台灣一等一級水準網之重新平差計算

台灣一等一級水準網

之重新平差計算

指導教授：許榮欣

學生：鄞守毅

報告流程



前言



資料介紹



IAUE



定相關法



Theil model



實驗



結論

資料介紹

 本研究所計算之資料，是由內政部委託國立成功大學衛星 中心所進行的『台灣一等一級水準網測量督導查核工作』 所用之資料。  根據「一等一級水準網測量督導查核工作總報告書」，此 水準網共有 1033 筆觀測高差、 1020 個水準點，以基隆 市民族英雄公墓內之 K999 水準點 (5.66883m) 為基準點 。

資料介紹

 本研究將水準網分為 26 條測線， 17 個待定高程，並以基

隆市民族公墓內之 K999 為固定點。

資料介紹

 上頁中各測線先驗方差 m 是以下式計算得的

上式中 是各測段閉合差， 是各測段長， i

IAUE

 迭代近乎無偏估計法 (Iterated Almost Unbiased Estimatio

n) ，即 IAUE ，是一種估計最佳方差的方法，此法將根據 網形幾何結構與觀測值品質估計各測線的方差及測線間的 協方差，進而得到最佳的權矩陣。

IAUE 計算流程 (1)

 _{首先應該要列出觀測方程式，並計算出各測線的先驗方}

差，然後進行分組，將所有觀測量依某種標準分為 k 組

IAUE 計算流程 (2)



。

 











L k i k i i i i i i

m

C

f

H

f

1 1

~

               k kh f sym h f h f ~ . . . ~ 0 0 ~ 2 2 1 1    2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C m f C m f m f m f m f m f m f m f L                                         



1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m            

計算流程

₍₃₎





_{，其中各個對角線元素就是各觀測量的} 多餘觀測數

 

 

 







  







  

        1 1 1 1 1 1 1 ˆ 1 ) ( L L L L L L L V L L V L W     1 L V R i r

計算流程

_{(4 ）}

 計算各組的 scale factor (f 數 ) 

_{，其中 是各組成員} r 的總和。  _重複 2 ～ 6 步驟直到各組 scale factor 和平差後之後驗 單位權方差都收斂到 1 為止。 i i T i r WV WH V f ] [  i r] [

IAUE

 依照上面步驟進行到最後將會得到各觀測量的最佳方差估

計，待方差估計完畢後，尤其所組成的權矩陣會是最佳的 權矩陣，直接拿來做平差計算的結果也將是各待測點位的 近乎無偏估計。

定相關法

 _{定相關法也是期望為平差方法估計出最佳的權模式，讓平} 差結果更理想。  不同於 IAUE 的是它是直接求最佳權，而不是先求各測線 之最佳方差，再來組成權。  _相關係數 R 可以根據 lag-one autocorrelation ，也可以根 據任何 lag 的 autocorrelation 來估計，而平差結果也會隨 相關係數的選擇而異。

計算流程

₍₁₎

 利用各測線間測段之閉合差，計算各測線的 R （相關係 數）  其中 代表各測段閉合差， i 代表測線編號， 代 表該測線的測段數， k 代表 lag 數。

.





  









i i n j j i i n j j i j k i i i

t

Y

n

t

Y

t

Y

n

R

1 2 1

]

ˆ

)

(

[

1

]

ˆ

)

(

][

ˆ

)

(

[

1







) (t_j Y

n

_i

計算流程

₍₂₎



代入平差計算，得各點高程







ni j j i i

Y

t

n

1

)

(

1

ˆ



)

1

(

2 i i i

m

R

a





i i i

m

R

b



2 2

1

bS

aS

P





Theil model

 測量計畫中，有時會遇到加密的問題，此類問題，需先將 某些點加以固定，以進行加密動作，而那些固定點資料就 稱為約制條件。  加密問題可分兩種方法處理，一為不將已知點資料給權之 平差，即不含虛擬觀測之平差；一為將已知點資料加權之 平差，即加入虛擬觀測之平差。

Theil model

 所謂虛擬觀測就是將已知點資料視為一已觀測之資料（實

際上我們並沒有去觀測 ) ，一起加入平差計算，藉此可以

減少對網形的約制，避免網形為迎合約制條件而變形，或 讓秩虧的設計矩陣得以滿秩。

Theil model

 已知點資料並不是絕對精確的，凡是觀測或多或少必有誤 差，只是我們有沒有將它反映出來爾，若為虛擬觀測加權 ，就是將它視為有誤差之量，再進行平差計算，則稱之為 加權的約制 / 加密平差；若無給予加權，即視為無誤差之 已知量，則稱為不加權的約制 / 加密平差。本研究即以加 入虛擬觀測之 Theil Model 做加密計算。

計算流程

₍₁₎

 將含有誤差之已知約制參數與未知的待求加密未知數分開 ，分別為 的 和 的 ，其中 ， 是已知的約制參數數目， 是待求 的加密點數目

1



c

Y

t



1

Xˆ₁

t



c



u

c

t

計算流程

₍₂₎



Theil Model 觀測方程式可寫成 :

L

Y

A

X

A

V

_c



₁

ˆ

₁



₂

ˆ



_P



_

2



1 y y

Y

L

V

 ˆ



P

y





_y1 (6) 部分是真實觀測方程式， (7) 部分是虛擬觀測方程式

計算流程

₍₃₎

 將 (7) 代入 (6) 可得新虛擬觀測方程式：  _其中

，

L

X

A

V



₁

ˆ

₁



y

L

A

L

L





₂

V



V

_c



A

₂

V

_y





_

_



_



_  _                   L T y y T T y A P A P A A A I I I A I 1 ₂ 2 1 2 2 2 2 2] [ 

L

P

A

N

L

P

A

A

P

A

X

ˆ

₁



(

₁T ₁

)

