第八章·多元函数
微积分课程
2020 年 8 月 29 日 暨南大学数学系 吕荐瑞
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空间解析几何
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第一节
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多元函数的概念
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第二节
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极限与连续
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第三节
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偏导数与全微分
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第四节
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复合函数的导数
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第五节
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12 3 4 5 6 7 .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 . . . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 . . . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . . VI . VII . VIII. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . I . II . III . IV . . VI . VII .. .
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空间直角坐标系
三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 .. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 . I . II . III . IV . V . VI . VII . VIII ..
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在空间直角坐标系中，我们有 点 M ←→ 坐标 (,y,z) ←→ OM .. . y . z . O .. M. .
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.. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 坐标面上的点： y 面 ↔ z = 0 yz 面 ↔ = 0 z 面 ↔ y = 0 坐标轴上的点： 轴 ↔ y = z = 0 y 轴 ↔ z = = 0 z 轴 ↔ = y = 0 .. . y . z . (,0,0) . (0,y,0) . (0,0,z) ..
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.. . y . z . y 面 . yz 面 . z 面 坐标面上的点： y 面 ↔ z = 0 yz 面 ↔ = 0 z 面 ↔ y = 0 坐标轴上的点： 轴 ↔ y = z = 0 y 轴 ↔ z = = 0 .... y z . . (0,y,0) . (0,0,z). .
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空间中两点的距离
设 M1(1,y1,z1) 和 M2(2,y2,z2) 为空间中两点．则 它们的距离为 |M1M2| = p (2− 1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2 特别地，点 M(,y,z) 到原点 O 的距离为 |OM| = p2+ y2+ z2 ..
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空间中两点的距离
设 M1(1,y1,z1) 和 M2(2,y2,z2) 为空间中两点．则 它们的距离为 |M1M2| = p (2− 1)2+ (y2− y1)2+ (z2− z1)2 特别地，点 M(,y,z) 到原点 O 的距离为 |OM| = p2+ y2+ z2. .
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曲面与方程
定义 给定空间中曲面 S 和方程 F(,y,z) = 0．如果 点 (,y,z) 在曲面 S 上 ⇔ 点 (,y,z) 满足 方程 F(,y,z) = 0 则称 F(,y,z) = 0 是曲面 S 对应的方程； S 是方程 F(,y,z) = 0 对应的曲面． ..
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曲面与方程
例 1 空间的平面方程为 A+ By + Cz + D = 0. 特别地，方程 z = 0 表示 y 面，而方程 z = c 表示 平行于 y 面的平面．. .
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曲面与方程
例 1 空间的平面方程为 A+ By + Cz + D = 0. 特别地，方程 z = 0 表示 y 面，而方程 z = c 表示 平行于 y 面的平面． ..
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曲面与方程
例 2 球心在 (0,y0,z0)，半径为 R 的球面方程为
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2 = R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z 一般地，方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面． ..
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2 = R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z 一般地，方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面．. .
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2 = R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z 一般地，方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面． ..
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2 = R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z 一般地，方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面．. .
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2= R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z 一般地，方程 F(,y) = 0 在空间中表示一个柱面． ..
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例 3 2+ y2 = R2 圆柱面 由平行于 z 轴的直线沿 y 面上 的圆 2+ y2 = R2 移动而得． 准线：y 面的圆 2+y2= R2． 母线：平行于 z 轴的直线． .. . y . z. .
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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z ..
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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z. .
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例 4 z = 2+ y2 旋转抛物面 .. . y . z ..
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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面（马鞍面） .. .. y z. .
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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面（马鞍面） .. .. y z ..
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例 5 z = y2− 2 双曲抛物面（马鞍面）
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.. y
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空间解析几何
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第一节
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多元函数的概念
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第二节
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极限与连续
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第三节
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偏导数与全微分
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第四节
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复合函数的导数
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第五节
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多元函数
定义 1 从平面子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D ⊂R2 −→ R 称为二元函数，其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y)． 记为 z = ƒ (,y)． 类似地可以定义三元函数．. .
