簡諧振子、弦線和空氣柱的共振現象

簡諧銀子、弦線和空氣柱的共振現象

擴要

讓為芳

噩立臺灣大學物單系

本文主要是以鱉諧振子、強線和空氣柱的振動躊例，以較初淺的理論探討 這些系統中的諧振或駐技振動、共顯現象及商者間的歸係，以闡明連接振動系 統的異間，並進間澄清一點可能的誤解。此外，弦線和空氣柱的自然振動轍啦， 其數目不止一個，故夜間其搬臟東之間會出現反共振的現象，本文也一併介紹， 以供高中物理與大學瞥濁物增教戀之蓮香考。 在力學或聲學中，一輔相當常兇的誤解，或不完整的說法，就是認為共接(或稱吳鳴) 詣的是振動系統的位移接輯出現縷大髓的情況 J 另一餾則是將按動系設在件眾接歡下出現 的任持鞋波振動，都親還學共撮，或者認鑄只賽在共接詩，接發系繞才有可能會錯琨駐按 撥動。這黨的誤解在討論電磁控器時，較少出現，但在力學或聲學中，則常發生， 極主要的原西就是一般高中或大舉課程中，很少在力學或聲學中，引進力學阻抗(mechanical impedance)的概念。 現行的圈中理化興高中物理諜報撩撥(說闢 84 年公布) ，都將共鳴(或稱共振)現象 的介紹，明列為聲音或聲學部分必須瀰溜的組材 o 在高三選修物理中，甚至將共鳴的原嫂， 咱列為教學時必須說明的基本現聞之一。不論在國中或高中，如果僅涉及共鳴現象的定性 介紹或實驗觀察，通常大戰不會議成教挪威學生太大的困擾，但如果想要清楚地說明戒了 解共鳴的原理，尤其是配合弦線成 2設施位中的駐波振動來講授或學習時，則可能是相當大 的一頭挽戰。 車於今年起即將停惡的瞥，較高中物理課本中，並未提及共鳴的基本語義與黨纜，龍即 使是大學的普通物理學教棋盤，對弦線和空氣柱的共鳴擴輯或原理，一般也多半缺乏較為 詳細深入的說明，頭:昆對費3 分的高中物理教師摺話，可能串訣過去缺乏研習或接纜， 要在授課前，事先對此一問題， ii故較深入的探討興了解，才不致囡認識不是，而無法過切 地向學生說明弦續或空氣柱共鳴的觀念與服轍。 本文主要是以簡諧振子、弦線和空氣糕的振動為例，較詳細地討論這些系統中的指振 或監波振動，及其與共振現象間的關 f系，期能混間澄、清一些可能的誤解。此外，由於弦線

20

…

綺宮發振子、弦線和空氣松的共振現象 和~議柱的振動，其皂然頻率的數盟，莖不像簡譜搬子一樣只有一個，臨 i兒，在兩共振頻 率之間，也會品現反共振(antÎresonance) 的現象，本文在此也一併介紹，以{共高中物環與大 體普通物理教學之還參考。

(一)簡諧振亭的振動

m 的贊點，在力常數 k mw: 的彈聾作用下，若額投其受到的雙雙擦體力與連度 v 成正比，間可表示為一mbv 廿三 0) ，則其運動方程式為 d法 .dx m 一一?揣一mω，~x …

mo-dt'

dt

(la)

當無摩樣能力時 (b 0)'1立黨點將以自然頻率五位 ω。 /(21l) 不停地鐵繭諧振點，其力學 能永議守恆;但離擦罷力如果不為疇，烏拉質點的力學能，將晶體賽擦損耗接漸減少，而質 點也就慢慢地停下來，終室成為靜止不動。注意:鱉諧振子能夠自能接動的頻事只有一髓，

即丸。

接使有摩蝶摸耗的欄謂振子不停站擺動，可鐘指外力定期知其f故功，以補充閣摩擦謂 消耗的力學龍。假設睡站的外力 F(t) 以正弦詣數隨時間 t 時變，其角頻舉為 w

=

2tif

' 即 F(t) 站 Fo

sinwt

則簡諧振子錦還動方租式將出口的式變成 d2 x ‘俏

m--_

+mb-+m ωI:X 品 rfi

sìnwt

dt'

dt υv

(1 b)

