高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第5章 空间解析几何

高等数学A

5.4 平面与空间直线

5.4.6 两直线的夹角

5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束

5.4 平面与空间直线

两直线的夹角

空间直线及其方程

习例1-2 直线与平面的夹角及习例3 补充内容1---点到直线的距离 补充内容2---异面直线的距离

补充内容3---平面束方程 习例4-5

小结与思考题1-2

平 面 与 空 间 直 线

习题课

内容小结 题型小结 典型习例

定义

直线

L

: ,

1 1 1

1 1

1

p z z

n y y

m x

x     

直线

L

: ,

2 2 2

2 2

2

p z z

n y y

m x

x     

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

| ) |

, cos(

p n

m p

n m

p p n

n m

L m

L     



 

^

两直线的方向向量的夹角（锐角）

称之为两直线的夹角.

两直线的夹角公式 一、两直线的夹角

两直线的位置关系：

2

)

1

( L  L  m

m

 n

n

 p

p

 0 ,

2

)

2

( L // L ^,

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  



直线

L

:

直线

L

:

}, 0 , 4 , 1

1

 { 

s 

}, 1 , 0 , 0

2

 { s 

2

,

1

s

s   



例如，

2

.

1

L

L 

即

习例

例 1 求过点 (  3 , 2 , 5 ) ^{且与两平面} x  4 z  3 ^和 1

5

2 x  y  z  的交线平行的直线方程.

例 2 求过点

M ( 2 , 1 , 3 )

1 2

1 3

1

 

 

 y z

x

垂直相交的直线方程.

例 1 求过点 (  3 , 2 , 5 ) ^{且与两平面} x  4 z  3 ^和 1

5

2 x  y  z  的交线平行的直线方程.

解 设所求直线的方向向量为

s   { m , n , p },

根据题意知

s   n 

, s   n 

,

取

s   n 

 n 

_{ {  4 ,  3 ,  1 },}

1 . 5 3

2 4

3 

 

  y z

所求直线的方程

x

例 2 求过点

M ( 2 , 1 , 3 )

1 2

1 3

1

 

 

 y z

x

垂直相交的直线方程.

解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面

 0

) 3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z  

再求已知直线与该平面的交点N,

令

x y z  t

 

 



1 2

1 3

1

1 3





















t z

t y

t x

代入平面方程得 ,

7

 3

t

)

7 , 3 7 , 13 7

( 2 

N

取所求直线的方向向量为

MN

MN 3 }

7 , 3 7 1

, 13 7 2

{ 2    



7 , 24 7 ,6 7

{12 



所求直线方程为 .

4 3 1

1 2

2  



 

 y z

x

定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角．



,

:

p z z

n y y

m x

L x 

 

 

, 0

:    

 Ax By Cz D

}, ,

,

{ m n p s  

}, ,

,

{ A B C n  



 _ 

 2 )

, ( s  ^ n 

 _ 

 2 )

, ( s  ^ n 

二、直线与平面的夹角







0 _.

2



2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系：



 L )

1

( .

p C n

B m

A  



 L

) 2

( //  Am  Bn  Cp  0 .

 

cos 



 2

  



sin 2



例 3 设直线

L :

2 1 1

2

1 

 

  y z

x

 : x  y  2 z  3

解

n   { 1 ,  1 , 2 },

}, 2 , 1 , 2 { 

 s 

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



9 6

| 2 2

) 1 ( ) 1 ( 2

1

|















  .

6 3

 7

6 3 arcsin 7







k j

i

) ,

,

(

0

x y z

M

补充1点

2 2

2

1

p n

m  

 x

 x

y

 y

z

 z

p n

m

d

 s

s M

d M 



s  ( m , n , p )

) ,

,

( _{1 1 1}

1 x y z M

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z M

补充2 空间两异面直线的距离

n

l1

l2 '

l1

C



设 为两异面直线，其公共法向量为l₁, l₂ n, C、D分别是 上任一点，则 间的距离 可转化为向量 在n上的射影长，

故

2 1, l

l l₁,l₂

CD

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.

