行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告
以線性矩陣不等式法發展廣義π分配理論及其應用(2/3)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2213-E-002-040- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學電機工程學系暨研究所 計畫主持人： 馮蟻剛 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 93 年 5 月 20 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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以線性矩陣不等式法發展 ※
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廣義
π
分配理論及其應用
（
2/3）
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計畫類別：;個別型計畫 整合型計畫
計畫編號：NSC 92 - 2213 - E - 002 - 040
執行期間：92 年 8 月 1 日 至 93 年 7 月 31 日
計畫主持人：馮 蟻 剛 教 授
共同主持人：
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
;
出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位： 國 立 臺 灣 大 學 電 機 工 程 學 系
中 華 民 國 93 年 5 月 17 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
以線性矩陣不等式法發展廣義
π
分配理論及其應用（
2/3）
Developing and Applying The Generalized
π
-Sharing Theory
Using Linear Matrix Inequality (2/3)
計畫編號：NSC 92-2213-E-002-040
執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日
主持人：馮蟻剛 國立臺灣大學電機工程學系
一、中文摘要 延續上一年度的研究，本年度π 分配理論 的主要研究成果有三。首先是討論非線性 系統的穩定性分析，其次是針對回授控制 器設計之線性矩陣不等式演算法的改進， 最後是強健濾波器設計的應用。其中，濾 波器的設計問題，區分具有時域響應封包 限制與濾波器極點配置條件兩種情況。所 有結果都整理成線性矩陣不等式的形式， 以利凸集最佳化的運算。 關鍵詞：π分配理論，線性矩陣不等式， 控制器/濾波器設計，封包限制，極點配置。 Abstract: In this report, there are three main achievements with respect to the π-sharing theory. First of all, there are some results about the π-stability analysis for a class of nonlinear systems. Then, an improved algorithm for the design of state feedback controller via the linear matrix inequalities is proposed. Finally, two types of robust filters with time-domain mask and pole region constraints, respectively, are designed using the π -sharing theory. All of the design methods and constraints are expressed via linear matrix inequalities so that convex optimization problems can be considered. Keywords: π -sharing theory, LMI, controller/filter design, mask constraint, pole region constraint. 二、緣由與目的 耗散性理論 (dissipativity theory) 是由學者 定度問題上深具重要性。對相互連結之回 授耗散系統，若各子系統均具耗散性，則 閉迴路系統在滿足某些條件下將具內部穩 定性或輸入與輸出穩定性。此理論已廣泛 地應用在非線性系統之穩定度分析[2]和控 制器設計問題上[3][4]。雖然π 分配理論與 耗散性理論具有相似特性，可以是耗散理 論的推廣[5]，然而對於較複雜之非線性系 統，一般而言，π係數之計算有其困難性 [6]。因此，這方面的研究在文獻上較少被 探討。本年度計畫中即對π 分配特性在非 線性系統上的討論加以推展。 除了回授控制器的設計應用之外，文獻中 常見的另一類設計應用，就是各類濾波器 的設計。其中，濾波器輸出訊號具有時域 封包限制(time-domain envelope constraints) 的情況就常發生在許多訊號處理方面的例 子 上 。 例 如 ， 早 期 電 視 訊 號 波 形 量 化 (equalization)的 K-mask；通訊或雷達系統 中資料傳遞時在通道上的量化或解迴旋 (deconvolution)問題等[7]。利用最佳化模式 求 得 此 類 濾 波 器 的 方 法 雖 陸 續 被 提 出 [8][9]，然而卻都忽略了傳輸通道(channel) 上不確定因素對訊號傳遞與解迴旋可能造 成的影響[10]。因此，我們將不確定因素納 入考慮範圍內。 類似輸出訊號封包限制的概念，濾波器本 身性能規格的要求，近年來也陸續以極點 配置區域(pole placement region)的方式逐 漸被開發引用[11]。然而，因演算法條件的限制，使得目前文獻[12][13]中提供的方
