一阶线性微分方程组

本章, 研究一阶线性微分方程组的理论和一些特殊线性微分方程组的求解方法。 【例1】 试建立地球人造卫星绕地球运动的微分方程。(忽略其它天体对人造卫星的影 响，只计及地球引力场对人造卫星的作用) 〖解〗 设从地球表面上一点A，以倾角α，初速度v0射出一质量为m的物体，如图5.1所 示，下面求此物体的运动轨道。 过发射点A和地心O的直线作y轴，y轴与发射方向所成的平面为xoy面，平面通过地 心，取垂直于y轴且过地心的直线为x 轴，取开始发射时间为t = 0，经过时间t后，卫星 位于点P (x, y)。 根据万有引力定律，地球对卫星的引力大小为 F = −f mM x2_{+ y}2 其 方 向 指 向 地 心，其 中f 是 引 力 系 数，f = 6.685 × 10−20_km3_{/kg · s}2_{，M是 地 球 质} 量，M = 5.98 × 1024_kg，p_x2_{+ y}2_{是地球与卫星间的距离。如图5.2所示。引力F 在x, y轴} 方向上的分力分别为 Fx = F cos θ = − f mMx (x2 _{+ y}2₎32 Fy = F sin θ = − f mMy (x2_{+ y}2₎32 卫星在x, y轴上所获得的分加速度分别为d2x dt2和 d2_y dt2。由牛顿第二定律，得到卫星的运动 方程为              md2x dt2 = − f mMx (x2_{+ y}2₎32 md2y dt2 = − f mMy (x2_{+ y}2_m)32 (5.1) 这就是一个含有两个未知函数的微分方程组。■ 【例2】 (Volterra 捕食－被捕食模型) 设有捕食种群和被捕食(或称食饵)种群生活在 同一小环境中，由于生育、生死和相互作用，两种群个体的数量将随时间变化。试建立 两种群个体数量随时间变化的数学模型。 1

〖解〗 设在给定的小环境中，t时刻食饵与捕食者的数量分别为x(t)和y(t)。假设个体不 区分大小，而且没有个体向环境输入或从环境输出，当环境中不存在捕食者时，食饵种 群的增长规律用Logistic方程描述为 1 x dx dt = r1(1 − x k1 ) (5.2) 其中r1为常数，等于出生率b1减去死亡率，k1为大于0常数。 将(5.2)改写为 dx dt = x(r1− ax), a = r1 k1 (5.3) 由于捕食者存在，将使食饵的增长率减少，设单位时间内每个捕食者吃掉食饵的数 量与该时刻食饵的总量成正比，则t 时刻有y(t)个捕食者，它们在单位时间内吃掉食饵的 总量为bxy，b > 0为比例常数。于是(5.3)又改写为 dx dt = x(r1− ax − by) (5.4) 类似的可得到捕食种群的增长规律 dy dt = y(−r2+ cx − dy) (5.5) 其中d > 0, r2 > 0, c > 0。 (5.4)和(5.5)构成的系统就是捕食一被捕食两种群相互作用的数学模型，这是含有两 个未知函数的微分方程组。■

5.1

一阶线性微分方程组的一般理论

5.1.1

一阶线性微分方程组的基本概念

定义 5.1 称                      dx1 dt = f1(t, x1, x2, · · · , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, · · · , xn) · · · · · · dxn dt = fn(t, x1, x2, · · · , xn) (5.6) 为含有n个未知函数x1, x2, · · · , xn的一阶微分方程组。 定义 5.2 如果存在一组函数x1(t), x2(t), · · · , xn(t)，使得在[a, b]上有下面n个式子 dxi(t) dt = fi(t, x1, x2, · · · , xn), i = 1, 2, · · · , n 恒成立，则称这组函数是一阶微分方程组(5.6)在[a, b]上的一个解。

