低容量液流阻尼器之性能測試與應用

國

立

交

通

大

學

土木工程學系碩士班

碩 士

論

文

低容量液流阻尼器之性能測試與應用

Performance Tests and Applications of

Low-capacity Fluid Dampers

研 究 生 ： 趙 勵 元

指 導 教 授 ： 王 彥 博 教 授

低 容 量 液 流 阻 尼 器 之 性 能 測 試 與 應 用

Performance Tests and Applications of

Low-capacity Fluid Dampers

研 究 生 ： 趙 勵 元 Student： Li-Yuan Chao 指 導 教 授 ： 王 彥 博 博 士 Advisor： Dr. Yen-Po Wang

國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文 A The s i s S u b m i t t e d t o D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g N a t i o n a l C h i a o Tu n g U n i v e r s i t y I n P a r t i a l F u l f i l l m ent o f t h e R e q u i re m e n t s F o r t h e D e g re e o f M a s t e r o f S c i e n c e In C i v i l E n g i n e e r i n g O c t o b e r 2 0 0 9 H s i n c h u , Tai w a n , R e p u b l i c o f C h i n a

低容量液流阻尼器之性能測試與應用

研究生：趙勵元 指導教授：王彥博 博士 國立交通大學土木工程研究所

摘要

本研究旨在探討低容量液流阻尼器的力學特性與工程應用—包 括設備基座之減振，以及房屋結構﹙含木造與鋼結構﹚之防震應用。 為了解液流阻尼器之力學行為，本文根據流體動力學理論，考慮非牛 頓流體，建立了液流阻尼器之流體動力分析模式。經由參數分析，探 討活塞面積、活塞厚度及孔隙大小對於液流阻尼器力學行為之影響， 並發現阻尼係數與勁度之頻率相依特性，此乃習用之 Kelvin model 所無法模擬者。元件測試結果顯示，合作廠商研製之液流阻尼器有飽 滿而穩定之遲滯消能特性，其性能較日本原廠提供之阻尼器更為優 異。設備基座減振測試結果顯示，低容量液流阻尼器展現極佳之減振 效果，三分之一倍頻分析證明其有效之控制範圍極廣，整體而言以

耐震性能測試結果，顯示低容量液流阻尼器無論應用於木造結構或鋼

結構上，均能發揮減振效果，具有成為結構抗震阻尼器之應用潛力。

關鍵詞：液流阻尼器、流體動力學、牛頓流體、非牛頓流體、減振、

Performance Tests and Applications of

Low-capacity Fluid Dampers

Student：Li-Yuan Chao Advisor：Dr﹒Yen-Po Wang

Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

The objective of this study is to explore the mechanical characteristics of a low-capacity fluid dampers through our cooperation with company discovering possible industrial applications in control of machine-induced vibration, and earthquake resistance of building structures (on both wood and steel model structures) . To get more insight of the mechanics of viscous fluid dampers, a fluid dynamic model has been developed based on theories in fluid dynamics with consideration of non-Newtonian fluid. The effects of piston area, piston thickness and gap of the annular orifice on the mechanical behavior of the fluid dampers are assessed via the parametric study. Both the damping coefficient and stiffness of the fluid damper are found to be frequency- dependent, which could not be reflected by using the Kelvin’s model. Results of the

component tests indicate that the fluid dampers developed by cooperation with company exhibit rich and stable energy-dissipative characteristics superior to those of the prototype by the Japan manufacturer. Effectiveness of the low-capacity fluid dampers in machine-induced vibration control have been observed via the simulation tests. The dampers are proved to be effective in a wide range of spectrum as revealed from the one-third octave spectrum analysis, and generally speaking, the control effect is most prominent within the bandwidth of 30~100 Hz. A series of seismic performance tests of the fluid dampers for structural response control by the shaking table has been conducted. Experimental results for both the wood and steel model structures show that the fluid dampers are effective in seismic vibration control. The potential of using fluid dampers for earthquake protection of building structures has been confirmed.

Key words ： fluid damper, fluid dynamics, Newtonian fluid, non-Newtonian fluid, vibration control, seismic performance test

誌 謝

感謝吾師 王彥博教授與李建良博士兩年來的悉心指導，在交大 研究期間，讓學生體會到學術研究之真理所在且對研究鍥而不捨的精 神以及求知的熱忱，對於老師之諄諄教誨，在此致上最誠摯的謝意。 論文口試期間，承蒙淡江大學 吳重成教授、國立交通大學 翁正 強教授、國立交通大學 郭心怡教授撥冗指正，並提供寶貴意見，使 得論文疏漏之處以獲改進得，特別在此表示感激之意。 在交大求學的生活中，感謝研究室的學長李建良博士、學長張簡 嘉賞博士、逸軒學長，在此特別感謝建良學長實驗上的協助與學業上 提供的寶貴意見讓我可以順利完成論文；畢業學長家杰、建華、哲維、 羅開；同學顥勳、羿廷、力郕、家福；學弟志儒、厚餘。大家為了實 驗而一起做到天亮的日子、大家一起烤肉與打球的日子、在學業上互 相切磋的日子、還有一起出去玩的日子，對我而言我會珍惜與你們享 處的時光。 最後，衷心感謝我的家人，給我的鼓勵、關懷、溫馨、奉獻與支 持，讓我可以順利完成論文。 謹以本文獻給所有關心我的人，謝謝你（妳）們。

目錄

摘要... i Abstract ... iii 目錄... vi 表目錄... ix 圖目錄... xii 第一章 緒論... 1 第二章 液流阻尼器之流體力學理論... 8 2.1 基本構造及原理 ... 8 2.2 黏滯阻尼器之流體力學理論 ... 10 2.2.1 牛頓流體(Newtonian Fluid)... 11 2.2.2 非牛頓流體(Non-Newtonian Fluid) ... 15 2.3 參數分析 ... 21 2.3.1 參數設定 ... 21 2.3.2 擬合結果 ... 23 2.3.3 小結 ... 24 第三章 含液流阻尼器結構之動力分析... 35 3.1 前言 ... 35 3.2 運動方程式 ... 35 3.3 數值解析方法—狀態空間法 ... 38 3.4 MATLAB 數值模擬分析... 42 3.4.1 模型建立與模擬規畫 ... 42 3.4.2 模擬結果 ... 44 3.5 ETABS 數值模擬分析 ... 45

3.5.2 定義木材性質與構件斷面 ... 45 3.5.3 阻尼器模型參數設定 ... 47 3.5.4 模型建立 ... 48 3.5.5 阻尼器參數擬合 ... 49 3.5.6 擬合結果 ... 49 3.6 小結 ... 50 第四章 液流阻尼器之元件測試... 79 4.1 前言 ... 79 4.2 低容量液流阻尼器之元件測試... 79 4.2.1 元件測試構架 ... 80 4.2.2 試驗規劃與量測系統 ... 81 4.2.3 試驗結果與分析 ... 82 4.3 參數擬合 ... 83 4.3.1 參數設定 ... 83 4.3.2 擬合結果 ... 84 4.4 小結 ... 84 第五章 液流阻尼器之防振(震)性能試驗... 114 5.1 前言 ... 114 5.2 低容量液流阻尼器在設備基座之減振性能測試... 114 5.2.1 試驗規劃(Experimental Setup) ... 115 5.2.2 資料擷取與訊號處理分析 ... 116 5.2.3 測試結果評估 ... 117 5.2.4 小結 ... 118 5.3 鋼結構加裝液流阻尼器之耐震性能測試... 119 5.3.1 試驗規劃 ... 119

5.3.3 耐震性能試驗與評估 ... 123 5.3.3.1 Hachinohe Earthquake ... 123 5.3.3.2 El Centro Earthquake ... 125 5.3.3.3 Kobe Earthquake... 128 5.3.4 小結 ... 131 5.4 木造結構加裝低容量液流阻尼器之耐震性能測試... 132 5.4.1 測試機構與量測系統 ... 132 5.4.2 試驗配置與規劃 ... 134 5.4.3 耐震性能試驗與評估 ... 135 5.4.3.1 Kobe Earthquake... 135 5.4.3.2 Hachinohe Earthquake ... 137 5.4.3.3 El Centro Earthquake ... 138 5.4.4 小結 ... 140 第六章 結論與建議... 221 參考文獻... 224 附錄 A. ARX 系統識別理論 ... 227

