1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/17 一、單選題： 1. （ ）半徑 4，圓心角 θ = 72°，求 θ 所對的扇形面積是 (A)2 5 (B)4 5 (C)8 5 (D)16 5 (E)32 5 解答 D 解析 72 2 5 ， 所以所求面積 1 42 2 16 2 5 5 2. （ ）設asin 2，選出正確的選項。 (A) 3 2 2 a 2 (B) 2 1 2 a 2 (C) 2 3 2 a 2 (D) 3 1 2 a 解答 D 解析 因為 3.14，所以 2 2 2 3 。 觀察ysinx的圖形，發現當 2 2 x 3 時， sin y x為遞減函數，因此可得 3 sin 2 1 2 3. （ ）要得到函數 cos(2 ) 4 y x 的圖形，只需將y = sin2x 的圖形 (A)向右平移 8 (B)向左平移 8 (C)向右平移 4 (D)向左平移 4 (E)向上平移 4 解答 B 解析 y = sin2x 向左平移 8 個單位得函數 sin[2( )] 8 y x ，
又 sin[2( )] sin(2 ) cos[(2 ) ] cos(2 )
8 4 4 2 4 y x x x x ， 所以只需將y = sin2x 的圖形向左平移 8 個單位就可得到函數 cos(2 ) 4 y x 的圖形
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/17 4. （ ）時速 60 公里的汽車，在一圓形公路上行駛 20 秒後，旋轉 60°，求此圓的半徑約為（請 選出最接近者） (A)640 公尺 (B)600 公尺 (C)320 公尺 (D)300 公尺 (E)180 公尺 解答 C 解析 20 秒鐘所經過的弧長 60 20 1 3600 3 S 公里， 旋轉的有向角 60 3 弳， 故所求半徑 1 1 3 3 S r 公里 ≈ 318 公尺 5. （ ） 2 2
sin 39 1 cos 21 cos 21 1 sin 39 等於 (A)0 (B)1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 (E) 3 2 解答 C 解析 求值式 2 2
sin 39 sin 21 cos 21 cos 39 sin 39 sin 21 cos 21 cos 39
(cos 21 cos39 sin 21 sin 39 ) cos(21 39 ) cos 60 1
2 6. （ ）π°角： (A)大於二直角 (B)等於二直角 (C)小於二直角，但大於直角 (D)等於直角 (E)小於直角 解答 E 解析 π° ≈ 3.14° < 90° 7. （ ）設acos3，選出正確的選項。 (A)a 1 (B) 1 1 2 a (C) 1 0 2 a (D)0 1 2 a 解答 B 解析 因為 3.14，所以2 3 3 。 觀察ycosx的圖形，發現當2 3 x 時， cos y x為遞減函數，因此可得 1 cos3 1 2
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/17 8. （ ）時鐘從 5 點 30 分到 6 點 10 分，分針經過的角度，其弧度量為 (A) 2 (B)π (C)2 3 (D)4 3 (E)5 3 解答 D 解析 5 點 30 分到 6 點 10 分，分針共走了 40 分， 其度度量為360 40 240 60 ，其弧度量為240 4 180 3 （弧度）
9. （ ）若 a = tan1，b = tan2，c = tan3，則 a，b，c 的大小關係為何？ (A)a > b > c (B)c > b > a (C)a > c > b (D)c > a > b (E)b > a > c 解答 C
解析 1 弳 ≈ 57°，2 弳 ≈ 114°，3 弳 ≈ 171°
⇒ tan1 > 0，tan2 ≈ tan114° = − tan66°，tan3 ≈ tan171° = − tan9°， 因為 – tan9° > − tan66°，所以 0 > tan3 > tan2，
故tan1 > tan3 > tan2，即 a > c > b
10. （ ）− 4 弳為第幾象限角？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)剛好在軸上的角 解答 B
解析 1 弳 ≈ 57.3° ⇒ − 4 弳 ≈ − 229°， 所以 – 4 弳為第二象限角