定义 5.3 含有n个任意常数c1, c2, · · · , cn的解            x1 = φ1(t, c1, c2, · · · , cn) x2 = φ2(t, c1, c2, · · · , cn) · · · · · · xn = φn(t, c1, c2, · · · , cn) 称为一阶微分方程组(5.6)的通解。 定义 5.4 如果一阶微分方程组(5.6)中的每一个fi(t, x1, x2, · · · , xn)对所有未知函数都是 一次的，即                      dx1 dt = a11(t)x1+ a12(t)x2+ · · · + a1n(t)xn+ f1(t) dx2 dt = a21(t)x1+ a22(t)x2+ · · · + a2n(t)xn+ f2(t) · · · · · · dxn dt = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · · + ann(t)xn+ fn(t) (5.7) 称(5.7)为一阶线性微分方程组。其中，aij (i, j = 1, 2, · · · , n)及fi(t) (i = 1, 2, · · · , n)在区 间[a, b]上连续。 一阶线性方程组的向量表示： 记 A(t) =       a11(t) a12(t) · · · a1n(t) a21(t) a22(t) · · · a2n(t) · · · · · · · · · · · · an1(t) an2(t) · · · ann(t)      , F (t) =       f1(t) f2(t) · · · fn(t)      , X(t) =       x1(t) x2(t) · · · xn(t)       则方程组(5.7)可写成向量形式 X0 _{= A(t)X + F (t) (5.8)} 定义 5.5 初值问题 X0 _{= A(t)X + F (t), X(t} 0) = η (5.9) 的解就是方程组(5.8)在包含t0的区间α ≤ t ≤ β上的解u(t)，使u(t0) = η。

5.1.2

一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系

高阶线性微分方程的转化: n阶线性微分方程的初值问题    dn_x dtn + a1(t) dn−1_x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f (t) x(t0) = η1, x0(t0) = η2, · · · , x(n−1)(t0) = ηn (5.10)

其中ai(t), (i = 1, 2, · · · , n)和f (t)是[a, b]上的连续函数，t0 ∈ [a, b], ηi (i = 1, 2, · · · , n)是已

知常数。 作变换，令 x = x1, dx1 dt = x2, dx2 dt = x3, · · · , dxn−1 dt = xn 于是 _                                   dx dt = dx1 dt = x2 d2_x dt2 = x3 · · · dn−1_x dtn−1 = xn dn_x dtn = −an(t)x1− an−1(t)x2− · · · − a1(t)xn+ f (t) 而且 x(t0) = η1 = x1(t0), x0(t0) = η2 = x2(t0), · · · , x(n−1)(t0) = ηn = xn(t0) 则(5.10)就可转化为下列一阶线性微分方程组                                        X0 ₌       0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · ·

−an(t) −an−1(t) −an−2(t) · · · −a1(t)

     X +          0 0 ... 0 f (t)          X(t0) =       η1 η2 ... ηn      = η (5.11) 高阶线性方程组的降阶：

假设如下线性方程组            d3_x dt3 = a1(t)x + a2(t) dx dt + a3(t) d2_x dt2 + b1(t)y + b2(t) dy dt + f1(t) d2_y dt2 = c1(t)x + c2(t) dx dt + c3(t) d2_x dt2 + d1(t)y + d2(t) dy dt + f2(t) (5.12) 令 x = x1, dx1 dt = x2, dx2 dt = x3; y = y1, dy1 dt = y2 则可将(5.12)化为含有5个未知函数x1, x2, x3, y1, y2的一阶线性微分方程组          x0 1 x0 2 x0 3 y0 1 y0 2          =          0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 a1(t) a2(t) a3(t) b1(t) b2(t) 0 0 0 0 1 c1(t) c2(t) c3(t) d1(t) d2(t)                   x1 x2 x3 y1 y2          +          0 0 f1(t) 0 f2(t)         

5.1.3

存在唯一性定理

定义 5.6 设n维列向量X = (x1, x2, · · · , xn)T和n × n矩阵A = (aij)n×n，定义它们的范数 为 kXk = n X i=1 |xi|, kAk = n X i,j=1 |aij| 性质： (1) kXk ≥ 0且kXk = 0当且仅当xi = 0 (i = 1, 2, · · · , n);

kAk ≥ 0且kAk = 0当且仅当aij = 0 (i, j = 1, 2, · · · , n);

(2) 对任意常数α，有kαXk = |α|kXk, kαAk = |α|kAk; (3) kX + Y k ≤ kXk + kY k, kA + Bk ≤ kAk + kBk; (4) kAXk ≤ kAkkXk, kABk ≤ kAkkBk;