(1

c)

若 b>O ' 即在連成穗定態後，簡諧振子會以持力的頻率振動，故其結移的一般式可 3授予長為 x(t) 口 x'"

sin(

w( …利(l d) 的按:婦 x

_m

與相角葦似 O玄妙<

2

1l )苛求得如下。先將(l d)式的位移函數及其額分代入 (lc)式，整理f最可得 mx

_m

{(ω，~ _ w2

) sin(ω … Ø)+ 的 cos(似 -Ø)} 口 ~sinω

(1

e)

1/__2

__2 \2 • /1.

,

2

(ω; 一 w' )

B

==

.J(叫一的2 咐材

c仰。=一一玄一，

smø= 一一一

bw

B

(l η

則(l e)式可改寫搗

mx"，B{cos 扣in(

w

t …利 +sinØcos(ω t-Ø)}

==

mxßsin ω t=~sinwt 酹二式可得簡諧振子的f立移振幅 x.，

x 話刊1-=

F~/ m

f~/(mω，~

)

'"

mB

~(ω卜 ω， f+(bωf .I{l-(主l/+(主f(至'-f

ω。 ω。 ω。

(1

g)

、盞，， F 'HH

I

/S 華、

科學教育丹刊 第 232 期 中攀氏國八十九年九丹 若外力的接輻 Fo 不變，則 (lh)式的結果顯示，種語雖子的位移接離 X'" 會隨著外力的角 頻率 ω 冊擻，而當(l h)式在邊的分母為蟬小時，振騙 X'" 會出現極大值。當摩捧期間蟬近苦苦 零時 (b → 0)' 使振中說 X'" 出現極大{臨的角韻率蟲 ω 各吭，即外力顯率與自然顯豈容近乎相同。 發生此一情混銬，提幅 X

_m

搗向無窮大，故簡蹄撥子轉換振斷o 捏一般高諦，當摩攘陸是 _b 躊杏眼值(b

>

0)時，便接欄 X

_m

出琨極大髓的外力頻率，將低於自然頓8棋，高接幅的搬大題 也一定為幫眼值。此等結議可自以下什析得知。 b>O 詩，如;采用以下的定義:

α=(丘y，

Q

ω o 則(1的式在i擎的分母可改用以下 α 函數的平方根表示: 、 α1 、 D(α) (1一的"+τ(α-1+_::" ，)"+;，(1一.

::.. , )

2日，?

Q"'

4Q'

(2b)

(2a)

曲 (2b)式可看出，叭的可以為轍小或{立移振!棋可以為極大的饋件，就是 2Q2

>

1

'且此式右

擺第一項!Ø、項為響，即

α=(主Y

=1

ω。

1

<1

，外力騙取攝i正於自然頻率。由(l h)式得關諧振子的位移撮幅最大為

x

…

Fo /(

mb

"-1

耐 ~Ql_~ 可ZZFE

鶴諧振子的 j虛度可串(l d)式的時間擻分求得為

圳 =ωX

_m

cos(ω卜 Ø) = 凡 MW-4÷fj

故宮上式與(l h)式，可得顯諧振子的速度擴輛馬 ω F. /m

v_

==

mx__ 對 v

F'a

.j(m: 一 ω 2Y+(bmY

_{你的).!(生 -~Y 刊主Y}

m 位)0 位3。

(2c)

(2d)

(3a)

(3b)

船上式可看出，不管 b 值為仰，當 ω= 俗。時，濃度振福會成攬轍大值，覓一揹形稱為共振 o (3b)式最布過之分式的分母，稱為力學!沒抗，此式顯示關抗儒家源有兩類，有一頭來自摩擦 阻用 b' 與蘋率無關;另一額聽會隨頻率而變，立在特定的頭率(部共接頻率)時， !蛇頭5分的 題抗為零，而出現共撮，使對應的力學阻抗為梅小，等於 mbö由_{(1 符式， !立時 cosø 喘 0， si益。=}

1

'即 ø'=tr 汀，故共接待簡譜搬子的速度 (3a)式成為

v(t)

==

v

_m

sin(ωt 呵， +ftjz 主'Lsin (jρn

t

2'

mb

-22

(3c)