11. （ ）若 y = 5sinx − 12cosx − 3，則下列何者正確？ (A) − 20 ≤ y ≤ 8 (B) − 16 ≤ y ≤ 10 (C) 17 3 y 173 (D) − 10 ≤ y ≤ 10 (E) 20 y 20 解答 B 解析 因為 2 2 2 2 5 ( 12) 5sin 12cos 5 ( 12) x x ， 所以 − 13 − 3 ≤ 5sinx − 12cosx − 3 ≤ 13 − 3， 即 − 16 ≤ y ≤ 10
12. （ ）若 f x( ) 3 sinxcosx，則何者的函數值最大？ (A)f (30°) (B)f (60°) (C)f (90°)
(D)f (120°) (E)f (150°) 解答 B
解析 ( ) 2( 3sin 1cos ) 2sin( 30 )
2 2
f x x x x ，
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/17 13. （ ）若 a = sin2，則下列何者正確？ (A) 3 2 2 a 2 (B) 2 1 2 a 2 (C) 2 3 2 a 2 (D) 3 1 2 a (E) 2 0 2 a 解答 D 解析 因為 π ≈ 3.14，所以 2 2 2 3 ，
由圖可知sin2 sin 2 sin
3 2 ，即 3 sin 2 1 2 14. （ ）已知100，選出正確的選項。 (A)1 弳 2 弳 (B)2 弳 3 弳 (C)3 弳 4 弳 (D)4 弳 5 弳 解答 A 解析 利用度與弳的單位換算公式，得 100 100 180 弳 5 9 弳1.7弳 15. （ ）將正弦函數 y = sinx 的圖形向右平移 1 單位，再上下伸縮為 2 倍而得出的是下列哪個函 數的圖形？ (A)y = 2sin(x − 1) (B)y = 2sin(x + 1) (C)y = − 2sin(x − 1)
(D)y = − 2sin(x + 1) (E)y = 1 + 2sinx 解答 A
解析 y = sinx向右平移 單位1 y = sin(x − 1)上下伸縮為 倍2 1 sin( 1) 2y x ， 所以所求函數為y = 2sin(x − 1) 16. （ ）下列哪一個角度最接近 3 弳？ (A)90° (B)120° (C)135° (D)150° (E)180° 解答 E 解析 因為 3 弳 3 (180) (540) 171.9 17. （ ）已知 a = sin5，選出正確的選項： (A) 1 1 2 a (B) 1 0 2 a (C)0 1 2 a (D)1 2 2 a 2 (E) 2 1 2 a 解答 A 解析 因為 π ≈ 3.14，3 4.71 2 ，11 5.76 6 ，如圖所示： 所以由圖可知 1 1 2 a
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/17 18. （ ）赤道上的物體皆繞著地球的自轉軸一天轉一圈作等速率圓周運動。已知赤道長約為 40000 公里，問：下列哪一個選項最接近地球半徑？ (A)6100 公里 (B)6200 公里 (C)6400 公里 (D)6700 公里 解答 C 解析 設地球半徑為 r 公里。 因為自轉一圈表示赤道上的物體皆繞著地球自轉軸旋轉2 弳，且赤道長40000 公里即 為自轉一圈的弧長， 所以利用s r，可得40000 2 r， 解得 40000 6366 2 r （公里） 19. （ ）若一角的弧度值為 25 6 弳，其最大負同界角的弧度值為α 弳，最小正同界角的弧度值 為β 弳，則(α,β )的值為何？ (A)( 11 , ) 6 6 (B)( ,11 ) 6 6 (C)( 5 ,7 ) 6 6 (D) 3 9 ( , ) 6 6 (E)( 7 ,5 ) 6 6 解答 B 解析 25 4 6 6 ⇒ 最大負同界角 α 為 6 ， 25 11 6 6 6 ⇒ 最小正同界角 β 為11 6 ， 所以( , ) ( ,11 ) 6 6 20. （ ）令acos
2 ，試問下列哪一個選項是對的？ (A)a 1 (B) 1 1 2 a (C) 1 0 2 a (D)0 1 2 a (E)1 1 2 a 解答 B 解析 因為2 2 180
180
565 弳 ，且565是205的同界角，所以acos2cos205 cos25。
又因為1 cos60 cos 25 cos0 1
2 ，
所以 1 1
2
a
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/17
二、多選題：
1. （ ）下列哪些函數與ysin5x有相同週期？ (A)y5sinx (B)ysin5x1 (C)ysin
5x 2