(5) k Z _b a X(t)dtk ≤ Z _b a kX(t)kdt; k Z _b a A(t)dtk ≤ Z _b a kA(t)kdt。 定义 5.7 向 量 序 列{Xk}, Xk = (x1k, x2k, · · · , xnk)T称 为收 敛 的，如 果 对 每 个i (i = 1, 2, · · · , n)，数列{Xik}都是收敛的。 定义 5.8 向量函数序列{Xk(t)}, Xk(t) = (x1k(t), x2k(t), · · · , xnk(t))T称为在区间[a, b]上 收敛的(一致收敛的)，如果对每个i (i = 1, 2, · · · , n)，函数序列{x_ik(t)}在[a, b]上是收敛 的（一致收敛的）。 定义 5.9 设P∞ k=1 Xk(t)是向量函数级数，如果其部分和所作成的函数向量序列在区间[a, b] 上收敛（一致收敛），则称P∞ k=1 Xk(t) 在[a, b]上是收敛的(一致收敛的)。

定义 5.10 设{Ak}是n × n矩阵序列，其中Ak = (a(k)ij )n×n，如果对一切i, j = 1, 2, · · · , n， 数列{a(k)_ij }都收敛，则称{Ak}是收敛的。 定义 5.11 设P∞ k=1 Ak是矩阵级数，如果其部分和所作的矩阵序列是收敛的，则称 ∞ P k=1 Ak是 收敛的。 解的存在唯一性定理: 定理 5.1 设A(t)是n × n矩阵，F (t)是n维列向量，它们都在区间[a, b]上连续。则对于区 间[a, b]上的任何数t0及任一常数向量η = (η1, η2, · · · , ηn)T，方程组X0 = A(t)X + F (t)存 在唯一解φ(t)，定义于整个区间[a, b]上，且满足初始条件φ(t0) = η。

5.1.4

一阶齐次线性微分方程组解空间的结构

定义 5.12 若线性微分方程组(5.8)中的F (t) ≡ 0，即 X0 _{= A(t)X (5.13)} 称(5.13)为齐次线性微分方程组。 若F (t) 6≡ 0，称(5.8)为非齐次线性微分方程组。 定理 5.2 (叠加原理) 如果X1(t), X2(t), · · · , Xm(t)是齐次线性微分方程组(5.13)的m个 解，则它们的线性组合Pm i=1 ciXi(t)也是(5.13)的解。其中c1, c2, · · · , cm是任意常数。 【例1】 对习题5.1中第3题，试验证 u(t) + v(t) = " t2_{+ t} 2t + 1 # 也是此方程组的解。 问题： 1.方程组(5.13)若有解，必有无穷多个解，如何求其通解呢？ 2.方程组(5.13)的解集合构成一个线性空间,这个解空间的维数是多少？基底是什 么？ 定义 5.13 设X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)是区间[a, b]上的向量函数，如果存在不全为零的常 数c1, c2, · · · , cn，使下式恒成立 c1X1(t) + c2X2(t) + · · · + cnXn(t) ≡ 0, t ∈ [a.b] 则称此组向量函数在区间[a, b]上线性相关，否则称这组函数线性无关。

【例2】 证明向量函数 X1(t) = " sin t cos t # , X2(t) = " cos t − sin t # 在任何区间上都是线性无关的。 定义 5.14 称区间[a, b]上的n个向量函数 X1(t) =       x11(t) x21(t) ... xn1(t)      , X2(t) =       x12(t) x22(t) ... xn2(t)      , · · · , Xn(t) =       x1n(t) x2n(t) ... xnn(t)       构成的行列式 W [X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)] ≡ W (t) ≡       x11(t) x12(t) · · · x1n(t) x21(t) x22(t) · · · x2n(t) · · · · · · · · · · · · xn1(t) xn2(t) · · · xnn(t)       为这组向量函数的Wronski行列式。 定理 5.3 如果向量函数X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)在区间[a, b]上线性相关，则它们在[a, b]上 的Wronski行列式恒等于零。 定理 5.4 如 果 向 量 函 数X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)是 方 程 组(5.13)的n个 解，则 它 们 在 区

间[a, b]上线性无关的充分必要条件为其Wronski行列式W (t) 6= 0, t ∈ [a, b]。 定理 5.5 方程组(5.13)一定存在n个线性无关解。 定理 5.6 (通解结构定理) 如果X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)是方程组(5.13)的n个线性无关解， 则方程组(5.13)的通解可以表示为 X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) + · · · + cnXn(t) (5.14) 其中c1, c2, · · · , cn是任意常数。且通解(5.14)包含了方程组(5.13)的所有解。 定理 5.7 (Liouville公式) 设X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)是方程组(5.13)的任意n个解，则它们 的Wronski行列式W (t)满足一阶线性方程 W0_{(t) = [a} 11(t) + a22(t) + · · · + ann(t)]W (t) 因而有 W (t) = W (t0) · e Rt