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多元函数
定义 1 从平面子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D ⊂R2 −→ R 称为二元函数，其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y)． 记为 z = ƒ (,y)． 类似地可以定义三元函数． ..
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二元函数的定义域
二元函数也有自然定义域． 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}.. .
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二元函数的定义域
二元函数也有自然定义域． 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}. ..
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二元函数的定义域
二元函数也有自然定义域． 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 D= {(,y)| + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 D= {(,y)|2+ y2 ≤ 1}.. .
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平面区域的分类
定义 2 闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域 有界区域：限制在有限范围的区域 无界区域：延伸到无穷远的区域 ..
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平面区域的分类
定义 2 闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域 有界区域：限制在有限范围的区域 无界区域：延伸到无穷远的区域. .
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平面区域的分类
定义 2 闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域 有界区域：限制在有限范围的区域 无界区域：延伸到无穷远的区域 ..
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平面区域的分类
定义 2 闭区域：包含边界的区域 开区域：不包含边界的区域 有界区域：限制在有限范围的区域 无界区域：延伸到无穷远的区域. .
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练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域． (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = 1 p + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y| ..
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练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域． (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = 1 p + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y|. .
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复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域． (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域． y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域． ..
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复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域． (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域． y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域．. .
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空间解析几何
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第一节
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多元函数的概念
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第二节
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极限与连续
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第三节
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偏导数与全微分
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第四节
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复合函数的导数
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第五节
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二元函数的极限：定义
定义 1 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域，记为 U(P0,δ)． 定义 2 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域，记为 U˚(P0,δ)．. .
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二元函数的极限：定义
定义 1 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域，记为 U(P0,δ)． 定义 2 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域，记为 U˚(P0,δ)． ..
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二元函数的极限：定义
定义 3 如果任意给定 ε > 0，总存在一个 δ > 0，使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0,δ) 时， |ƒ (,y) − A| < ε 总成立，则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时，函数 ƒ(,y) 以 A 为极限，记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 例 1 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0，其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2.. .
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二元函数的极限：定义
定义 3 如果任意给定 ε > 0，总存在一个 δ > 0，使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0,δ) 时， |ƒ (,y) − A| < ε 总成立，则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时，函数 ƒ(,y) 以 A 为极限，记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 例 1 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0，其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2. ..
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二元函数的极限：解释
注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时，ƒ (,y) 总趋于 A． 例 2 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在，其中 ƒ(,y) = y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0).. .
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二元函数的极限：解释
注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时，ƒ (,y) 总趋于 A． 例 2 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在，其中 ƒ(,y) = y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). ..
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连续函数
定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续． 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质： 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的． 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续，则 它在 D 上必能取得最大值和最小值．. .
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连续函数
定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续． 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质： 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的． 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续，则 它在 D 上必能取得最大值和最小值． ..
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连续函数
定义 4 若二元函数 ƒ(,y) 满足 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续． 定理 1 二元函数有和一元函数类似的性质： 1 二元初等函数在定义区域上总是连续的． 2 若二元函数 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续，则. .
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二元函数的极限
例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y． 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y ． 练习 1 求二元函数极限： (1) lim (,y)→(2,1) − y + y． (2) lim (,y)→(0,3) sin y ． ..
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二元函数的极限
例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y． 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y ． 练习 1 求二元函数极限： (1) lim (,y)→(2,1) − y + y． (2) lim (,y)→(0,3) sin y ．. .
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二元函数的极限
例 3 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2)3+ y． 例 4 求二元函数极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y ． 练习 1 求二元函数极限： (1) lim (,y)→(2,1) − y + y． (2) lim (,y)→(0,3) sin y ． ..
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多元函数的概念
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第二节
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极限与连续
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第三节
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偏导数与全微分
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第四节
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复合函数的导数
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第五节
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二元函数的极值
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第六节
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偏导数
定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义， 如果极限 lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在，则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对 的偏导 数，记为 ƒ′ (0,y0)． 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ′ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy ..