(D)y 5sinx3 解答 BC 解析 根據圖形伸縮的概念，可得ysin5x的週期為2 5 。 (A)╳：函數y5sinx的週期為 2 (B)○：函數ysin5x1的週期為2 5 (C)○：函數ysin
5x 2
的週期為 2 2 5 5 (D)╳：函數y 5sinx3的週期為2 2. （ ）附圖可以是哪個函數的圖形？ (A) sin 2 y x (B)y sin x 2 (C) sin 3 2 y x (D)ysinx1 解答 BC 解析 (A) sin 2 y x 的函數圖形是ysinx往右平移2 ，此圖錯誤 (B) sin 2 y x 的函數 圖形是ysinx往左平移 2 ，此圖正確 (C) 3 3sin sin 2 sin
2 2 2
y x x x
，此圖正確 (D)ysinx1的函數圖形是
sin
y x往上平移1，此圖錯誤
3. （ ）下列哪些為正數？ (A)sin1 (B)cos2 (C)tan3 (D)sin4 (E)cos5 解答 AE
解析 (A)sin1 ≈ sin57° > 0 (B)cos2 ≈ cos115° < 0 (C)tan3 ≈ tan172° < 0 (D)sin4 ≈ sin229° < 0 (E)cos5 ≈ cos286° > 0 4. （ ）已知扇形的半徑是 10，周長是 40，則下列哪些選項是正確的？ (A)中心角為 30° (B)中心角為 2 (C)扇形的面積為 100 (D)扇形的面積是 200 (E)扇形的弧長是 20 解答 BCE 解析 設圓心角為 θ (A)2r + rθ = 40 ⇒ 2 × 10 + 10θ = 40 ⇒ θ = 2 ≠ 30° (B)θ = 2 (C)面積 1 2 1 102 2 100 2r 2 (D)面積 1 2 1 102 2 100 2r 2 (E)弧長 = rθ = 10 × 2 = 20
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/17 5. （ ）選出所有正確的選項。 (A)函數ysinx的圖形對稱於原點 (B)函數ysinx與
sin
y x的圖形，對稱於y 軸 (C)函數y sinx 的週期是2 (D) 1 sinx1
解答 ABD
解析 (A)○ (B)○：ysinx與y sinx的圖形，同時對稱於x 軸及 y 軸 (C)╳：函數
sin
y x 的週期是π (D)○
6. （ ）下列關係式何者成立？ (A)sin13 cos13 2 sin57 (B)sin33° + cos33° > sin57° +
cos57° (C)sin 77 cos77 2 sin 32 (D)sin 68 sin 22 2 (E)cos20° + sin20° <
cos10° + sin10° 解答 A
解析 (A)sin13 cos13 2( 1 sin13 1 cos13 )
2 2
2 sin(13 45 ) 2 sin 58 2 sin 57
(B)sin33° + cos33° = cos57° + sin57° (C)sin 77 cos 77 2( 1 sin 77 1 cos 77 )
2 2
2 sin(77 45 )
2 sin 32
(D)sin68° + sin22° = sin68° + cos68° 2( 1 sin 68 1 cos 68 )
2 2
2 sin(68 45 )
2 sin113
2 sin 67 2
(E)cos20° + sin20° 2( 1 cos 20 1 sin 20 )
2 2
2 sin(45 20 ) 2 sin 65，cos10° +
sin10° 2( 1 cos10 1 sin10 )
2 2
2 sin(45 10 ) 2 sin 55，所以cos20° + sin20° > cos10° + sin10° 7. （ ）在 − 2π ≤ x ≤ 2π 的範圍內，方程式tanx 3的解可為下列何者？ (A) 3 (B)4 3 (C) 2 3 (D) 5 3 (E)2π 解答 ABCD 解析 由 tan 3 y x y 兩圖形的交點知有四個解， 1 3 x ， 2 4 3 3 x ， 3 2 3 3 x ， 4 5 2 3 3 x 8. （ ）下列有關角度的大小，哪些是正確的？ (A)1 > 1° (B)π > π° (C)1 4 (D)72 3 (E)30 5 解答 ABCD 解析 (A)1 弳 ≈ 57° ⇒ 1 > 1° (B)π 弳 = 180° ⇒ π > π° (C) 4 弳 ≈ 0.785 弳 ⇒1 4 (D) 60 3 ⇒72 3 (E) 180 36 5 5 ⇒30 5
