  1 ╳ 2. 三角函數值在四個象限的正負：  第一象限第二象限第三象限第四象限＋＋－－ sin  ＋－－＋ cos ＋－＋－ tan  ＋－＋－ cot ＋－－＋ sec ＋＋－－ csc 3. 試填入下列四個象限內的三角函數值：  30 45 60 120 135 150 210 225 240 300 315 330. sin . 1 2. 1. cos. 3 2 1. 1. tan  cot. 3 3. sec. 2. csc. 2. 3. 2 2. 1 1 2. 2. 3 2 1 2. 1. 3 2 . 1 2. 3.  3. 1. 1. . 3. 3. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 1 2. 2. . 1 2. . 1  1. 1 2. . 1 2 1. 3 3   2 2 2 1 1. 3. 3.  3.  2 . 2. . 2 3. 3. . 2 3. 2. 2. 16. 1. 1 2. 3.  3. 1. 1. . 2.  2 . 2 3. 2. 3. 3. 2 . . 1. 1 2. . 1.  2. 3 3  1  2 2 2. . 1  1 2. 2 3.  2. 1 2. 3 2 1. 3.  3. 2 3. 2.

(7) 【性質】 1. 由三角函數在廣義角上的定義可知，同界角的三角函數值是相同的。因此，對任意整數 n ，下列關係式恆成立： sin (  360 n)  sin  ， cos (  360 n)  cos  ， tan (  360 n)  tan  。事實上，任何廣義角  都能找到唯一的同界角  ，使得 0    360 ，此時  的三角函數就可以化成  的三角函數表示。如圖顯示  ,   , 180   , 180   四個廣義角終邊位置的關係。廣義角  與  旋轉的方向相反，旋轉量相同，因此終邊對 x 軸對稱； 180      180 ，它的終邊在  的相反方向，即對原點對稱；而 180      180 ，終邊在  的相反方向，與  的終邊對 y 軸對稱。圖中，  是第一象限角；事實上，不論  是任何廣義角，這種對稱關係都存在。再進一步看，由於終邊對稱，終邊與單位圓的交點就對稱，看圖：. 由對稱關係可知： cos ( )  cos  , sin ( )   sin  ； cos (180   )   cos , sin (180   )  sin  ； cos (180   )   cos  , sin (180   )   sin  。由 sin 與 cos 的性質又可推得 tan 的性質，整理如下：負角關係. 補角關係. 反向角關係. sin ( )   sin . sin (180   )  sin . sin (180   )   sin . cos ( )  cos . cos (180   )   cos . cos (180   )   cos . tan ( )   tan . tan (180   )   tan . tan (180   )  tan . 三角函數中的角已經由銳角推廣到廣義角，但終邊不在坐標軸上的廣義角都可以對稱到第一象限的一個角，便能參考一個銳角的三角函數而表示其值。在補角關係中的  是廣義角，並不限定 0    180 ，例如： sin110  sin (180  70)  sin 70 ， sin 220  sin [180  (40)]  sin (40) ，都是對的。 sin  與 cos  的餘角關係，其中  也可以是任意廣義角，即 sin (90   )  cos ， cos (90   )  sin  。對廣義角  恆成立。. 17.

(8) 2. 將廣義角化成銳角的三角函數值(  表任意廣義角，但思考時將  視為銳角想)：項目 2(負角) 4(補角) 5(同界角) 1 3 6 角度象限 IV IV I III II I 角度 0   0   180   180   360   360   函數 sin  sin  sin  sin  sin  sin  sin cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos tan  tan   tan   tan   tan   tan   tan  cot  cot  cot  cot  cot  cot  cot sec  sec  sec  sec  sec  sec  sec csc  csc  csc  csc  csc  csc  csc 項目 8(餘角) 7 9 象限 IV II I 角度 90   90   270   函數 sin  cos  cos  cos cos  sin  sin  sin tan  cot  cot  cot cot  tan   tan   tan  sec  csc  csc  csc csc  sec  sec  sec 【結論】 1. 化銳角： (1)有  考慮：(a)函數是否要變。( 90 的奇數倍要變) (b)正負號。(由角度所在象限考慮) (2)無  考慮：(a)與 x 軸所夾銳角。 (b)正負號。(由角度所在象限考慮) 2. 輔助判別圖形： y. (1,0). 270    cos  sin  cot  tan   csc  sec. (0,1). (,) (,) sin csc. 10 III. P ( x, y )  (cos , sin  ). 全正. . cos tan sec cot (,) (,). x. (1,0). (0,1) 【問題】為何只要觀察與 x 軸所夾銳角就可以決定三角函數值的大小，然後再加上正負即可。(註：將 x, y 當成三角形的有號邊思考。) 18.

(9) 【定義】 1. 極坐標：設廣義角  終邊上一點 P( x, y ), OP  r  0 ，如圖，則 r ,  , x, y 之間的關係如下： x y ， sin   。 r r 於是， x  r cos , y  r sin  。因此， r ,  可以決定 x, y ，也就能決定點 P( x, y ) 的位置。事實上， r 表點 P 到原點的距離，而  表點 P 的方位。. r  x 2  y 2 ， cos . 一般而言，給定原點後，方位與距離就能描述一個點的相對位置。在坐標平面上，若點 P 到原點 O 的距離為 r ，且點 P 在廣義角  的終邊上，則以 [r ,  ] 表 P 點位置，稱為極坐標，記作 P[r, ] ，其中 r 是 0 或正實數；又廣義角都有逆時鐘一圈以內的同界角，一般取 0    360 即可。當 P 為原點時， r  0 ，  可以任意，即原點的極坐標為 [0,  ] 。直角坐標是表示點的左右與上下位置，而極坐標是描述點的距離與方位（相對於原點），兩者可以互相變換。當 P( x, y ) 與 P[r ,  ] 表同一點時，則利用 x  r cos , y  r sin  ，就能由極坐標求得直角坐標。簡言之，極坐標為 [r ,  ] 的點，直角坐標是 (r cos , r sin  ) 。當給定原點之外某一點的直角坐標 ( x, y) ，而欲得其極坐標 [r ,  ] 時，可先由 r  x2  y 2 ，求出 r ， x r. 再由 cos  , sin  . y ，得到 cos  及 sin  ，再由此決定  。 r. 2. 極坐標：設 P( z)  P( x  iy) 的極式為 r (cos  i sin ) ，以符號 [r, ] 來做為 P(z ) 的坐標，稱為極坐標，記為 [r, ] 。在複數平面上選定一點 O ，再過 O 作一數線 L ，以其正向為始邊，繞定點 O 旋轉，使 P 點恰在其上，若其旋轉量  (為一有向角，逆時針為正、順時針為負)，且設 OP  r ，我們就可以利用 r, 來描述 P 點的位置，用符號 [r, ] 表示 P 點的位置，這種表示法就是極坐標表示法。其中 O 點稱為該極坐標系的極(或極點)，數線 L 稱為極軸，並稱 [r, ] 為 P 點的極坐標。. P( z)  P( x  iy) r. . L. O. 19.

(10) 註： 1. 極坐標就是用長度與角度來描述點之意。 2. 點的極坐標的表示法不唯一(因為有同界角的關係)，但直角坐標的表示法唯一。 3. 比較：直角坐標： ( x, y)  (r cos , r sin ) 。複數坐標： z  x  iy  r (cos  i sin ) 。極坐標： [r, ] 。. 20.

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