數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究 國立台灣師範大學教育心理與輔導學系 教育心理學報，民 83' 27 期， 175~200 頁

數學文字題錯誤概念分析及

學生建構數學概念的研究

張景娃 本研究主要目的是以質的研究方法探討學生在數學文字題上所產生的錯誤概念， 並探究學生如何建構出正確的數學概念 o 受試為園中三年級自名學生 o 此項研究採用 放聲恩寺和問題思考法來分析舉主解答數學文字題時在語言知識、基模知識、策略知 識、及程序性知識等四方面的錯誤概念。研究者並以引導思考教學策略來瞭解學生如 何建構出正確的數學概念。 關鍵字:數學文字題、錯誤概念、語言知識、基模知識、策略知識、程序性知識、放 聲恩考。

175 •

Vergnaud et a

l. ( 1990

)曾指出傳統上數學知識論 (epistemology

of m athem atics

)是

由揖方面所組成:有些是數學家本身的一種自然反應，有些是各學派間，如直覺主義、建構 主義、邏輯學家之間的辯論形成數學知識論的價壩。數學教育的知識論 (epistemology

of

mathematics

education) 則包含有數學及心理學開個簡域的知識，因厲數學教育是以不同的

目標在社會上不同的年級、班級中進行。數學教育可從過去的數學教學所費現的問題，幫助 我們暸解今日學生易犯的錯誤;而數學教育心理學則是研究知識與錯誤概念之間的關係。

概念學習對學生來說是相當困難的。 Glaeser (哥|自 Vergnaud ，

et a1.,

1990

)曾華表一篇 歷史研究報告，他指出即使早期著名的數學家們都無法對負數 (negative number) 的性實 下一個定義，不能接受零以下還有數的觀念，我們又怎麼能鞠要求學生輕品的瞭解負數的意 轟呢?由於數學教師與學生在數學認知上有差異存在，教師很少體疑自己在數學知識上及數 學教學上的能力，反而認為學生是不認真學習，而忽視學生在數學學習時認知上的困難。 一、數學文字題相關問題研究 數學文字題的特點是用語言文字在放述數學問題 O 一般人認為學生具有語文能力，因此 對於簡單情壇的數學文字盟的描述，必定能揖理解其章，無往加 W，運算。目前，數學教畢研 究中費現數學教學時常要用到各種方式的語言活動，主日聽、說、讀、寫等 o 在數學學習上， 語言可能是形 RX 學生瞭解數學的陣暉 o

Vergnaud et a

l. (

1990

)表示人們的心理表擻(

signifi呵，

the mental representation

)和外在實擻(

signifier,

the external representation

)是 不可分的。也就是說，人們外在不同的語言表達方式都和其內在的心理表盤有關 o 這種相互

• 176'

教育心理學報 依荐的關f果表現在兩方面:一是個人對於內容或公式的瞭解需要依賴其在這方面的特殊知識; 一是經由語言活動，引導個體誰不同的角度去思考問題，使有助於問題的解快 o 因此，數學 教學研究者注意到下列問題: 1.數學和數學教學中所使用的語言特色是什麼? 2. 學生在讀寫數學時，會遭遇到那些是由於數學語言的特質所產生的問題(特別是從一 種形式的語言轉揖到另一種形式時? 3. 語言理解在問題解訣時拍攝何種角色?也就是說，問題的陣述如何影響學生的解體? 4. 語言溝通在數學學習上扭讀何種角色? 5. 如何教才能直接教導學生費農數學閱讀能力或理解能力? 對於這些問題數學教育學者不斷的思考與研究，希望提出較為具體有殼的結果，以便對 於學生的數學學習有較大的助益。 Hafner

( 1993

)的研究指出美國學生的數學成就低扭其他 園里匠，其原因是美國的數學教學較不重視數學的閱讀 o 此外，教師的教學理念與教學態度亦

會造成影響 o

Carpenter

,

Fennema, &

Pranke ( 1992

)指出數學教師應囂利用學生的數學思

考來從事教學。他們在一連串認知導向的教學研究中使學生學到超乎想像的數學概念。因此， 瞭解學生在想什麼，善加利用這些資訊將能增加學生數學學習的效果。 Carpenter

et al. (

1989

)也會研究數學學習的效果，噩現運用學生數學思考的知識來教學，會增進學生的解題 策略，而教師也愈來愈能暸解學生學習上的困難及學生個別差異的情形。璋對教師和學生來 說都有很大的幫助。因為教師暸解學生的能力就能思考適當的教學策略，增加教學的信心; 而學生因馬教師態度的轉哩，也能以較自在的方式來學習數學。

Muth

(1991) 的研究指出:學生對於數學文字盟的解題能克會因文字盟中無關訊息的 干擇而無法解快問題。畢生們的觀念中都認晶文字題中的所有訊息都應被使用，因而造成學 土問題整合上的困難。 Low

&

Qver ( 1993

)的研究指出，女生比男生更容且受無闡訊息影

響。此外，亦有學者 (Davis-Dorsey ，

Ross,

&

Morrison

,

1991) 指出學生在解數學文字題時，

應將問題的字句重述， J;:)形成自己生活經驗中的事情 o 對於同頓型的題目，還可加上一些關 鍵芋，將問題轉贊成為自己所熟悉的程序來解題 o 這種程序可能會與原先的文字題上的順序 不同，但卻有助於個人的解題策略。因此，問題個人化的芳式較能引起學生的學習動機，持 續注意力於問題情揖中，問題個人化就是將文字題中的關鍵盧興個人生活中熟悉的編碼相連， 以喚起舊有的基模知講來產主革略並解接問題 o 三、學生錯韻概意的研究 過去有關敢與學的研究中，教師常認為學生害錯是因不小心或誤解題窟。但是今日數學 心理學 (instructional

psychology

)的研究指出學生在學習時會主動建構所學習的材料，也 會在建構的過程中產主錯誤概念(

misconception)

0

Pines ( 1980

)說明人摺概念的形成正 如一個圓錐形的結構，底鄙是延伸的部分，包含某一概念的許多小的事倒;而圓雄形的頂部 則是一種內蝠，即所謂概念的特質。在學習時，由直郡的事倒推到上端(

bottom-up)

，這 是概念化歷程;由上端的概念推到底部(

top-down)

，則是所謂的應用。由下往上的概念化 過程中有可能撞得不芷確的內蝠，再由上往下將不芷確的內涵應用出來時，就會產生錯輯 o 呂灌木(民 72) 認為學生錯誤概念的產生有可能是來自學生日常生活躍鷗中所學得的， 也有些是來自於學生對老師機械式教學的一個半解 o 所以，目前的教學研究強調的不只是教 師如何教才能達到良好的教學敢果，還要注意教師是如何瞭解學生的錯誤概念，及如何使用 策略來{會正學生經驗中巴有的錯盡是概念 o

數學文字題錯誤概念分析 E 學生建構數學概念的研究

177 •

Royer,

Cisero & Carlo ( 1993

)認爵教學中認知的評估聾著重在學主認知拉能量展的程

度上，也就是說認知的評估是要提供學習薔斷的資訊，學生的學習表現不只顯示出教學事件 的成功或央敗，它主要是提供訊息以幫助教學者訣定當學習央敗時應如何盧理。在學生的認 知技能聽展中，有一項很重要的技能是值錯，當學生在某種情現中產生 7 某種錯誤概念時， 他在其他額似的情揖中也會產生這種錯輯概念 o 因此，評估學生認知學習的困難問題時，應 步加注意學生認知技能聽展的程度。目前，-放聲思考 J