案，都必須討論的整個擴增系統(augmented system)的極點配置。換句話說，設計之前
不實用，所求的結果也相對保守與費時。 因此，在π分配特性的基礎上，我們將嘗 試提出這方面解決的方案。由於不乏利用 能量耗散觀點來進行濾波器設計的例子 [14]，因此，除了利用π分配特性對濾波器 設計進行討論，也可幫助研究人員思考其 應用上的可適性。 三、研究方法與成果 符號定義： 1. X ≥0表示 X 為對稱(symmetric)且半正 定(positive semi-definite)矩陣。 2. X ≥Y 表示X −Y ≥0為對稱且半正定矩 陣。類似符號亦適用於對稱正定(positive
definite)或負定(negative definite)矩陣。
3. 常數向量 x 的 2-範數(two-norm)以 x 表 示 ， 而 矩 陣 X 的 引 出 2-範 數(induced two-norm)表示成 X 。 4. 假設x(k)和Φ(k)分別為以離散時間k為 變數之向量和對稱矩陣，則
( )
Φ x(k)2 ≡x′(k)Φ(k)x(k),( )
∑
( ) ( ) ( ), = Φ ′ ≡ Φ T k T x k k x k x 0 2 其中T ≥0為一常數。另外，兩實數向量 ) ( ), (k x k x1 2 之內積定義為∑
= ′ ≡ T k T x k x k x x 0 2 1 2 1, ( ) ( )。 3.1 π分配理論與穩定條件 3.1.1 線性系統 考慮一離散時間動態系統Σ，其狀態空間 表示式： Σ: + = + = + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k u k D k x k C k y k u k B k x k A k x 1 (1) 其 中 ， x(k)∈Rn 為 系 統 狀 態 變 數 ， m k y k u( ), ( )∈R 為 系 統Σ之 輸 入 與 輸 出 變 數。對於時間T ≥0，若x(k),y(k),u(k)滿 足下列不等式： , 0 1 2 2 2 2 2 T T T T u R y P x Q x T x y u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , + + + Γ − + Γ ≥ (2) 則稱系統Σ具有π分配特性，且存在相對 應 之π 係 數 {Γ(k),Q(k),P(k),R(k)} ， 其 中 n n k Q k ∈ × Γ( ), ( ) R 為 半 正 定 矩 陣 ， m m k R k P( ), ( )∈R × 為對稱矩陣。式（2）描述系 統Σ具有二次形式的能量供給率函數和能 量之耗散性，其中， u,y T代表經由外界提 供給Σ的能量。當Σ由外界獲得能量時， 則 u,y T ≥0。 2 2 ) 0 ( ) ( ) ( ) (Γ xT − Γ x 和 T x Q) ( 分 別表示系統Σ的狀態變數所儲存與耗散之 能量，(P) yT2 +(R)uT2則描述系統Σ與其它 相連系統之能量交換狀況與互動情形。對 應式（1）與（2），可定義一耗散矩陣， 0 4 2 2 1 ≤ = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k M k M k M k M k M T ，其組成元素為： ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k A k k Ak k Q k C k P k C k M = T Γ −Γ + + T 1 ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k A k k B k C k C k P k D k M = T Γ − T + T 2 1 2 ). ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k R k D k D k D k P k D k B k k B k M T T T + + − + Γ = 2 1 4 輔助定理1 [5]：對於時間k∈[ T0, ]且T ≥0， 若M(k)≤0，Γ(k)≥0和Q(k)≥0，則系統Σ滿 足π 分 配特性，且具有相對應之π 係數 )} ( ), ( ), ( ), ( {Γk Q k P k R k 。 定 義 1 [5]:對 於 系 統 Σ ， ( ) m, k u ∈R ∀ n x(0)∈R ,T ≥0，若存在 γ1,Λ,γ4∈R 滿足下 列條件： ) 0 ( 2 1 u x yT ≤γ T +γ (3) ) 0 ( ) ( supx t ≤γ3 u T +γ4 x (4) 則系統Σ為π穩定(π-stable)。式（3）之條件描述系統輸入輸出的關係滿 足l 穩定性，而式（42 ）則意謂當外界輸入 0 = ) (k u 時，系統Σ具有李雅普諾夫穩定性 (Lyapunov stability)， 即 系統具內部穩定 性。在求得系統Σ的π 係數後，定義 1 中 增益參數γ1,Λ ,γ4將可利用輔助定理2間接 地決定。 輔助定理2 [5,15]：設系統Σ滿足π 分配特 性 ， 並 具 有 對 應 之 π 係 數 )} ( ), ( ), ( ), ( {Γ k Q k Pk R k 。若存在r0, p0,γ∈R使得 對 所 有 k∈[ T0, ], T ≥0 ， 滿 足 , ) (k rI R ≥ 0 P )(k ≥ p0I>0及Γ(k)≥γI>0，則系統 Σ為π 穩定。此時， , ) 1 ( 0 0 1 p δ p γ = + , 0 0 2 γ p γ = , 4 3 γ ξ γ γ = = 其中，δ =min{0,r0}, ) 0 ( 0=Γ γ 中 最 大 的 特 徵 值(eigenvalue)， } , ) 1 ( , max{γ0 δ p0δ p0 γ0 p0 ξ = + + 。 輔助定理3 [5,15]：考慮圖一，系統Σ代表 整個回授系統，其子系統S1及S2皆滿足π 特 性 ， 分 別 對 應π 係 數{Γ1(k),Q1(k),P1(k), )} (k R1 及{Γ2(k),Q2(k),P2(k),R2(k)}。若對所 有k∈[ T0, ],T ≥0，使得R1(k)+P2(k)>0，則 系統Σ滿足π 分配特性而其對應之π係數：