表目錄

表 2.1 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 ... 26

表 2.2 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 ... 26

表 2.3 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 ... 27

表 2.4 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 ... 27

表 3.1 木造空構架結構模型尺寸... 51

表 3.2 模擬分析所考慮之液流阻尼器活塞半徑 ... 51

表 3.3 各樓層加速度峰值反應比較( Input= Kobe Earthquake, PGA=1g).... 52

表 3.4 各樓層加速度均方根值比較(Input=Kobe Earthquake, PGA=1g)... 53

表 3.5 常用樹種分類【23】... 54 表 3.6 普通結構木材纖維方向之容許應力（單位： 2 cm kgf ）【23】 ... 55 表 3.7 木材纖維方向之彈性模數（單位：103 2 cm kgf ）【23】... 56 表 3.8 模擬之活塞半徑與所對應之阻尼係數及速度指數 ... 57 表 4.1 阻尼器元件測試項目... 87 表 4.2 1.5tf 油壓致動器規格 ... 87 表 4.3 訊號擷取系統 (datalogger) 規格 ... 87 表 4.4 荷重元（Load Cell）規格... 88 表 4.5 筆記型電腦規格... 88 表 4.6 各個阻尼器之出力極值（測試頻率=0.5 Hz）... 88 表 4.7 各個阻尼器之出力極值（測試頻率=1 Hz）... 89 表 4.8 各個阻尼器之出力極值（測試頻率=2 Hz）... 89 表 4.9 各個阻尼器之出力極值（測試頻率=3 Hz）... 90 表 4.10 各個阻尼器之出力極值（測試頻率=5 Hz）... 90 表 5.1 加速度規/速度規之規格 ... 141

表 5.2 訊號擷取系統規格... 142 表 5.3 筆記型電腦規格... 142 表 5.4 激振器(Shacker)開啟之加速度振動反應 RMS 值 ... 142 表 5.5 五層樓鋼結構模型細部尺寸... 143 表 5.6 五層樓鋼結構模型之動力特性... 143 表 5.7 各樓層加速度峰值反應比較( Input=Hachinohe)... 144 表 5.8 各樓層加速度均方根值比較(Input=Hachinohe)... 145 表 5.9 結構之等效頻率與阻尼比(Input=Hachinohe)... 146 表 5.10 液流阻尼器最大出力(Input=Hachinohe)... 146 表 5.11 各樓層加速度峰值反應比較( Input= El Centro)... 147 表 5.12 各樓層加速度均方根值比較(Input= El Centro)... 148 表 5.13 裝設阻尼器模型結構之等效頻率與阻尼比(Input=El Centro)... 149 表 5.14 液流阻尼器最大出力(Input= El Centro)... 149 表 5.15 各樓層加速度峰值反應比較( Input= Kobe) ... 150 表 5.16 各樓層加速度均方根值比較(Input=Kobe) ... 151 表 5.17 裝設阻尼器模型結構之等效頻率與阻尼比(Input=Kobe) ... 152 表 5.18 液流阻尼器最大出力(Input= Kobe) ... 152 表 5.19 二層樓木造模型結構之細部尺寸 ... 153 表 5.20 二層樓木造模型結構之動力特性 ... 153 表 5.21 各樓層加速度峰值反應比較( Input= Kobe) ... 154 表 5.22 各樓層加速度均方根值比較(Input=Kobe) ... 154 表 5.23 木造結構之等效頻率與阻尼比(Input=Kobe) ... 155 表 5.24 液流阻尼器最大出力(Input= Kobe) ... 155 表 5.25 各樓層加速度峰值反應比較( Input= Hachinohe)... 156

表 5.28 液流阻尼器最大出力(Input= Hachinohe)... 157

表 5.29 各樓層加速度峰值反應比較( Input= El Centro)... 158

表 5.30 各樓層加速度均方根值比較(Input= El Centro)... 158

表 5.31 裝設阻尼器木造結構之等效頻率與阻尼比(Input= El Centro)... 159

圖目錄

圖 1.1 液流阻尼器【4】... 7 圖 1.2 西雅圖水手隊主場 Safeco Field 活動式屋頂之減震系統【4】 ... 7 圖 2.1 液流阻尼器構造示意圖... 28 圖 2.2 液體元素在環狀孔隙中之自由體圖 ... 28 圖 2.3 液流阻尼器之遲滯迴圈擬合(R=27.5mm,L=10mm,h=0.2mm) ... 29 圖 2.4 液流阻尼器之遲滯迴圈擬合(R=55mm,L=10mm,h=0.2mm) ... 30 圖 2.5 液流阻尼器之遲滯迴圈擬合(R=27.5mm,L=20mm,h=0.2mm) ... 31 圖 2.6 液流阻尼器之遲滯迴圈擬合(R=27.5mm,L=10mm,h=0.3mm) ... 32

圖 2.7 Modified Kelvin’s model 之參數對應圖(R=27.5mm,L=10mm,h=0.2mm) ... 33

圖 2.8 Modified Kelvin’s model 之參數對應圖(R=55mm,L=10mm,h=0.2mm) ... 33

圖 2.10 Modified Kelvin’s model 之參數對應圖 (R=27.5mm,L=10mm,h=0.3mm) ... 34 圖 3.1 二層樓結構加裝液流阻尼器之示意圖 ... 57 圖 3.2 非線性液流阻尼器出力迭代分析流程圖 ... 58 圖 3.3 二層樓木造結構之振態... 59 圖 3.4 輸入震波歷時(Kobe Earthquake) ... 60 圖 3.5 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=25mm,Input=Kobe earthquake)... 60 圖 3.6 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=22.5mm,Input=Kobe earthquake)... 61 圖 3.7 各樓層之加速度反應歷時比較

圖 3.8 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=17.5mm,Input=Kobe earthquake)... 62 圖 3.9 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=15mm,Input=Kobe earthquake)... 62 圖 3.10 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=12.5mm,Input=Kobe earthquake)... 63 圖 3.11 各樓層之加速度反應歷時比較 (R=10mm,Input=Kobe earthquake)... 63 圖 3.12 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=25mm)... 64 圖 3.13 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=22.5mm)... 64 圖 3.14 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=20mm)... 65 圖 3.15 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=17.5mm)... 65 圖 3.16 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=15mm)... 66 圖 3.17 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=12.5mm)... 66 圖 3.18 各樓層阻尼器遲滯迴圈(R=10mm)... 67 圖 3.19 ETABS 材料性質定義設定 ... 67 圖 3.20 定義桿件斷面... 68 圖 3.21 ETABS 柱、梁尺寸設定範例 ... 68 圖 3.22 ETABS 中 Damper 設定參數介面... 69 圖 3.23 阻尼器之 Maxwell 串聯模式與 Kelvin 並聯模式 ... 69 圖 3.24 阻尼器以對角斜撐型式配置... 70 圖 3.25 木造空構架之 ETABS 模型 ... 70 圖 3.26 各樓層加速度值比較 (R=25mm,C=26,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 71 圖 3.27 各樓層加速度值比較

圖 3.28 各樓層加速度值比較 (R=20mm,C=16,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 72 圖 3.29 各樓層加速度值比較 (R=17.5mm,C=11,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 72 圖 3.30 各樓層加速度值比較 (R=15mm,C=7,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 73 圖 3.31 各樓層加速度值比較 (R=12.5mm,C=3.5,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 73 圖 3.32 各樓層加速度值比較 (R=10mm,C=1,

α

=1.1, Input=Kobe earthquake)... 74 圖 3.33 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=25mm、C=26、

α

=1.1) ... 74 圖 3.34 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=22.5mm、C=21、

α

=1.1) ... 75 圖 3.35 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=20mm、C=16、

α

=1.1) ... 75 圖 3.36 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=17.5mm、C=11、

α

=1.1)... 76 圖 3.37 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=15mm、C=7、

α

=1.1) ... 76 圖 3.38 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=12.5mm、C=3.5、