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/17 9. （ ）下圖是 Γ：y = asinbx 的部分圖形，其中 a > 0，b > 0，則下列哪些敘述正確？ (A)a = 3 (B)b = 3 (C)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 6倍而得 (D)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 3倍而得 (E)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為1 6倍，再垂直方向伸縮為3 倍而得 解答 ACE 解析 (A)○：振幅為 y = sinx 的 3 倍，所以 a = 3（因為 a > 0） (B)╳：x 的係數為 b（b > 0）⇒週期為2 3 b ，所以b = 6 (C)○：y = sinx3 垂直方向 伸縮為 倍 y = 3sinx 1 6 水平方向 伸縮為 倍 y = 3sin6x (D)╳：因為 b = 6，所以不真 (E)○：y = sinx 1 6 水平方向 伸縮為 倍 y = sin6x3 垂直方向 伸縮為 倍 y = 3sin6x 10. （ ）下列哪條直線為函數 ( ) sin(2 5 ) 2 f x x 圖形的一條對稱軸？ (A) 2 x (B) 4 x (C) 8 x (D) 5 4 x (E) 5 2 x 解答 AE 解析 y = f (x)圖形的對稱軸必為過函數圖形最高或最低點的鉛直線，即若 f (k) = 1 或 − 1 時， 直線x = k 即為 y = f (x)圖形的對稱軸。 (A) ( ) sin[2 ( ) 5 ] sin3 1
2 2 2 2 f ，所 以 2 x 為其對稱軸 (B) ( ) sin[2 ( ) 5 ] sin 2 0 4 4 2 f ，所以 4 x 非其對稱軸 (C) ( ) sin(2 5 ) sin11 2 8 8 2 4 2 f ，所以 8 x 非其對稱軸 (D) (5 ) sin(2 5 5 ) sin 5 0 4 4 2 f ，所以 5 4 x 非其對稱軸
(E) (5 ) sin(2 5 5 ) sin15 sin3 1
2 2 2 2 2 f ，所以 5 2 x 為其對稱軸 11. （ ）θ = 100 弳，其最小正同界角為 α，最大負同界角為 β，則下列哪些選項是正確的？ (A)θ 在第四象限內 (B)θ 在第三象限內 (C)α = 100 − 30π (D)β = 100 − 32π (E)α − β = 2π 解答 ACDE 解析 θ = 100 弳的同界角為 100 + 2kπ，k∈ℤ， 又100 ≈ 2π × (15.9)， (I)取 k = − 15 ⇒ α = 100 − 30π ≈ 5.8 ⇒ θ 為第四象限角， (II)取 k = − 16 ⇒ β = 100 − 32π ⇒ α − β = (100 − 30π) − (100 − 32π) = 2π x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 － 6 －
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/17 12. （ ）下列哪些函數經過左右或上下平移後會與ysinx的圖形重合？ (A) sin
3
y x
(B)ysin 2x (C)y5sinx (D)ycosx 解答 AD 解析 (A) sin 3 y x 的函數圖形是ysinx往右平移 3 ，平移後會與ysinx的圖形重合
(B)ysin 2x的週期為π，平移後不會與ysinx的圖形重合 (C)y5sinx的振幅為5，
平移後不會與ysinx的圖形重合 (D)ycosx的函數圖形是ysinx往左平移
2 ，平移 後會與ysinx的圖形重合 13. （ ）已知 。選出所有正確的選項。 (A)為一銳角 (B)為一鈍角 (C)0弳 1 弳 (D)0 sin 1 2 解答 ACD 解析 (A)○：因為 3.14，所以 為一銳角 (B)╳：同(A)的解析 (C)○：因為 1 弳 57
