《实数》全章复习与巩固——知识讲解（提高）
【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.理了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的 立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点 一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确 度，体会近似数在生活中的实际应用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示
a
3a
性质 一个正数有两个平方根， 且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一 个 正 数 有 一 个 正 的 立 方 根； 一 个 负 数 有 一 个 负 的 立 方 根； 零的立方根是零； 重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2 2a
a
a
a
a
a
a
a
a
3 3 3 3 3 3)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按与 0 的大小关系分： 实数0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
要点诠释： （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限 小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5
，32
等；②有特殊意义的数， 如 π； ③有特定结构的数，如 0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与 之对应. 3.三类具有非负性的实数 在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a
的绝对值是非负数，即|a
|≥0； （2）任何一个实数a
的平方是非负数，即a
2≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a
0
(a
0
). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值——零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算 数a
的相反数是－a
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相 反数；0 的绝对值是 0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； （2）正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而 小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数 接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度 近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这 个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差 绝对值的大小，例如精确到
0.1
米，说明结果与实际数相差不超过0.05
米. 【典型例题】 类型一、平方根和立方根 1、已知3
12
3
3
x
x
x
y
，求x
2y
的值. 【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为 0 得出x
的值，从而求出y
值，及x
2y
的值. 【答案与解析】 解：由题意得3 0
3
0
3 0
x
x
x
，解得x
＝－33
12
3
3
x
x
x
y
＝－2 ∴x
2y
＝
3
2
2
18
. 【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到x
2y
的值. 举一反三： 【变式 1】已知y
x
2
2
x
3
，求y
x的平方根. 【答案】 解：由题意得：2 0
2
0
x
x
解得x
＝2 ∴y
＝3，y
x
3
2
9
，y
x的平方根为±3. 【变式 2】若33
x
7
和33
y
4
互为相反数,试求x y
的值. 【答案】 解：∵33
x
7
和33
y
4
互为相反数, ∴3x
－7＋3y
＋4＝0 ∴3（x y
）＝3，x y
＝1. 2、（2015 秋 东台市期中）已知• 5a 1﹣ 的平方根是±2，6a+2b 1﹣ 的立方根是 3，求 b 4a﹣ 的平方根． 【答案与解析】 解：∵5a 1﹣ 的平方根是±2，6a+2b 1﹣ 的立方根是 3， ∴5a 1=4﹣ ，6a+2b 1=27﹣ ， 解得：a=1，b=11， 则 b 4a=11 4=7﹣ ﹣ ，7 的平方根为± ． 【总结升华】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 类型二、与实数有关的问题 3、已知a
是10
的整数部分，b
是它的小数部分，求
a
3
b
3
2的值． 【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10
的整数部分是 3，那么 它的小数部分就是10 3
，再代入式子求值. 【答案与解析】 解：∵a
是10
的整数部分，b
是它的小数部分，3
10 4
∴a
3 ,
b
10 3
∴
a
3
b
3
2
3
3
10 3 3
2
27 10
17
. 【总结升华】可用估值法来确定，即看10
介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平 方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三： 【变式】 已知 5＋ 11的小数部分为a
，5－ 11 的小数部分为b
，则a
＋b
的值是 ；a
－b
的值是_______.【答案】
a b
1;
a b
2 11 7
； 提示：由题意可知a
11 3
，b
4
11
. 4、阅读理解，回答问题. 在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是 根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行 之有效的方法：若a
－b
＞0，则a
＞b
；若a
－b
＝0，则a
＝b
；若a
－b
＜0，则a
＜b
. 例如：在比较m
2
1
与m
2的大小时，小东同学的作法是： ∵
m
2
1
m
2
m
2
1
m
2
1
∴m
2
1
m
2 请你参考小东同学的作法，比较4 3
与(2
3)
2的大小. 【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与 0 的关系，从而比较大小. 【答案与解析】 解：∵4 3
2
3
2
4 3 (4 4 3 3)
7 0
∴4 3
＜(2
3)
2 【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，要根据具体情况加以选择. 举一反三： 【变式】（2016 春·高安市期中）已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，a、b 到 原点的距离相等，化简：a
2
a b
c a
2
b c
. 【答案】 解：∵由图可知，c＜b＜0＜a，|a|=|b|， ∴a+b=0，c﹣a＜0，b-c＞0， ∴原式=a
0
a c b c
=2
a b
2
c
． 类型三、近似数与精确度 5、中国的国土面积约为 9596960 千米2，美国和罗马尼亚的国土面积分别约 为 9364000 千米2（四舍五入到千位）和 240000 千米2（四舍五入到万位）．如果要将中国的国土面积与它们相比较，那么中国的国土面积分别四舍五入到哪一位 时，比较起来误差会比较小一些？ 【思路点拨】与哪一个国家比较，应与这个国家所取的近似值一样，如美国四舍五入 到千位，中国也应四舍五入到了千位，这样比较起来误差会比较小一些． 【答案与解析】当与美国的国土面积相比较时， 可以将中国的国土面积四舍五入到千位， 得到 9 597 000 千米2． 因为它们同时四舍五入到了千位， 这样比较起来误差会比较小一些． 类似地，当与罗马尼亚国土面积相比较时， 可以将中国的国土面积四舍五入到万位，得到 96 000 000 千米2． 【总结升华】比较两个物体的的大小，得把两个物体用同一个标准去比较，比较的结果才 有意义.所以和美国比较的精确到千位，和罗马尼亚比较的精确到万位. 举一反三： 【变式】1000 米与 1.0×103米有无区别？请说明理由． 【答案】当这两个数作为准确值时没有区别； 当是两个近似值时有区别，1 000 米精确到 1 米，而 1.0×103米精确到 100 米． 类型四、实数综合应用 6、已知
a
、b
满足2
a
8 |
b
3 | 0
，解关于x
的方程
a
2
x
b
2
a
1
. 【答案与解析】 解：∵2
a
8 |
b
3 | 0
∴2a
＋8＝0,b
－3
＝0,解得a
＝－4,b
＝3
，代入方程：
2
21
2
3
5
4
a
x b
a
x
x
∴
【总结升华】先由非负数和为 0，则几个非负数分别为 0 解出a
、b
的值，再解方程. 举一反三： 【变式】设a
、b
、c
都是实数，且满足(
2
a
)
2
a
2
b
c
c
8
0
， 求代数式2
a
3
b c
的值. 【答案】 解：∵(
2
a
)
2
a
2
b
c
c
8
0
∴ 2
2
0
0
8 0
a
a
b c
c
， 解得2
4
8
a
b
c
∴2
a
3
b c
4 12 8 0
. 7、阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13
的近似值. 小明的方法： ∵9
13
16
，设13 3 k
（0
k
1
）.∴( 13)
2
(3
k
)
2. ∴13 9 6k k
2.∴13 9 6k
.解得4
6
k
.∴13 3
4
3.67
6
. 问题：（1）请你依照小明的方法，估算41
的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算m
的公式：已知非负整数a
、b
、m
，若1
a
m a
，且m a
2
b
，则m
_________________(用含a
、b
的 代数式表示)； （3）请用（2）中的结论估算37
的近似值. 【答案与解析】 解：（1）∵36
41
49
，设41 6 k
（0
k
1
）. ∴ 2 2( 41)
(6
k
)
. ∴41 36 12k k
2.∴41 36 12k
. 解得5
12
k
. ∴41 6
5
6.42
12
. （2）∵a
m a
1
，设m a k
（0
k
1
）. ∴(
m
)
2
(
a k
)
2.∴ 2 2