α

=1.1) ... 77 圖 3.39 各樓層阻尼器之遲滯迴圈比較(R=10mm、C=1、

α

=1.1) ... 77 圖 3.40 活塞頭半徑 R 與阻尼係數 C 之關係 ... 78 圖 4.1 低容量液流阻尼器元件外觀尺寸（單位：mm） ... 91 圖 4.2 元件測試構架設計圖... 92 圖 4.3 液流阻尼器擾動示意圖... 93 圖 4.4 元件測試構架組裝完成照片... 93 圖 4.5 元件測試照片... 94 圖 4.6 MTS1.5tf 動態油壓致動器... 94

圖 4.9 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =0.5Hz，

θ

=1 480rad)... 96 圖 4.10 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =0.5Hz，

θ

=1240rad)... 96 圖 4.11 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =0.5Hz，

θ

=1120rad) ... 97 圖 4.12 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =0.5Hz，

θ

=160rad)... 97 圖 4.13 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =0.5Hz，

θ

=130rad)... 98 圖 4.14 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =1Hz，

θ

=1 480rad)... 98 圖 4.15 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =1Hz，

θ

=1 240rad)... 99 圖 4.16 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =1Hz，

θ

=1120rad) ... 99 圖 4.17 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =1Hz，

θ

=1 60rad)... 100 圖 4.18 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =1Hz，

θ

=130rad)... 100 圖 4.19 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω = 2Hz，

θ

=1480rad)... 101 圖 4.20 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω = 2Hz，

θ

=1240rad)... 101 圖 4.21 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω = 2Hz，

θ

=1120rad) ... 102 圖 4.22 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω = 2Hz，

θ

=160rad) ... 102 圖 4.23 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω = 2Hz，

θ

=130rad) ... 103 圖 4.24 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =3Hz，

θ

=1 480rad) ... 103 圖 4.25 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =3Hz，

θ

=1 240rad) ... 104 圖 4.26 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =3Hz，

θ

=1120rad) ... 104 圖 4.27 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =3Hz，

θ

=1 60rad) ... 105

圖 4.28 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =3Hz，

θ

=130rad) ... 105 圖 4.29 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =5Hz，

θ

=1 480rad) ... 106 圖 4.30 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =5Hz，

θ

=1 240rad) ... 106 圖 4.31 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =5Hz，

θ

=1120rad) ... 107 圖 4.32 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =5Hz，

θ

=1 60rad) ... 107 圖 4.33 各式阻尼器之遲滯迴圈(Ω =5Hz，

θ

=130rad) ... 108 圖 4.34 各式阻尼器最大出力 vs.位移變化曲線圖... 109 圖 4.35 各式阻尼器最大出力 vs.速度變化曲線圖... 110 圖 4.36 液流阻尼器之遲滯迴圈比較 (

θ

=1480rad，R=8mm、L=11mm、h=0.72mm)...111 圖 4.37 液流阻尼器之遲滯迴圈比較 (

θ

=1240rad，R=8mm、L=11mm、h=0.72mm)...111 圖 4.38 液流阻尼器之遲滯迴圈比較 (

θ

=1120rad，R=8mm、L=11mm、h=0.72mm) ... 112 圖 4.39 液流阻尼器之遲滯迴圈比較 (

θ

=160rad，R=8mm、L=11mm、h=0.72mm)... 112 圖 4.40 液流阻尼器之遲滯迴圈比較 (

θ

=130rad，R=8mm、L=11mm、h=0.72mm)... 113 圖 5.1 基座減振測試構架設計圖... 160 圖 5.2 支撐架... 161 圖 5.3 加速規/速度規 ... 161

圖 5.5 激振器(Shaker)... 162 圖 5.6 基座安裝完成照片... 163 圖 5.7 激振器安裝完成... 163 圖 5.8 加速規安裝完成... 164 圖 5.9 基座加裝減振器前、後之樓板加速度歷時比較(Test1) ... 164 圖 5.10 基座加裝減振器前、後之樓板加速度歷時比較(Test2) ... 165 圖 5.11 基座加裝減振器前、後之樓板加速度歷時比較(Test3) ... 165 圖 5.12 基座加裝減振器前、後之樓板 1/3 倍頻圖比較(Test1) ... 166 圖 5.13 基座加裝減振器前、後之樓板 1/3 倍頻圖比較(Test2) ... 167 圖 5.14 基座加裝減振器前、後之樓板 1/3 倍頻圖比較(Test3) ... 168 圖 5.15 振動台油壓致動器... 169 圖 5.16 地震模擬振動台... 169 圖 5.17 五層樓鋼結構模型... 170 圖 5.18 407 控制器... 171 圖 5.19 IMC 資料擷取系統 ... 171 圖 5.20 耐震性能測試所使用之感測計... 172 圖 5.21 輸入震波歷時... 173 圖 5.22 液流阻尼器之安裝... 174 圖 5.23 五層樓鋼構耐震性能測試構架組裝完成照片 ... 175 圖 5.24 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.09g) ... 176 圖 5.25 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.14g) ... 177 圖 5.26 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.19g) ... 178 圖 5.27 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.24g) ... 179 圖 5.28 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.30g) ... 180 圖 5.29 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Hachinohe ; PGA=0.09g) .... 181

圖 5.31 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Hachinohe ; PGA=0.19g) .... 181

圖 5.32 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Hachinohe ; PGA=0.24g) .... 182

圖 5.33 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Hachinohe ; PGA=0.30g) .... 182

圖 5.34 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.05g)... 183

圖 5.35 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.14g)... 184

圖 5.36 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.18g)... 185

圖 5.37 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.25g)... 186

圖 5.38 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.30g)... 187

圖 5.39 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(El Centro ; PGA=0.05g)... 188

圖 5.40 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(El Centro ; PGA=0.14g)... 188

圖 5.41 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(El Centro ; PGA=0.18g)... 188

圖 5.42 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(El Centro ; PGA=0.25g)... 189

圖 5.43 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(El Centro ; PGA=0.30g)... 189

圖 5.44 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.08g)... 190 圖 5.45 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.14g)... 191 圖 5.46 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.22g)... 192 圖 5.47 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.34g)... 193 圖 5.48 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.37g)... 194 圖 5.49 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Kobe ; PGA=0.08g)... 195 圖 5.50 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Kobe ; PGA=0.14g)... 195 圖 5.51 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Kobe ; PGA=0.22g)... 195 圖 5.52 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Kobe ; PGA=0.34g)... 196 圖 5.53 一樓液流阻尼器斜撐消能遲滯迴圈(Kobe ; PGA=0.37g)... 196 圖 5.54 結構之振態分析(Hachinohe,PGA=0.14g) ... 197

圖 5.57 El Centro 震波頻譜與結構頻率比較圖(PGA=0.14g) ... 200 圖 5.58 Kobe 震波頻譜圖與結構頻率比較(PGA=0.14g)... 200 圖 5.59 Hachinohe 震波頻譜圖與結構頻率比較(PGA=0.14g) ... 201 圖 5.60 Kobe 震波頻譜與結構頻率比較圖(PGA=0.14g)... 201 圖 5.61 Hachinohe 震波頻譜圖與結構頻率比較(PGA=0.14g) ... 202 圖 5.62 El Centro 震波頻譜與結構頻率比較圖(PGA=0.14g) ... 202 圖 5.63 二層樓木造模型結構之立面圖... 203 圖 5.64 一樓液流阻尼器之安裝圖... 204 圖 5.65 一樓液流阻尼器之安裝位置圖... 204 圖 5.66 裝設液流阻尼器之二層樓模型結構 ... 205 圖 5.67 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.08g)... 206 圖 5.68 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.12g)... 206 圖 5.69 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.19g)... 207 圖 5.70 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.25g)... 207 圖 5.71 各樓層加速度反應歷時比較(Kobe ; PGA=0.28g)... 208 圖 5.72 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Kobe ; PGA=0.08g)... 208 圖 5.73 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Kobe ; PGA=0.12g)... 209 圖 5.74 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Kobe ; PGA=0.19g)... 209 圖 5.75 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Kobe ; PGA=0.25g)... 210 圖 5.76 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Kobe ; PGA=0.28g)... 210 圖 5.77 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.08g) ... 211 圖 5.78 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.15g) ... 211 圖 5.79 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.19g) ... 212 圖 5.80 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.22g) ... 212 圖 5.81 各樓層加速度反應歷時比較(Hachinohe ; PGA=0.26g) ... 213