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偏导数
定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义， 如果极限 ƒ′ (0,y0) = limΔ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在，则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对 的偏导 数，记为 ƒ′ (0,y0)． 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ′ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy. .
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偏导数
定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义， 如果极限 ƒ′ (0,y0) = limΔ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在，则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对 的偏导 数，记为 ƒ′ (0,y0)． 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数为 ƒ′ y(0,y0) = limΔy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy ..
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偏导数
对于 z = ƒ (,y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 z 对 的偏导数，记为 ∂z ∂， 或 ∂ƒ ∂，或 z ′ ，或 ƒ ′ ． 对于 z = ƒ (,y)，将 看为常数，对 y 求导，得到 z 对 y 的偏导数，记为 ∂z ∂y，或 ∂ƒ ∂y，或 z ′ y，或 ƒ ′ y．. .
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偏导数
对于 z = ƒ (,y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 z 对 的偏导数，记为 ∂z ∂，或 ∂ƒ ∂，或 z ′ ，或 ƒ ′ ． 对于 z = ƒ (,y)，将 看为常数，对 y 求导，得到 z 对 y 的偏导数，记为 ∂z ∂y，或 ∂ƒ ∂y，或 z ′ y，或 ƒ ′ y． ..
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偏导数
对于 z = ƒ (,y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 z 对 的偏导数，记为 ∂z ∂，或 ∂ƒ ∂，或 z ′ ，或 ƒ ′ ． 对于 z = ƒ (,y)，将 看为常数，对 y 求导，得到 z 对 y 的偏导数，记为 ∂z ∂y， 或 ∂ƒ ∂y，或 z ′ y，或 ƒ ′ y．. .
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偏导数
对于 z = ƒ (,y)，将 y 看为常数，对 求导，得到 z 对 的偏导数，记为 ∂z ∂，或 ∂ƒ ∂，或 z ′ ，或 ƒ ′ ． 对于 z = ƒ (,y)，将 看为常数，对 y 求导，得到 z 对 y 的偏导数，记为 ∂z ∂y，或 ∂ƒ ∂y，或 z ′ y，或 ƒ ′ y． ..
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例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数． 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数． 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数． 练习 1 求下列函数的偏导数． (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y . .
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例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数． 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数． 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数． 练习 1 求下列函数的偏导数． (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y ..
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例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数． 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数． 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数． 练习 1 求下列函数的偏导数． (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y . .
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例 1 求 z = 2+ y + y2 的偏导数． 例 2 求 z = y 2− y 的偏导数． 例 3 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数． 练习 1 求下列函数的偏导数． (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y ..
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三元函数的偏导数
类似地，对于三元函数 = ƒ (,y,z)，可以定义三个 偏导数 ∂ ∂， ∂ ∂y 和 ∂ ∂z． 例 4 求三元函数 = y2z3 的偏导数．. .
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三元函数的偏导数
类似地，对于三元函数 = ƒ (,y,z)，可以定义三个 偏导数 ∂ ∂， ∂ ∂y 和 ∂ ∂z． 例 4 求三元函数 = y2z3 的偏导数． ..
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二阶偏导数
对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z′ 和 z′y 再求偏导数，就得到 四个二阶偏导数： (z′ ) ′ = z ′′ 或 (ƒ ′ ) ′ = ƒ ′′ (z′ ) ′ y = z ′′ y 或 (ƒ ′ ) ′ y = ƒ ′′ y (z′ y) ′ = z ′′ y 或 (ƒ ′ y) ′ = ƒ ′′ y (z′ y) ′ y = z ′′ yy 或 (ƒ ′ y) ′ y = ƒ ′′ yy. .