5.1.5

一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵的性质

定义 5.15 如果一个n × n矩阵的每一列都是(5.13)的解，则称这个矩阵为(5.13)的解矩 阵。 定义 5.16 称(5.13)的n个线性无关解组成的解矩阵为(5.13)的基解矩阵。记为Φ(t)，即 Φ(t) = [φ1(t), φ2(t), · · · , φn(t)] 其中φi(t), i = 1, 2, · · · , n是(5.13)的n个线性无关解。 基解矩阵的性质: 定理 5.8 (5.13)一定存在一个基解矩阵Φ(t)。如果ψ(t)是(5.13)的任一解，则 ψ(t) = Φ(t)c 其中c是确定的常数列向量。 定理 5.9 (5.13)的一个解矩阵Φ(t)是基解矩阵的充分必要条件为在区间[a, b]上的某一 点t0处，det Φ(t0) 6= 0。 定理 5.10 如 果Φ(t)是(5.13)在 区 间[a, b]上 的 基 解 矩 阵，C是 非 奇 异n × n常 数 矩 阵， 则Φ(t)C 也是(5.13)在区间[a, b]上的基解矩阵。 定理 5.11 如果Φ(t), Ψ(t)是(5.13)在区间[a, b]上的两个基解矩阵，则存在一个非奇异n × n常数矩阵C，使在区间[a, b]上Ψ(t) = Φ(t)C。 【例3】 验证 Φ(t) = " et _e3t −et _e3t # 是方程组 X0 = " 2 1 1 2 # X 的基解矩阵，并写出通解。 【例4】 试作出以矩阵 Φ(t) =     e−t _{0 e}2t 0 e−t _e2t −e−t _−e−t _e2t     为基解矩阵的齐次线性微分方程组。

5.1.6

一阶非齐次线性微分方程组解集合的性质

定理 5.12 如果 ¯X(t)是非齐次线性微分方程组(5.8)的解，X(t)是它对应的齐次线性微分 方程组(5.13)的解，则 ¯X(t) + X(t) 仍是非齐次线性微分方程组(5.8)的解。 定理 5.13 如果X1(t), X2(t)是非齐次线性微分方程组(5.8)的两个解，则X1(t) − X2(t) 是 对应的齐次线性微分方程组(5.13)的解。 定理 5.14 (通解结构定理) 设Φ(t)是齐次线性微分方程组(5.13)的一个基解矩阵，¯X(t)是 非齐次线性微分方程组(5.8)的某一解，则非齐次线性微分方程组(5.8)的任一解X(t)都 可表示为 X(t) = Φ(t)c + ¯X(t) 其中c是确定的常数列向量。 常数变易法: 设Φ(t)是方程组(5.13)的一个基解矩阵，于是方程组(5.13)的通解为 X(t) = Φ(t)c 我们猜测：方程组(5.8)也有这种形式的解，但c应为t的函数，即假设 X(t) = Φ(t)c(t) (5.16) 是方程组(5.8)的解。其中c(t)是待定的向量函数。 将(5.16)代入方程组(5.8)中，得 Φ0_{(t)c(t) + Φ(t)c}0_{(t) = A(t)Φ(t)c(t) + F (t) (5.17)} 因为Φ(t)是方程组(5.13)的基解矩阵，所以 Φ0_{(t) = A(t)Φ(t)} 因此，(5.17)变为 Φ(t)c0_{(t) = F (t)} 又因为Φ(t)是可逆的，从而得 c0_{(t) = Φ}−1_{(t)F (t)} 两边同时积分，得 c(t) = c(t0) + Z _t t0 Φ−1(s)F (s)ds (5.18)

将(5.18)代回(5.16)中，得 X(t) = Φ(t)c(t0) + Φ(t) Z _t t0 Φ−1_{(s)F (s)ds} 于是方程组(5.8)的通解为 X(t) = Φ(t)˜c + Φ(t)c(t0) + Φ(t) Z _t t0 Φ−1_{(s)F (s)ds} = Φ(t)c + Φ(t) Z _t t0 Φ−1_{(s)F (s)ds} (5.19) 其中c = ˜c + c(t0)。 方程组(5.8)的两个特解: X(t) = Φ(t) Z _t t0 Φ−1_{(s)F (s)ds, X(t} 0) = 0 (5.20) X(t) = Φ(t)Φ−1_(t 0)η + Φ(t) Z _t t0 Φ−1_{(s)F (s)ds, X(t} 0) = η (5.21) 【例5】 试求方程组X0 _{= A(t)X + F (t)的通解。其中} A(t) = " 2 1 1 2 # , F (t) = " e2t 0 # 及对应方程组X0 _{= A(t)X的基解矩阵为} Φ(t) = " et _e3t −et _e3t #