圖 5.83 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Hachinohe;PGA=0.15g) .. 214

圖 5.84 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Hachinohe;PGA=0.19g) .. 214

圖 5.85 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Hachinohe;PGA=0.22g) .. 215

圖 5.86 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(Hachinohe;PGA=0.26g) .. 215

圖 5.87 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.10g)... 216

圖 5.88 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.16g)... 216

圖 5.89 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.20g)... 217

圖 5.90 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.23g)... 217

圖 5.91 各樓層加速度反應歷時比較(El Centro ; PGA=0.29g)... 218

圖 5.92 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(El Centro ; PGA=0.10g).. 218

圖 5.93 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(El Centro ; PGA=0.16g).. 219

圖 5.94 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(El Centro ; PGA=0.20g).. 219

圖 5.95 一樓四組低容量液流阻尼器出力歷時(El Centro ; PGA=0.23g).. 220

第一章 緒論

台灣位於歐亞大陸板塊與菲律賓海板塊交界處，屬環太平洋地震 帶的一部份，地震活動非常頻繁。然而，地震是自然界最不可預測的 災害，發生時往往造成生命財產重大的損失，有關結構防震之課題相 當重要。 結構耐震設計，長久以來的觀念是利用材料的強度以及結構構件 之韌性來抵抗地震力以及消散伴隨而來的能量，達成小震不壞、中震 可修、大震不倒的目標。然而，結構往往因為梁柱接頭設計不當或施 工不良造成塑性角提早破壞，使得韌性未能充分發揮。為了補足傳統 耐震設計之缺點，近年來結構控制的觀念在土木工程領域已被廣泛應 用【1】。結構控制技術為結構工程領域中的減震方法之一，可應用於 新建結構之抗震，亦可用於老舊建物之耐震補強。 結構控制的技術一般而言可分為三種，包括主動控制、半主動控 制和被動控制【2】，其中被動控制是目前運用較為廣泛的結構控制 方法。結構被動控制又可概分為基礎隔震【3】及消能減震兩種方法。 基礎隔震藉由支承延長結構基本週期，避開地震的主要振頻以隔絕地 震力的傳輸路徑，降低結構所須承受之地震力；結構消能是將地震時 造成結構層間位移與相對速度作為消能元件之驅動方式，將釋放的能

量藉由消能元件之塑性變形或流阻性吸收，使結構物在強震來襲時不 至產生嚴重損害。被動控制技術因毋須額外的動力供給、設計簡單、 機構行為容易掌握，較具發展潛力。消能減震裝置可分為速度相依型 與位移相依型兩種。凡元件之消能行為與構件之位移變形有關者，稱 之為位移相依型消能器，其消能原理係利用金屬材料之大幅變形使其 承受之應力超過該材料降伏強度，而由彈性行為進入塑性變形，繼而 在往復運動中產生吸能之作用；元件之消能行為與流體之流動速度有 關者稱之為速度相依型消能器，其消能原理係利用阻尼裝置組成構件 間之相對運動，間接驅動其內含流質或半固態材料之流動而產生阻 力，或因材料本身之黏滯性而產生對於振動之阻抗力。位移相依型減 震裝置種類繁多，包括加勁阻尼鋼板(ADAS)、預彎拱鈑【4、5】及 摩擦阻尼器【6】等；速度相依型之減震裝置主要包含黏彈阻尼器與 黏滯阻尼器【7、8】，本論文擬研究之低容量液流阻尼器即為黏滯阻 尼器(Viscous -Damper)。 液流阻尼器在結構防震上之應用屬於被動控制領域，它主要是藉 由圓管內活塞運動與液體的黏滯性所產生的阻力來消能，在工程實務 上已有相當多的應用，包括建築結構或橋樑之減震，例如 1995 年美

結構與橋樑減震之液流阻尼器，屬於體積、出力較大之高容量液流阻 尼器，阻尼器之出力可達數十噸甚至百噸以上。本論文將針對體積及 出力較小之低容量液流阻尼器進行研究，其出力約在 500~800 公斤， 可應用於質量較小之建築結構(如木造房屋)或振動設備之減振。 液流阻尼器最早源自於軍事用途【9、10】，應用於飛彈發射座上， 藉以吸收砲火發射瞬間之後座衝擊能量。隨著美蘇冷戰結束，液流阻 尼器乃陸續用於土木工程等民生工業用途上，成為建築結構吸收地震 能量、消散衝擊力的輔助元件。液流阻尼器應用在結構防震上已行之 有年，地震時利用阻尼器之遲滯消能行為消散地震能量，可有效提升 結構的耐震能力，達到功能設計的目標。國內有關液流阻尼器之研究 以徐德修等人較具代表性，徐德修及李永峰【12】指出，影響液流阻 尼器之阻尼特性的主要因素為阻尼器的管徑及活塞與套筒間之孔隙 面積；黃賜琳【13】利用流體力學理論推導阻尼器之數學模式，取得 阻尼係數之理論公式；李永峰【14】探討液流阻尼器之研發設計、製 造及測試，依照規範評估被動消能器之試驗項目及步驟，測試本土研 製液流阻尼器性能的穩定性及耐久性，並與國外已在工程實務應用之 產品相比較。以上液流阻尼器之相關文獻提供許多珍貴資訊，有助於 吾人對其流體動力行為之理解，對液流阻尼器之研發、設計均有很大

木造與磚造房屋，因材料特性的限制，無法容許結構產生較大的 位移與變形，所以往往在地震發生時倒塌或受損的情況最嚴重。日式 木造建築是以梁與柱為主體骨架，所承受的各種外力主要也是透過梁 柱之間來傳遞，因此梁柱接頭之強度相當重要，構件間之接合方式與 穩定性乃影響建築物結構安全的關鍵因素。1995 年日本阪神地震中， 許多傳統木造結構嚴重受損，主要是因木造建築之水平抵抗力較弱， 結構變形量過大而造成梁柱接頭破壞，加上屋瓦質量集中於結構頂 部，因此在地震作用下極易受損，甚至倒塌。此乃木造建築之梁柱接 頭以榫接的方式接合為主，在往覆載重下其穩定性較差；在水平載重 作用下，整體木造構架可能呈現平行四邊形的不穩定結構，若無適當 加勁，梁柱接頭可能因變形過大而破壞，使得構架大幅變形，甚至傾 倒。在木造建築安裝斜撐雖能防止構架變形，但也增加整體結構之勁 度而改變週期，可能導致加速度反應之放大；此外，安裝斜撐將會干 擾木造建築之使用，難以被大眾接受。為了防止梁柱接頭的破壞，近 年來日本建商開始考慮於木造建築的梁柱接頭附近安裝低容量之液 流阻尼器，不僅能束制水平的變形量，保護梁柱接頭，還能吸收地震 能量，達到消能減震的目的；相較於安裝斜撐所佔用的空間，低流量 液流阻尼器只佔用梁柱接頭附近之角隅，在應用上較具可行性。

上。台灣的電子、光電等高科技產業蓬勃發展，近年來已成為世界知 名高科技產品代工重鎮，為能提高生產良率，許多精密產品之生產組 裝製程均在無塵室中進行。無塵室除了潔淨度要求極高之外，對微振 動之要求亦甚為嚴苛。由於製程中設備之運轉會產生振動，使許多精 密儀器在製造過程中因振動而產生誤差，影響產品良率。為能有效降 低設備運轉產生之振動，可於設備基座與樓板之間加裝液流阻尼器來 吸收振動能量。由於基座與樓板間的高度限制，施做補強的空間有 限，所以選擇消能減振裝置時以隔振支承或是小型之阻尼器為主。低 容量液流阻尼器因為體積小，用於高科技廠房之設備基座減振相當合 適，它能有效吸收機台設備運轉之振動，減少產品瑕疵，提高良率。 綜以所述，開發低容量液流阻尼器，無論是對於木造結構之耐震補 強，或是廠房設備基座減振之應用，均有很大的發展潛力。 本文共分六章，第一章為緒論，介紹研究動機與目的及文獻回 顧。第二章將介紹液流阻尼器之理論推導，利用流體動力學與填充液 黏度變化之特性，找出阻尼器於之非線性出力行為與頻率相依特性 (frequency-dependent characteristics)。第三章介紹木造構架加裝液流阻 尼器之動力分析，以狀態空間法求解其運動方程式，並利用商用軟體 ETABS 針對阻尼元件參數進行擬合，以建立其分析結果之關聯性。