(thinking

aloud) 的方法是將蒐 集到的資料做原車仕析 (protocol analysis) 。還對於小規模的研究是可以接聖的，但對酷 數量多的研究來說是不適用的，因為要蒐草、記雄、分析原車是非常繁雜精細的工作。因此， 許多研究者揖用的是質與量並重的研究方法，來探討學生認知學習的故果。本研究者認為此 種方式應該是頗為可行的一種研究方法 o 三、園中生數學文字矗錯詛概念的青析 園中階陸的數學課程是園中生較感困擾的一門科目 o 因為國中數學和國小數學間有其明 顯的差異存在。國小數學依皮E傑的認知聖展東看，著重在具體攝作的教學，而園中數學研 以形式運思期的抽象思考和邏輯推理為主，在教材和教法上都有明顯的不同。學主以其熟悉 的數學學習芳式改贊成不熟悉的思考方式，這種思考的過程當中又會引謹許多的錯誤概念 o 在國中的數學學習中，除運算式的學習外，數學文字厲的學習對學生而言更是一大揖戰。 數學文字題涉及的不只是計算的能力，它還涉及到學生的概念理解能力。不論是計算能 力或概念理解能力，學生都會產生一些措觀。在計算能力方面，學生通常會把下有系統性的 錯誤，這種錯誤除了不小心造成的立外，也有可能是錯觀概意與技能造出的 o 教師可通過錯 誤概念的分析，瞭解學生的錯誤額型究竟是由何種錯誤概念產生，進而輯于學生實施補教教 學，種正他們錯誤的運算技能 o 以數學文字題而言，概念理解社長及扭捏雜的認知歷程，包含 「語文數學」以及「形式數學 J 也就是指學生對概念理解的程度會影響其對問題的分析， 及其所揮揖用的解盟黨略和有關經驗的回億等(張新仁，民 78 )。 過去有關數學文字題錯誤概念的仕析大多是揖討國小數學的問題 o 個女日·

Brown

&

Burton

(1978) 研究學生對於械法的錯誤概念，體現有些錯誤概念有時會撞得正確答案，有

時才導致錯誤的結果 o Ca中enter

&

Moser ( 1983

)研究加法和捕法，指出有四種頡型:改

賢 (chang) 、台併 (combine) 、比較 (compare) 、以及等同 (equalize) 。學生對這四

種題型的學習有不同的學習效果。這四種軟述甸的語言陳述方式會影響到學生解矗的技巧， 眉目若以較理論性或抽象性的方式來敢述，就會引起較多的問題實體的錯盟(

problem-representation errors)

0

Hinsley,

Hayes & Simon ( 1977

)是少數研究園中數學的

學者 o 他們自代數課本選出 76 道代數眉目，請一群受試依題目單型加以分頡 o 他們指出學生

形成代數錯誤觀念的原因如下:使用不當的基模 (using

inappropriate schem ata

)、做了錯

誤的估計 (making

faulty

estimates) 及未能有葷的使用聽比 (failure

to use analogies

effectively)

0

Steinberg,

Sleeman,

&

Ktorza ( 1990

)指出在學習代數時，很多學生並未有正確的「等

個概念 J (the concepts of equivalent equations) 0 多數學生學到的是如何運用轉揖來解方

程式，但卻不知方程式可用來判定兩者是否等價。也就是說，學生以攝欄化的方式列出解題

式于，但並未真正暸解式于的結構與意義。倒如:

3(X/2)-1=0

• 話式可簡化成3X-2=0: 但

是 • 3(X/2)-1=(3X-2)/2 這個式于是否可寫成 3X-2 呢?這就是一般學生觀念不清之虛。

. 178 •

教育心理學報 數學符號，還是一種「語句轉揖 J

(syntactic translation

)上的錯誤 o 林清山、張景握(民 82 )的研究中體現學生在解答一道數學文字題「大毛和小毛有軍韓 若干，大毛每夫固定括 2 元，小毛每夫固定花 5 元 04 天前，小毛的零用盤是大毛的 2 倍 o 3 天 後，六毛的鐘就和小毛一擇多了 o 間六毛及小毛現在各有錯若干 ?J 在這樺的題目中，學生 傲的假設是「豈宜 X 每夫固定括2 元 .y 每天固定花5 咒」。這其中的想法是要將大毛設定為 x. 小毛設定為y 。還是因厲學生對教師所講的「龍女毛揖 x. 小毛爵 YJ 的重聶瞭解不清，因 而形成此種錯誤概愈。如果教師在說明時強調「設大毛現在有 X 元，小毛現在有Y 元 J 就 能攝少把此種語言溝通時所可能引起的錯誤概念 o

Cardelle-Elawar ( 1992

)研究低數學成就學生的數學學習，結果謹現要使數學低成就學 生的解題能力有所進步，函、讀改善這些畢生的吾土能力，使學生能詢瞭解問題橫心，並加強 學生的基模知識 o 有適當可用的基模，糧能對問題產主一個以上的策略軍進行腫聾，最佳也 鱷能驗算所得的結果。由於低數學成就學生的認知技巧相當缺乏，所以有必要以更明確的課 程東教導還些學生，而不能只是等待學生自動的產生瞳詮宮、知控巧。 在這些研究當中，我們可以歸納得知，學生會聖整個文字題的裡雜廈、題目中未知數數 量的多草、及眉目中負號及式于組合的影響，而對數學文字置產生錯誤概念 o 因此，數學文 字題的教學應強調概念性的暸解，才能導致基模的撞得，並建立解盟的程序。教師唯有多問 學生問題，瞭解學生的錯誤概念，才能設計適當的教學策略，幫助學生思考問題，從而建構 出正確的概念 o 四、學生建構數學概章的有聞研究

Cobb

(1990) 指出傳統數學教學興建構論(

constructivism

)的立場有很大的不同。傳 統的數學教學強調的是教師譜、學生聽，敢師只是單向式的傳授知識。而建構論則主張注重 學生知識建構的歷程 o 建構論者認為學生是學習中的主角，而非扭動聽講的配角，教師的教 材與教法要依攝學生的程度而定。在教學方法上，教師與學生的交互作用是影響學生學習的 一大要素 o 在車噴配合上，應提供數學教師在職進{唐的標會，以便數學教師在教學內容、教 學葷略與教學體度各方面都有所改進。建構論者在過去十多年來己做了許多的觀察研究，他 們也提出一些建議，希望對數學教育有所幫助 o

Cobb ( 1990

)認為傳盟數學知識並無固定的教學東略，重要的是要聶學生在學習時能 自葫蘆構正確的數學概念。但是，這裡也有困難問題:教師應如何使用正確的方法引導學生 暸解自己的錯誤概章，進而自我思考，建構正確的概念呢?針對如何自我建構觀念 11 面， Cobb 認揖有許多的教學策略可#喜歡師揖用，如:分組討論、口語互動、買主教學等。還些 單略都強調教師只措負一部甜的責任，也就是說，藍白而主妄的工作是提俱數學規則，然極引 導學生從自我建構中費現自己的錯輯概念，進而建立正確的數學知識。

學生在學習數學文字題時，可用到一種名為「圍僅策略 J

(garden path

strategy) 的芳

式 o

Frazier & Rayner ( 1982

)認爵這種策略就是學生在閱讀題目時會先對內容做一個假設，

當這個選定的體設能掏建立起一致有致的解釋時，就沒有問題產生 o 但是當原先的價設在下 面的解盟中不能有敷達到目的時，解盟者會警覺到有情扭產生，因而重新建立假設，也就是 體E原先的假設 o 這種建立假設的過程就是一種學習策略，目前已有學者在進行這方面的研

究 (Balacheff，

1987;

Labor缸，

1990)

·而此種策略與教學心理學的看法是一致的，也就是

不要怕學生答錯，也不要立即給學生正確的答車。而是要學主在先前的策略無法達到目的時， 學習皓正原先的策略，繼續嘗試下去。

數學文字體錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

.