5.2

一阶常系数线性微分方程组

本节介绍一类特殊的一阶线性微分方程组―常系数线性微分方程组的求解问题。 设A是n × n常数矩阵，则常系数非齐次线性微分方程组为 X0 = AX + F (t) (5.22) 其对应的常系数齐次线性微分方程组为 X0 = AX (5.23)

5.2.1

矩阵指数函数exp(At)

定义 5.17 设A是n × n常数矩阵，称 exp A = ∞ X n=0 An n! = E + A + A2 2! + · · · + An n! + · · · (5.24)

为矩阵指数。其中E为n阶单位矩阵，An_{是矩阵A的n次幂，规定A}0 _{= E。}

性质：

(1) 如果矩阵A, B可交换，即AB = BA，则

exp A · exp B = exp(A + B) (5.25)

(2) 对任何矩阵A，(exp A)−1_存在，且

(exp A)−1 _{= exp(−A) (5.26)}

(3) 如果T 是非奇异矩阵，则

exp(T−1AT ) = T−1(exp A)T (5.27) 定义 5.18 称 exp(At) = ∞ X n=0 An_tn n! (5.28) 为矩阵指数函数。 定理 5.15 矩阵 Φ(t) = exp(At) 是方程组(5.23)的基解矩阵，且Φ(0) = E。

性质： (1) 方程组(5.23)的通解可以表示为 X(t) = exp(At)c (2) 如果Φ(t)是方程组(5.23)的另外一个不同于exp(At)的基解矩阵，则 exp(At) = Φ(t)Φ−1_{(0) (5.29)} 问题: 当A是某些特殊矩阵时，如何求解exp(At)? 【例1】 设A是一个对角矩阵 A =       a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 · · · · 0 0 · · · an       试求X0 _{= AX的基解矩阵exp(At)。} 【例2】 试求X0 ₌ " 2 1 0 2 # X的基解矩阵exp(At)。

5.2.2

常系数齐次线性微分方程组的解法

本节，介绍方程组(5.23)的基解矩阵Φ(t)的几种计算方法。 分析:我们猜测：方程组(5.23)会不会有形如 X(t) = eλt· c, (λ, c未知, c 6= 0) (5.30) 的解呢？ 将(5.30)代入方程组(5.23)中，得 (λE − A)c = 0 这意味着，eλt_{· c是方程组(5.23)的解的充分必要条件为：λ是矩阵A的特征根且c是对应} 于λ的特征向量。于是求方程组(5.23)的基解矩阵Φ(t)的问题，转化成了求矩阵A的特征 根和特征向量的问题。 (1) 矩阵A的特征根是单根的情形 定理 5.16 如果方程组(5.23)的系数矩阵A的n个特征根λ1, λ2, · · · , λn彼此互异，且v1, v2, · · · , vn是 它们对应的特征向量，则方程组(5.23)的一个基解矩阵为 Φ(t) = [eλ1t_v 1, eλ2tv2, · · · , eλntvn] (5.31)