提供之液流阻尼器進行性能測試，找出液流阻尼器出力極限與消能特

性。第五章為液流阻尼器之防振(震)性能試驗，探討液流阻尼器應用

於高科技廠房設備基座減振，以及木造結構與五層樓鋼結構防震之可

第二章 液流阻尼器之流體力學理論

2.1 基本構造及原理

液流阻尼器之構造係由鋼製套管、活塞桿及略小於套管內徑的活 塞頭所構成，如圖 2.1 所示；阻尼器內填充具有黏滯性的液體(如矽 油)，運動過程中阻尼器藉由活塞兩側液體產生的壓力差產生阻抗， 環狀孔隙旨在控制活塞頭於黏滯性液體中移動時所產生的阻尼特性。 根據美國 FEMA 273 (FEMA 1997)【15】規範，線性液流阻尼器 之出力可表示如下： E D T Cx Kx F F F = &+ = + （2.1） 其 中 T F ：阻尼器提供的總出力； C：阻尼係數； K ：阻尼器之勁度； x ：活塞桿之位移； x& ：活塞桿之運動速度；

E F ：恢復力。 式（2.1）中所示之阻尼力F 與阻尼器之速度 x_D & 成正比，故稱為 線性液流阻尼器。若為非線性液流阻尼器，則其出力大小與速度的冪 次方成正比，其力學關係可表示如下： ) sgn(x x C F_D = &α & （2.2） 其中

α

：速度指數； sgn：方向函數。 式（2.1）中之恢復力F_E主要是因為活塞於套管運動時擠壓黏滯 性液體產生壓縮所致。Verma【16】曾針對此現象提出物理模型來描 述阻尼器的勁度，假設管內液壓是因為阻尼器套管中活塞桿單面推擠 黏滯性液體所造成；為了減少勁度之效應，Verma提出將套管內活塞 桿改為雙邊對稱型式，並於套管內設計蓄壓室來減壓以降低勁度。然 而相關之研究結果顯示，無論將阻尼器中之活塞桿改為雙邊對稱，或 於套管內設計蓄壓室，阻尼器在高頻運動時仍會出現勁度。

Constantinou 和 Symans (1992)【17】 及 後 續 Seleemah 和

來模擬出線性阻尼器的行為如下： x C dt dF F_T +

φ

T = ₀& （2.3） 其中

φ

：鬆弛時間； 0 C ：頻率幾近於零時所對應之阻尼係數。 在Maxwell model 中，F_T仍為阻尼力與恢復力兩項之疊加。惟此一模 型仍無法用來描述非線性液流阻尼器之力學行為。 液流阻尼器之另一支研究主流是以流體力學原理為基礎，聚焦於

阻尼器中之流體動力行為。Symans and Constantinou (1997)根據流量

守衡原理建立阻尼器之流體動力學理論；Makris (1996)【19】以

Navier–Stokes 方程式描述電流變液(electrorheological fluid)之流變

(rheological)行為進行電流變液阻尼器之力學分析； Chien-Yuan Hou

【20】提出以 Navier–Stokes 方程式分析液流阻尼器環狀孔隙中之流

體動力學，並考慮剪切效應與黏彈性行為對液流阻尼器之影響，以分

析液流阻尼器內流體之動力行為。

Hou【20】之研究，應用流體動力學與黏度變化之關係，考慮阻尼器 填充液為牛頓流體或非牛頓流體之條件建立液流阻尼器之流體動力

模式。牛頓流體(Newtonian Fluid)為流變行為符合牛頓黏度定律之流

體，其剪應力(

τ

) 與剪切速率(

γ

_&) 呈正比關係，即

τ

=

η

γ

_&；其中

η

即 為黏度，在一定溫定壓下

η

為常數，與時間及剪切速率(

γ

_&)均無關。 而非牛頓流體(non- Newtonian Fluid)之流體行為不符合上述牛頓黏度

定律，其黏度(

η

)會隨著剪切速率(

γ

_&)而改變。吾人可根據矽油之特性 參數，透過非牛頓流體之性質得到液流阻尼器的頻率相依特徵。惟 Chien-Yuan Hou【20】只探討阻尼器在穩態簡諧波條件下之動力行 為，為能建立含油壓阻尼系統之整體結構動力方程式，本研究將利用 上述流體力學理論，結合結構動力分析，探討其在地震擾動下之動態 行為。

2.2.1 牛頓流體(Newtonian Fluid)

當液流阻尼器內部為環狀孔隙時，其液體流動行為可以一維空間 座標來描述。圖2.2 所示為液體元素在孔隙中之自由體圖，由於流體 在環狀孔隙中流動，所以適合以極座標(polar coordinate)來表示；當 活塞頭的周長與阻尼器套管內徑之周長相同時，流體可視為在兩個平

內徑與活塞頭周長必定不相等，不過當孔隙寬度很微小時，套管內徑 與活塞頭之周長可視同相等，當其周長差在 2%以內時，液體元素在 孔隙中之自由體圖使用笛卡兒座標表示應為合理的作法。假設液體為 不可壓縮，利用力平衡之條件，吾人可得到以下之偏微分方程式： y x p t u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂

τ

ρ

（2.4） 其中 u：流體元素之流速； t u ∂ ∂

ρ

：單位流體體積之慣性力； x p ∂ ∂ ：沿著活塞頭厚度方向之液壓梯度； y ∂ ∂

τ

：作用在元素表面之剪應力。 式（2.4）中之 p L x p / Δ ≅ ∂ ∂ （2.5） 其中 p Δ ：活塞頭前後之壓力差； L：活塞頭厚度。

套管室內時，在孔隙中所產生之速度變量曲線為拋物線，且以y = h/2 處為對稱軸( h為孔隙之寬度)，如圖2.2 所示。換句話說，在y = h/2 時，

τ

= 0，這是因為對稱所致。所以流體在y = h/2時剪力為零；不 過Chien-Yuan Hou【20】所進行的阻尼器測試結果顯示，這並不是事 實。圖 2.2可以看出實際速度之變量曲線，因為沒有滑動，所以管壁 之流體速度必須要與管壁運動狀態相同。由於活塞頭與套管有不同之 運動情形，所以實際速度之變量曲線並以y = h/2處為對稱軸。但是 當孔隙寬度比活塞頭之半徑小時，孔隙中最大流速會比套管運動速度 大很多，因此套管之運動對速度變量曲線不會有很大的影響，而且所 產生之速度變量曲線將會接近於對稱。假設孔隙中流體速度變量曲線 在y = h/2處為對稱，並利用

τ

(h/2)= 0為邊界條件對（2.4）式進行 積分；假設流體之慣性力很小，可以忽略，所以式（2.4）可簡化為： y x p ∂ ∂ = ∂ ∂

τ

（2.4a） 式（2.4a）對y積分後可得： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Δ = h y L p y 2 ) (

τ

（2.6） 流體動力分析中，黏滯性流體之剪應力與剪切速率之關係如下：

y y u y y ∂ ∂ = = ( ) ( ) ) (

η

γ

η

τ

& （2.7） 其中

η

：流體之黏度；

γ

& ：流體元素之剪切速率。 將式（2.7）代入式（2.6）後可以得到環狀孔隙阻尼器之Navier–Stokes 方程式： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Δ = ∂ ∂ y h L p y y u 2 ) (

η

（2.8） 如果流體黏度為常數(

η

=

η

₀)且為牛頓流體，將（2.8）式對y積分並 代入邊界條件u(h)= 0，可得到沿y方向之速度分佈：

(

2

)