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二阶偏导数
对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z′ 和 z′y 再求偏导数，就得到 四个二阶偏导数： (z′ ) ′ = z ′′ 或 (ƒ ′ ) ′ = ƒ ′′ (z′ ) ′ y = z ′′ y 或 (ƒ ′ ) ′ y = ƒ ′′ y (z′ y) ′ = z ′′ y 或 (ƒ ′ y) ′ = ƒ ′′ y (z′ y) ′ y = z ′′ yy 或 (ƒ ′ y) ′ y = ƒ ′′ yy ..
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二阶偏导数
对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z′ 和 z′y 再求偏导数，就得到 四个二阶偏导数： (z′ ) ′ = z ′′ 或 (ƒ ′ ) ′ = ƒ ′′ (z′ ) ′ y = z ′′ y 或 (ƒ ′ ) ′ y = ƒ ′′ y (z′ y) ′ = z ′′ y 或 (ƒ ′ y) ′ = ƒ ′′ y (z′ y) ′ y = z ′′ yy 或 (ƒ ′ y) ′ y = ƒ ′′ yy. .
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二阶偏导数
对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z′ 和 z′y 再求偏导数，就得到 四个二阶偏导数： (z′ ) ′ = z ′′ 或 (ƒ ′ ) ′ = ƒ ′′ (z′ ) ′ y = z ′′ y 或 (ƒ ′ ) ′ y = ƒ ′′ y (z′ y) ′ = z ′′ y 或 (ƒ ′ y) ′ = ƒ ′′ y (z′ y) ′ y = z ′′ yy 或 (ƒ ′ y) ′ y = ƒ ′′ yy ..
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二阶偏导数
对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z′ 和 z′y 再求偏导数，就得到 四个二阶偏导数： (z′ ) ′ = z ′′ 或 (ƒ ′ ) ′ = ƒ ′′ (z′ ) ′ y = z ′′ y 或 (ƒ ′ ) ′ y = ƒ ′′ y (z′ y) ′ = z ′′ y 或 (ƒ ′ y) ′ = ƒ ′′ y (z′)′ = z′′ 或 (ƒ′)′ = ƒ′′. .
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例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数． 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数． 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时，两者必定相等． 练习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) ..
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例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数． 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数． 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时，两者必定相等． 练习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y). .
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例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数． 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数． 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时，两者必定相等． 练习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) ..
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例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数． 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数． 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时，两者必定相等． 练习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y). .
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例 5 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数． 例 6 求 z = 2yey 的各二阶偏导数． 注记 1 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续 时，两者必定相等． 练习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = 2y3+ esin y (2) z = sin( − y) ..
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二阶偏导数
z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示： ∂ ∂ ∂z ∂ = ∂ 2z ∂2 = z ′′ ∂ ∂y ∂z ∂ = ∂ 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ∂ ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂ ∂y ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y2 = z ′′ yy. .
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二阶偏导数
z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示： ∂ ∂ ∂z ∂ = ∂ 2z ∂2 = z ′′ ∂ ∂y ∂z ∂ = ∂ 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ∂ ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂ ∂y ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y2 = z ′′ yy ..
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二阶偏导数
z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示： ∂ ∂ ∂z ∂ = ∂ 2z ∂2 = z ′′ ∂ ∂y ∂z ∂ = ∂ 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ∂ ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂ ∂y ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y2 = z ′′ yy. .
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二阶偏导数
z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示： ∂ ∂ ∂z ∂ = ∂ 2z ∂2 = z ′′ ∂ ∂y ∂z ∂ = ∂ 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ∂ ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂ ∂y ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y2 = z ′′ yy ..
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二阶偏导数
z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示： ∂ ∂ ∂z ∂ = ∂ 2z ∂2 = z ′′ ∂ ∂y ∂z ∂ = ∂ 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ∂ ∂z ∂y = ∂ 2z ∂y∂ = z ′′ y . .
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全微分
例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积，则 S = y． 如果边长 与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy， 则面积 S 相应地有一个改变量ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.