1 2

1 2

1 2

1 2

( )

( , , )

CD n CD s s d

n s s

s s CD s s

  

 



 

补充3 过直线L的平面束方程

设直线L ： A₁x+B₁y+C₁z+D₁=L₁(x, y, z)=0,



A₂x+B₂y+C₂z+D₂=L₂(x, y, z)=0,



A₁x+B₁y+C₁z+D₁+



A₁ ,B₁ ,C₁与A₂ ,B₂ ,C₂不成比例，所以对于任意一个 实数

 ，

习例

例4. 求直线 在平面 上的投影直线方程.

例5. 求过直线L:

 

       0 4

0 5

z x

z y

x

x  4 y  8 z

夹成 角的平面方程.

0 12 



例4. 求直线 在平面 上的投影直线方程.

提示：过已知直线的平面束方程

从中选择

得

 

       0 0 1

z y

x

z

y

0 )

1 (

1     





 y z x y z

x 

即

使其与已知平面垂直：



从而得投影直线方程

,

 1

 

例5. 求过直线L:

 

       0 4

0 5

z x

z y

x

x  4 y  8 z

夹成 角的平面方程.

提示: 过直线 L 的平面束方程

其法向量为

题中所给平面的法向量为



选择 使

4

 3

 

. 0 12

7

20   

 y z

从而得所求平面方程

x

n  n 

^ ₄

0 12 



1 1

cos 4

n n

n n 

 

}.

1 , 5 , 1

1

 {     n

} 8 ,

4 ,

1

{  



n

平面的方程

（熟记平面的几种特殊位置的方程）

两平面的夹角.

点到平面的距离公式.

点法式方程.

一般方程.

截距式方程.



 



（注意两平面的位置特征）

三、小结

空间直线的一般方程.

空间直线的对称式方程与参数方程.

两直线的夹角.

直线与平面的夹角.

（注意两直线的位置关系）

（注意直线与平面的位置关系）

思考题1

若平面 x  ky  2 z  0 ^与平面 0

3

2 x  y  z  ^的夹角为 4

 ，求 k  ?

解 ,

1 )

3 ( 2

) 2 ( 1

1 2

) 3 ( 2

1 cos 4

2 2

2 2

2

2       











 



k

k

14 , 5

3 2

1

2





 

k

k .

2

 70



 k

思考题2 在直线方程

p z

n y m

x



 

 

6

2 2

4

m

n

p

各怎样取值时，直线与坐标面

xoy

yoz

解

s   { 2 m , n , 6  p },

且有

s   0  . ,

 0

 k s  

 s   i   0 ,

 







 

0 2

0 6

m

p  p   6 , m  0 ,

, 0 

 s    n  0 ,

故当 时结论成立．

m  0 , n  0 , p   6

1.5 空间直线及其方程

一、内容小结

1. 向量 代数















混合积 向量积

数量积

向量的表示法 向量的线性运算 向量的概念

2. 空间解 析几何











直 及方程 平面及方程

直 方程的 化 距离

平面直 的 系 投影及公垂

线

线 转

线 关 线

二、题型及方法

1. 向量的运算及应用 2. 求空间直线方程 3. 求平面方程

4. 求距离 5. 求投影

三、典型习例

:

(1) ( ) ( ) ( )( ) (2) (2 ) ( ) ( ) (

1

) a b a b a b a b

a b c a b c a b

     

       下列各

化 式

例 简

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

( , ), ( , ), ( , ), 1 1

2

2 1 .