179 •

Lo

,

Wheatley,

&

Smith ( 1994

)研究指出知輯之所以存在，是學習者努力將自己的學

習經驗彈得有意義。因此，數學教師在教學時，若強調有意義的教學，將能使學生產構出正 確的數學概念 o 所謂有意聶的教學則是教師要營造一個和諧的班級氣氛，然桂教學生去進行 有數的溝通。學主可以從小組討論中解說一些數學問題，聲表個人的解題 15 法，觀摩他人的 解題策略 o 在用此種教學方法時，教師的主持以及同儕的信任對加培華數學學習有很大的幫 助。也就是說，數學思考的互動可以促進有意義的學習 o 此外·

Siege1 ( 1981

)及 Shuell

( 1990

)對加學生數學概念的建立，特別強調原有概念 的重要性。他們認為學習數學的心理歷程都是由前面的知識聶華暉，不斷的建構出個人的知 輯結構，且不斷的撞得新訊息以擴充整個知識內涵 o

Carey

(1991) 也認厲學生解訣文字題 的能力必讀建構在他的現有知識上，並且不斷的揖克與傳正 o 五、數學文字題錯誤觀意毋析及學生建構數學概章的研究方法 在暸解學生錯誤概念的研究上，目前強調貴的研究方法對學主錯誤概念的分析有其特聾 的實獻 o 一艦量的研究是以數量來表示統計的桔果，其研究方法乃是經由制量來確立費項間 的關係，並由現象的塑化而瞭解其間的因果關係 o 量的研究有其一套完整的程序與步驟，以 使研究設計能減少誤差、偏見和無關的干擾因素 o 至於質的研究，通常是以文字眾教述所要 呈現的事實，它假定我們可遭遇個人與團體對情噴的主動而形成一些建構。因此，貴的研究 方法關心的是由吾與者的觀點來詮釋問題的真象。 質的研究與量的研究其實並非各自攝政、互不相干的兩件事 o 在教學研究中，我們常需 經由宮的研究噩現來進行量的實腫研究。因此，質與量的研究實際上是互補互助的兩種研究 芳法。目前，教學研究中常會使用放聲思考的古法來進行貴的分析。也就是讀學生針對某單 特定問題，將心中所想的儘量的說出來，無主全體由原軍合析，對學生的想法做禪入的解釋 o

Brown

(1987) 曾提出口語陳述有三種芳式，預制的口語陳述、同時的口語陳述、及事佳的 口語陳述。放聲思考就是一種口語陳述的方法，它強調的是同時的口語陳述 o 不過，在進行 放聲思考時，由於學生的思路祖亂或不習慣邊想邊說，因此，很難探知學生對某一特定問題 的真正錯誤概念 o 如果，在進行貴的研究時，不能輔以其他的 1í 法，或控用多種方法東進行 分析，對研究問題的分析可能無法撞得另人滿意的結果。

Taylor & Bogdan

(1984) 指出貴的研究是在產生一種描述的資料，內容則是包含人們

所說的、寫的及所有可觀聾的行為 o 它以文字的形式呈現，而非一些量化的數攝。近十皇島年 來，由於質的研究運漸受到重視，許多學者也已接受將貴的研究和量的研究同時納進研究中， 尤其Jick (1983) 所提出的三角輸棋法(

triangulation

)揖用多種方法來蒐集多種資料，並由 多位專家進行資料的評量，這種嚴謹的研究古法十分值得推廣 o 詳細的說· Jick撞出的三角 樟輯法是指在研究某一特定問題時，運用多種的方法來蒐集吾吾方面的資料，以制出話問題的 芷確來輝。也就是說，研究者使用不同的芳法蒐靠不同來曠的資料，將可減低讀避免研究者 的偏見，而增進質的研究方法的信度 o 而且研究者可將蒐集來的賣料謂數位專家來評量，由 專家一致的看法中，可確立問題之所在(黃瑞孽，民 80 )。由於三角樹根法的優點很多，倒 車日可將各種資料加以比較，以輸視資料是否一致;從各種角度加以分析，可使資料更厲詳細 與精轍:而且分析所得的結果因為更加裸入，解釋的內容也較具可信度等。因此，本研究中 貴的研究部分將揖用三角橄種法加以分析 o 同時，捕了能揮入睡解學生如何建構出正確的數

學概倉，研究者亦兼揖Vygotsky 的橄衍生注( microgenetic )的觀念，先蒐集韌步實料，經­

過分析哇，找出有關問題，然種進行第二次的資料蒐聾，以期得到較聶完整且揮入的結果(

• 180.

教育心理學報

Wertsch

,

1981)

0

研究方法

一、研究對車 本研究是以台北市螢梧圈中三年級學生 55 名(男生 30 名，女生 25 名)搞研究對象。學 生數學成蹟高、中、低者均包含在內，但不包會智能障曬及聽障、祖障的學生。學生的選取 是由導師依照學生的數學RlG蝠，分別由高、中、 1~RlG~責中各抽取一位為聖試 o 此外，搞了直 集解題專家對園中生解題歷程的看法，本研究也訪問 768位圈中數學教師及師大數學系學生 o 二、研究工具 本研究工具是使用數學制聶華(甲、乙、丙卷)以及數學解題歷程評量表 o 此外，並準 備錯音機，在學生進行放聲思考時，由主試甲加以鑑音記錯 o 此記錯在主試甲分析後，再由 主試 Z 重捏分析 o 三、賣料的蒐革與合析 本研究採用貴的研究法進行賣料蒐集旦分析的工作 o 在質的研究活中，本研究係吾吾照民 接詰學(

ethnography

)的研究方法(歐用生，民 78 )。此方法重祖資料本來的面目，記錯 植觀察者如何行動、如何反應、如何更互作用，其互動中的意義如何，以及如何加以詮釋等。 同時，本研究為增加研究的信度與散宜，、決定揖用三角樟拉法(

triangulation)

·也就是揖 用多種方法，蒐集多項資料，及由多位主試者來加以分析(黃瑞孽，民 80 )。除三角樟積法 外，本研究也用 Vygotsky 的做衍主法(

micro-genetic) (W ertsch,

1981) 的觀念，先蒐集朝 步的資料，在第一階陣中分析學生的先前知識、思考模式、錯誤概7念及理解困難之處 o 然佳 將第一階段分析中所體現的問題，再進行第二階段資料蒐聾的工作，以便睡解學生如何體現 自己的錯起概念，如何運用軍略思考問題，以及如何要破理解困難之處，建構出正確的數學 概念 o 本研究以上述方法進行資料的蒐革與分析，力"$:此事研究能具備完整性及客觀性，並 具有深度研究的特性 o 在本研究中揖用兩種方法來蒐靠學生的資料，並由兩位主試者來分析學生在數學丈字撞 上的解題歷程，最佳再荒草數學教師對學生作答情梧的看法及建議 o 本研究分兩階段進行研 究，在第一階段的資料蒐集中，本研究者揖用認丸I 心理學研究中較常使用的放聲思考法(

thinking

aloud) 來暸解學生的認知歷程 (Mayer，

1987)

0 放聲思考是一種主試者至參與觀察

的研究方法，但是國中生因過去缺乏陳述自己思考歷程的經酷，往往不容耳用口語表達出來 o 因此，本研究者在實際試探瞭解學生的反應後，快定先由學生主動的放聲思考，讓學生在不 壘干擾的情揖中將自己心中所想的儘量的說出來。當學生無法再做任何反應時，由主試者將 事前預備好的數學解題歷程評量表的內容，一一提出來讓學生思考並做皮應 o 也就是經由學 生放聲思考(口語陳述)及經由數學解題歷程評量最上的問題思考兩種方式，來蒐靠學~對 數學文字題的先前知識、解矗黨略及其錯誤概念等資料。在記錯者芳面，是先由主試(甲) 當場記輯學生的反暉，以及所觀害到的各種情祝，包括聖試的動作、表情，甚至於主試(甲) 本人如何看待學生所做的反暉，以及主試(甲)聽到學生所陳述的內容時所產生的想法。然 佳，主試(甲)將錯音帶攜回，由主試(乙)聽錯音帶並做記錯。主試(

z.