，所以0 弳 1弳 (D)○：因為sin0 sin3.14 sin30，所以0 sin 1 2 14. （ ）下列哪些選項中的 x，會使得不等式 1 cos 3 2 x 2 恆成立？ (A) 2 6 x 3 (B)4 11 3 x 6 (C) 11 6 x 6 (D) 4 6 x 3 (E)2 11 3 x 6 解答 AB 解析 由圖知 2 2 2 6 k x 3 k （k∈ℤ）， 或4 2 11 2 3 k x 6 k （k∈ℤ） 15. （ ）若sin 3 5 ，90° < θ < 180°，則下列選項何者正確？ (A)cos 4 5 (B)tan 3 4 (C)sin 2 24 25 (D)cos 2 7 25 (E)sin 3 10 2 10 解答 BDE 解析 sin 3 5 y r ，令y = 3，r = 5。 θ 在第二象限，x < 0 ⇒ 2 2 5 3 4 x ⇒cos 4 5 ，tan 3 4 。 3 4 24
sin 2 2sin cos 2 ( )
5 5 25 ， 2 9 7 cos 2 1 2sin 1 2 25 25 ， 4 1 ( ) 1 cos 5 9 3 10 sin 2 2 2 10 10
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/17 16. （ ）如圖，圓 O 為單位圓，O 為圓心，設∠ABC = θ，ACBC，
請選出正確的選項。
(A)∠AOC = 2θ (B)OCcos 2 (C)ACsin cos
(D)AB2cos (E)△AOB 的面積 = sinθcosθ
解答 ABDE
解析 (A)同弧的圓心角大小為圓周角的兩倍，所以當∠ABC = θ 時 ⇒∠AOC = 2θ
(B)△AOC 中 ⇒OC cos 2
OA ⇒OCcos 2
(C)△AOC 中 ⇒AC sin 2
OA ⇒ACsin 2 2sin cos
(D)△ABC 中 ⇒AC sin AB ⇒ sin 2 sin AB
⇒ sin 2 2sin cos 2cos
sin sin AB (E)△AOB 面積 1 2 OB AC 1 1 sin 2 2
1 2sin cos sin cos
2
17. （ ）選出所有正確的選項。(A)cos1 > sin1 (B)cos10 > sin10 (C)sec3 > sin3 (D)cot4 > csc4 解答 AD
解析 (A)cos1 cos57 sin33 sin1
(B)cos10 cos570 cos210 0 sin10
(C)sec3 0 sin3 (D)cot 4 0 csc4 18. （ ）考慮函數 ( ) 2cos(3 ) 1 3 f x x ，下列敘述何者正確？ (A)f (x)的最大值為 3，最小值為 − 3 (B)將 y = g(x) = 2cos3x + 1 的函數圖形往左平移 3 單位，可得y = f (x)的函數圖形 (C)f (x)的週期為2 3 (D)y = |f (x)|的圖形對稱於 y 軸 (E)f (x) + 1 = 0 恰有兩個實數解 解答 C 解析 (A)f (x)的最大值 = 2 + 1 = 3，最小值 = − 2 + 1 = − 1 (B) ( ) 2cos[3( )] 1 9 f x x ，應為y = 2cos3x + 1 向左平移 9 單位 (C)週期為2 3
(D) − x 代入得| ( ) | | 2cos( 3 ) 1| | 2cos(3 ) 1| | 2cos(3 ) 1| | ( ) |
3 3 3 f x x x x f x ，圖 形不對稱於y 軸 (E)f (x) + 1 = 0，2cos(3 ) 1 1 0 3 x ⇒cos(3 ) 1 3 x ⇒ 3 2 3 x k （k∈ℤ）⇒3 2 2 3 x k（k∈ℤ）⇒ 2 2 9 3 k x （k∈ℤ），有無限多解
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/17 三、填充題： 1. 求 tan( 60 ) tan 1 tan( 60 ) tan x x x x ____________。 解答 3 解析 原式tan[(x 60 ) x] tan 60 3。 2. 如圖，A(0,6)、B(2,0)、C(3,0)， 求tan∠BAC = ____________。 解答 1 7
解析 設∠OAC = α，∠OAB = β ⇒∠BAC = α − β ⇒ 3 2 tan tan 6 6 1 tan tan( ) 3 2 1 tan tan 1 7 6 6 BAC 。 3. 如圖，圖形由 5 個正方形所構成， 求tan θ = ____________。 解答 7 6 解析 如圖，θ = 90° −∠1 −∠2， tan θ = tan[90° − (∠1 +∠2)] 1 1 1 7 tan 1 tan 2 1 1 tan( 1 2) 6 1 tan 1tan 2 2 4 1 1 1 2 4 。 4. 求(1 + tan37.5°)(1 + tan7.5°) = ____________。 解答 2 解析 因為 37.5° + 7.5° = 45°， 所以tan(37.5° + 7.5°) = tan45° ⇒ tan 37.5 tan 7.5 1 1 tan 37.5 tan 7.5
