多元函数

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第八章·多元函数

微积分课程

2020 年 8 月 29 日 „暨南大学数学系 „吕荐瑞

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空间解析几何

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第一节

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多元函数的概念

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第二节

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极限与连续

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第三节

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偏导数与全微分

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第四节

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复合函数的导数

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第五节

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(3)

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 . . . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 . . . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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12 3 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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12 3 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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12 3 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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12 3 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . . VI . VII . VIII

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . . VI . VII .

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空间直角坐标系

三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII .

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12 3 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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在空间直角坐标系中,我们有 点 M ←→ 坐标 (,y,z) ←→ OM .. . y . z . O .. M

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.. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 坐标面上的点: y 面 ↔ z = 0 yz 面 ↔  = 0 z 面 ↔ y = 0 坐标轴上的点:  轴 ↔ y = z = 0 y 轴 ↔ z =  = 0 z 轴 ↔  = y = 0 .. . y . z . (,0,0) . (0,y,0) . (0,0,z) .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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.. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 坐标面上的点: y 面 ↔ z = 0 yz 面 ↔  = 0 z 面 ↔ y = 0 坐标轴上的点:  轴 ↔ y = z = 0 y 轴 ↔ z =  = 0 .... y z . . (0,y,0) . (0,0,z)

(24)

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空间中两点的距离

设 M1(1,y1,z1) 和 M2(2,y2,z2) 为空间中两点.则 它们的距离为 |M1M2| = p (2− 1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2 特别地,点 M(,y,z) 到原点 O 的距离为 |OM| = p2+ y2+ z2 .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(25)

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空间中两点的距离

设 M1(1,y1,z1) 和 M2(2,y2,z2) 为空间中两点.则 它们的距离为 |M1M2| = p (2− 1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2 特别地,点 M(,y,z) 到原点 O 的距离为 |OM| = p2+ y2+ z2

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曲面与方程

定义 给定空间中曲面 S 和方程 F(,y,z) = 0.如果(,y,z) 在曲面 S 上 ⇔(,y,z) 满足 方程 F(,y,z) = 0 则称 F(,y,z) = 0 是曲面 S 对应的方程; S 是方程 F(,y,z) = 0 对应的曲面. .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

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曲面与方程

例 1 空间的平面方程为 A+ By + Cz + D = 0. 特别地,方程 z = 0 表示 y 面,而方程 z = c 表示 平行于 y 面的平面.

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曲面与方程

例 1 空间的平面方程为 A+ By + Cz + D = 0. 特别地,方程 z = 0 表示 y 面,而方程 z = c 表示 平行于 y 面的平面. .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ

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曲面与方程

例 2 球心在 (0,y0,z0),半径为 R 的球面方程为

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2 = R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z 一般地,方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面. .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ

(31)

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2 = R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z 一般地,方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面.

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2 = R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z 一般地,方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面. .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2 = R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z 一般地,方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面.

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2= R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z 一般地,方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面. .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ

(35)

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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得. 准线:y 面的圆 2+y2= R2 母线:平行于 z 轴的直线. .. . y . z

(36)

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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

(37)

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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z

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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ

(39)

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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面(马鞍面) .. .. y z

(40)

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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面(马鞍面) .. .. y z .

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12 3 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

(41)

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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面(马鞍面)

..

.. y

(42)

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空间解析几何

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第一节

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多元函数的概念

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第二节

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极限与连续

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第三节

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偏导数与全微分

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第四节

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复合函数的导数

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第五节

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123 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ 

(43)

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多元函数

定义 1 从平面子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D R2 −→ R 称为二元函数,其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y). 记为 z = ƒ (,y). 类似地可以定义三元函数.

(44)

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多元函数

定义 1 从平面子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D R2 −→ R 称为二元函数,其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y). 记为 z = ƒ (,y). 类似地可以定义三元函数. .

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123 4 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ 

(45)

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二元函数的定义域

二元函数也有自然定义域. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}.

(46)

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二元函数的定义域

二元函数也有自然定义域. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}. .

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123 4 5 6 7 ƒƒƒ ƒ 

(47)

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二元函数的定义域

二元函数也有自然定义域. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}.

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平面区域的分类

定义 2 闭区域:包含边界的区域 开区域:不包含边界的区域 有界区域:限制在有限范围的区域 无界区域:延伸到无穷远的区域 .