)除了無法觀察

數學文字題錯誤概念分析及學主建構數學概念的研究

•

181 •

到受試的動作、表情等反應外，對悟空試所做的口語陳述也都一一記錯，並將自己如何看待 曼試的反應，以及自己聽到受試的陳述復所產生的想法，都加以詳細的記錯 o 在資料草草方 面，除7 由主試記錯學生的思考歷程外，另由研究者訪問園中數學數師及師六數學系學生， 由他們根攝個人的經驗來判斷學生作害時可能的思考策略或想法，並說明個人所可能攝取的 教學策略為何。 在本研究的第二階陵，是先進行主試者訓練，也就是社攝資料分析的結果，找出有錯輯 概念的學生，針對學生的錯豈是概念，設計可能的引導實略某教導學生 o 希望對有錯單概念的 學主進行深度的訪章程，也就是針對學生的錯盟概念東找出困擾學生數學解題的原因為何，以 便瞭解在引導思考教學策略中，何種情形較能使學主撞得理解或謹現自己原先的錯誤概念， 進而使用策略自動悔正自己的錯盟概念，研究者希望能裸入瞭解學生建構出正確數學概念的 整個歷程。 在信度及強度的研究中，本研究者將兩位主試意見不一盟的資料擋車不用，最佳所提出 來的結果都是兩位主試間有相同看法的資料。在甫種方法(放聲思考及問題思考)上，研究 者噩現學生在放聲思考中所產生的錯誤概念，在問題思考上也會把同樣的錯聾，可見學生並 非無意中害錯，而是真正有錯輯概念存在的情形。在兩萬資料(學主故聲思考及教師對學生 解題歷程的看法)上，研究者費現數學教師對學生數畢解題歷程的看法與學生鼓聲思考時赦 述的解題歷程大致相間，但對於錯誤概念的產生，則有些許差異存在 o 也就是說，教師對數 學解矗歷程較好的學生，較能正確的掌握學生的學習狀沮;對於有錯輯概念的學生的解矗歷 程則較少有符合的情形出現 o 由這些資料得知，本研究者以三角轍戰法來進行信度及鼓度考 驗，大致能得到令人信服的結果 o 對於資料不符合之虛，本研究者也男外提出比較分析的結 果，以供客觀的評斷 o 四、實施程序 本研究所需工具在先前研究時已一併騙製完成，因此，就接著設計敢聲思考及問題思考 的記錯衰格，並進行主試者的訓練工作 o 在本研究質的身析部份最重要的就是由主試去蒐集 畢生在解數學文字題時的思考歷程，而主試常犯的錯誤是以個人的思考策略影響學生的思考 歷程，因此，主試者訓蟬工作相當重要。本研究的主試選自師大教育心理與輔導學系四年融 學生，睡過教育心理學、學習心理學、認知噩展與輔導等課程的學生兩名，再由本研究者實 施兩天的訓練，並以兩位園中生馬對象，練習訪囂的控巧及資料記錯與資料分析的方法。在 研究期間，本研究者臨時與主試保持聯醋，音量現問題立即討論 o 在第一階陸放聲思考及問題 思考記錯中，每夫主試甲記錯的實料及錯意帶關即交給主試乙重權記錯並表示個人的看法， 主試乙記聾的資料及輔音帶也立即貫給主試甲重權記錯 o 第二階陸的責料蒐靠工作主要是針對第一階段所得資料中有值得再揮入揖討的部由進行 深度訪說 o 因此，主試者的訓練工作也是相當重要的。本研究者 {J!， 以第一階陸的兩位主試者 加以訓練，因為她們對於學生的情形有基本的暸解。同時，預定進{于深度訪誤的學生也是由 這兩位主試提出，然後經過兩位主試與本研究者分析學生的狀沮哇，快定在第二階段進行引 導思考教學策略時要如何引導學生。引導的過程中，特別注宮不要干擾學主已有的思考歷程， 而伯以學生個人原有的思考架構島主，即使是錯誤的思考模式也好，鼓勵幢幢想下去，藉以 引導學生自己體現自己的錯誤概念，自己提出策略東傳正原先的錯誤概念，直到自己建構出 正確的數學概念爵止。在這睡期間，主試的責任在提俱主持興鼓勵，分析學生此時此割的想 法，並記輯學生原先困難所在、經過哪些嘗試、在何盧產主t轉折、和壘後的頓悟點在哪裡等

• 182.

教育心理學報 要點 o 遣軍工作撞比第一階陸放聲思考與問題思考記錯工作困難且握雄，可能會有個人主觀 看法介入，因此，訓練工作也特別重要 o 最佳，進行引導思考教學策略的資料草草工作 o 每 位學生每道數學文字圍的引導思考教學策略大約需花費一個半小時的時間東記錯，工作量十 分繁重。 此外，本研究者將主試在第一階陸所蒐集到的資料，請十八位園中數學教師以及五十位 師大數學系學生加以分析，以暸解專車(數學教師與數學莘學生)是如何看待學生作害的情 唔，以及專車會如何東歡這些數學文字矗 o

研究結果

本研究中質的分析共分三部分加以說明:付園中生數學文字題錯誤概念的分析，口專家 與生手資料的分析，且學生建構數學概念之卦析 o 一、園中生數學立字題錯誤觀念的分析 付 "Ml 聲思考與間盟思考賣料的青析 本研究蒐集資料的方法有兩種 o 一種是放聲思考，由學生儘量將心中所想的解單方法用 口語表達出來。另一種是問題思考，這裡的問題思考是以事前設計好的問題來問學生，包含 語言知輯、基模知識、策略知誰及程序性知識四方面。問題思考是為 7 彌補放聲思考蒐集資 料之不足 o 以下車一倒加以說明。 題一:文親今年 58 贏，聽年前父親的年齡攝兒子的三倍，且艾于年齡和晶晶聶 o 間兒子今年 皇島歲?雖年前文于年齡拍攝 68 聶? A.放聲思考資料分析: 主試:先看一遍眉目，無撞把你心中所想的都說出來，你可以一面想一面說。 學生...單父親 X' 見于 y

..

主試:熱值呢?

... ..

學生:

...

(用寫的 )X;::::;:58'...X;::::;:3Y;::::;: 的 ....相減...… X

;::::;:3Y ;::::;:68

主試:什麼不可能? 學生 :3Y 不可能是 10... 主試:你盡想到什麼嗎? 學生...想不出來 7 (放聲思考記錯結束)

-x

;::::;:58

3Y;::::;:

10

(自言自語的說不可能)

數學文字題錯盟概念分析及學生建構數學概念的研究 B. 問題思考背料分析 主試:現在我問你一些問題，請注意聽，並把你的想法說出來好嗎? 學主:好! 主試:這個擅自中詛咒親現在揖聶? 學主...招攬 主試: í良好!題目中說兒子現在聽歲? 學生...沒有說 主試:父親年齡聽見于的三倍，是指現在盡是過去? 學生...過去 主試:嗯!父子年齡和是 68 曲，這是指現在還是過去? 學生~

. . . . .. ..

7 .. • • .、沒有說...大概是現在 主試;那膺，本題是要算什麼? 學生...兒子今年揖攝?

..

主試:還有沒有? 學生...雖年前父子年齡和晶晶揖 主試:那膺，文親今年 58 贏，見于的年齡會比58 揖六嗎? 學生:不可能 主試:嗯!如果現在文親和見于相差20麓， 5 年前文于相差錯揖?

• 183 •

學生:

...

(至試拿起筆來計算)

58

-20:::: 妞，

38-5

::0

33

(壺試以實際的數字來計算) ...38-20 三間， 18 顱，嗯...不對! ...20 攝 主試:五年前叉子還是相差20 攝嗎? 學生:對! 主試:好!聽年前父親年齡是兒子的三倍，現在還是見于的三倍嗎? 畢生:是... (不肯定的樣子) 主試:如果主年前文于年齡和爵的攝，現在文于年齡和應是多少? 學生: ...73 聶... 主試:題目中說當父親年齡是見于的三倍時，兩人共揖葳? 學生:

...

(用筆計算) lO X3 二妞，

30 +

10

::0

40

'其 40 聶(安試宋以題目中的已知悔 件作答) 主試:如果你要計算這一題，你要如何作假設? 學生:設父親馬 x. 見于為Y 主試:是現在嗎? 學生...揖年前 主試:好!揖年前父親x 麓，見于Y 攝，那麼揖年前父親的年齡是屯子的三倍，還要如何表 示? 學生:

... ... ...

"'X ::O叮 主試:嗯!揖年前父子年齡和馬 68 聶，這要如何表示? 學生: ...X+y ::o的 主試:好!你能列出式于來嗎? 學生...

...

,

X

::o

3Y

LX+Y

::0

68

主試:請繼續算下去!

• 184.