⇒ tan37.5° + tan7.5° + tan37.5°tan7.5° = 1，
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/17 5. 將弳轉換成以度為單位： (1) 4 3 弳 = ____________度。 (2) 5 4 弳 = ____________度。 解答 (1)240 (2) − 225 解析 (1) 4 3 弳 4 (180) 240 3 。 (2) 5 4 弳 5 (180) 225 4 。 6. 設 θ 是銳角， 3 sincos 3，則θ = ____________。 解答 6
解析 由題目知， 3sin 1cos 3 sin( ) 3
2 2 2 6 2 ， 所以 6 3 6 。 7. 設 0 ≤ x < 2π，若ycosx 3 sinx2， (1) 當 x = ①____________時，y 有最大值為②____________。 (2) 當 x = ①____________時，y 有最小值為②____________。 解答 (1)① 3 ②4 (2)①4 3 ②0
解析 cos 3 sin 2 2( cos1 3sin ) 2 2(sin cos cos sin ) 2
2 2 6 6 y x x x x x x = 2sin(x + 6 ) + 2， (1) 當 sin(x + 6 ) = 1 時，y 的最大值為 4，此時 x + 6 = 2 ⇒ x = 3 ； ①x = 3 。 ②y 的最大值為 4。 (2) 當 sin(x + 6 ) = −1 時，y 的最小值為 0，此時 x + 6 =3 2 ⇒ x =4 3 ； ①x =4 3 。 ②y 的最小值為 0。 8. 已知兩點 A(2cosα,2sinα)，B(cosβ,sinβ)，且 α − β = 60°，則線段AB的長為____________。 解答 3 解析 2 2 2
(2 cos cos ) (2sin sin )
AB
= 4cos2α − 4cosαcosβ + cos2β + 4sin2α − 4sinαsinβ + sin2β = 4(cos2α + sin2α) − 4(cosαcosβ + sinαsinβ) + (cos2β + sin2β) = 4 − 4cos(α − β) + 1 = 5 − 4 × cos60° = 5 − 2 = 3，
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/17 9. 試求 20 弳的最小正同界角為①____________，與最大負同界角②____________。 解答 ①20 − 6π ②20 − 8π 解析 20 弳的同界角為 20 + 2kπ，k∈ℤ，又 20 ≈ 1.16 + 6π；①取 k = − 3 ⇒ 20 弳的最小正同界 角為20 − 6π。 ②取 k = − 4 ⇒ 20 弳的最大負同界角為 20 − 8π。 10. 求下列各三角函數值： (1) cos2 3 _______。 (2)cos( 11 ) 6 _______。 (3) tan5 3 _______。 解答 (1) 1 2 (2) 3 2 (3) 3
解析 (1) cos2 cos( ) cos 1
3 3 3 2
。
(2) cos( 11 ) cos11 cos(2 )
6 6 6 cos 3 6 2 。
(3) tan5 tan(2 ) tan 3
3 3 3 。 11. 問： (1) 11 6 弳____________度。 (2) 2弳____________度。 解答 (1)330 (2) 360 解析 (1) 11 6 弳 11 180 330 6 。 (2) 2弳 2 180 360 。 12. 設 α，β 均為銳角，cos 1 7 ，cos( ) 11 14 ，則cos β = ____________。 解答 1 2 解析 因為 α 為銳角且cos 1 7 ，所以sin 4 3 7 ， 因為α，β 均為銳角 ⇒ 0 < α + β < π ⇒ sin( α + β ) > 0， 又cos( ) 11 14 ⇒sin( ) 5 3 14
⇒ cos β = cos[( α + β ) − α ] = cos( α + β )cos α + sin( α + β )sin α =1
2。