建諧振子、弦線和空氣牲的共振主兒象 間]11:七跨欄諧振子的速度與外力克全闊步，頂著商沒有相角麓，也根據(l d)式與(l h)式，此時 {立移成為

x(t)

=

x

,.

sin(糾 -Ø)=-.立cosω'01

moω。

(3d)

HP衛諧振子在共臨時的位格，與外力的相角豈是，聽 90. 立{立移的據中莒小於 (2d)式的最大提 攜 X

_max

。 外力雄予簡撥撥子的瞬詩功率可自(1 b)式與 (3a)式求得聽

P(t)

=

F(t)v(t)

= 九九 sin ω t

cos(

wt 一 Ø) 若以 r 訪/。表示外力的週期，則平均功率忘了自 (3d)式求f辱罵

p

=

l

例 dt 抖扎您

ι~1'仇扎

l' v，.f

κ凡v，.f

μ.f

r

r

(3d)

(3e)

將(1 η式與(3 的式的結果代入 (3e)武部得

b

F.

2 r=-翩翩一一-翩翩翩間一一翩翩一-一

2"， ω;fFTo 一!于

_f

₊

(-!!-f

。

ω

。

ω

_。

(3

t)

由上式可看出，當出現共;長時(即 ωzω

_。)

，上式之分母變為極小，此詩夕爭力撞予簡諧按子的

平均功率躊極大，即等於

P

2mb

(3η 綜合以上的結果，可知簡諧振子的共按現象，擋的是外力的眼輻翱定不變 ，

_i

里聽著其 頻率的改變，簡諧

_J

墨子的蜓點在特定的頻率拷打自然頻率

_ω0)

出現以下的情波: (1)速度振i縮成為極大值。 (2)力學盟抗成為攝小{盤。 (3)

輸入的平均功率成為磁大趟。

:當體擦陸居不可忽略時，共振不能說成是位移之援紹九成為極大值;但如鱷 蟬阻尼搗近於零(b

_→

0)認可忽略峙，則上述三種說法中之極大值，均趨近於 無跟大，在Ift'f嘗沒下，由於位移之擬蝠，必競速攘攘轍成為無限大，故得如 下之說法: (4)當摩擦阻品種徵小部可忽略峙，在外力的選期性作用下，使振動系統出現近乎無限 大{立移撮騙的情形，稱為共樣。 以上的四聽說法都可以做為共振的一般立主義，但說法(4)因不需考

_E

亨、聲響擦阻定或力學龍的損 耗，在討議繁重成連續分布之力學系貌的波動與其提時，正哥大i餾度的簡化其數學推導路程， 故以下將振甫j陀觀點來說明強線與空氣柱的共線。

科學教育舟子5 第 232 期 中發民國八十九九fJ

(二)弦線的駐波擺動

振動系統的自然頻率立豈不一定只有一筒，例如悶端固定、受有強力的絕弦韻，如聽其 長度為 L' 弦上橫波的傳縷速率為 U' 則 i克強線{故微幅的橫向提動詩，其駐波擺動鵲起然頻

/" =

n(土)，

n=I

,

2

,

3

,"',

2L

(4器) 商一聽頭 2笠、另端自由的組弦線，其駐波;震動的自然頻率則寫

/"需 (2n-l)丘

n 喘口， 3，"'，

(4b)

4L

{設若將細弦線的一踹間定，拉緊另端{道主是水平，技治錯護方向施一頻率搗/的力，使其教聽 諧振動，則不論/為舟，弦線都會出琨駐波振動。為了說萌為何會有活餾結果，首先考慮緝 弦的波動方程式。 一處於靜力平衡態的投緊鑼弦線，如受到擾靈台前徵幅偏離其平衡態，則在擺動清失後， 會繼續振動，而使弦線上出現橫波，向弦線的商瓏簿播。說如l輯:顯示，以揖於靜力平鑽 峙的弦線為 x 輯。當弦續出現微嚼的橫向位移時 .dx 小段的弦線主美麗整整為峙，若弦緝的影 狀僅出現綠的改變，到任…小段弦緝的長度改攪盤皆屬於窮二階微麓，可以忽略，即

如~(向2 叫命l= 叫l 叫竿)2

;:;

dx

(4c)

v .