教育 J心理學報

學生: 3Y 十 Y:::::68

4Y:::::68

Y:::;:17

X:::;:3X17 二日 主試:算好了嗎?要不要積查看看X 是什麼 ?Y 是什麼? 學生‘ ...X 是難年前父親的年紀 .y 是難年前兒于的年紀 o 主試:那膺，題目問什麼? 學生...見于今年揖晶，雖年前文于年齡和晶晶晶? 主試:要繼續做嗎? 學生卜...不會做... (問題思考記錯結束) 由上棚中體現，這位置試平時很少說話。在思考問題時，可能因思緒混亂，研究者只能 由聖試的放聲思考中撞得少數的訊息。以上面的受試躊倒，主試進行放聲思考時，量現受試 體設父親為 X. 見于厲 Y 0 雖然聖試東說明文親X 是現在草揖年前的年齡，但從曼試的式于 中，我們體現聖試寫 X:::;:3Y= 帥，所以他假設父親X應是指直接年前為 X 聶 o 揖年前咒親年齡 是見于的三倍，因此，受試前面寫 X=3Y 是對的。但是接著題目說「父子年齡和馬 68 聶」 時，受試不知如何將這句話的意思表達出來，也沒有想到要另外列一個式子。再由問題思考 的記錯上來看，主試位置目中找出有關的問題來問學生，而學生針對系列的問題提作答 o 由 此，主試得到一些補充的訊息 o 們如，學生對於語言知識並未能掌握得很好 o 由眉目中「雖 年前父親的年齡為兒子的三倍，且艾于年齡和為 68 聶」的語置上，我們可以知道「艾于年齡 和 3萬個聶」這句話也是指皇島年前的事 o 但是，學生就無法判斷前佳兩句話的關係 o 此外，學 生的基模知識也很欠缺，對於年齡差不體的觀念並不清楚;對社年齡間的倍數關佛也從未考 盧過;可見，學生容耳聖外在干擾因素的影響，無法掌握問題的重點所在。在策略知識上， 學生的黨略係來自數學教師平時慣用的教學方式，也就是先做假設，且假設的寫法並不清楚 o 不過，學生並非不能學會正確的數學概念。由主試扭步問些問題就能激單學生一些正確的反 應來看，只要運用適當的教學策略，大部封的學生還是可以建構出正確的數學概念。 臼園中生數學立字置正確與揖觀型式的封析與詮釋 這部骨是將畢生在每道數學文字題上的正確解盟與錯誤解題型式一一加以記錯與說明 o 學生人數為 55 人。由於記聾的內容贖苦苦，因此這裡只舉一道數學文字題加以說明 o 在這部分 捏，研究者計算各種情沮下學生出現的人獸，並針對錯誤情形加以說明 o 歪扭其他各題則記 錯於研究報告中。 置一:有一天阿諾對格基說 r 你這毛頭小子· 6 年前我的年齡是你的三倍，隨著攝月增長， 現在可能不只 3 倍了。」格基說，.你的數學真差，到明恨你的年齡只剩下我的 2 倍而己，有朝一日，我還能迎頭趕上呢! J 問阿諾及洛基現在各矗揖? (正確一) 13 人 設阿諾現年X 麓， 格基現年Y 聶

rX-6:::;:3 (Y-6)

L...

X

+

1 :::;: 2

(y

+

1 )

數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

• 185 •

(正確二) 2 人

設六年前阿諾年齡揖Y 攝， 六年前洛基年齡攝X 聶

ry

=0

3X

Ly +7 = 2 (X +7 )

(錯誤一) 1 人 設六年前阿諾年齡為 Y 攝， 六年前格基年齡為 x 揖

rY=3X

Ly 十 1::::2 (X 十 1

)

(錯誤二) 2 人 設六年前阿諾年齡躊Y 攝 六年前洛基年齡為X 揖

rX=3X

LY+7::::2X

(錯誤三) 5 人 設阿諾厲 X 歲 格基揖 Y 聶

rX-6=3Y

L....

X::::2Y

(錯誤四) 1 人 設阿諾現在x 攝， 格基現在Y 攝

,

X-6=3 (Y-6)

LX 十 1=2(Y+l) ，X-6=3Y 一 18

LX +1 =2Y +3

說明:當生是用六年前的年齡來算，但 是明年的年齡就必讀加7 而非加 1 0 說明:當主是用六年前的年圖書來算，但 是明年的年齡阿諾和洛基應當同 時加 7 ·而非只有阿諾加 7 ·學生 似乎顧了這個就顧不 7 那個 o 說明:該生假設束考盧是現年讀過去， 但以第一式X-6 來判斷 'X 庸、躊 現年，所以當生未能理解阿諾應 與格基同時揖少 6 聶:此外，至1 明年應各加 1 揖。 說明:列式正確但汁算錯誤 o 在解 2 (Y+l) 時，未知數用乘 法，數字卻直接相加，所以成爵

2Y+3

o

• 186 •

教育心理學報 (錯幫主) 1 人 設阿諾為 x 攝， 洛基為 Y 揖

rX - 6

=

3 (X - 6 )

LX+J =

(X 十 1

)

2 (錯誤六) 1 人 設阿諾的聶數 6:::: 基的聶數 X3 仁X+l=2(X+l) L3Y 十 6

+ 1 = 2 (3Y + 6) + 2

(錯誤七) 1 人 說六年前阿諾年齡厲 X 攝 六年前洛基年齡聶 Y 歲

[3X=Y

2 (X+7) =Y

(錯輯八) 8 人

此 8 人是以拼棲數字的芳法在作答 (錯誤九) 20 人 完全空白 二、專車與生手賣料的分析 付歡師(專車)常用的解題型式 說明:詰生假設中有 X 及 Y' 但是式子中 卻只有 X. 此外，第二式用一元 二次的方式東列式，似乎將用法 混淆了。 說明:假設中無未知數X 或是 y. 但到式 中有，而且當主的思路中有些特 殊的想法，他將 X 集中在第一式 'Y 集中在第二式。 說明;應是 3Y=X' 言書生以為年齡大的 要乘 3 倍;此外，到明年時應是 阿諾與 1名基各加 7 攝，所以應是

X+7=2

(Y+7) 。 本研究詢問六十八位園中數學教哺及台灣師大數學系學生，請他們提供自己在各題目中 可能用來教導學生的解題葷唔，然 f主歸納出下列各種的解題方法，並呈現使用當策略的人占 總人數( 68 人)的百分比。同樣地，這裡只舉一題為倒，其餘各題則記錯於研究報告中 o

數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

• 187 •

置一:有一貫阿諾對洛基說 r 你還毛頭小子· 6 年前我的年齡是你的三倍，隨著攝月增長， 現在可能不只 3 倍了 o J 格基說 r 你的數學真差，到明年你的年齡只剩下載的 2 倍而己，有朝一日，我還能迎頭趕上呢! J 問阿諾及格基現在各揖揖? 付 設六年前格基是X 贏，阿諾是 3X 揖

21%

今年洛基是 (X +6) 攝，阿諾是 (3X +6) 揖

3X + 7 = 2 (X + 7 )

口

76%

盎格基今年X 贏，阿諾寺年Y 聶

,

Y-6=3 (X -6)

ιY+l 二 2

(X+J)

臼 設六年前阿諾年齡為 X 揖 六年前洛基年齡為 Y 揖

[~二 3Y

(X+6+1) =2 (Y+6+1)

3%

白專車與生手揖盟軍時差異的比較 這一部好的研究是先由主試記錯學生(即本研究的解題策略生手)如何解題，然接再由 主試請教圈中數學教師以及師大數學系的學主(即本研究的解題策略專家)說明如果在教園 中生解當文字題時，他們會J;)何種策略軍教學 o 經過歸納整理撞，本研究計算生手較常使用 的解矗聾略及專家較喜歡使用的教學策略所估的百分比。本研究者謹現專家解盟黨略與主手 解題策略在有些數畢文字題上的差異並不明顯 o 倒車日上面所舉阿諾和格基的倒子，主手解答 正確的策略正是六多數專家所揖用的教學幫略。但是有些數學文字題上，專家教學第略與生 手解盟軍時就有明顯的差異存在。 屆三:小明盤::R前買 7 一堆輯果和柳丁，每天各吃 1 個，今天讀果的數目恰爵柳丁的二悟， 且聶果和研丁共有 60 個，已知原有讀果 50 個，間原有柳7 揖個?今夫離置之K.果的曰 于有錯夫?