}
. ) ( )] ( ) ( )[ ( ), ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )} ( ), ( ), ( ), ( { k P k P k R k R k R k P k Q k Q k k k R k P k Q k 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 − + + Γ Γ = Γ 輔助定理 3 說明了π 分配理論中很重要的 一個優點，即整個回授系統所對應的π 係 數，可以表示成個別子系統π 係數的組 合。此外，由上述輔助定理可推得系統Σ為 π 穩 定 的 充 分 條 件 是 , ) ( 0 1 > Γ k Γ2(k)>0, P1(k)+R2(k)>0, 和 更多之能量時，則閉迴路系統仍具穩定 性。線性系統具有不確定參數時的穩定條 件與相關的討論，可參考上一年度的報告 進行比對。 3.1.2 非線性不確定系統 本小節中，我們直接將結果推廣至非線性 系統具有範數界定不確定性(norm-bounded uncertainty)的情況。非線性系統ΣNL，其狀 態空間表示式如下： ). ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 k u k D k x f k G k x k C k y k u k B k x f k G k x k A k x + + = + + = + (6) 式（6）內之不確定參數滿足下列條件： [ ] . ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 2 1 2 1 2 1 I k F k F E E E k F H H G D C G B A k G k D k C k G k B k A T ≤ + = (7) 而非線性項 f( kx( ))滿足以下的假設： (1) f(x(k)) ≤ Nx(k), k ≥0, N 為已知常 數矩陣。 (2) .f(0)=0 類比式（2）之線性系統的π分配條件，對 於非線性系統的π分配條件，因設定李雅普 諾夫方程式（Lyapunov function）為：(
)
∑
− = − + Γ = 1 0 T T T T( ) ( ) () () ( ()) ( ()), ) ( k l l x f l x f l Nx N l x k x k x k V (8) 而定為： 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) ( 1) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T . T T T T T T u y x T x N N x f x Q x P y R u ≥ Γ + − Γ + − + + + (9) 假設此系統的π 係數{Γ,Q,P,R}為常數矩 陣，將式（6）和（7）代入，再利用特定 矩陣不等式的輔助定理 [16] 將其整理成 線性矩陣不等式之形式。由於求解線性矩 陣不等式具有高度方便性，因此雖然維度 與複雜度有所增加，仍可計算相關的π 係 數以供穩定性分析之應用。數 , , , 1 0 4 1 3 1 2 1 > − − − ε ε ε ε ， 使 得 MNL ≤0 且 0 1 T 1 1I −H PH > ε ， 0 1 2 T 2 2 1 > − − I H H P ε ，則系統ΣNL 滿 足π 分配特性且具有相對應之π 係數 } , , , {ΓQ P R ，其中MNL = Γ Γ + + Γ + + Γ + + + Γ + + + − + + + Γ + − + + + Γ + − + + + Γ + + + Γ − − − − − − − − − − − 0 0 0 T 2 T 1 T 1 2 T 3 1 2 1 T 1 1 T 3 1 2 1 T 1 2 T 2 1 3 2 1 1 2 1 T T 2 1 1 T 2 1 3 2 1 1 2 1 T 2 1 2 T 1 1 3 2 1 1 2 1 T T 2 1 1 T 1 1 3 2 1 1 2 1 T T H D C B H A H E E B G E E A G E E B B R D D E E A B C E E B A C E E A A N N Q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 0 0 ( ) 0 ( ) . 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 T T T T T T T T T T T T T T T A G A H C E E B G B H D H E E I G G G H G E E H G I H H G P H I H I ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − − − − − Γ + Γ + Γ + Γ + − + Γ + Γ + Γ − − Γ − − − 對於以式（9）為π 分配條件的非線性系 統，除了定理 1 所對應的π分配特性條件 與線性系統有所區別之外，其他如輔助定 理2，3的描述仍一體適用。 