dx

y

…;峙，…

x

圈 l 弦線的微幅變住 問此弦線上出現欖波峙，治著渡簿 i建方向的介質長度(即招艇) .可讓罵不變， '弦線 的密度 ρ 或張力 T. 對盧一樣，可續為定值。此時，弦線上出現的橫鳥語獲力吭，來告於 弦攏的形狀(即斜率砂'Idx)改變，由圖 2 並幸Jj舟 (4c)式的結果可得 咿咿 Fv 口 Tsin{}= T(…j 談何一j 步 ds'

.

dx

(4d)

24

簡宮會被子、弦線和~氣柱的共被現象

y

-F

鱷 2 弦的橫向自護力 當重力可是亨、略時，弦線上也於你的品段斯受到的總力，最其攜端橫向自護力之合力，即

…咚\) -茍f …

d

2

y

(F+dF)ν … (F ).且斌一 d{T(-~ )}… Td(-~ ) 叫訂一~)dx

_ds

(4e)

/ J - ~-\

dx'

\ dx

2 若弦線每單位民度的實讓控告線密度)路r 員IJdx 小段的質量是 dm 話 σ 峙，問 Jlt /J 、設的欄向加 達鹿為 y 對 t 的二二次微分，拔出 (4e)式與牛嘲第二連鞍定律得 2

y "

L \

,

d

2

y

dF.

=

T(守于)dx=(σ dx)(一;-;:-)

(5a)

dt

2 將上式化繭，雖以U 代教被速

u=~

(5b)

即?琴弦線的波動方程式為

d

2

y

1

d

2

y

dx

2

u

2

dt

2

(5c)

當弦線的一踹摺定設麒點，而在 x 喘 L 的男…端，浩錯主義方向施一外力 FJt) 縛，如外 力以角頻率 m=2nf 隨時間做工在弦函數的嘴化 ， ~n

FJt)

=

F;,

sìn2nft

(5d)

熙弦上出現的駐接接動，其橫向的移支援議是 (5c)式。如f若無議行渡的波晨1主義，令 λ u/

f '

真IJ駐波的位移吾吾數可用下武裝示:

y肉，t) 口凡叫4叫zf

(5e)

但置在 x

L

g霆，外力 FJt) 與張力 T 須滿足 (4的式的繡係'故將(5d)式與(5e)式的結果找入 後，可得駐波{立眾多振醋 ym 與外力振輔凡闊的臨係為

Rz 于TMMf

(5

f)

自前兩武苦苦矩，弦線在鉛垂芳:甸的{立移 y 會賭著外力以頻率 f 血戰駐波振動，即

科學教育月刊 第 232 期 中箏民國八十九年九月 λ F:

y(x， t) 一-0 sin2祺 sin2tt …

2ttT

cos(2ttL/ λ) 主式顯示不論 11每倚，弦線華會l:fJ琨駐波按動，其波部位於 (n 一 1)λ /帥一 'n2π~=o 士今 x 拾一一一一一=一一一二三 n 括1. 2.3..

..

λ 2

2u

(6a)

(6b)

以下討論出現點渡時，弦線 f二各點的眼幅是否會隨外力 (A)當外力頻鎮/等於(4的式中的任一頓再三 λ 時，可得

COSZ李 = co，成-L(

/" )

=做主(2n-1)=O

A U . ! .

2

J1:

L

Sln-一=

:t

l

λ ，而出現極大與樹小髓。

(6c)

(6d)

依 (6a)式與 (6c)式，在此情況 F 實弦線上出現的駐波振動，被節以外之各點，其(在移振幅 均成為無限犬，即 (4b)式中的頻率為此弦線的共振頻司法。如與鄰近 λ 的其他頻取/相比， 各點在此頻率時的振輻為極大飽 :r譜曲 (6的式與 (6d) 式，可看出此時振灑踹 x 那 L 擺渡腹 o (B)當外力鎮躍/等於(但)式中的{王一額2事/"詩，可得

2

JrL

_ _

J

cos-于 = cos2J1:L(二 =cosntt= 主 1

A U

2

J1:

L

Sln 一-一一 =u λ

(6e)

(6

f)

故 (6a)式與 (6e)式，此時弦鸝上由圾的點技振動，其各點之擬蝠，與鄰近的其ft!!頻率 f 相 比聽種小錯，此情形罵罵友共接 (antiresonance) ;而自(如)式與 (6。式，可看出此時接頭端 X 乏認