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全微分
例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积，则
S = y．如果边长 与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy，
则面积 S 相应地有一个改变量
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全微分
例子 用 S 表示边长分别为 与 y 的矩形的面积，则 S = y．如果边长 与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy， 则面积 S 相应地有一个改变量ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.
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定义 对于二元函数 z = ƒ (,y)，如果
Δz = AΔ + BΔy + o(ρ),
其中 A，B 与 Δ，Δy 无关，ρ = p(Δ)2+ (Δy)2， 则称函数可微，并称它的全微分为 dz = AΔ + BΔy 定理 如果函数 z = ƒ (,y) 可微，则 A = ƒ′(,y)， B = ƒ′ y(,y)．即有 dz = ƒ′(,y) d + ƒy′(,y) dy, 其中 d = Δ，dy = Δy．
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定义 对于二元函数 z = ƒ (,y)，如果
Δz = AΔ + BΔy + o(ρ),
其中 A，B 与 Δ，Δy 无关，ρ = p(Δ)2+ (Δy)2， 则称函数可微，并称它的全微分为 dz = AΔ + BΔy 定理 如果函数 z = ƒ (,y) 可微，则 A = ƒ′(,y)， B = ƒ′ y(,y)．即有 dz = ƒ′(,y) d + ƒy′(,y) dy, 其中 d = Δ，dy = Δy． .
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全微分
定理 如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分 存在． . . . . 设 z = ƒ (,y)，则全微分为 dz = ƒ′ (,y)d + ƒ ′ y(,y)dy 设 = ƒ (,y,z)，则全微分为 d= ƒ′ (,y,z)d + ƒ ′ y(,y,z)dy + ƒ ′ z(,y,z)dz. .
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全微分
定理 如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分 存在． . . . . 设 z = ƒ (,y)，则全微分为 dz = ƒ′ (,y)d + ƒ ′ y(,y)dy 设 = ƒ (,y,z)，则全微分为 d= ƒ′ (,y,z)d + ƒ ′ y(,y,z)dy + ƒ ′ z(,y,z)dz ..
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全微分
定理 如果多元函数的各个偏导数都连续，则全微分 存在． . . . . 设 z = ƒ (,y)，则全微分为 dz = ƒ′ (,y)d + ƒ ′ y(,y)dy 设 = ƒ (,y,z)，则全微分为. .
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全微分
例 7 求 z = 2y3 在 = 1，y = 2，Δ = 0.2， Δy = 0.1 时的全微分． 例 8 求 z = ey 的全微分． 例 9 求 = y + yz + z 的全微分． ..
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全微分
例 7 求 z = 2y3 在 = 1，y = 2，Δ = 0.2， Δy = 0.1 时的全微分． 例 8 求 z = ey 的全微分． 例 9 求 = y + yz + z 的全微分．. .
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全微分
例 7 求 z = 2y3 在 = 1，y = 2，Δ = 0.2， Δy = 0.1 时的全微分． 例 8 求 z = ey 的全微分． 例 9 求 = y + yz + z 的全微分． ..
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近似计算
利用全微分公式，我们有下列近似计算公式：
ƒ(+Δ,y+Δy) ≈ ƒ (,y) + ƒ′(,y)Δ+ƒy′(,y)Δy
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近似计算
利用全微分公式，我们有下列近似计算公式： ƒ(+Δ,y+Δy) ≈ ƒ (,y) + ƒ′(,y)Δ+ƒy′(,y)Δy 例 10 求 1.012.99 的近似值． ..
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复习 1 求下列函数的偏导数．
(1) z =
2− y2
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复习 1 求下列函数的偏导数． (1) z = 2− y2 (2) z = rctn( − y) ..
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复习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = y2e−y
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复习 2 求下列函数的二阶偏导数． (1) z = y2e−y (2) z = y cos y ..
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极限与连续
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第三节
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偏导数与全微分
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第四节
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复合函数的导数
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第五节
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二元函数的极值
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第六节
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二重积分 .