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123 4 5 6 7 ƒ ƒƒƒ 

(49)

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平面区域的分类

定义 2 闭区域:包含边界的区域 开区域:不包含边界的区域 有界区域:限制在有限范围的区域 无界区域:延伸到无穷远的区域

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平面区域的分类

定义 2 闭区域:包含边界的区域 开区域:不包含边界的区域 有界区域:限制在有限范围的区域 无界区域:延伸到无穷远的区域 .

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123 4 5 6 7 ƒ ƒƒƒ 

(51)

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平面区域的分类

定义 2 闭区域:包含边界的区域 开区域:不包含边界的区域 有界区域:限制在有限范围的区域 无界区域:延伸到无穷远的区域

(52)

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练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = 1 p + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y| .

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123 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒƒ

(53)

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练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = 1 p + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y|

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复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域. y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域. .

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123 4 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ

(55)

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复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域. y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域.

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空间解析几何

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第一节

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多元函数的概念

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第二节

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极限与连续

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第三节

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偏导数与全微分

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第四节

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复合函数的导数

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第五节

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1 234 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(57)

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二元函数的极限:定义

定义 1 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 2 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0)

(58)

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二元函数的极限:定义

定义 1 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 2 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0). .

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1 234 5 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ

(59)

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二元函数的极限:定义

定义 3 如果任意给定 ε > 0,总存在一个 δ > 0,使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0) 时, |ƒ (,y) − A| < ε 总成立,则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时,函数 ƒ(,y) 以 A 为极限,记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 例 1 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0,其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2.

(60)

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二元函数的极限:定义

定义 3 如果任意给定 ε > 0,总存在一个 δ > 0,使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0) 时, |ƒ (,y) − A| < ε 总成立,则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时,函数 ƒ(,y) 以 A 为极限,记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 例 1 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0,其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2. .

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1 234 5 6 7 ƒƒƒ ƒ ƒ

(61)

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二元函数的极限:解释

注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时,ƒ (,y) 总趋于 A. 例 2 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在,其中 ƒ(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0).

(62)

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二元函数的极限:解释

注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时,ƒ (,y) 总趋于 A. 例 2 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在,其中 ƒ(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). .

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1 234 5 6 7 ƒ ƒƒƒ ƒ

(63)

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连续函数

定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续. 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质: 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的. 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续,则 它在 D 上必能取得最大值和最小值.

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连续函数

定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续. 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质: 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的. 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续,则 它在 D 上必能取得最大值和最小值. .

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1 234 5 6 7 ƒ ƒ ƒƒƒ

(65)

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连续函数

定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续. 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质: 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的. 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续,则

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二元函数的极限

例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y. 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y . 练习 1 求二元函数极限: (1) lim (,y)→(2,1) − y + y. (2) lim (,y)→(0,3) sin y . .

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1 234 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒ

(67)

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二元函数的极限

例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y. 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y . 练习 1 求二元函数极限: (1) lim (,y)→(2,1) − y + y. (2) lim (,y)→(0,3) sin y

(68)

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二元函数的极限

例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y. 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y . 练习 1 求二元函数极限: (1) lim (,y)→(2,1) − y + y. (2) lim (,y)→(0,3) sin y . .

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1 234 5 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒ

(69)

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多元函数的概念

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第二节

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极限与连续

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第三节

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偏导数与全微分

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第四节

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复合函数的导数

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第五节

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二元函数的极值

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第六节

(70)

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导 数,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy .

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1 2 345 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(71)

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 ƒ (0,y0) = limΔ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导 数,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy

(72)

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 ƒ (0,y0) = limΔ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导 数,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy .

.

1 2 345 6 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(73)

.

.

偏导数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂, 或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y

(74)

. .

.

偏导数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

1 2 345 6 7 ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(75)

.

.

偏导数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y, 或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y

(76)

. .

.

偏导数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

1 2 345 6 7 ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(77)

.

.

例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y

(78)

. .

.

例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(79)

.

.

例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y

(80)

. .

.

例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(81)

.

.

三元函数的偏导数

类似地,对于三元函数  = ƒ (,y,z),可以定义三个 偏导数 ∂ ∂∂ ∂y∂ ∂z. 例 4 求三元函数  = y2z3 的偏导数.

(82)

. .

.

三元函数的偏导数

类似地,对于三元函数  = ƒ (,y,z),可以定义三个 偏导数 ∂ ∂∂ ∂y∂ ∂z. 例 4 求三元函数  = y2z3 的偏导数. .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(83)

.

.