L

自以上的結果來看，無摩撩租用的弦線，非波節攏各點的位移振蝠，在自現共接時 昀為無限大，此情形與簡諧振予相同。但弦線的共振頻率拉阿以有多個，與關諧棍子的共 振頻那只有一個，顯然不同 o 齒頻率 f 由一個共掘頻率 h 鑽到另一個共振頗有玄 fn+l 時， 弦線主持按節處之各點，其位移接i腦也跟著由…餾樣大髓變質另一種極大{麓，但顯然在 llt 語種大{罷王三鵲必會有一種小籬，聽此就會有反共接現象，這種!實彤在嘴諧振子是不會 出現的

(三)空氣性的駐波振動

問督與開管空幸這柱中的事幸被是…種離 j皮，與弦線上的橫波，在本實上辛苦除去查異 o 為簡 單計，以 F 的討論均最設空主義牲的橫截聽到處梧詞，其臨續為 A' 管軸係站 x 方向，管中 聲波的援部與 yz 平面平行。雷管中出現震動時，分贊站 X 方向出現隸蝠{立移，這豆葉種種、 壓力興奮鹿的故瞥，因而出現彈 '1生臨接力。設管中某部分介質的體積自 va 雛驅改變成為 , AU

勻，-建諧振子、弦綠琴。空氣校的共振現象

V

_o +AV 時，其所受之聽力須由 pa 變成 Pa +AP ， 才能重新違成平衡，買自聽力變化蠶 AP 體積變化靈tAV 的關係，可;其下式表示:

ð.

V

M 口 -B 一…

V

_o

(7a)

上式中之比例常數8躊合質的激積彈性勞、毅(bulk

modulus)

，話至連號則表示當 AV>O 峙，

力的變化靈 AP<O' 也就是說當體積變大峙，壓力會降器。 如盤 3 上方小闊無末，當介聽處於平幫哥態時，投小體纜 Q 的主豆、右兩鶴鹿標原本為 x 與 x'=x+帥，與其體積 V

_o

為

先 =A(x' x) 且 A Ax

(7b)

x

JE'

回

i I

!

Q

I

x+s

X'

+S'

←+←一

..

S I

s'

=

S

+

ð.

s

圈 3 偏離平衡態時的f立移 當介質微驅偏離平衡態時，骰設在 x 麗的介髏位移爵 s ' 而在 x+ Ax 瓏的位格為 s'=

s

令部， 買2 小體積 Q 兩側的位置分別移至U x+s 與 x' +s'( 如國 3 方小 ) .故 _體積贊成

V

=

A(

x'

+

s' -

X

s)

， 問其體積變化量 AV 為

AV 且 Y

V

_o

=

A(x'+s'

x

s)

A(x' 一 x) 盟 A(s' 一 s)

A

Lh'

(7c)

將 (7b)與(7c)聽式的結果代入 (7吟式，可知小體積 Q 所受的壓力較平警告儷高出

ALh'

_Lh'

AP=-B 一一=… B 一一… 8 一一

~

A

Ax

Ax

(7d)

上式顯7f;AP 與移的娣獲 As/，卻成正比。當小體積 Q 的望在度Ax很小而可以忽略時 'Q 可視 聽一個位於 x 星星、沒有厚度的平甚至， 1上七詩(7d)式的 AP 好聽鑄在 x 虛的聽力變就擻，而且~

jjP(x)

表米之。

自 (7a)式與(7d)式可得體積增加 AV '位於 x 處的毒草頭，其所受輯的縱向力(來皂截諾 在 fJ!'J 之力治 +x 方向時攏在) ，將增加為

科學教會丹刊 第 232 期 中攀民國八十九年九月

F 口 AL1P =-AB生

dx

間位於 x 懿 x+dx 的小體種所受艷的總力，為其爾總離向力之合力，那

-(F+ 叭+尺如-吭叫dffj

(8a)

(草b) 設以 ρ。代表靜力平衡態時的介實密度，則在 x 至tl x+dx 小段的介髏，其贊數為 dm 話 PoAdx

'

