2020届高三3月质量检测数学（理）试题

2020届高三3月质量检测

数学（理）试题

本试题分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1． “1 1 2 x ”是“不等式 x 1 1成立”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件 2．已知 i 为虚数单位，若复数



1ai



2i



是纯虚数，则实数a等于（ ） A． 2 B．1 2 C． 1 2  D．2 3．已知cos 1 4  ，则sin π 2 2   _ _     （ ） A．1 8 B． 1 8  C．7 8 D． 7 8  4．正项等比数列

 

a_n 中，a a_{1 5}2a a_{3 7}a a_{5 9}16，且a 与₅ a 的等差中项为 4，则₉

 

a_n 的公比是（ ） A．1 B．2 C． 2 2 D． 2 5．函数

 

1





ex 2cos 1 f x    x 的部分图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．设F 、₁ F 分别为双曲线2





2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b    的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 P ，满足 2 1 2 PF  F F ，且F 到直线2 PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） 1 A． 3x4y0 B． 3x5y0 C． 4x3y0 D． 5x4y0

7．已知函数

 

2sin





0 π 2 f x  x _   _  ，且 f

 

0 1，若函数f x 的图象关于

 

x4 π9 对称，则的取 值可以是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若向量a， b 的夹角为π 3，且a 2，b 1，则向量a2b 与向量a的夹角为（ ） A．π 3 B． π 6 C． 2π 3 D． 5π 6 9．已知直线 l 经过不等式组 2 1 0 3 4 0 2 0 x y x y y              表示的平面区域，且与圆 2 2 : 16 O x y  相交于 A 、 B 两点，则 当 AB 最小时，直线 l 的方程为（ ） A．y 2 0 B．x  y 4 0 _C．x  y 2 0 D． 3x2y130 10．已知△ABC是边长为a的正三角形，且 AMAB，AN 



1 



AC



R ，设



f

 

 BN CM ， 当函数f

 

 的最大值为 2 时，a（ ） A．4 2 3 B． 4 2 C． 4 3 3 D． 4 3 11．已知奇函数 f x 是定义在 R 上的单调函数，若函数

 

g x

 

 f x

 

2  f a



2x



恰有 4 个零点，则a的取 值范围是（ ） A．



,1



B．



1,



C．



0 1,



D．

 

0 1, 12．已知数列

 

a

_n 中，

a

₁



2

，若 2 1 n n n

a

_



a



a

，设 1 2 1 2

2

2

2

1

1

1

m m m

a

a

a

S

a

a

a





 







，若

S

m



2020

，则 正整数

m

的最大值为（ ） A．1009 B．1010 C．2019 D．2020

第Ⅱ卷

二、 填空题：本大 题共 4 小 题，每小题 5 分． 13．在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并 要求听报告者不能迟到和早退．

某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总 时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______． 14.已知 π 0sin dx a



x ，则 5 1 ax x  _      的二项展开式中， 2 x 的系数为__________． 15．安排

A B C D E F

, , ,

, ,

六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老 人住址距离问题，义工

A

不安排照顾老人甲，义工 B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________． 16.已知四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且∠PAB＝90°。若四棱锥 P－ABCD 的五个顶点 在以 4 为半径的同－球面上，当 PA 最长时，四棱锥 P－ABCD 的体积为 。 三、 解答题：解答 应写出文 字说明、证明 过程或演 算步骤． 17.（12 分）如图，在



ABC

中，点D是边

BC

上一点，

AB



14

，

BD



6

，

_{BA BD}

_

_

₆₆

. （1）若

_C



_B

，且

cos





13

14

C



B



，求角C； （2）若



ACD

的面积为S，且

1

2

S



CA CD



，求

_AC

的长度.

18．（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，梯形 ADEF 与平行四边形 ABCD 所在平面互相垂直，AF DE∥ ，

DEAD， ADBE， 1 1 2 AFAD DE ，AB 2． （1）求证： BF∥平面 CDE ； （2）判断线段 BE 上是否存在点 Q ，使得平面 CDQ平面 BEF ？若存在，求出BQ BE 的 值，若不存在，说明理由． 19．（12 分）已知椭圆





2 2 2 2 :x y 1 0 C a b a b    的离心率为 1 2， M 是椭圆 C 的上顶点，F ，1 F 是椭圆 C 的2 焦点，△MF F_{1 2}的周长是 6． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过动点P

 

1, 作直线交椭圆 C 于 A ， B 两点，且 PAt  PB ，过 P 作直线 l ，使 l 与直线 AB 垂直，证 明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标． 20．（12 分）已知函数

 

2





ln 2 f x a xx  a x． （1）讨论函数f x 的单调性；

 

（2）设a0，若不相等的两个正数x1，x2满足f x

 

1  f x

 

2 ，证明： 1 2 ₀ 2 x x f_  _   ． 21．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音 乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得 150 分，出现两次音乐获得 100 分，出现一次音乐获得 50 分， 没有出现音乐则获得-300 分.设每次击鼓出现音乐的概率为

0

2

5



_{ }











p

p

，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为

f

 

p

，求

f

 

p

的最大值点

p

₀； （2）以（1）中确定的

p

₀作为 p 的值，玩 3 盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量

X

，求每盘游戏出现音 乐的概率

p

₁，及随机变量

X

的期望

EX

； （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运 用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 请考 生在 22、 23 两题 中任选 一题作答，如 果多做， 则按所做的第 一题记分 ． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，曲线C ：1



1 sin



cos x a t y a t        （a0，t为参数）．在以坐标 原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2





π 6  R ． （1）说明C 是哪一种曲线，并将₁ C 的方程化为极坐标方程； 1 （2）若直线C 的方程为₃ y  3x，设C 与₂ C 的交点为 O ， M ，₁ C 与₃ C 的交点为 O ， N ， ₁ 若△OMN的面积为 2 3 ，求a的值． 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知不等式|x＋1|＋|x|＋|x－1|≥|m＋1|对于任意的 x∈R 恒成立。 (1)求实数 m 的取值范围； (2)若 m 的最大值为 M，且正实数 a，b，c 满足 a＋2b＋3c＝M。求证

1

1

2

3

2

a b





b



2

c

 

。