3.2 π分配理論應用(I) — 控制器設計 以π 分配特性為條件所進行的（強健）控 制器設計，其流程可利用輔助定理 3 允許 受控體(plant)和控制器分別討論的優點有 所精簡，這與應用在PID控制器的設計[17] 有所不同。 今暫僅考慮一線性非時變之方陣系統，希 望透過控制器的設計，使得整個回授系統 能達到π穩定。如圖二所示，r為參考輸入 訊號，假設不考慮干擾訊號 w 的影響。受 控體表示成： 1 1 1 1 ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k u D k x C k y k u B k x A k x p p p p + = + = + 其中，x(k)∈Rn, u(k),y(k)∈Rm, 1 1 Ap,Bp,Cp,Dp為 已知的常數矩陣。欲設計之控制器表示成: ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 2 2 2 k u D k x C k y k u B k x A k x c c c c c c + = + = + 其中， xc( ), 2( ), 2( ) , m k y k u k ∈R Bc,Cc,Dc為欲求 之常數矩陣。以前述π 分配理論為基礎， 可得到對應的穩定條件共有： , 0 ) ( Γ Γ C Γ Γ , 0 , 0 T 2 1 1 1 T 1 T 2 1 1 T 1 T T 2 1 1 T 1 T 1 T 1 1 1 T 1 1 ≤ + − + + − + − + + + − ≥ > Γ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p D D R D P D B B C C P D A Γ B C D P C B A P C Q A A Q (10) , 0 Γ 0 Γ Γ 0 Γ Γ Γ , 0 , 0 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ≤ − − + − − − + − ≥ > Γ − c c c c T c T c T c c c T c T c T c B A P D C B D ) D (D R C A C C Q Q (11) , 0 2 1+R > P R1+P2>0, 0. 1 2− > P (12) 控 制 器 的 設 計 流 程 即 可 簡 化 成 為 以 , , , Γ , Γ , , , , Γ , , , , Γ 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 Q P R Q P− R Ac Bc Cc Dc 為變 數，以不等式（10-12）為條件之LMI問題。 3.3 π分配理論應用(II) — 濾波器設計 3.3.1 時域封包限制條件下的FIR濾波器 考慮圖三系統，各子系統分別表示為 + = + = + ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : k w D k x C k s k w B k x A k x W S S S S S S S S 1 ∆ + + ∆ + = ∆ + + ∆ + = + ), ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( : k s k D D k x k C C k z k s k B B k x k A A k x W C C C C C C C C C C C C C 1 + = + = + ), ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( : k y D k x C k s k y B k x A k x W F F F F F F F F 1 其中， ( )
[
]
, ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 C C C C C C C C C F k E E H H k D k C k B k A = ∆ ∆ ∆ ∆ 且F (k)FC(k) I, T C ≤ 希望透過 FIR 濾波器WF 的設計，使得整個誤差動態系統 ∆ + + ∆ + = ∆ + + ∆ + = + Σ ), ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( : k u k D D k x k C C k y k u k B B k x k A A k x e e e e e e e e e e e e e e e 1 不僅是穩定，而且能達到另兩項要求：(1) 給定輸入訊號 y(k),輸出訊號sˆ k( )滿足 特定時域封包限制，即 ), ( ) ( ˆ ) (k s k u k lbi ≤ i ≤ bi (2) 當xe(0)=0,µ>0，滿足 2 2 2 T e T u k k e( ) ≤µ ( ) 。 其中，
[
T]
, F T C T S T e x x x x = T[
T T]
, e w v u =[
T T]
, T e e e y = e(k)=s(k)−sˆ(k), nS, S x ∈R , C n C x ∈R , , , , mS, C z v w s y ∈R i=1,Λ,mS. 為了能有效地將所有條件表示成LMIs，我 們讓AF,BF,CF,DF,分別以[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( , , , ). ), , , , ( ), , , , ( ), , , , ( S S S S s m i i F S S S s m i i F S s m i i F s m i i F Fm F F m m F Fm F F n m F Fm F F m n F Fm F F n n F D D D diag D C C C diag C B B B diag B A A A diag A Λ Λ Λ Λ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 = = ∑ = ∑ = ∑ ∑ × × × × = = = = 表示。其中， , i F i F n n Fi A × = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Λ Λ Μ Μ Μ Λ Λ , 1 1 0 0 0 × = i F n Fi B Μ[