研其縱向加澀度為位移 S 對 t 的工次撥分，故由 (8b)式與牛頓第二運動定律，可得其微幅鑫 動的方程式寫

叭 =AMZj= 叫時j主

(8c)

整理後得

B .d

2

s.

d

2

s

-=-(…刊=一γ

Po'

dx"'

dt"

(8d)

比較 (5c)式與(8d)式，可兒 j能控黨控與弦線之波動方程式與相同形式，而比照 (5b)式，否可知 聲援的傳播速司法嚼

Eh

(8e)

此外，認管與閉會空氣柱之駐波振動頻率，亦可比照弦線服縛，例如雨端封闊的空氣糕， 如果其畏度為 L' 聲波的的簿播諱率為 r 則航空黨控做微幅的縱向按動時，在南端對體處 之位移攜帶，與南端罷定之弦鶴的還算接件翱悶，故其駐波揮動的自然頻率揖

λ =n( ~寸

n 認 1 ， 2， 3，....

立三

(9a)

同理，…端封閉、另端黯放的空氣牲，其駐按振動的自然辦單則為

/"話 (2n-l) ~三

n 捕入 2，丸

4L

(9b)

當空氣性位於竄點的一端封閉，蓓在 x L 的另一蟻，論…x 軸方向撞一夕爭力 FJt) 時， 如外力以角頻率 ω 21if 睡時鶴教正弦函數的變色，即 FJt) 口一九 sin21if t

(9c)

則空氣往中tJj現的駐說撥動，其蹤[句位移須講足 (8d) 式。如 f主購進行設的波長定義，令 λ =u/

f

' 則此駐波的位移函數可由下式菩提示:

s(x.t) 話丸 S仙Vtsinbf

(9d)

值的在 x

==

L 蟬，外力 FJt) 須講是持a)式的關{系，故將 (9c)式與 (9d)式的話聽代入後， 駐波位移振輔 Sm 與外力按:權 Fo 闊的關係為

-28

轎宮發扳手、弦線和空氣柱的共振蹺，象

民且三三BAs一仰2zji

oλmλ 由前兩式可知，介質的縱向位移 S 會聽著外力以頻率/出現駐波振動，部 λ F:

s(x

,

t)

:::一…ι sin2祈 sin2J宮一

2

nB

A cos(2

1rL

I 衍， 上式顯示不論 f 'j.毒街，提議柱都會出現駐波振動，其波節位於

S I x

fn 一 1)λ (n … 1)f in27r':':' 嗯 o

=>

x= 一-…--一一…'J

n

=

1.

2.3....

λ 2

2u

(ge)

(9η

(9g)

以上 (ge)章 (9g) 式之結果，如命 BA=T' 則顯然均與弦總之對自軍結果輯悶，故扇上述有關弦 線駐波之討論，可得趴下結論。 (A)當外力鎮豈容 f等於(9b)式中的任一頻率 f. 時，可得

2

1rL

_

_ ,

f

cos 一了一旦 cos2 1rL(此)= cos 了 (2n 一 1)

=0

(l Oa)

It U L.

21rL

sin一……話f: 1 λ

(10b)

f去。η 式與(l Oa)式，在此情況下，空氣龍中出現的駐波搬動，波都以外之各點，其位移 擺i攝均成露無限大， NP仰的式中的頻率為社空氣牲的共振頻率賽。如與鄰近 λ 的其他額率 f 相比，各處介實在此頻率時的撤幅為聽大儷;捕由 (9 f)式與(l Ob)式，可看出此時接源攜 x= L 為f立移的波腹 o (的當外力頻率/等於(9a)式中的{王一頓車 λ 縛，可得

2

7r

L _ _ J

cos 弋… cos21rL(此j 且 cosn7r 話主 i

It U

21rL

_

sm 一…… =u λ

(l

Oc)

(l

Od)

依(9 f)式與(l Oc)式'1Ít轉型車主控中出琨的駛技振動，其各魔之 f立移振i蝠，與聲:逅的其他 蘋豈容 f相比為權小餌，設為皮共接， f市晶。η式與(I Od)式，否可看出此時模游端 x L 為位 移的故罷 a 面以上的結果來看，長麓相闊的弦線與空氣妞，其駐波振動的模式，及發生共接戒 反共掘的鎮軍事，最完全相闊的。