1 ₁T



₁1 ₁T



_ 



 _   _  1 ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X L T T _{P PA N N A PA N N} A N L I P A N A L L P A N A V  _{1 1}1 ₁T   ( _{1 1}1 ₁T  )



  



  V L T T T _{P I A N A P I} A N A ] [ ] [ 1 ₁ 1 1 1 1 1 1 T A N A P 1 ₁ 1 1 1   _  t n V P V T   2 2  

Theil model

流程圖

IAUE 實驗



IAUE 實驗分成依：



_先驗方差



_地形



距離固定點距離

這三種標準來分組

依

先

驗

方

差

分

組

依

地

形

分

組

依

距

離

分

組

各

分

類

法

比

較

定相關實驗



定相關實驗分成

:

 lag-one

Lag-one

成果

Lag-one and

lag-two

Theil model 實驗



本實驗中各測線的計算方法將依其

R 值而異

 R 為正的 表示明顯有系統誤差 所以權估計利用定相關技巧來定 ( ，絕對 權 ) ， Theil modl 過程並不迭代，並令先驗方差為 1 。  R 為負的 表示系統性誤差不明顯 所以權就以距離倒數來定 ( 相對權 ) ，先驗方差則先 行以傳統平差法求得之後驗方差代入， _{Theil model 進} 行迭代。 2 1 bS aS P  

結論

_(IAUE)

 IAUE 是對「權」的最佳估計，估計出來的權是對於該

網形的最佳權估計。也就是說 IAUE 的定權除了受點位

精度影響外，還會受到 A 矩陣（網形）的影響，所以 IA

UE 是 almost unbiased estimation 並不是 exact estimat ion 。另一方面，傳統平差只考慮先驗精度來定權，較 I AUE 法合理。這也是 IAUE 法的「理論缺點」。

結論

_(IAUE)



IAUE 的分組不能隨意地分組，分太多組將

會造成

_{scale factor 無法收斂。在數學上來}

說，

_{[r] 的大小，確實是影響 f 收斂與否之}

主因。



這點可由許老師提出的公式得證：

t t i t i

r

r

f

]

[

]

[

1

1 1  







結論

_(IAUE)



上述幾種分類法的比較可以根據：

 scale factor 越接近 1 越佳  後驗單位權方差越接近 1 越佳  Mn 越小越佳  各測線先驗方差 m 利用 Helmert 方法計算一次 （不要迭代）得新的 m 。兩次 m 越接近越佳

根據上面四個判斷方法可知依距離分兩組的

方法最成功。

結論

_{( 定相關 )}



每條測線的

R 都代表該測線內各測段閉合

差間的相關係數。



R 是正的表示相鄰兩閉合差的相關性很高

。



R 是負的表示相鄰兩閉合差的相關性很低

。



R 的數字越大，相關性越高。

結論

_{( 定相關 )}



兩種方法之比較可以利用各後驗方差和

M

相差之大小做比較，相差越小的越合理。

是第

_{i 測線中第 j 測段的閉合差 (m}

m) ， 是它的長度 (m) 。 d 是所有

的平均數。



   _{( )}2 1 1 d d n M _ij ij ij ij S D d  ij

D

S

_ij ij

d

結論

_{( 定相關 )}



以下是兩種方法的比較，可看出

lag-one 比較適合

結論

_{(Theil model)}

 Theil model 可使用相對權或絕對權進行計算，若事前不 知確切的先驗方差值，可用傳統平差先行計算，以其後驗 方差值當作估計的 Theil model 先驗方差值，並選用相對 權模式，大致描述各觀測量間相對權值，再進行迭代以漸 進求出各加密點之最或是高程。  若各觀測量之方差已知，則可利用絕對權模式直接定出各 觀測量間之權值，直接進行一次 Theil model 平差，得各 加密點之高程最或是值，此種以絕對權計算，且先驗方差

結論

_{(Theil model)}



上面提到

Theil model 選用

絕對權模式

時不需迭代

，其原因是因為先驗方差為

_{1 ，而且}

絕對權

固定為

，這兩項並不會因為迭代而改變，所以

_{(9) 、 (10)}

、

_{(13) 變成}

(25)

(26)

(27)

都與先驗方差無關，且為常數，故迭代實無必要。

 _{ }  L T y A P A 1 ₂ 2 L A A A X T _L L T



 



  1 ₁ 1 1 1 1 1 [ ] ˆ L I A A A A V T _L L T _{) ]} ( [ 1 ₁ 1 1 1 1 1  



 





結論

_{(Theil model)}



相反的，使用

相對權

的動機乃因為事先沒

有先驗方差的資訊，也無各觀測量的方差

資訊，故只能使用

相對權模式

，大致估計

各觀測量間之權，之後配合迭代動作一步

一步修正先驗方差值，使其收斂至理想值

，同時使各加密點之高程亦收斂至理想值

。

結論

_{(Theil model)}



Theil model 在運算時，並沒有改變 和 ，因

為他們是已知

_{/ 約制條件，所以運算時不能任意}

改變，這樣才能保持運算前與運算後的一致性。



已知條件之獲取必有誤差，將它視為無誤差之量

實在不切實際，在這方面

_{Theil model 可加入已知}

資料的方差以擬合現實，確實是一項優點。

Y



y

參考文獻

 _{Hsu R. , 1999 , ”An alternative expression for the variance factor in}

using Iterated Almost Unbiased Estimation”,Journal of Geodesy,73:173-179

 曾清涼 , 2001 , ” 一等一級水準網測量督導查核工作總報告書”

 _許榮欣 , 2002 , ”Adjustment treatment of surveying measurements” , Dept. of Civil Engineering , National Taiwan University