0 2 ) ( hy y L p y u = Δ −

η

（2.9） 速度分佈求得之後，即可以計算出孔隙中之流速，該流速必須與阻尼 器套管內不可壓縮液體之流速相等。假設h<< ，即可以估計出R Δ ：p dy y hy L p y R V h R dy t y u y R AV h h ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) , ( ) ( 2 2 0 0 2 0 Δ − Δ + = + ⇒ + =

∫

∫

η

π

π

π

) ( 6 ) ( ] ) 12 6 ( [ ) ( ] ) 4 3 ( ) 3 2 ( [ ) ( ] ) ( ) ( [ ) ( 3 0 2 4 3 0 2 0 4 3 3 2 0 2 2 2 0 0 2 h R h L p V h R h h R L p V h R y hy y hy R L p V h R dy y hy y y hy R L p V h R h h + Δ = + ⇒ + Δ = + ⇒ − + − Δ = + ⇒ − + − Δ = + ⇒

_∫

η

η

η

η

∵h<< R ， ∴

(

R+h

)

≈R

(

2.10

)

6 6 3 0 3 0 2 h LVR p R h L p V R

η

η

= Δ ⇒ Δ = ⇒ 其中 R：活塞頭之半徑； V ：活塞桿之運動速度。 將Δp與活塞頭斷面積(忽略活塞桿)相乘，即可以計算出填充牛頓流體 之阻尼器出力(沒有勁度之影響)： V h R L F F_T = _D =6

πη

₀ ( / )3 （2.11）

2.2.2 非牛頓流體(Non-Newtonian Fluid)

在低剪切速率（

γ

& ≈0）的條件下，液體黏度被視為常數（

η

₀），

該流體為即視牛頓流體。隨著剪切速率遞增，黏度開始變化的區域為 轉換域(transition region)，矽油的黏度會隨著剪切速率之增加而降 低，呈現出非牛頓流體之行為；黏度與剪切速率關係曲線之斜率最後 將收斂至一常數。 阻尼器環狀孔隙中之矽油在極大之剪切速率下會變稀薄(即黏度 降低)，阻尼器將進入非線性行為。雖然矽油在高速壓力變化時已變 為非牛頓液體，但吾人仍可先求出環狀孔隙內之剪切速率。考慮流體 為穩態流(steady flow)，則可求出在環狀孔隙中流體之平均流動速度： ave V A AV = ₂ （2.12） 其中 A：套筒內之斷面積， 2 A ：為孔隙之斷面積， V ：阻尼器之速度， ave V ：孔隙內之平均流動速度。 Yasuda(1979)【21】-Carreau(1972)【22】提出之聚合物液體黏度 與剪切速率的關係如下：

(

_b

)

(a 1)/b 0 ) ( 1+ − =

κ

γ

η

η

& （2.13） 其中

κ

：時間之常數； a、b：流體之流變學（rheological）常數。 將式（2.7）及（2.13）帶入式（2.6）中求解，可得到以Δp表示之流 體速度u(y)。由於Δp項亦為未知數，故需藉由額外之方程式求解 p Δ 。首先假設阻尼器受到外在擾動之速度為V(t)，由於套管內之流 量與孔隙內之流量相同，則依連續條件必須滿足： dy t y u y R t AV( ) h 2 ( ) ( , ) 0 + =

_∫

π

（2.14） 其中 ) (t V ：阻尼器之運動速度。 上式中因流速隨著時間而改變，故孔隙流速亦為時間之函數，因此 ) (y u 改為u(y,t)。 上述理論係將矽油視為純黏性液體。然而矽油不僅具黏性，亦會 表現出彈性行為而使阻尼器產生勁度；黏彈性材料在剪切應變產生變 化 時 ， 其 剪 應 力 會 隨 著 時 間 而 遞 減 ， 這 種 應 力 鬆 弛 現 象 可 以 由

Maxwell 模型來描述如下：

γ

η

τ

λ

τ

= _& ∂ ∂ + t 1 （2.15） 其中

λ

₁為材料之鬆弛時間。 式（2.15）與式（2.7）的差異在鬆弛這一項，將式（2.6）代入式（2.15） 可以得到 y t y u t p t p y h L ∂ ∂ = Δ + Δ − )( ( ) ( )) ( , ) 2 ( 1 1

η

λ

_& （2.16） 其中 ) (t p& Δ 為Δp(t)對時間之導數。 將式（2.16）與式（2.14）結合，可以求出考慮黏彈性矽油之流體動 力行為。 為了求解流體之速度分佈，首先運用有限差分法(Finite Difference)求 解非線性方程式（2.16）： y t y u t y u y t y u ty t y y Δ − = ∂ ∂ ( , ) +Δ ( , ) ( , ) （2.17） 將式（2.17）代入式（2.16）中，可得到流體速度分佈函數：

) , ( )) ( ) ( ( ) 2 ( 1 ) , ( h y p t ₁ p t y u y t L t y ut_{y y} + t_y ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ Δ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− Δ + Δ} = Δ +

λ

&

_η

（2.18） 其中Δy是由孔隙寬度方向分割 n 個等間距格點之間格。若孔隙之寬 度為1mm時，Δy =1/n mm。由式（2.18）可以得到y方向之速度分 佈。但因式中Δp(t)為未知數，所以再將式（2.18）帶入式（2.14）中 求出Δp(t)之關係式： dy t y u y t p t p y h L y R t AV h t_y ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + Δ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− Δ + Δ} + =

_∫

)( ( ) ( )) ( , ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( ₁ 0

π

λ

&

η

由於ut_y(y,t)為初始值，即前一步幅之已知值。上式整理之後得到：

( )(

[

)

2

( )

2

]

3 1 ( ) 2 , ( , ) 6 ) ( ) ( t R h V t u y t Rh u y t h yh L t p t p + − t − t_y Δ − = Δ + Δ

λ

_&

η

_η 由 Chien-Yuan Hou【20】之實驗數據得知，矽油材料之鬆弛時間 0015 . 0 1 =

λ

s，將此值代入上式，並利用(Heaviside)逆運算即可求出

( )

t p Δ 之解如下：

( )

(

) ( ) ( )

( )

(

_{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

_{( )}

⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + + ⎢ ⎣ ⎡ ₊ Δ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + − Δ + = Δ − − t t y u h R t V t h h R t V t h h R yh L t t y u h R t V t h h R yh L e t p t y t y t

η

η

η

η

η

& & & 2 1 ( , ) 10 9 ) , ( 1 2 6 2 2 2 2 3 2 2 67 . 666 （2.19） 在式（2.19）中，黏度項

η

( )

t 為時間之函數，藉由式（2.13）聚合物

液體黏度與剪切速率之關係，求出剪切速率後即可以得知。活塞頭側 壁面因須滿足不滑動條件，所以速度為零，此外，活塞頭壁面至孔隙 中央位置之流速呈線性變化，因此吾人可求出孔隙內之平均剪切速 率： h V h V_ave 2 _ave 2 0 = − =

γ

_& （2.20） 再由流體連續條件，可求出在環狀孔隙中的平均流動速度：

( )

(

)

(

R h

)

R V

( )

t h R A t AV V_ave 2 2 2 2 + − + = = （2.21） 因此可得到剪切速率之時間函數：

(

)

(

R h

)

R V

( )

t h h R ] [ 2 2 2 2 − + + =

γ

& （2.22） 將式（2.22）代入式（2.13）即可以得到黏度

η

( )

t 如下：

( )

(

)

(

)

( )

b a b t V R h R h h R t / ) 1 ( 2 2 2 0 ] [ 2 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + + =

η

κ

η

（2.23） 將

η

( )

t 對時間微分可得到

η

& 如下：

( )

t

( )

(

)

(

)

( )

[ ]

(

)

(

)

( )

(

(

)

)

( )

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + × ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − t V R h R h h R t V R h R h h R b t V R h R h h R b a t b b a b && & & & ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 / ) 1 ( 2 2 2 0

