《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）
【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立 方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点 一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确 度，体会近似数在生活中的实际应用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示
a
3a
性质 一个正数有两个平方根， 且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一 个 正 数 有 一 个 正 的 立 方 根； 一 个 负 数 有 一 个 负 的 立 方 根； 零的立方根是零； 重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2 2a
a
a
a
a
a
a
a
a
3 3 3 3 3 3)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按与 0 的大小关系分： 实数0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
要点诠释： （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限 小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5
，32
等；②有特殊意义的数， 如 π； ③有特定结构的数，如 0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与 之对应. 3.三类具有非负性的实数 在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a
的绝对值是非负数，即|a
|≥0； （2）任何一个实数a
的平方是非负数，即a
2≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a
0
(a
0
). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值——零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算 数a
的相反数是－a
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相 反数；0 的绝对值是 0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； （2）正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而 小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数 接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度 近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这 个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差 绝对值的大小，例如精确到
0.1
米，说明结果与实际数相差不超过0.05
米. 【典型例题】 类型一、平方根和立方根 1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正 数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数 是 1 或 0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是 1 或 0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】B； 【解析】①负数有立方根；② 0 的算术平方根是 0；⑤立方根是本身的数有 0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三： 【变式】下列运算正确的是（ ） A．4
2
B．2
3
5
C．3
8
2
D．
| 2 | 2
【答案】C； 2、若102.01 10.1
，则±1.0201
＝ 若30
.
3670
0
.
7160
，33
.
670
1
.
542
，则3367
__________
___
【答案】±1.01；7.16； 【解析】102.01的小数点向左移动 2 位变成 1.0201，它的平方根的小数点向左移动 1 位， 变成 1.01，注意符号；0.3670 的小数点向右移动 3 位变成 367，它的立方根的 小数点向右移动 1 位，变成 7.16 【总结升华】一个数的小数点向左移动 2 位，它的平方根的小数点向左移动 1 位；一个数的小数点向右移动 3 位，它的立方根的小数点向右移动 1 位. 类型二、与实数有关的问题 3、计算（1）3 3
)
23
2
(
1000
216
（2） 2 3)
4
5
1
(
1
27
26
（3） 3 21
)
3
1
)(
9
5
1
(
)
3
1
(
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算. 【答案与解析】 解：（1）3 3)
23
2
(
1000
216
＝6 10
2
16
2
3
3
（2） 2 3)
4
5
1
(
1
27
26
＝ 2 31
1
1 1
1
27
4
3 4
12
（3） 3 21
)
3
1
)(
9
5
1
(
)
3
1
(
＝1
34
2
1
38
1 2
1
3
9
3
3
27
3 3
3
. 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的 方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三： 【变式】（2015 春 北京校级期中）计算：• + ． 【答案】 解：原式=7 3+﹣ ﹣1+ =13
4
+ ． 4、若a
ab
0
,
0
，化简a
b
4
3
b
a
3
【思路点拨】由a
ab
0
,
0
判断b
＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去 掉绝对值. 【答案与解析】 解：∵a
ab
0
,
0
， ∴b
＞0， ∴a b
4 3 0,
b a
3 0
∴
a b
4 3
b a
3
(
a b
4 3) (
b a
3)
4 3
3
3 3
a b
b a
【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数, 零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三： 【 变 式 1 】 （ 2016 秋 · 安 徽 期 末 ） 实 数 a 、 b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简2
a
b
a b
的结果为 . 【答案】 解：∵-1＜a
＜0，1＜b
, ∴a
＋2b
＞0，a
－b
＜0， ∴a
2
b
a b
＝a
＋2b
－(－a
＋b
)＝b
＋2a
. 【变式 2】实数a
在数轴上的位置如图所示，则,
,
1
,
a
2a
a
a
的大小关系是： ；0
-1
a
【答案】1
a a
2a
a
； 类型三、近似数与精确值 5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往 100m 外的安全地带奔跑的速度为 7m/s，已知导火索燃烧的速度为 0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？ （精确到 0.1m） 【思路点拨】先算出往 100 米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度 为 0.11m/s，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答 案． 【答案与解析】根据题意，得 导火索的长度至少为：100
7
×0.11≈1.6（m）； 答：导火索的长度至少 1.6m 才能保证安全． 【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据 近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可． 6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为 377985654.32 米，请按要求分别取得这个数的近似值． （1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位． 【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入； （3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入； 【答案与解析】 解：（1）精确到千位；377985654.32 米≈377986000 米，即 3.77986×108米 （2）精确到千万位；377985654.32 米≈380000000 米，即 3.8×108米 （3）精确到亿位；377985654.32 米≈400000000 米，即 4×108米． 【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记 的内容，经常会出错． 类型四、实数综合应用 7、现有一面积为 150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加 6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到 0.1）？ 【答案与解析】 解：因为原正方形鱼池的面积为 150 平方米，根据面积公式， 它的边长为