1

A x y B x y C x y

x y

ABC S x y

x y

xoy

  

例 在 平面上已知三 的面

点

试证 积

1

2

4 9 0

(3,1, 4) :

2 2 0

3

.

x y z

P l

x y z

P

   

    

例 求 于直

的 的坐

点 关 线

对称点 标

1

2

1 2 5

: 2 3 4

7 2 1

:

3 2 2

.

x y z

l

x y z

l

  

 



 

 



明直 与

－ 位于同一平面

并求 平面方程以及 直 之 的 角 例4 证 线

内,

这 两 线 间 夹

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 0 1 2

: :

2 3 4 0

2 2

(1) (2)

(3) .

l l

x t

x y z

l l y t

x y z

z t

l l l l

l l

  

    

   

     

   

例 已知直 与 的方程分 和

明 与 是异面直 ； 求 与 的距 5

离；

求 与 的公垂 方程

线 别为

证 线 间

线

:

(1) ( ) ( ) ( )( ) (2) (2 ) ( ) ( ) (

1

) a b a b a b a b

a b c a b c a b

     

       下列各

化 式

例 简

解 (1) 原式  a b ²  (a b)²

2 2 2

sin ( , )

a b a b

  a b^{2 2} cos ( , )² a b  a b^{2 2} . (2) 原式  2a c    b c b a      b a c a c b

2a c b c a c b c

        .

 a c

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

( , ), ( , ), ( , ), 1 1

2

2 1 .

1

A x y B x y C x y

x y

ABC S x y

x y

xoy

  

例 在 平面上已知三 的面

点

试证 积

证 2 1 2 1

3 1 3 1

0 0

i j k

AB AC x x y y

x x y y

   

 

2 1 2 1

3 1 3 1

x x y y , x x y y k

 

  

1

S  2 AB  AC 而

从 ^{2 1 2 1}

3 1 3 1

1 2

x x y y

x x y y

 

   

1 1

2 1 2 1

3 1 3 1

1 1 2 0

0

x y

x x y y

x x y y

   

 

1 1

2 2

3 3

1 1 2 1 .

1

x y

x y

x y

 

1

2

4 9 0

(3,1, 4) :

2 2 0

3

.

x y z

P l

x y z

P

   

    

例 求 于直

的 的坐

点 关 线

对称点 标

解 1 1 4 6 6 3 ,

2 1 2

i j k

l s     i  j  k

 直线 的方向向量是

1(3,1, 4)

P  作垂直于直 l的平面 ，其方程

过点 线 为

6(x  3) 6( y  1) 3(z  4)  0, 2x  2y  z 0.

即

P1^在直线l^{上的垂足 即}P ^{为平面 与直} ^线l^的交点，

2 2 0

4 9 0,

2 2 0

x y z

x y z

x y z

  

    

   

 立方程

联 组 求得 的坐标为P (1, 2, 2).

1 2 2( 2, 2, 2),

P P P P x y z

因 是线段 的中点,设 由中 公式得点

2 2 2

3 1 4

1, 2, 2,

2 2 2

x y z

   

  

2 1, 2 3, 2 8,

x   y  z  解得

1 2( 1, 3,8).

P l P 

所以 关于直线 的对称点为

1

2

1 2 5

: 2 3 4

7 2 1

:

3 2 2

.

x y z

l

x y z

l

  

 



 

 



明直 与

－ 位于同一平面

并求 平面方程以及 直 之 的 角 例4 证 线

内,

这 两 线 间 夹

解 记M₁(1, 2,5), M₂(7, 2,1),s₁  {2, 3,4}, s₂  {3, 2, 2}, 则

1 2 1 2

6 4 4

( , , ) 2 3 4 0,

3 2 2

M M s s



  



1 2, ,1 2 ,

M M s s

故 三向量共面

1 2

l l 

而直 与 位于同一平面 . 从 线

1 2 2 3 4 2 16 13 ,

3 2 2

i j k

n s s i j k

        

 的法向量可取

 :

平面 的方程

则 为 2(x  1) 16( y  2) 13(z  5)  0, 2x 16y 13z  31  0.