注1 如果矩阵A的特征值全为实数，则(5.31)中得到的Φ(t)是实的基解矩阵；如果矩 阵A的特征根中有复数，则(5.31)中得到的Φ(t)是复的基解矩阵，但可以通过(5.29)求出 实的基解矩阵exp(At)。 【例3】 求方程组X0 _{= AX的基解矩阵。其中} A = " 6 −3 2 1 # 【例4】 求方程组X0 _{= AX的基解矩阵。其中} A = " 3 5 −5 3 # 定理 5.17 若实系数齐次线性微分方程组(5.23)有复值解X(t) = u(t) + iv(t)，则其实 部u(t)和虚部v(t)都是(5.23)的解。 (2) 矩阵A的特征根有重根的情形 空间分解法 设矩阵A有k个不同的特征根λ1, λ2, · · · , λk，它们的重数分别为n1, n2, · · · , nk。显 然n1 + n2 + · · · + nk = n。根据线性代数的知识，由(A − λiE)niu = 0能得到ni个线性 无关的特征向量，组成子空间Vi (i = 1, 2, · · · , k)，使得n维欧式空间可表成它们的直和， 即V = V1⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk 。这意味着，对任意的u ∈ V ，存在唯一的向量u1, u2, · · · , uk， 其中ui∈ Vi (i = 1, 2, · · · , k)，使得 u = u1+ u2 + · · · + uk (5.32) 在此基础上，我们先求初值问题 ( X0 _{= AX} X(0) = η (5.33) 的解，利用这个解就能把基解矩阵exp(At)求出来。 根据(5.32)，我们有 η = v1+ v2+ · · · + vk (5.34) 再根据通解公式X(t) = exp(At)c，得到满足初始条件X(0) = η的特解为 X(t) = exp(At)η = exp(At)Pk i=1 vi = k P i=1 exp(At)vi = k P i=1 exp(At) · E · vi = Pk i=1 exp(At) · eλit· exp(−λ iEt) · vi = Pk i=1 eλit· exp(A − λ iE)t · vi = Pk i=1 eλit{E + t(A − λ iE) + t2 2!(A − λiE) 2_{+ · · · +} tni−1 (ni− 1)! (A − λiE)ni−1}vi (5.35)

其中 (A − λiE)lvi = 0, l ≥ ni, i = 1, 2, · · · , k 令η依次取n阶单位向量：e1 = (1, 0, · · · , 0)T, e2 = (0, 1, · · · , 0)T, · · · , en= (0, 0, · · · , 1)T, 代入(5.35)中，得到n个解Xi(t) (i = 1, 2, · · · , n)构成的Φ(t)就是方程组的一个解矩阵。又 因为 Φ(0) =       1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · · 0 0 · · · 1      = E 于是我们得到了exp(At)。 定理 5.18 如果方程组(5.23)的系数矩阵A有k个不同的特征根λ1, λ2, · · · , λk，它们的重 数分别为n1, n2, · · · , nk，且n1+ n2+ · · · + nk = n。令η分别取n阶单位向量e1, e2, · · · , en， 则满足初值问题(5.33)的解可由(5.35)确定，分别记为X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)，于是方程 组(5.23)的一个基解矩阵为 exp(At) = [X1(t), X2(t), · · · , Xn(t)] 注2 如果矩阵A只有一个n重特征根，则n维欧式空间不必分解。此时(5.35)变为 X(t) = eλt{E + t(A − λE) + t 2 2!(A − λE) 2_{+ · · · +} tn−1 (n − 1)!(A − λE) n−1_{}η (5.36)} 再根据定理5.18，得方程组(5.23)的一个基解矩阵 exp(At) = eλt_{{E + t(A − λE) +} t2

2!(A − λE) 2_{+ · · · +} tn−1 (n − 1)!(A − λE) n−1_{} (5.37)} 【例5】 求方程组X0 _{= AX的基解矩阵。其中} A =     1 1 1 1 3 −1 0 2 2     【例6】 求方程组X0 _{= AX的基解矩阵。其中} A =     3 4 −10 2 1 −2 2 2 −5    

待定系数法 分析:假设2 × 2的矩阵A有一个二重特征根λ，根据线性代数的知识，存在非奇异矩 阵T ，使矩阵A相似于若当标准型，即 T−1_{AT =} " λ 1 0 λ # 作变换，令X = T Z，其中X = [x1, x2]T, Z = [z1, z2]T，于是方程组X0 = AX变为(T Z)0 = T Z0 _{= AT Z，即} Z0 _{= T}−1_{AT Z =} " λ 1 0 λ # Z 也就是          dz1 dt = λz1+ z2 dz2 dt = λz2 (5.38) 解方程组(5.40)得： z1 = (c2t + c1)eλt, z2 = c2eλt 其中c1, c2为任意常数。 取c1 = 1, c2 = 0和c1 = 0, c2 = 1，得到方程组(5.40)的两个线性无关解 ¯ Z1(t) = " eλt 0 # , Z¯2(t) = " teλt eλt # 再利用X = T Z，得原方程组X0 _{= AX的两个解} ¯ X1(t) = T ¯Z1(t) = " t11 t12 t21 t22 # " eλt 0 # = " t11 t21 # eλt ¯ X2(t) = T ¯Z2(t) = " t11 t12 t21 t22 # " teλt eλt # = " t11t + t12 t21t + t22 # eλt 显然 ¯X1(t)和 ¯X2(t)是线性无关的。事实上，由它们构成的解矩阵Φ(t) = [ ¯X1(t), ¯X2(t)]满 足 det Φ(0) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t11 t12 t21 t22 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= |T | 6= 0 由于 ¯X1(t)和 ¯X2(t)的每个分量都是不超过一次的多项式和一个指数函数乘积的形 式，即可以用下述形式来描述 X(t) = (R0+ R1t)eλt