κ

κ

κ

η

η

（2.24） 將活塞頭前後之壓力差與活塞頭斷面積相乘，即可得到阻尼力如 下：

( )

t p

( )

t A F_d =Δ （2.25）

2.3 參數分析

為瞭解本節由流體動力學所推導出之液流阻尼器力學行為，本研 究將推導之公式與液流阻尼器之非線性公式作擬合，藉此找出所對應 之阻尼係數及勁度。從非牛頓流體之推導過程中可得知當矽油受到高 剪切速率時，黏度會降低且顯示出非線性力學行為，因此本節將探討 液流阻尼器在不同頻率下，受簡諧波擾動之力學行為。

2.3.1 參數設定

„ 流體動力學推導出之液流阻尼器公式 流體動力學推導之液流阻尼器公式中已知定值：

(2)初始黏度

η

₀=1.002 Pa s； (3)時間之常數

κ

=7.2×10-6； (4)流體之流變學（rheological）常數 a =0.43、 b =0.6； 液流阻尼器尺寸設定值： (1)阻尼器活塞頭半徑 mm 55 mm 27.5 ⎩ ⎨ ⎧ = = R R ； (2)活塞頭厚度 ⎩ ⎨ ⎧ = = mm 20 mm 10 L L ； (3)孔隙寬度 ⎩ ⎨ ⎧ = = mm 0.3 mm 0.2 h h 。 „ 液流阻尼器之非線性公式 非線性液流阻尼器之行為可表示如下：

( )

x K

( )

x C F = Ω &α + Ω

本節將以 Modified Kelvin’s model 之阻尼係數C

( )

Ω、勁度K

( )

Ω 及

α

與 非牛頓流體理論所得之遲滯迴圈結果作擬合分析，求出最佳之參數，

俾便未來加以應用。

(2) R=55mm，L=10mm，h=0.2mm； (3) R=27.5mm，L=20mm，h=0.2mm； (4) R=27.5mm，L=10mm，h=0.3mm。

2.3.2 擬合結果

以 簡 諧 波 為 輸 入 擾 動 時 ， 液 流 阻 尼 器 非 線 性 公 式 (Modified Kelvin’s model)的遲滯迴圈能完全與流體動力學之液流阻尼器公式的 遲滯迴圈重合，且擬合結果得到之速度指數

α

均為 1，Modified

Kelvin’s model 擬合之四組結果歸納於表 2.1~2.4，Modified Kelvin’s

model 之四組參數對應如圖 2.7~2.10 所示。

第(1)組尺寸擬合結果，當頻率為 1Hz 時的擬合結果，Kelvin’s

model 擬合出之阻尼係數 C 值為 3 kgf ⋅sec/mm，因為分析出之遲滯

迴圈沒有斜率所以其勁度值 K 為 0。頻率為 5Hz 時的擬合結果，

Kelvin’s model 擬合出之阻尼係數 C 值為 2.9 kgf ⋅sec/mm、勁度 K 值

為 5 kgf /mm。頻率提升時 Kelvin’s model 都能夠擬合出所對應之阻

尼係數C 值及勁度 K 值，各頻率下遲滯迴圈擬合如圖 2.3 所示。

第(2)組尺寸擬合結果，以第(1)組模擬尺寸為對照組，當頻率為

增加為 1450 kgf /mm，遲滯迴圈擬合如圖 2.4 所示。 第(3)組尺寸擬合結果，第(1)組模擬尺寸為對照組，當頻率為 1Hz，活塞頭厚度改變為 L=20mm 時，阻尼係數 C 值由 3 kgf ⋅sec /mm 提升至 6 kgf ⋅sec /mm。隨著頻率升高至 25Hz，其勁度由 100 kgf /mm 增加為 200 kgf /mm，遲滯迴圈擬合如圖 2.5 所示。 第(4)組尺寸擬合結果，第(1)組模擬尺寸為對照組，當頻率為 1Hz，孔隙寬度改變為 h=0.3mm 時，阻尼係數 C 值由 3 kgf ⋅sec /mm降 為 0.65 kgf ⋅sec /mm。隨著頻率升高至 25Hz，其勁度由 100 kgf /mm 下降為 21 kgf /mm，遲滯迴圈擬合如圖 2.6 所示。

2.3.3 小結

由參數分析的結果可以發現，由流體動力學推導之公式之遲滯迴 圈會隨著頻率提升而偏斜產生勁度，這驗證了矽油之彈性行為可能使 阻尼器發生勁度之效應。分析結果顯示頻率越高時，液流阻尼器之勁 度效應越明顯。以第(1)組模擬尺寸為對照組，改變液流阻尼器設定 值比較之後可發現，當活塞半徑 R 放大兩倍時，擬合之阻尼係數 C 值 將大幅提升，勁度 K 值則會隨著頻率升高變大。當活塞頭厚度 L 放 大兩倍時，其阻尼係數C 值及勁度 K 值均有提升且約為兩倍。當孔隙

合結果得知增加活塞半徑時，阻尼係數會大幅提升，但勁度值也將隨

著頻率升高而大幅增加。而孔隙寬度增加時，阻尼係數將會下降，勁

表 2.1 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 (R=27.5mm,L=10mm,h=0.2mm)

Frequency(Hz)

Coefficients

Modified Kelvin’s model

1 5 10 15 20 25

( )

Ω

C (kgf ⋅sec /mm) 3 2.9 2.8 2.65 2.65 2.6

K

( )

Ω (kgf /mm) 0 5 20 35 70 100

表 2.2 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 (R=55mm,L=10mm,h=0.2mm)

Frequency(Hz)

Coefficients

Modified Kelvin’s model

1 5 10 15 20 25

( )

Ω

C (kgf ⋅sec /mm) 45 41 39 39 37 36

( )

Ω

表 2.3 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 (R=27.5mm,L=20mm,h=0.3mm)

Frequency(Hz)

Coefficients

Modified Kelvin’s model

1 5 10 15 20 25

( )

Ω

C (kgf ⋅sec /mm) 6 5.8 5.6 5.5 5.2 5.2

( )

Ω

K (kgf /mm) 0 60 250 600 900 1450

表 2.4 Modified Kelvin’s model 之參數擬合結果 (R=27.5mm,L=10mm,h=0.3mm)

Frequency(Hz)

Coefficients

Modified Kelvin’s model

1 5 10 15 20 25

( )

Ω

C (kgf ⋅sec /mm) 0.65 0.63 0.61 0.6 0.59 0.59

( )

Ω

環狀孔隙

活塞頭

管

(a)液流阻尼器縱剖面 (b)液流阻尼器 A-A 橫斷面 圖 2.1 液流阻尼器構造示意圖 圖 2.2 液體元素在環狀孔隙中之自由體圖 R L h R h 填充矽油 A A 活塞桿 活塞頭 環狀孔隙

-10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -300 -150 0 150 300 Fo rce (kg f) Ω:1Hz

Modified Kelvin's model(C=3,K=0,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -1500 -750 0 750 1500 Fo rce (k g f) Ω:5Hz

Modified Kelvin's model(C=2.9,K=5,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -3000 -1500 0 1500 3000 Fo rce (kg f) Ω:10Hz

Modified Kelvin's model(C=2.8,K=20,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -4000 -2000 0 2000 4000 Fo rce (kg f) Ω:15Hz

Modified Kelvin's model(C=2.65,K=35,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -6000 -3000 0 3000 6000 Fo rce (kg f) Ω:20Hz

Modified Kelvin's model(C=26.5,K=70,α=1)

Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -6000 -3000 0 3000 6000 Fo rce (kg f) Ω:25Hz

Modified Kelvin's model(C=2.6,K=100,α=1) Fluid dynamics

-10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -4000 -2000 0 2000 4000 Fo rce (k gf ) Ω:1Hz

Modified Kelvin's model(C=45,K=0,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -20000 -10000 0 10000 20000 Fo rce (kg f) Ω:5Hz

Modified Kelvin's model(C=41,K=60,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 Fo rce (k gf ) Ω:10Hz

Modified Kelvin's model(C=39,K=250,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -40000 -20000 0 20000 40000 Fo rce (k gf ) Ω:15Hz

Modified Kelvin's model(C=39,K=600,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -60000 -40000 -20000 0 20000 40000 60000 Fo rce (k g f) Ω:20Hz

