插值多項式該怎麼教
在研習的活動中，有老師提出「為何要教插值多項式」，「插值多項式該怎麼 教」的困惑。我想一個關鍵點是：如果老師們改由函數的角度切入多項式函數這 一章，而不是傳統的代數的角度切入，將會發現許多內容會有自然的連結，而教 學目標也會明確。 下面我就由函數的角度來談多項式函數的學習，我將談簡單多項式函數與插值多 項式函數。 1.簡單多項式函數的學習要讓學生掌握到（1）函數的表現式（2）函數圖形特徵 （3）應用。1-1.一次函數有幾種表現式：y=mx+b，y=m(x-xb)，y=y0+（(y1-y0)/(x1-x0)）(x-x0)，它 們分別為已知斜率為 y 截距，已知斜率與 x 截距，以及已知通過兩點（x0, y0）, （x1,y1）所對應到的一次函數。學生要學會各式間的轉換及各位數在圖形的 意義與應用，學生也要學習透過標示重要點或可簡單求值的點，描繪函數的 圖形。在一次函數時，給了兩點就可以 決定該函數，而可簡單求值的點是 （X0,0）與（0,b），其所對應到式子則是斜截式。 1-2.二次函數：2 次函數的表現式有 y=ax2 +bx+c，y=a（x-h）2 +k，y=a（x-α） （x-β）(如果有零根)。而另插值多項式的表示法，則留在除法之後再談。二次 式中各式之間的轉換是透過配方法來完成。 函數圖形的特徵包括：零根頂點(如果有的話)、對稱性、凹凸性、正定性。 透過函數特徵如零根位置（如果有），頂點位置（0,f(0)）的位置等關鍵訊息描繪 函數的圖形。一次、二次函數有許多應用，過去的教學中均累積相當多的例子， 此處不贅述。 1-3.單項函數 y=cxn 這裡主要是要讓學生體會單項函數在零點附近的函數，貼近 0 的行為。描圖的關鍵點為 x=1 的描點是要看 c 對圖形的影響，在 x= 的描點 是要看 n 的影響，在 x=- 是透過奇偶性看函數的對稱與反對稱性。另外單項 函數還要學習平穩。 2.插值多項式函數： 前面的學習是給了一次、二次函數的圖形，是經由標示其關鍵點或是可簡單求 值的點來描其圖形。在應用上，我們則常運用到給了函數在數個點的值，要反 推這個函數，這便是插值多項式函數。求此插值多項式雖可寫成一般式，再去 求其倒數，但是除法的觀念，可將其表示成拉格朗日式或牛頓式，將更為簡便，
其求法我用下面的例題說明如下： 2-1.牛頓插值多項式： 例 1.求通過(x0 , y0)，（x1 , y1）的一次函數 解：由餘式定理得 f(x)= y0+（x- x0）由於 f 為一次式，所以 g（x）為常數 m，再 代入 f（x1）= y1可得 m=(y1-y0) / (x1-x0)。 例 2.求通過（1,3），（2,2），（3,5）的二次函數 解：由餘式定理得 f(x)=3+(x-1)g(x)，我們將 f(2)=2、f(3)=5 代入，分別得 g(2)=-1、 g(3)=1，由於 f 為二次式，因此 g(x)為一次式。可再用一次餘式定理在 g(x) 上得 g(x)=-1+(x-2)m，再將 g(3)=1 代入，得 m=2，上面這個做法的關鍵是透過 除法降階，我們將這個做法改寫成下面未定的作法：令 f(x)=C0+C1(X-1)+C2(X-1)(X-2)分別代入 f(1)=3，f(2)=2，f(3)=5 很快可求得 C0=3， C2=-1，C3=2 這就是牛頓的插值多項式。 2-2.拉格朗日插值多項式： 下面我們由因式定理來談拉格朗日多項式： 例 3.已知 1在 x=1，x=2，x=3 的值分別為(1,0,0)，求二次式 1 解：由於 x=2，3 為 1的零根，應用因式定理二次可得 1(x)=(x-2)(x-3)g(x)，由於 1 為二次式，因此 g(x)僅為常數 c，再將 (1)=1 代入得 1(x)=(x-2)(x-3)/(1-2)(1-3)， 同理我們可求下面兩個 2 次函數 2、 3分別滿是 2(1)= 2(3)=0， 2(2)=1，以及 3(1)= 3(2)=0， 3(3)=1。其表現式為 2(x)=(x-1)(x-3)/(2-1)(2-3)， 3(x)=(x-1)(x-2)/(3-1)(3-2)，這三個函數可以組合起來，表現已知 x=1,2,3 值的 任意二次函數。比如已知 f(1)=3，f(2)=-1，f(3)=5 的二次式為 f(x)=3， 1(x)+(-1) 2(x)+f5 3(x)這是代入直接可驗證。 2-3.插值多項式的唯一性： 上面的牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式，要驗證這一點，我們沒令牛 頓式為 f1，拉格朗日多項式為 f2，g(x)=f1(x)-f2(x)，則 g(x)為二次式，且 g(1)=g(2)=g(3)=0，由因式定理得 g(x)=c(x-1)(x-2)，再代入 g(3)=0 得 c=0，因此 g(x)=0。 結語： 現在我可以直接回答上面兩個問題 Q：為什麼要教插值多項式？ A：由學習函數的角度切入，我們給一函數的表現式要能透過描點得其圖形。反 之我們給了一些函數值，也要能反求其插值多項式。這是數學表現式與圖形
連結的關鍵。插值多項式的一個重要應用是用來求一般函數近似值，這在指 對數函數、三角函數中會用到。 Q：如何教插值多項式？ A：簡單的說，其中插值多項式的學習要與除法連結。牛頓插值多項式是透過連 續套用餘式定理所得，而拉格朗日插值多項式則是連續套用因式表現定理而 得。