定理 5.19 如果方程组(5.23)的系数矩阵A有k个不同特征根λ1, λ2, · · · , λk，重数分别 为n1, n2, · · · , nk，且n1+ n2+ · · · + nk= n。则对ni重特征根λi，方程组(5.23)有ni个线性 无关解，形如 X(t) = (R0+ R1t + · · · + Rni−1t ni−1_)eλit _(5.39) 其中向量R0, R1, · · · , Rni−1由矩阵方程确定:                  (A − λiE)R0 = R1 (A − λiE)R1 = 2R2 · · · · (A − λiE)Rni−2 = (ni− 1)Rni−1 (A − λiE)niR0 = 0 (5.40) 取遍所有λi (i = 1, 2, · · · , k)，就得到方程组(5.23)的一个基解矩阵。 【例7】 用空间分解法和待定系数法求解例5。 【例8】 用空间分解法和待定系数法求解例6。

5.2.3

常系数非齐次线性微分方程组的解法

常系数非齐次线性微分方程组的通解公式: X(t) = exp[(t − t0)A]η + Z _t t0 exp[(t − s)A]F (s)ds (5.41) 【例9】 求方程组X0 _{= AX + F (t)满足初始条件X(0) = η的解。其中} A = " 3 5 −5 3 # , F (t) = " e−t 0 # , η = " 0 1 #

5.3

应用实例

【例1】 胆固醇流动的仓室模型 在研究传染病的传播、种群生态、环境的污染、药物在人体的分布等问题中，经常 把所研究的事物看成由有限个部分组成的系统，而每个部分称为一个仓室。它具有以下 特点： (1) 每个仓室有固定的容量，内含每个时刻都均匀分布着的物质(或能量)； (2) 各个仓室间以及仓室与外部环境间均可进行物质(或能量)交换，并服从物质(或 能量)守恒定律。 这样的系统称为仓室系统。下面根据人体内胆固醇的吸收、合成、排泄等机理来建 立胆固醇流动的仓室模型。 人体内血浆中的胆固醇既可从食物中吸收，也可以在体内通过肝脏等器官合成，且 血浆中过量的胆固醇通过肝脏、肠等排出体外。把具有吸收和排泄胆固醇功能的器官组 成的系统称仓室C1，如血浆、肝脏、肠道和皮肤等都属于仓室C1。把与胆固醇有关的其 他器官构成的系统称为仓室C2，如动脉壁等属于仓室C2，即在仓室C2中，胆固醇既不能 从外部吸收，也不能向外部排放。仓室C2和C1都可以合成胆固醇，且两个仓室的胆固醇 可以相互交换，如图5.3所示。 图5.3给出了两个仓室中胆固醇的转移率k21及k12，其中k21代表单位时间每克胆固 醇从仓室C1流动到仓室C2的量，k12代表单位时间每克胆固醇从仓室C2流动到仓室C1的 量。其他参数的意义为：k01代表单位时间每克胆固醇从仓室C1排泄的量，J0代表单位时 间通过从食物中吸收而流进仓室C1的胆固醇的量，Ji是代表单位时间通过人体合成而流 进仓室Ci的胆固醇的量(i = 1, 2)。 设x1和x2分别代表在t时刻，仓室C1和C2中胆固醇的总量，通过上述分析和假设，可 建立下面关于胆固醇的仓室模型          dx1 dt = −(k01+ k21)x1+ k12x2+ J0+ J1 dx2 dt = k21x1− k12x2+ J2 (5.42) (5.42)是常系数非齐次线性微分方程组。令k11 = k01+ k21，将其改写成向量形式X0 = AX + F ，即 X = " x0 1 x0 2 # , A = " −k11 k12 k21 −k12 # , F = " J0+ J1 J2 # 方程组(5.42)对应的齐次线性微分方程组的特征方程为 λ2 + (k11+ k12)λ + (k11k12− k12k21) = 0 其判别式为 ∆ = (k11+ k12)2− 4(k11k12− k12k21) = (k11− k12)2+ 4k12k21