個個

XYO

有有可

現現叮

fA

果丁一

-4+

聶柳

XX

鞏「

L

%

付自

口 設今天柳Tx 個，令天聶果是 2X 個

25%

X +2X ::::60

X =20

• 188 •

教育心理學報 由

43%

岫

7%

吉亞柳丁原有 X{固，買主K果距今 Y 天

[~~=::~~: -=-~~

50-Y +X -Y :::::60

設今天柳丁 x 個， y 哭前買水果

,

X+2X::::60

可 O-X=Y 由題三的資料中，顯示專家教導學生時，最常用的教學策略是題目問什麼，就假設什麼 o 這樣解出未知數時，答案就出來 7 。所以，有 43% 的專家是這樣假設的，-設柳7原有X{固， 買水果距今Y 夫」。而生手在這題中卻較常使用下面的解題方法: 設聶果現有 X 個 明 7 現有Y 個

rX=2Y

3Y=60' Y::::20' X=40' 50-40=10' 20+10=30

LX+Y=60

答 :10 英前，柳 7 原有 30 個 由題三中，我們費現:專家列式的特點是解出式子就立即得到答案，也就是說，專家所列出 的式于是相當完整的，不必再經過許多道轉換的手續 o 而生手列式的特點是式于要儘量的單 純化 o 過於種雜的式于較易產生錯誤，所以生手會避免列種雜的式于 o 他們寧可多主撞撞手續， 因爵這樣對生手來說感覺比較清楚 o 三、學生建構數學概念之骨析 此部份的研究採撤衍主法來進行。在第一階段，先記錯受試者放聲思考及問題思考的資 料。然?是主試經過分析與討論，找出學生可能的錯誤概念，並攝以訣定如何實施引導思考數 學策略 o 接著進行第二階陸的引導思考教學策略的記錯。這部由是記雄主試運用策略來引導 曼試思考問題、解說問題的過程。從整個歷程中，我們可以看到曼試原先的困難睡在那捏， 受試如何自己從困墟中或是從主試的引導中發現問題，產生頓悟，最佳g;g破困壇，求得正確 的答案。這整個資料的描述即為學生建構正確數學概念的歷程，可以提供教師教學時的事寺。 由於聖試的記鐘頭苦，這裡只列出一位受試部份的記錯資料，詳細資料請書考張景握(民 83

)

的博士論文。

數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

.

189 •

壘試記輯:國二學生，女生，成輯中華 題目:張老師對王問學說，-我在你這年齡時，你只有 l 曲，等你到你現在年齡的 3 倍少3 揖 時，我就 52 贏。」間張老師及王同學現在各揖攝? A. 放聲思考資料盡字稿 主試:請先將題目看一遍，然後一 面想一面將所想到的說出來 ，不要↑白說錯，盡量的想 什麼說什哩。 學生... 主試:你在想什麼? 學生假設... 主試:很好!說出你的假設。 學生:…...設老師 X 揖時學生 1 攝，……老師 52 聞時，學生就...

( 3Y - 3

)揖...

i3Y -3 ::::52

LX-Y::::l

(以下省略) B.引導思考數學策略賣料置字楠 主試:現在，請你先畫出三偉線，愈 向右表示年齡愈犬 o 學生 主試:畫得很好!現在一性代表過去 ，一幢代表現在， -~庫代表未 來。剛才，你是如何假設的? 學生...設老師現在X 攝， 學~現在 Y 揖 o 主試:你能在「現在」的組陸上畫出 老師和學生的年齡嗎? 學生 畫畫裡可以嗎? 主試:沒有關係，先依自己的判斷畫 上去，如果覺得不理想盡可以 主試的註解 學生猶彈不混的攬子 主試的註解 希望謹詰生自己動手畫畫看

• 190.

教育心理學報 悔改 o 學生 (過去) (現在 l

y

x

(未東) 主試:你為什麼Y 鷹在邊 .x 寫右邊? 學生...因馬老師比較六。 主試: t良好，你考慮得很周詳 G 那麼 過去應如何聾才對? 學生 主試:能把眉目上有關過去的意思唸 出來嗎? 學生... ，-我在你道年齡時 ，你只有 1 揖 J ... . 主試:對了!誰只有一揖? 學生:學生 主試:好，畫出來。 學生 (過去)一什

Y

主試:對!學生一歲時，老師揖聶? 學生...沒有靚... 主試:那麼「我在你這年齡時」是什 麼意思? 學生...不如道... 主試:好!現在以我們兩個來說，你 雖揖? 學生 :13 攝 主試對!你現在 13 麓，我現在28 聶 了，但是過去我在你這年齡時 ，是說我揖麓的時偎? 學生…...

... ... ...

"'13 揖? 主試:對啊!我在你這年齡時就是你 現在的年齡嘛!那麼會不會畫 在線陸上了? 學生 停頓許久，很厲難的樣于。 不能肯定自己的答靠對讀不 對，這是一個l'要的關鍵點

數學士字題錯輯概念分析及學主建構數學概念的研究

.

191 •

Y

(過去)

I

Y

X

(現在

Y

X

(未來) 主試:很好啊!再畫未來的圖。 學生

Y

(過去)

---1

l

Y

X

(現在) (未來)

Y

X

主試;很好!你的觀念很正確，老師 的年齡都比學生大，所以都要 放在右邊的位官 O 好!現在老 師X 麓，學生Y 贏。未來，學生 的年齡怎麼表示呢? (以下省略) 因為苦生在故聲思考時就會 寫出 3Y-3 這個式于，所以 先讓她列當式于。 在上面的例子中，主試由第一階睦的放聲思考資料中，體現學生一直未去思考年齡間差 距的問題。因此，主試們在經過討論研究佳，就能學生未能掌握的關鍵盧開始引導，輯用繪 闡法及口語互動的方式，以系列的問題引導學生去思考題置。倒如，主試吾醫學生先畫出三俾 線， -{I年代表過去，一陣代表現在，一悔代表未來 o 接下來的問題是要依題置在組段上畫出 教師與學生年齡的位置。在這地方最難的問題是直在哪個位置才是最正確的，主試並宋要求 學生立即畫出正確的位置，而是依估計，在可能的地方畫出教師及畢生的年齡 o 就算是位置 重得不合理也無所謂，主要希望學生由實際揖作過程中瞭解師生年齡差距的問題。這個受試 自開始引導思考到最佳列出正確的式子，雖然花費的時間非常多，但是所撞得的敢果也很大 o 由此倒子可知，教師們可用引導思考的方式，教導數學低成就學生自己思考問題，進而建構 出正確的數學概念，事實誼明低成就學生也有學習的能力 o 討 Bð. 區間 本研究的目的在瞭解園中生對數學文字題的錯輯概念及學生如何建構出正確的數學概念。 能前面研究結果的記盤中，研究者已將兩位主試意見不一的資料刪除，然值將意見一致的部 分加以討論 o