i( F) i( F 1) i(1)]
, Fi f n f n f C = i i− Λ DFi = fi(0), ) ( , ), ( ), ( i F i i i f f n f 0 1 Λ 為轉換後，WF真正待求的 變數。 定理2：若存在滿足LMIs（13-17）之最佳 化問題的合適解，則存在前述條件的最佳 FIR濾波器。 , minµ2 , 0 1 1 1I−HeTΓHe > ε 2 2 2 0, 1− > − T e e H H P ε (13) , 0 ≥ Γ Q≥0, P−1>0, , , 1 0, 3 1 2 1 ε− ε− > ε µ >0,(14) ), ( ) ( ) (lbi diag Yifi diag ubi diag ≤ ≤ (15) 0 0 0 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ≤ − − − − − − − − − I P R I P P P P µ (16) Γ Γ + + + Γ + + + − + + + Γ + − + + + Γ + − + + + Γ + + Γ − − − − − − − − − 0 0 0 2 1 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 1 T e e e e T e e T e e T e e T e e T e e T e T e e e T e e T e e T e e T e e e T e e T e e T e e T e T e e T e e T e e T e e T e H D C B H A H E E E E E E B B R D D E E E E E E A B C E E E E E E B A C E E E E E E A A Q ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ) ( , 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 ≤ − − − − Γ Γ Γ − − − I H I H P I H H H D H B C H A T e e e T e e T e e T e T e e T e ε ε ε (17) 其中， , ) ( ) ( ) ( = i F i i i i n f f f f Μ 1 0 , ) ( ) ( ) ( = i i i i bi n lb lb lb l Μ 1 0 , ) ( ) ( ) ( = i i i i bi n ub ub ub u Μ 1 0 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 + × = i F i n n i i i i i i i i i i i i i m y y m y y m y y y y y Y Λ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Λ Μ Λ Λ , 1 + + = i Fi i m n n i=1,2,Λ,mS. 相關結果詳細的推導與論述，可參考[18]。 3.3.2 區域極點配置條件下之強健濾波器 同樣考慮圖三所示之系統，WS，WF之表示 式與前一節相同，而 + = + = + ), ( s D ) ( x C ) ( z ) ( s B ) ( x A ) ( x : k k k k k k W C C C C C C C C C 1 C C C C,B ,C ,D A 滿足多邊集合(polytopic set)：將WS，WC整合表示成： + = + = + = + Σ ), ( Ju ) ( Lx ) ( s ) ( Du ) ( Cx ) ( y ) ( Bu ) ( Ax ) ( x : k k k k k k k k k e e e 1 希望透過WF的設計，不僅使誤差動態系統 + = + = + Σ ), ( u D ) ( x C ) ( y ) ( u B ) ( x A ) ( x : k k k k k k e e e e e e e e e e e 1 穩定，能達到H 規格的要求： ∞ 當xe(0)=0, µ>0,滿足 ( ) ( ) . 2 2 2 T e T u k k e ≤µ 同時，也要滿足濾波器本身極點配置區域 的性能規格要求。 極點配置區域的基本形式 (1) 圓 (disk region)：PD(η,ρ)表示以為η中 心，ρ為半徑的圓形區域。等效條件 為：(AF − I) ΓF(AF− I)− ΓF <0. 2 T η ρ η (2) 直立帶狀 (vertical strip)：PV(r1,r2)表示 極 點 的 實 部 位 於 r ~1 r2 的 區 域 ， R 2 1 <r ∈ r 。等效條件為： , 0 ) I A ( Γ Γ ) I A ( − + − 2 < T 2 r r F F F F . 0 ) A I ( Γ Γ ) A I (r − F F + F r1 − F < T 1 (3) 錐扇形(conic sector): PC(r0,θ)表示以 ) , ( 0r0 為頂點，θ 為開口角度的開放扇 形區域。可區分為：開口在左邊和開口 在右邊兩類。