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/17 13. y = 3sinx + 4cosx，x 為實數，則 (1) 此函數的週期為____________。 (2) y 之最小值為____________。 (3) 當 y 有最小值時，tanx = ____________。 解答 (1)2π (2) − 5 (3)3 4
解析 3sin 4cos 5(sin 3 cos 4)
5 5
y x x x x
= 5(sinxcosθ + cosxsinθ )（其中cos 3 5 ，sin 4 5 ） = 5sin(x + θ)， (1) 週期 = 2π。 (2) 當 sin(x + θ ) = −1 時，有最小值 −5。 (3) 此時 3 2 2 x k ，k∈ℤ 3 2 2 x k ， 3 3
sin sin( ) cos
2 5
x ，
3 4
cos cos( ) sin
2 5 x ， 所以tan sin 3 cos 4 x x x 。
14. 設 90° < α < 180°且 3 sincos2sin 2364，則α = ____________。
解答 174°
解析 3 sin cos 2( 3sin 1cos ) 2(cos30 sin sin 30 cos )
2 2
= 2sin(α + 30°)，
所以2sin(α + 30°) = 2sin2364° ⇒ sin(α + 30°) = sin2364° = sin204°， 又90° < α < 180° ⇒ 120° < α + 30° < 210°， 所以α + 30° = 204° ⇒ α = 174°。 15. 設 θ 是標準位置角，而(3, − 4)是 θ 終邊上一點，則tan 2 ____________。 解答 1 2 解析 由題意知 θ 為第四象限角，且cos 3 5 ，sin 4 5 ， 所以 2
sin sin 2sin 1 cos 1
5
2 2 2
tan
4
2 cos cos 2sin sin 2
2 2 2 5 。 3 4 5 x y O 3 5 -4 (3,-4)
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/17 16. 設sin cos 1 2 x x ，則 (1) sin2x = ____________。 (2) sin3x − cos3x = ____________。 解答 (1) 3 4 (2) 5 4 解析 (1) sin cos 1 2 x x ， 兩邊平方 ⇒ 2 2 1
sin cos 2sin cos 4 x x x x ⇒2sin cos 3 4 x x ， 故sin 2 3 4 x 。
(2) sin3x − cos3x = (3sinx − 4sin3x) − (4cos3x − 3cosx) = − 4(sin3x + cos3x) + 3(sinx + cosx)
= − 4[(sinx + cosx)3 − 3sinxcosx(sinx + cosx)] + 3(sinx + cosx)
1 3 3 1 1 5
4[( ) 3( )( )] 3( )
2 8 2 2 4
。
17. x，y 為實數，則 sinx + cosx 的最大值為①__________，sinx + cosy 的最大值為②__________。 解答 ① 2 ②2
解析 ①sin cos 2( 2sin 2cos ) 2 sin( )
2 2 4
x x x x x ，所以sinx + cosx 的最大值為 2。
②− 1 ≤ sinx ≤ 1，− 1 ≤ cosy ≤ 1，所以 − 2 ≤ sinx + cosy ≤ 2，故 sinx + cosy 的最大值為 2。
18. 設 α 為第二象限角，β 為第一象限角且sin 8 17 ，cos 5 13 ，求： (1) sin( α + β ) = ____________。 (2) cos( α − β ) = ____________。 (3) tan( β − α ) = ____________。 解答 (1) 140 221 (2) 21 221 (3) 220 21 解析 已知sin 8 17 ，可得cos 15 17 ，tan 8 15 。 cos 5 13 ，可得sin 12 13 ，tan 12 5 。
(1) sin( α + β ) = sin αcos β + cos αsin β =(8) (5) ( 15) (12) 140 17 13 17 13 221。
(2) cos( α − β ) = cos αcos β + sin αsin β =( 15) (5) (8) (12) 21