二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy

(84)

. .

.

二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(85)

.

.

二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy

(86)

. .

.

二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(87)

.

.

二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z) = z′′ ) = ƒ′′

(88)

. .

.

例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时,两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(89)

.

.

例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时,两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y)

(90)

. .

.

例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时,两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(91)

.

.

例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时,两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y)

(92)

. .

.

例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时,两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(93)

.

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy

(94)

. .

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(95)

.

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy

(96)

. .

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(97)

.

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ‚ Œ

(98)

. .

.

全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则 S = y. 如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy, 则面积 S 相应地有一个改变量

ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.

.

.

(99)

.

.

全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则

S = y.如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy,

则面积 S 相应地有一个改变量

(100)

. .

.

全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则 S = y.如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy, 则面积 S 相应地有一个改变量

ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.

.

.

(101)

.

.

定义 对于二元函数 z = ƒ (,y),如果

Δz = AΔ + BΔy + o(ρ),

其中 A,B 与 Δ,Δy 无关,ρ = p(Δ)2+ (Δy)2 则称函数可微,并称它的全微分为 dz = AΔ + BΔy 定理 如果函数 z = ƒ (,y) 可微,则 A = ƒ(,y), B = ƒ y(,y).即有 dz = ƒ(,y) d + ƒy(,y) dy, 其中 d = Δ,dy = Δy.

(102)

.

.

.

定义 对于二元函数 z = ƒ (,y),如果

Δz = AΔ + BΔy + o(ρ),

其中 A,B 与 Δ,Δy 无关,ρ = p(Δ)2+ (Δy)2 则称函数可微,并称它的全微分为 dz = AΔ + BΔy 定理 如果函数 z = ƒ (,y) 可微,则 A = ƒ(,y), B = ƒ y(,y).即有 dz = ƒ(,y) d + ƒy(,y) dy, 其中 d = Δ,dy = Δy. .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ  ƒ

(103)

.

.

全微分

定理 如果多元函数的各个偏导数都连续,则全微分 存在. . . . . 设 z = ƒ (,y),则全微分为 dz = ƒ (,y)d + ƒ y(,y)dy 设  = ƒ (,y,z),则全微分为 d= ƒ (,y,z)d + ƒ y(,y,z)dy + ƒ z(,y,z)dz

(104)

. .

.

全微分

定理 如果多元函数的各个偏导数都连续,则全微分 存在. . . . . 设 z = ƒ (,y),则全微分为 dz = ƒ (,y)d + ƒ y(,y)dy 设  = ƒ (,y,z),则全微分为 d= ƒ (,y,z)d + ƒ y(,y,z)dy + ƒ z(,y,z)dz .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ  ƒ

(105)

.

.

全微分

定理 如果多元函数的各个偏导数都连续,则全微分 存在. . . . . 设 z = ƒ (,y),则全微分为 dz = ƒ (,y)d + ƒ y(,y)dy 设  = ƒ (,y,z),则全微分为

(106)

. .

.

全微分

例 7 求 z = 2y3 在  = 1,y = 2,Δ = 0.2, Δy = 0.1 时的全微分. 例 8 求 z = ey 的全微分. 例 9 求  = y + yz + z 的全微分. .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ  ƒ

(107)

.

.

全微分

例 7 求 z = 2y3 在  = 1,y = 2,Δ = 0.2, Δy = 0.1 时的全微分. 例 8 求 z = ey 的全微分. 例 9 求  = y + yz + z 的全微分.

(108)

. .

.

全微分

例 7 求 z = 2y3 在  = 1,y = 2,Δ = 0.2, Δy = 0.1 时的全微分. 例 8 求 z = ey 的全微分. 例 9 求  = y + yz + z 的全微分. .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ  ƒ

(109)

.

.

近似计算

利用全微分公式,我们有下列近似计算公式:

ƒ(+Δ,y+Δy) ≈ ƒ (,y) + ƒ(,y)Δ+ƒy(,y)Δy

(110)

. .

.

近似计算

利用全微分公式,我们有下列近似计算公式: ƒ(+Δ,y+Δy) ≈ ƒ (,y) + ƒ(,y)Δ+ƒy(,y)Δy 例 10 求 1.012.99 的近似值. .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ

(111)

.

.

复习 1 求下列函数的偏导数.

(1) z =

2− y2

(112)

. .

.

复习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 2− y2 (2) z = rctn( − y) .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ

(113)

.

.