• 192' 教育心理學報 一、圈中生數學文字題錯誤概意之研究 由本研究貴的分析所得資料來看，國中生對數學文字盟的錯誤概念可分四部份來討論: 一是語言知識的部份、二是基模知識的部份、三是策略知識的部骨、四是程序性如識的部份 o 以下什別加以說明。 付語言知諧的錯聶概意骨析 1. 學生看題目時，常忽略題目中關於「時間」的描述。如 í5 年前父親的年齡是兒子的 2 倍 J '90% 以上的受試者未注意到時間的訊息。 Z 學生對連接詞用法的瞭解會影響其解題方法。主日學生對於「揖年前，父親的年齡是見 子的三倍，且父子年齡和 68 竄。」這個句子，他們知道父親年齡是見于的三倍是直接年前的情 況，但文于年齡和晶晶直臣就不知是錯年前的情形，會誤以為是現在的狀沮 o 3. 學生對加指定句和疑問句產生的錯誤較少，但是對於闢係句就會有許多的問題產生 o 如「我在你還個年齡時，你只有一攝 o 等你到你現在年齡的三{吉少三蘭時，說就 52 攬 o J 這 一陸有關兩人之間年齡的描述常會令學生感到困擾 o 4‘學生認為題目中有數字才是要運算的，沒有數字的句子就是不用的句子。所以儷「載 運量增倍」這種語旬，對學生也造成困擾，他們認為題目中沒有說載運量是多少 O 5‘學生對於某些關蟬字不暸解 o 側重日「增倍」是指增加一梧的意思，但學生會謹以馬是 增加兩倍。也有學生認為「增倍」不是數字，涅辦法算 o 且學生對於代名詞的用法不清楚。{9IJ如:阿諾對格基說 í6 年前，我的年齡是你的三 倍 J 學生無法轉揖成「六年前，阿諾的年齡是格基的三倍」。 7. 學生面對較長的數學文字屆時，常不知重點所在，不知能何盧著手，所以會立即放棄 思考問題。 8. 學生在看完數學文字題時，通常只記得算出一個答案，而忽略問題中需要解出兩個答 來。 9. 學生在看題意時，看了挂一句就巴忘了前一旬，他們無法同時記住許多帳件，因為他 們每看一句就得思考這句話的意思，以致工作記憶運f乍得十分世雄，而無餘力思考值此間的 關係 o 亡3基種知諧的誼醫極意毋析 1.學生缺乏時間與數量問闢悍的基模知識。學生不瞭解兩個存錢筒每天各存一元，則兩 筒的錯一天增加的是二元 o 同樣的，父子的年紀每年各增一攝，則父子年齡和應是每年增加 兩戲。 2. 學生常憑直覺或是關鍵字做反應，而使用了錯聾的基模知識。如「父子現在相差 20麓， 5 年前相差幾歲 ?J 學生一看是間相差揖歲，就開始用滅法計算，但慎的回答相差的揖 o 他 們末考慮到整個情缸，而誤用減法的基模個識*解、決問題。 3. 學生缺乏倍數的基模知識 o 學生對加誰是誰的矗倍最容品搞溫。重口5:&三的輯是李四的 2倍，學生fl1i說張三的誼是 X' 李囚的盡量是 y ，但列出的式于卻是 2X=Y 0 4. 學生認攝一元一次方程式的解法比二元一次簡單，固而會傾向使用一元一次芳程式來 解題 o 但是有些題目對園中生來說必讀運用二元一次芳程式才能解題，因此有些學生就無法 順利作害。 5. 學生做假設的基模知識不足，不暸解做假設是扁了列出式于來解混問題，因而所做的 個誼會與自己所列出來的式于毫不相干 o 6. 學生缺乏基本的數學概:念，如 í -4 天」的答案照常理判斷是不可能的情扭，但學生卻

數學文字圍錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

• 193 .

無法察覺到此種客車的不合理性。 7. 有些學生的思考模式和基模知諦，有功能圍著的現象，因而造成他們在解答數學文字 題時，不管問題的性質，都固定套用他們習慣使用的基模知識。 8.有些學生在除法上的基模知識有錯誤，主日兩個數要相除，他們以馬一定是大數除以小 數 o 9. 誤將罪活的交換律輯推到除法上 o 立13X5 可以揖為 5X3' 所以學生豈是t1、聶障法也可 以主扭。重口將 a/b揖為 b/a 0 1Q 學生將分數看成分子和分母兩個獸，所以、1/3 不等加 2/6 0 他們不認為的是一個轍。 11.有的學生假設的 xf口 Y 可以適用扭過去、現在及未來，他們認為 X 和 Y 可以隨時轉費 丘克各種數字 o 由單略到諧的揖單概意告析 1.學生未能睡解已知偉件和未知傑件的關f系，因而在做假設及到出式于時，未能切題列 出正確的方程式 o 2. 學生的策略知識不且，無法針法不同的問題，揖用適當的策略來解題。 3. 學生做體設時，通常是問什麼就 m設什麼，不考盧是否有其他簡昂的方撞 o 4. 學生會依固定模式做假設，然而卻無法依體設列出式子。也就是說，學生做假設是一 回事，到式子又是一回事，兩者無法連貫 o 5. 當題目提到「每天存一元」、「每天花五元」等的語句時，學生都以加一或減五來計 算，因此壘成了總共才荐一元或花五元的情形 o 這是因為學生沒有使用策略將「每天存一元」 或「每天花五元」的意聶表現出來 o 且學生以為題目中所有的已知條件都會用到，因此，想盡辦法要將所有的已知性件都列 入式于中 o 7. 學生的思考無法前撞撞貫 o 如在二元一次的 15程式當中，第一個式子就和第三個式于 常各行其是，無法產生闢聯。亦即學生對問題缺乏整體性的暸解 O 8. 學生在引導思考時都能回答老師的問題，可見他們瞌睡解盟章，但是卻無法列出式于， 亦即他們無法將題目中的 f條件加以表擻和組織成完整的方程式。 9. 學生對於二元一次聯立方程式的觀念不清，所l且假設了 X 和 Y 開個宋知數，部用一個 式于來表示 o 側如: 揖年前文于年齡和馬 68 揖

c::~:: :，一)二68

結果寫成

(

58 一 Y)=3CX-Y)

(58-Y) +3 (X-Y) =68

(主是年前父親年齡是見子的三倍) lQ 學主但沒有等號兩邊相等的概7念，所以列出來的式于並未兩邊相等 o 11.學生在解屆時常會受前一題題型的影響而在做下一題時誤用 7 解題方法 o 如果前一壇 的題目是有關年齡的問題(側重口年齡愈暨愈大) .而下一題的擅自是有關吃水果的問題(側 重口水果愈吃愈少) .他們就會用解前一盟的方式提思考第二題(因而壘成立k果愈吃愈多了)。 回程序性知諧的錯誼概意骨析 1. 在解代數芳程式時，最常出現的問題是帶項時產生錯誤 o

. 194.

教育心理學報

-X=3Y-58

壘成 X=58 十 3Y( 應是X

=-3Y

+5 日

(或是X 十 3Y

=

58 )

2. 不會用消去法合{并聯立方程式 o 倒如:

[2x-4Y=60

消去 2x f;壘，學生寫成

-

5Y = 60

Y = - 12

2X -Y = 120

3. 學生不懂古併是攝了摘去一個未知數，所以出現下面的情形:

Lm=2X-Y

學生消去 120 暨成

X -2Y +2X -Y = 150

120+X-2Y=150

4. 學生宋先將未知數加以整理，未知數有的在等號左邊，有的在等號右邊 o 如果是專車 也許較不晶體生錯韻，但是，學生就很容眉目而產生問題。 5. 學生在消去括號時有可能產生錯誤，倒如:

52 + 3Y :::: 4 (X + Y )

贊成

52 + 3Y = 4X + Y

(應是4X

+4Y )

且學生在代入公式時會產生錯誤，倒如:

Y =-50+2X

現在要將 yf弋入 -2Y 時，學生寫成 品 (50-2X) 他認厲 Y 要墮換符號 o 7. 學生在化解分數的式子時，常島生錯誤，個如:

( 58 - X) /3 = 58/3 - X

8. 六多數學生的程序性知識價於策略知識，但卻有少數學生對題目中語句間的關係掌握 得很好，能夠列出 f旦完整的式子，但是卻不會運算。他們的策略如輯顯然價於程序性知識。

Mayer ( 1987

)所說的四個階段分法東分析學生在各階陸上的錯誤慨:章，可以瞭解一般 學生可能的錯誤概愈有那些。但是，要暸解個別學土的思考問題，還是要運用放聲思考、引 導思考的方法來蒐集資料較為理想。 過去學者對於學生的數學文字題的錯誤概念進行分析時，很少系統性的加以探討，大多 是只針對學生的某皇島種錯誤概念提出看法 o 倒車口，

Larborde

(1982) 曾指出有的學生不會描 述各個費項之間的關係;

MeCorte et al. (

1985

)認為語句結構愈清楚，學生就愈能解出答 案;

Hinsley et al. (

1977

)指出學生的錯誤概念有使用不當的基模、做錯誤的估計及未能有

致使用輯推;

Steinberg et al. (

1990

)體現學生不暸解方程式的兩邊是相等的 MacGregor

& Stacey

(1993) 則聲現在將文字轉換成數學符號時常品犯錯誤。 由上述學者們的研究可知，大多數學者的研究雖然對於暸解學生在做數學文字題所犯的 錯誤概章:能有所貢獻，但遣些研究結果都是零碎的，未能做統整性的分析。因此，本研究乃 針對學生數學文字盟的解題歷程，以質的研究方法從語言知d識、基模知識、軍略知識及程序 性知識等四方面進行系統性的研究。此噴研究雖然費時費力，但本研究者能對學生在解題時 有可能犯錯的概念盡其所能的蒐聾，並加以分頭。此項研究結果至少具有下列揖點助益:1. 可讓數學教師瞭解學生有可能犯錯的概念，使其在教學時能特別注意到學生的學習困難，而 改善其教學方式。 2. 能提俱數學教師在評量學生時的命題的書寺，教師也可針對學生品犯的 錯誤概念命題，以債制學生學習困難之所在 o 3. 能提俱數學教師在進行個別輔導教學時的書 考 o 對於少數量生學學習有困擾的學生，教師在個別教導時，可以揖用本研究中所使用的放聲 思考古拉暸解讀生的錯誤概念，並以此為基礎，引導當生思考問題、建構數學概念，達到有效 學習的現界。 4. 可做為數學教材編輯者的事寺。數學教材可挂照本研究所提出的數畢解題歷 程進行編寫，因攝循序漸近的教材、多樣化的呈現芳式比較能為學生所接受，教師亦較能有

數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究

.