因此∆ > 0，故系数矩阵A有两个互异的特征根 λ1,2 = −(k11+ k12) ± p (k11− k12)2+ 4k12k21 2 其相应的特征向量为 v1 = " k12+ λ1 k21 # , v2 = " k12+ λ2 k21 # 因此，Φ(t) = [v1eλ1t, v2eλ2t]是方程X0 = AX的基解矩阵，又因为X0 = −A−1F 是方 程X0 _{= AX + F 的解，故方程X}0 _{= AX + F 的通解为} X(t) = c1v1eλ1t+ c2v2eλ2t− A−1F 即方程组(5.42)的通解为            x1 = c1(k12+ λ1)eλ1t+ c2(k12+ λ2)eλ2t+ J0+ J1+ J2 k21− k11 x2 = c1k21eλ1t_{+ c2k21e}λ2t₊k21(J0+ J1) + k11J2 k12(k21− k11) 【例2】 人造卫星的轨道方程 我们来求解本章的例1中得到的微分方程组(5.1)。 当t = 0时，卫星在地表面以倾角α，初速度v0射出，所以，在t = 0时，x(0) = 0, y(0) = R (R = 6370km为地球半径)。卫星的初速度在x, y轴上的分量分别为 dx dt|t=0 = v0cos α, dy dt|t=0= v0sin α 因此，初始条件为 x(0) = 0, y(0) = R, dx dt|t=0 = v0cos α, dy dt|t=0= v0sin α (5.43) 将方程(5.1)两端消去m后，以y乘第一个方程，以x乘第二个方程，然后相减，得 yd 2_x dt2 − x d2_y dt2 = 0 因为 d dt(x dy dt − y dx dt) = x d2_y dt2 − y d2_x dt2 故 d dt(x dy dt − y dx dt) = 0 对上式两边积分，得 xdy dt − y dx dt = c1 (5.44)

再以dx dt乘方程组(5.1)中第一个方程，以 dy dt乘方程组(5.1)中第二个方程，然后两式 相加，得 dx dt d2_x dt2 + dy dt d2_y dt2 = − f M (x2_{+ y}2₎32 (xdx dt + y dy dt) 由于 d dt[( dx dt) 2_{+ (}dy dt) 2_{] = 2(}dx dt d2_x dt2 + dy dt d2_y dt2) 及 d dt[ 2f M (x2_{+ y}2₎12 ] = − 2f M (x2_{+ y}2₎32 (xdx dt + y dy dt) 从而得 d dt[( dx dt) 2_{+ (}dy dt) 2_{] =} d dt[ 2f M p x2_{+ y}2] 对上式两边积分，得 (dx dt) 2_{+ (}dy dt) 2 ₌ 2f M (x2_{+ y}2₎12 + c2 (5.45) 将方程(5.43)和(5.44)相结合，得到与方程组(5.1)等价的低阶方程组            xdy dt − y dx dt = c1 (dx dt) 2_{+ (}dy dt) 2 ₌ 2f M (x2_{+ y}2₎12 + c2 (5.46) 作极坐标变换，x = r cos θ, y = r sin θ，并求导得          dx dt = dr dtcos θ − r sin θ dθ dt dy dt = dr dtsin θ + r cos θ dθ dt (5.47) 将上式代入(5.46)，得          r2dθ dt = c1 (dr dt) 2_{+ r}2₍dθ dt) 2 ₌ 2f M r + c2 (5.48) 将(5.48)中的dθ dt消去，得 dr dt = r c2+ 2f M r − c2 1 r2 (5.49)

将(5.48)中的第一个式子和(5.49)相结合，得 dr dθ = r2 c1 r c2 +2f M r − c2 1 r2 这是一个变量分离方程，其解为 r = p 1 + e cos(θ − c) (5.50) 其中，p = c21 f M, e = s 1 + c2c21 (f M )2，p, e, c是三个任意常数。 根据初始条件(5.43)，得                      c1 = −Rv0cos α c2 = v02− 2f M R sin c = p R e (5.51) (5.50)就是所求的卫星运动轨道的极坐标方程。当e = 0时，轨道是圆；当0 < e < 1时，轨道是椭圆；当e = 1时，轨道是抛物线；当e > 1时，轨道是双曲线。