复习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = y2e−y

(114)

. .

.

复习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = y2e−y (2) z = y cos y .

.

1 2 345 6 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(115)

.

.

.

.

极限与连续

.

第三节

.

.

偏导数与全微分

.

第四节

.

.

复合函数的导数

.

第五节

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.

二元函数的极值

.

第六节

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.

二重积分 .

第七节

(116)

. .

.

复合函数求导:情形 1

设 z = ƒ (,y),  = φ(t), y = ψ(t), 则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t)(t)).此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y, = et, y = sin t,求全导数 dz dt. .

.

1 2 3 456 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(117)

.

.

复合函数求导:情形 1

设 z = ƒ (,y),  = φ(t), y = ψ(t),则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t)(t)). 此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y, = et, y = sin t,求全导数 dz dt

(118)

. .

.

复合函数求导:情形 1

设 z = ƒ (,y),  = φ(t), y = ψ(t),则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t)(t)).此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y, = et, y = sin t,求全导数 dz dt. .

.

1 2 3 456 7 ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(119)

.

.

复合函数求导:情形 1

设 z = ƒ (,y),  = φ(t), y = ψ(t),则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t)(t)).此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y, = et, y = sin t,求全导数 dz dt

(120)

. .

.

复合函数求导:情形 2

设 z = ƒ (,),  = φ(,y),  = ψ(,y), 则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y)(,y)).此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = , = 32+ y2,  = 2 + y,求偏 导数 ∂z ∂∂z ∂y. .

.

1 2 3 456 7 ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(121)

.

.

复合函数求导:情形 2

设 z = ƒ (,),  = φ(,y),  = ψ(,y),则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y)(,y)). 此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = , = 32+ y2,  = 2 + y,求偏 导数 ∂z ∂∂z ∂y

(122)

. .

.

复合函数求导:情形 2

设 z = ƒ (,),  = φ(,y),  = ψ(,y),则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y)(,y)).此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = , = 32+ y2,  = 2 + y,求偏 导数 ∂z ∂∂z ∂y. .

.

1 2 3 456 7 ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(123)

.

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复合函数求导:情形 2

设 z = ƒ (,),  = φ(,y),  = ψ(,y),则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y)(,y)).此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = , = 32+ y2,  = 2 + y,求偏

(124)

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练习 1

(1) 设 z = e−2y, = sin t, y = cos t,求全导数 dz

dt

(2) 设 z = esin , = y,  =  − y,求偏导数

∂z ∂∂z ∂y. .

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1 2 3 456 7 ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(125)

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练习 1

(1) 设 z = e−2y, = sin t, y = cos t,求全导数 dz

dt

(2) 设 z = esin , = y,  =  − y,求偏导数

∂z

∂

∂z

(126)

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全微分的形式不变性

设有 z = ƒ (,),,  为自变量,则全微分为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d 若又有  = φ(,y),  = ψ(,y),,  为中间变量, 则全微分仍为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d .

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1 2 3 456 7 ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(127)

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全微分的形式不变性

设有 z = ƒ (,),,  为自变量,则全微分为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d 若又有  = φ(,y),  = ψ(,y),,  为中间变量, 则全微分仍为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d

(128)

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例 3 利 用 全 微 分 的 形 式 不 变 性,求 二 元 函 数 z = (2− y2)ey 的偏导数 ∂z ∂∂z ∂y. .

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1 2 3 456 7 ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ

(129)

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隐函数的导数 1

定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 且 F(,y) 有连续偏导数,Fy ̸= 0, 则有 dy d = − F Fy. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 求导数 dy d

(130)

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隐函数的导数 1

定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 且 F(,y) 有连续偏导数,Fy ̸= 0,则有 dy d = − F Fy. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 求导数 dy d. .

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1 2 3 456 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ  ƒ

(131)

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隐函数的导数 1

定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 且 F(,y) 有连续偏导数,Fy ̸= 0,则有 dy d = − F Fy. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ (), 求导数 dy

(132)

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隐函数的导数 2

定 理 2 设 方 程 F(,y,z) = 0 确定了隐函数 z = ƒ(,y),且 F(,y,z) 有连续偏导数,且 Fz ̸= 0, 则 有 ∂z ∂ = − F F z ∂z ∂y = − Fy F z 例 5 设方程 2 2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 确定了隐函数 z = ƒ(,y),求偏导数 ∂z ∂∂z ∂y. .

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1 2 3 456 7 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ  ƒ

數據

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