左開口的等效條件為： ( ) ( ) (Γ (A I) (A I) Γ ) sin ((A I) Γ Γ (A I)) 0. cos ) I A ( Γ Γ ) I A ( cos ) I A ( Γ Γ ) I A ( sin < − + − − − − − − − − + − 0 T 0 T 0 0 0 T 0 0 T 0 2 2 2 2 r r r r r r r r F F F F F F F F F F F F F F F F θ θ θ θ 右開口的等效條件為： ( ) ( ) (Γ ( I A ) ( I A ) Γ ) sin (( I A ) Γ Γ ( I A )) 0. cos ) A I ( Γ Γ ) A I ( cos ) A I ( Γ Γ ) A I ( sin < − + − − − − − − − − + − F r F F F r r F F r F r F r F r F F F r r F r F F F r r r r r r r r r r 0 T 0 T 0 0 0 T 0 0 T 0 2 2 2 2 θ θ θ θ 若在離散系統中，則這些區域必須在單位 圓內；若是連續系統，則必須在複數平面 的左半平面。 為了能有效地利用LMIs求解，上述相關的 要求轉換成為對應LMI條件的結果整理於 定理3。 定理 3：若存在適當解滿足下列 LMIs 條 件，則存在濾波器WF，使得前述穩定與性 能規格得以被滿足。 , minµ2 LMIs: π −stable: , 0 P 0 0 0 X Φ 0 Φ Φ D~ D~ J ~ Z D X B Φ B D~ C~ L~ Z C X A Φ A N~ D~ C~ L~ M Z C X A Φ A D~ D~ J ~ C~ D~ L~ N~ C~ D~ L~ ZD XB ZC XA M ZC XA ΦB ΦA ΦA R ) D~ D~ J ~ D~ D ~ J ~ ( ) C~ D~ L~ ( ) N~ C~ D~ L~ ( ) C~ D~ L~ ( Y X Ψ Φ ) N~ C~ D~ L~ ( Ψ Φ Ψ Φ ≥ − + − + − − + + − − − − + + + + − − + − − − − − − − − − − − −1 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 2 1 2 1 2 1 T 2 1 T 2 1 e F F F F F F e F F F F F F , 0 Y Ψ Ψ Ψ , 0 X Φ Φ Φ ≥ > diag{P− ,Φ,Ψ}>0, e1 LMI: H∞ −spec. , 0 I 0 P 0 R I P P P P ≤ − − − − − − − − − 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 e e e e e e µ
LMIs: Pole-placement region: (1) disk region , 0 X Φ ) X Φ ( M ) X Φ ( M ) X Φ ( < − − + − − + − − η η ρ2 T (2) vertical strip , 0 X Φ M M− + − < − 2 2 T 2r 2r
, 0 X Φ M M+ − 1 + 1 < T 2r 2r (3) conic sector
(
)
(
)
(
M M)
sin(
M M Φ X)
0, cos M M cos X Φ M M sin < − + − − + − + − − + − − 0 0 T T T 0 0 T 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r θ θ θ θ(
)
(
)
(
M M)
sin(
M M Φ X)
0. cos M M cos X Φ M M sin < + − + − − + − + 0 0 T T T 0 0 T 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r r r r r r θ θ θ θ 四、結論 承接上一年度的基礎，本年度我們針對非 線性系統建立了相關的π 分配特性與π 穩 定性條件；精簡控制器設計的流程；也將 相關的應用擴大到濾波器的設計問題上。 所有的條件與結果都能以線性矩陣不等式 的形式表現。 五、計畫成果自評 本次報告內容就三個主要的部分簡述，計 畫成果實頗為豐碩。除了以π分配理論為 應用之 PID 控制器設計的研究成果已發表 於 [17]；在輸出訊號具有時域封包限制條 件下之 FIR 濾波器設計，其結果已經彙整 投稿於國際期刊[18]；區域極點配置條件下 的濾波器設計結果，也將於近期內完成彙 整，並擬投稿發表於國際期刊。 六、參考文獻[1] Willems, J. C., “Dissipative dynamical system part I and part II,” Arch. Ration.
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[18] Lee, C. M., and I K. Fong, “Robust MIMO FIR filter design with time-domain mask constraints via π − sharing theory,” paper submitted to IEEE Trans. Circuits and
Syst. II. 圖一 圖二 圖三 S W WC + WF ) (k w s(k) ) (k v ) (k zc y(k) sˆ k( ) Signal model Transmission
channel Deconvolutionfilter
+ _ + ) (k e S W WC + WF ) (k w s(k) ) (k v ) (k zc y(k) sˆ k( ) Signal model Transmission
channel Deconvolutionfilter
+ _ + ) (k e Plant Controller 1 y 2 y 1 u 2 u w r +_ + _ Plant Controller 1 y 2 y 1 u 2 u w r +_ + _