Modified Kelvin's model(C=37,K=900,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -80000 -40000 0 40000 80000 Fo rce (k gf ) Ω:25Hz

Modified Kelvin's model(C=36,K=1450,α=1) Fluid dynamics

-10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -600 -300 0 300 600 Fo rce( k g f) Frequency:1Hz Modified Kelvin's model(C=6,K=0)

Fluid dynamics(R=27.5mm,L=20mm,h=0.2mm) -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -3000 -1500 0 1500 3000 Fo rce (k gf ) Ω:5Hz

Modified Kelvin's model(C=5.8,K=10,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -5000 -2500 0 2500 5000 Fo rce (kg f) Ω:10Hz

Modified Kelvin's model(C=5.6,K=40,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -8000 -4000 0 4000 8000 Fo rce (k gf ) Ω:15Hz

Modified Kelvin's model(C=5.5,K=80,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -8000 -4000 0 4000 8000 Fo rce (kg f) Ω:20Hz

Modified Kelvin's model(C=5.2,K=130,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -12000 -8000 -4000 0 4000 8000 12000 Fo rce( k gf ) Ω:25Hz

Modified Kelvin's model(C=5.2,K=200,α=1) Fluid dynamics

-10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -60 -40 -20 0 20 40 60 Fo rce (k gf ) Ω:1Hz

Modified Kelvin's model(C=0.65,K=0,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -300 -150 0 150 300 Fo rce (k g f) Ω:5Hz

Modified Kelvin's model(C=0.63,K=1,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -600 -300 0 300 600 Fo rce (k gf ) Ω:10Hz

Modified Kelvin's model(C=0.61,K=3.5,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -800 -400 0 400 800 Fo rce (k gf ) Ω:15Hz

Modified Kelvin's model(C=0.6,K=8,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -1000 -500 0 500 1000 Fo rce (kg f) Ω:20Hz

Modified Kelvin's model(C=0.59,K=15,α=1) Fluid dynamics -10 -5 0 5 10 Displacement(mm) -1500 -750 0 750 1500 Fo rce (k g f) Ω:25Hz

Modified Kelvin's model(C=0.59,K=21,α=1) Fluid dynamics

0 5 10 15 20 25 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 _C K Frequency(Hz) C (kgf*sec/mm) 0 20 40 60 80 100 K(k g f/m m)

圖 2.7 Modified Kelvin’s model 之參數對應圖 (R=27.5mm,L=10mm,h=0.2mm) 0 5 10 15 20 25 36 38 40 42 44 46 _C K Frequency(Hz) C(kgf*sec/mm) 0 500 1000 1500 K(kgf/mm)

0 5 10 15 20 25 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 _C K Frequency(Hz) C(k g f*se c/mm) 0 50 100 150 200 K(kg f/mm)

圖 2.9 Modified Kelvin’s model 之參數對應圖 (R=27.5mm,L=20mm,h=0.2mm) 0 5 10 15 20 25 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 _C K Frequency(Hz) C(kgf*sec/mm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 K(kgf/mm)

第三章 含液流阻尼器結構之動力分析

3.1 前言

前章已針對液流阻尼器之流體力學理論作介紹，本章將進行結構 加裝液流阻尼器之耐震性能評估。運動方程式將併入阻尼器之流體動 力系統，其數值求解將採用狀態空間法。本節數值範例將以一座二層 樓木構架為對象，探討其加裝液流阻尼器之減震效益，並與 ETABS 之分析結果進行擬合與比較。

3.2 運動方程式

圖 3.1 為液流阻尼器安裝於二層樓構架之示意圖，此結構有 2 個 自由度，由力平衡關係可得到平衡方程式如下： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 u u k k k k k u u c c c c c u u m m & & && &&

( )

(

)

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 2 1 2 1 2 1 sgn sgn 0 0 1 1 0 0 u u u f f u m m d d g & & & && （3.1） 其中 1 m 、m 為結構各樓層之質量； ₂ 1 c 、c 為結構各樓層之阻尼係數； ₂

1 u 、u 為結構各樓層之位移； ₂ 1 u& 、u&₂為結構各樓層之速度； 1 u&& 、u&&₂為結構各樓層之加速度； g u&& 為地表加速度； sgn為方向函數； 1 d f 、 f_d2為液流阻尼器之阻尼力， f_di =Δp_i ×A_di

(

i =1,2

)

； di A 為第 i 支液流阻尼器活塞頭之斷面積； 1 p Δ 、Δ 為活塞頭前後之壓力差，可分別表示如下： p₂

( )

(

)

( ) ( )

( )

(

_{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

_{( )}

⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + + ⎢ ⎣ ⎡ ₊ Δ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + − Δ + = Δ − − t t y u h R t u t h h R t u t h h R yh L t t y u h R t u t h h R yh L e t p t y t y t 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 2 67 . 666 1 ) , ( 1 2 10 9 ) , ( 1 2 6 η η η η η & && & & & （3.2a）

( )

(

)

( ) ( )

( )

(

_{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

_{( )}

⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + + ⎢ ⎣ ⎡ ₊ Δ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + − Δ + = Δ − − t t y u h R t u t h h R t u t h h R yh L t t y u h R t u t h h R yh L e t p t y t y t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 67 . 666 2 ) , ( 1 2 10 9 ) , ( 1 2 6 η η η η η & && & & & （3.2b） 其中

L ：活塞頭厚度； R ：活塞頭之半徑； h ：孔隙間距;

( )

t 1

η

、

η

₂

( )

t ：各樓層液流阻尼器之油品黏度； ) , ( 1 y t ut_y 、ut_y2(y,t)：各液流阻尼器前一刻流速之已知值。 1 p Δ 中之黏度

η

₁、

η

_&1表示如下：

( )

(

)

(

)

( )

b a b t u R h R h h R t / ) 1 ( 1 2 2 2 0 1 ] [ 2 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + + =

η

κ

_&

η

（3.3a）

( )

(

)

(

)

( )

[ ]

(

)

(

)

( )

(

(

)

)

( )

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + × ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − t u R h R h h R t u R h R h h R b t u R h R h h R b a t b b a b 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 / ) 1 ( 1 2 2 2 0 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 1 1 && & & &

κ

κ

κ

η

η

（3.3b） 2 p Δ 中之黏度

η

₂、

η

_&2表示如下：

( )

(

)

(

)

( )

b a b t u R h R h h R t / ) 1 ( 2 2 2 2 0 2 ] [ 2 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + + =

η

κ

_&

η

（3.4a）

( )

(

)

(

)

[

( )

( )

]

[ ]

(

)

(

)

[

( )

( )

]

(

(

)

)

[

( )

( )

]

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + × ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − t u t u R h R h h R t u t u R h R h h R b t u t u R h R h h R b a t b b a b 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 / ) 1 ( 1 2 2 2 2 0 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 1 1 && && & & & & &

κ

κ

κ

η

η

（3.4b） 其中

κ

：時間常數； a 、 b ：油品之流變學（rheological）常數。

3.3 數值解析方法—狀態空間法

式（3.1）之運動方程式可簡化為： ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t C t K t Mu t t

Mu&& + u& + u =− &&_g −F_d （3.5）

其中 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 0 0 m m M ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = 2 2 2 2 1 c c c c c C ； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = 1 2 2 k k k k k K 。

d F ： 液 流 阻 尼 器 所 提 供 之 阻 尼 力 。

( )

(

)

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 2 1 2 1 sgn sgn 0 0 u u u f f d d & & & d F 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = u u && && &&u ； 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = u u & & &u ； _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 u u u 上式可以狀態空間表示如下：

(

3.6a

)

) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 1 1 t M t u I t t I K M C M t t g Fd u u u u ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − && & & && 或

(

3.6b

)

) ( ) ( ) ( ) (t Az t Eu_g t GF_d t z& = + && + 其中 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) ( ) ( ) ( t t t u u z & 為 4×1 之狀態向量； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡_{− −} = − − 0 1 1 I K M C M A 為 4×4 之系統矩陣； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 0 I E 為 4×1 之地震力分配矩陣； ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = − 0 1 M G 為 4×2 之阻尼力分配矩陣。