即

1 2

1 2 1 2

1 2

cos( , ) s s

l l s s

s s

  直 与 的 角余弦

两 线 夹 8 8

29 17 493 ,

 

arccos 8 . 493 直 的 角

则两 线间 夹 为

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 0 1 2

: :

2 3 4 0

2 2

(1) (2)

(3) .

l l

x t

x y z

l l y t

x y z

z t

l l l l

l l

  

    

   

     

   

例 已知直 与 的方程分 和

明 与 是异面直 ； 求 与 的距 5

离；

求 与 的公垂 方程

线 别为

证 线 间

线 解 ^先将l₁^{化为标准方程,}

: 1 ,

2 3 4

x y z

x y z

   

    

解联立方程组  得

4 5 2

, ,

3 3

z z

x  y 

  

1 1

1 ( 3,1,1) ,

z  M  l

令 得点 在 上

1

1 1 1 1 4 3

2 1 3

, i j k

s k

l   i  j

 的方向向量为

1

3 1 1

: .

4 1 3

l x  y  z 

 

 

准方程 故 的标 为

2

1 2

: ,

2 1 2

x y z

l  

 

 

准方程 的标 为

2( 1,0, 2), 2 {2, 1, 2}.

M  s =  

记

1 2 1 2

2 1 1

(1) ( , , ) 4 1 3 6 0,

2 1 2

M M s s



    

 

因为 =

1 2, ,1 2 ,

M M s s

所以 不共面 l₁与 是异面直线.l₂

1 2

(2)l 与 的公垂l 线方向向量可取

1 2 4 1 3 2 2 .

2 1 2

i j k

s s i j k

s       







=

1 2

l l

下面求公垂线的长度,即 与 之间的距离.

方法一

1 2

1 2

Pr _s M M s

d j M M

s

  

2 2 2

2 ( 1) 1 2 1 ( 2)

2.

( 1) 2 ( 2)

      

 

    方法二

1 2

l ^{作平行于 的平面 ,}l  过

s 的法向量,于是 的方程

则 为 为

(x 3) 2( y 1) 2(z 1) 0,

       : x 2y 2z 3 0.



d M2 

所求距离 等于 到平面 的距离,于是

2 2 2

1 2 0 2 2 3

2.

1 ( 2) 2

d      

 

   (3)方法一

{ 1, 2, 2}, l的方向 s    公垂线 向量

1 1

l ^{与 的平面 的}l  ^{法向量可取} 过

1

1 4 1 3 8 11 7 ,

1 2 2

i j k

s

n  s    i  j  k

 

 =

1 8(x 3) 11( y 1) 7(z 1) 0,

 的方程      

则 为

8x  11y  7z  6 0.

即

2 2

l ^{与 的平面 的}l  ^{法向量可取} 过

2

2 2 1 2 6 6 3 ,

1 2 2

i j k

s s i j

n       k







=

2 6(x 1) 6( y 0) 3(z 2) 0,

 的方程      

则 为

2x  2y  z 0.

即

1 2 , l  

于是公垂线 为 与 的交线

8 11 7 6 0

2 2 0 .

x y z

x y z

   

    其方程为

方法二

要求公垂 方程 需求出公垂 上的线 , 线 两点,

1( 1, 1, ),1 2( 2 2 2 1, 2

( .

, )

, )

O x y z O x y z 是公垂 l与l l 的 交 垂足

分 即

设 别 线

点

2 2 2

2 , 2 x x t

y y t

z z t

l

 

  

  

 公垂 的 方程

设 线 参数 为

1 1 1

1( , 1, ) , ,

O x y z 在l t

又因为 上 其对应的参数设为

1 2 1

1 2 1

1 2 1

2 , 2

x x t

y y t

z z t

 

  

  

 则

2( 2, 2, 2) 2 , 2,

O x y z 在l t

又因为 上 其对应的参数设为

2 2

2 2

2 2

1 2 , 2 2

x t

y t

z t

  

  

  

 则

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

2 ,

2 2 2

x t t

y t t

z t t

   

   

   

 而有 从

1 1

1 1

3 4

1 ,

1 3 l

x t

y t

z t

  

  

  

 入 程 代 的方

1 2

2 4

, .

3 3

t  t  解得

1 2

5 4 2

(1,0, 2), ( , , ),

3 3 3

O  O  

所以

1 2

1 2 2 .

x y z

l  

 

 

的

于是公垂线 方程为

1 2 2.

d  O O  并且利用两点间的距离求得公垂 的线 长