17 13 17 13 221 。 (3) tan( β − α ) = 12 8 ( ) tan tan 5 15 220 8 12 1 tan tan 1 ( ) ( ) 21 15 5 。 x y O 15 17 8 x y O 13 12 5
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/17 19. 函數y 3 sinxcosx， (1) 若 x 為實數，則 y 的範圍為___________。 (2) 若 7 3 x 6 ，則y 的範圍為__________。 解答 (1) − 2 ≤ y ≤ 2 (2) 2 y 3
解析 2( 3sin 1cos ) 2(cos30 sin sin 30 cos )
2 2 y x x x x = − 2sin(x + 30°)， (1) x∈ℝ，因為|sin(x + 30°)| ≤ 1，所以 − 2 ≤ y = − 2sin(x + 30°) ≤ 2。 (2) 因為 7 3 x 6 ，所以60° ≤ x ≤ 210° ⇒ 90° ≤ x + 30° ≤ 240° ⇒ 3 sin( 30 ) 1 2 x ⇒ 2 y 2sin(x 30 ) 3。 20. 設 f (x) = 8x3 + 4x2 − 6x − 2，則以 x − cos15°除 f (x)的餘式為____________。 解答 2+ 3 解析 f x
除以xcos15的餘式為 3 28cos 15 4cos 15 6cos15 2
3 1 cos30 2(4cos 15 3cos15 ) 4 2 2 2cos45 2cos30 2 3。 21. 若 7 4 x 6 ，求下列各函數的最大值M 與最小值 m： (1) y1 = sinx 的 M = ①____________，m = ②____________。 (2) 2 sin( ) 4 y x 的M = ①____________，m = ②____________。 （sin 6 2 12 4 ，cos 6 2 12 4 ） 解答 (1)①1 ② 1 2 (2)①1 ② 6 2 4 解析 (1) 由圖可知在 7 4 x 6 的區間 1 7 sin 1 6 y ， 即 1 1 1 2 y ，所以M = 1， 1 2 m 。 (2) 將 y1 = sinx 的圖形向左平移 4 單位，即得 2 sin( ) 4 y x 的圖形， 由圖可知在 7 4 x 6 的區間 2 7 sin( ) sin( ) 6 4 y 4 4 ， 即sin17 2 sin 6 2 2 1 12 y 2 4 y ， 所以M = 1， 6 2 4 m 。
1091 高二數學 3A 第一次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P17/17 四、混合題： 1. 小華想為一個透天別墅設計一座螺旋式樓梯，其設計原則為：共 12 階的踏板，讓人上樓的過程 恰好旋轉了2 圈，且每一個踏板皆為全等扇形。 (1) 每一個扇形踏板的圓角應為幾度？（單選題） (A)30° (B)42° (C)45° (D)48° (E)60°。 (2) 假設一般人腳掌長度不超過 30 公分，故設計扇形踏板的兩半徑中點連線長為 30 公分，試求所 有踏板的總面積約為多少平方公分？（非選擇題） 解答 (1)E (2)7200π 平方公分 解析 (1) 360 2 60 12 ，故選(E)。 (2) 如附圖， 扇形兩半徑中點連線長為30 公分，且扇形圓心角為 60°， 故扇形的半徑為60 公分， 則所求 1 2 12 60 7200 2 3 （平方公分）。 2. 國慶設計戰機衝場噴射彩煙的表演，規劃讓一架戰機通過總統府正上方時開始噴出彩煙，並讓戰 機依序噴出紅藍白三種不同顏色彩煙，若讓戰機維持距地面200 公尺的固定高度，並希望讓站在 總統府正下方觀禮臺的貴賓可以看到三種顏色的彩煙有一樣的視角（視角:眼睛視線容納物體的 角度）(忽略人的身高）。 (1) 若紅色彩煙的長度為 100 公尺，試問整段紅色彩煙的視角 θ 之正切值為何？（單選題） (A)1 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3 (E)2。 (2) 承上題，要滿足三種顏色的彩煙有一樣的視角，則藍色彩煙應噴出多少公尺的長度？（非選擇 題） 解答 (1)A (2)500 3 解析 (1) tan 100 1 200 2 ，選(A)。 (2) 令藍色彩煙長 t 公尺， 則tan 2 100 200 t ⇒ 2 2 tan 100 1 tan 200 t ⇒ 1 100 3 200 4 t ⇒ 800 = 300 + 3t ⇒ 500 3 t （公尺）。