第七节
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复合函数求导：情形 1
设 z = ƒ (,y), = φ(t), y = ψ(t)， 则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t),ψ(t))．此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y， = et, y = sin t，求全导数 dz dt． ..
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复合函数求导：情形 1
设 z = ƒ (,y), = φ(t), y = ψ(t)，则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t),ψ(t))． 此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y， = et, y = sin t，求全导数 dz dt．. .
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复合函数求导：情形 1
设 z = ƒ (,y), = φ(t), y = ψ(t)，则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t),ψ(t))．此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y， = et, y = sin t，求全导数 dz dt． ..
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复合函数求导：情形 1
设 z = ƒ (,y), = φ(t), y = ψ(t)，则我们得到复合 函数 z = ƒ (φ(t),ψ(t))．此时我们有全导数 dz dt = ∂z ∂ d dt + ∂z ∂y dy dt 例 1 设 z = y， = et, y = sin t，求全导数 dz dt．. .
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复合函数求导：情形 2
设 z = ƒ (,), = φ(,y), = ψ(,y)， 则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y),ψ(,y))．此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = ， = 32+ y2, = 2 + y，求偏 导数 ∂z ∂ 和 ∂z ∂y． ..
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复合函数求导：情形 2
设 z = ƒ (,), = φ(,y), = ψ(,y)，则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y),ψ(,y))． 此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = ， = 32+ y2, = 2 + y，求偏 导数 ∂z ∂ 和 ∂z ∂y．. .
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复合函数求导：情形 2
设 z = ƒ (,), = φ(,y), = ψ(,y)，则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y),ψ(,y))．此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = ， = 32+ y2, = 2 + y，求偏 导数 ∂z ∂ 和 ∂z ∂y． ..
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复合函数求导：情形 2
设 z = ƒ (,), = φ(,y), = ψ(,y)，则有复合 函数 z = ƒ (φ(,y),ψ(,y))．此时我们有偏导数 ∂z ∂ = ∂z ∂ ∂ ∂ + ∂z ∂ ∂ ∂, ∂z ∂y = ∂z ∂ ∂ ∂y + ∂z ∂ ∂ ∂y. 例 2 设 z = ， = 32+ y2, = 2 + y，求偏.
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练习 1
(1) 设 z = e−2y， = sin t, y = cos t，求全导数 dz
dt．
(2) 设 z = esin ， = y, = − y，求偏导数
∂z ∂ 和 ∂z ∂y． .
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练习 1
(1) 设 z = e−2y， = sin t, y = cos t，求全导数 dz
dt．
(2) 设 z = esin ， = y, = − y，求偏导数
∂z
∂ 和
∂z
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全微分的形式不变性
设有 z = ƒ (,)，, 为自变量，则全微分为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d 若又有 = φ(,y), = ψ(,y)，, 为中间变量， 则全微分仍为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d ..
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全微分的形式不变性
设有 z = ƒ (,)，, 为自变量，则全微分为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d 若又有 = φ(,y), = ψ(,y)，, 为中间变量， 则全微分仍为 dz = ∂z ∂d+ ∂z ∂ d. .
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例 3 利 用 全 微 分 的 形 式 不 变 性，求 二 元 函 数 z = (2− y2)ey 的偏导数 ∂z ∂ 和 ∂z ∂y. ..
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隐函数的导数 1
定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 且 F(,y) 有连续偏导数，F′y ̸= 0， 则有 dy d = − F′ F′y. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 求导数 dy d．. .
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隐函数的导数 1
定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 且 F(,y) 有连续偏导数，F′y ̸= 0，则有 dy d = − F′ F′y. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 求导数 dy d． ..
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隐函数的导数 1
定理 1 设方程 F(,y) = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 且 F(,y) 有连续偏导数，F′y ̸= 0，则有 dy d = − F′ F′y. 例 4 设方程 y−ey+ = 0 确定了隐函数 y = ƒ ()， 求导数 dy．. .