195 .

所依攝 o

二、草草與生手思考模式的比較研究

關於專家和生手的差異比較，已經有多位學者提出他們的看法 o 立JMayer

( 1987

)認品 專家比主手擁有較多的知識，而且專車在解題策略上也和生手有所不同 o 專家習價用正向思 考 (work forwards) 的解題方式，亦即由已知性件直接求得答案;而生手則傾向使用逆向 思考 (work backwards) 來解圈，他們是由所要求得的書幸運步回潮至1 已姐的帳件 o 由於 專家和生手的解題方式不同.

Larkin et a

1. (

1980

)體現專家的解題時間只要生手的四分之 一即可，且較少噩生錯誤。此外·

Larkin et aL ( 1980

)也費現生手往往需要多列一些方程 式，然後用代入法去解題 o 而專家可由已知條件列出快速屬解的式于求得答案 o 上面學者的研究是以物理科目推進行研究所得到的結果。至於專家和生手在解數學文字 題上的差異，則較少學者進行比較。本研究以園中數畢敬師和師大數學系學生為專家，以園 中生爵生手，東比較二者在數學文字題解題聾略上的差異。輯果謹現其主要差異如下: 1.專家是以完整的概念來呈現問題情攪，而生手則無法通盤理解整個情攪 o 2. 專家以自認揖最清楚、最容島的方式來教學生，卻不一定是生手最品理解的方式 o 3. 草叢思考模式中會呈現跳躍的情形，也就是能掌握問題的重點，不會受一些無關悔件 的影響，而置正是生手最感困置的地方。生手無法掌握問題的棋心，不能釐清已知儸件和未 知儸件之間的關係。 4. 專家希望學生愈簡化式于愈好，專家教學時也以自己認為最簡潔的式子來且現，過於 簡化的結果反而使學生無法瞭解老師教學的內容。 5. 專家能將其心中所想的觀念用符號表達出來，但生手有時所列出來的式于和自己口中 所說的意思不同，遣主要是生手還不善於用數學符號來表達自己的概念 o 本研究雖然以數學文字題揖研究的眉目，但所得結果大部份都和 Mayer

( 1987

)及

Larkin

(1980) 的研究結果顯似，亦即專家和生手在思考模式上確有不同存在。 三、放聲思考與問題思考方法的比較研究 本研究以放聲思考與引導思考兩種方法來蒐集資料，糖果體現在故聲思考時，學生如果 會說出心中所想的事，主試較能費現學生真正內心中所產生的概念是仟膺，這些內在的想法 是在未聖外在因素干蟬的情靜下自費性的產物 o 但是，這種會將心中所想的儘量說出來的學 生並不多，大多數的畢生在放聲思考時的表現都是想一陣子，心中已蘊注定如何做 7' 才一 次把話講出來 o 所以在他思考的一段時間中，他曾超怎麼想，主試通常不知道 o 還有一部借 學生無法將心中的概念表達出來;有些是不善於用語詞表達內心的想法，有些學生則可能認 為自己的想法是錯的，所以不敢講。在這種情靜下，如果研究者堅持只用放聲思考法，可能 對學生的解題歷程會一無所彈。 另一種芳法是問題思考，也就是事先由主試準備好一些題目，當學生在每一道題目進行 放聲思考後，立即由主試加入問題思考的眉目。本研究是採用 Mayer

( 1987

)所提的解題歷 程的四步驟(語言知輯、基模知識、策略知輯及程序性知識)來設計擅自，以便暸解畢生在 每一部分的知講如何，和故聲思考相比，問題思考很明顯的缺點就是會影響學生原先的思考 方式。本研究者為 7 將此缺點降至最低，在語言知識及基模知識的問題上，是由研究者事先 設計好題目，無佳譚主試照著問學生。但是在策略知譜上，本研究者訓棘主試依學生自己所 做的假設來間。因此，主試必讀有臨場反應的能力。如學生假設現在見于X 麓，主試就間雖

• 196 •

教育心理學報 年前兒于的年齡要如何實示;又如學生假設四天前大毛有X 元，主試必讀會問三天幢大毛的 盤要如何表示 o 由問題思考的資料蒐集中.:zt;:研究者噩現可以得到學生在放聲思考以外的許 多的想法，也就是可以噩現學主原先未曾想到的問題，而這些問題會影響到學生解訣問題的 能力。因此，由放聲思考與問題思考兩種方法中，兩者互有優缺點，但是在互補的情形下， 研究者得到許多寶貴的資料 O 結論興建議 由本研究中所得的結果，研究者得到下面皇島項結論: 1. 園中學生在學習數學文字屆時常會受自己過去經臨的影響。國中學生在小學時的學習 經驗中，有正確的數學概念，也有錯誤的數學概意。錯誤的數學概念常常成為目前解數學文 字題(代數)時的障暉，而正確的數學概念中，也不一定都能直接用在目前園中的數學文字 題上。因此，數學教師有必要對園中學生說明某些數學觀念在國中和國小之間的差異 .w、免 他們會有誤用的情形。 Z 由本研究顯示，學生在數學文字題上的錯誤概念可置過質的分析來加以研究。研究者 體現學主在語言知識、基模知識、策略知識以及程序性知識上都會有錯誤概念產生 o 由本研 究者有系統的整理出學生的錯誤概念，可提供國中數學教師教學時的書考。 3. 教師如何看待畢生的錯誤概念，對學生建構正確的數學知識有很大的影響 o 教師要能 自畢生的思考模式著手，多瞭解學生的邏輯觀念，思考學生揖何會有此種想法，才能有故幫 助學生建構E確的數學知識。 4. 教師除了要瞭解學主的錯輯概念外，最重要的是要思考如何運用策略來引導學生體正 自己的錯誤概念，進而撞構正確的數學知識。基本上，教師教學的原則是「協助」學生體現 自己的錯誤概念，並「協助」學生自己想出辦法來解注問題，而不是由教師直接告訴學生答 案。 本研究者由結果中提出揖項建議作為未來研究時的書考 o 付將常見的錯誼榴車輛 λ 數師手曲中以供數師吾吾考 能本研究採質的研究法，我們由學生實際的反應中，蒐集到許多學生可能噩生的錯誤概 念。若能將這些學生常犯的錯誤概念納進教學手冊祖，相信遣些資料對新老師將會有很大的 幫助。因為新教師缺乏教學鱷驗，雖然很害力的教學，但並不瞭解學生了會有那些錯誤概念， 而造成教學上的挫折感 o 每位新老師都必;@'!鱷過一段不算短的時間來自己韓素教學中可能產 生的問題。有些問題的確要自個人親身經歷後，才哩真正頓悟如何處理的更厲圓滿 o 但是， 有些問題如能及早知道與預間，當可誡少數學的挫折感，並可改善學生的學習困擾。 口澤 λ 揖討質的研究法中的有關問題 本研究中使用三角柚棋法以及做衍生活的觀念進行研究，這種研究方法過去較少實際運 用在各噴研究上，所以對於此種研究方法的一些問題，也較少討論至u 0 本研究者認為質的研 究的確可以蒐集到一般量的研究所無法撞得的寶貴資料。但是，有些資料，主口兩位主試意見 不一時，在:$:研究中是將這些資料廢棄不用，只選用兩位主試意見一葷的資料 o 研究者認爵 此事問題值得再加以研究，因為這些資料也許比主試意見相同時的資料更值得探討 o

數學文字題錯盟概念分析及學生建構數學概念的研究

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