國小低年級學童在整數加減法概念之縱貫研究－模糊集群分析與次序理論的整合應用

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系在職進修教學碩士論文. 指導教授：林原宏博士. 國小低年級學童在整數加減法概念之縱貫研究－模糊集群分析與次序理論的整合應用. 研究生：黃秀玉撰. 中華民國九十七年六月.

(2) 摘要加減法是國小低年級學童在數學領域之學習重點，也是學習數學的關鍵，因此，本研究以國小低年級學童共計 413 人為對象，「自編加減法文字題解題測驗」為工具，結合模糊集群分析 (fuzzy clustering) 與廣義多元計分次序理論 (generalized ordering theory) ，以縱貫研究 (longitudinal research) 探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學童與各集群學童，在四個類別知識結構跨時間的變化情形。依據本研究之結果，提出以下結論：一、兩次施測，學童均以類型5 (改變拿走型改變量未知) 最為精熟，以類型19 (比較較少型參考量未知) 最不精熟；學童在各類型之解題表現，均依未知數位置及數量運作方向不同，而呈現差異現象。二、兩次施測平均數最高的均是改變類，最低的則分別是合併類和比較類，且學童在各類別之解題表現，第二年均優於第一年。三、兩次施測，學童解題能力，除了類型15 (等化添加比較量未知) 和類型17 (等化拿走參考量未知) 無顯著差異，類型1 (比較較多參考量未知) 呈顯著退步外，在其餘17個類型和四個類別均呈現顯著之進步。四、兩次施測，學童在四個類別之分群數完全相同，但兩次施測分別隸屬於同ㄧ類別之集群，以及同一次施測，隸屬於不同群學童，其知識結構各有其特殊性。五、第一年在類型5 (改變拿走型改變量未知) 最精熟，且在類型20 (改變添加型改變量未知) 最不精熟之學童，其大多數在第二年仍分別以這兩類型為其最精熟與最不精熟之類型；而第一年在改變類各類型均達精熟之學童，其大多數第二年在改變類各類型仍是達精熟。六、不論第一年學童在合併類各類型精熟與否，第二年其大多數學童在合併類各類型均能達精熟。七、在比較類中，第一年於比較量和差異量未知各類型均達精熟，於參考量未知 I.

(3) 各類型均未精熟之學童，其大多數在第二年解題表現亦同；而第一年僅於類型19 (比較較少型參考量未知) 未精熟，在其餘比較類類型均達精熟之學童，其大多數第二年在比較類各類型之表現均很不錯。八、第一年於類型2 (等化添加參考量未知) 和類型17 (等化拿走型參考量未知) 較精熟，而於類型7 (等化拿走型比較量未知) 最不精熟之學童，其大多數第二年解題表現亦同；而第一年於等化類各類型均達精熟之學童，其大多數第二年亦在等化類各類型均達精熟。九、所有受試學童在改變、比較和等化三個類別，兩次施測各集群在人數比例上均達顯著差異；其類別分群結果，能呈現學童重要的數學認知意義，且蘊含數學學習行為與認知的特殊性；兩次施測學童之知識結構有所改變，但第一年為其精熟及未精熟之類型，其第二年仍為其精熟及未精熟之類型。十、隸屬於四個類別各集群學童，兩次施測結果，其人數及精熟度的次序階層關係呈現差異現象，且其結果除了符合由易而難、由低階向高階發展之外，也以各階層間的次序關係，清晰的呈現出受試樣本知識結構的特性。各群學童的知識結構特性以及其知識結構之差異情形，可供教師做為診斷之依據和教材編製與補救教學之參考，以及未來進一步研究之建議。. 關鍵字：加減法文字題、次序理論、知識結構、模糊集群分析、縱貫研究 II.

(4) Abstract Addition and subtraction are not only the key points of math for elementary schools beginner students, but also are fundamental factors for students to learn math. Therefore, this research sampled total of 413 junior-grade elementary school students as subjects and is conducted by using “Self-Designed Addition and Subtraction Word Problems Tests” integrated with fuzzy clustering and generalized ordering theory. This paper is to explore the cross-time variations in terms of solving representation, clusters in which the students are categorized, the knowledge structure of every student in the same and across different clusters under each categories. The results of this research reveal that： 1. Pupils are most proficient in type 5 (Change/ Decrease/ Change quantity unknown), and least proficient in type 19 (Compare/ Less than/ Referent quantity unknown) on both tests. The places and the directions of the unknowns do cause significant differences on each type. 2. Change problems have the highest mean in of both tests while combine and compare problems have the lowest mean scores. Furthermore, the second-year students are more proficient than the first-year students in terms of problem solving ability in every category. 3. For both tests, pupils do less well than before on type 1 (Compare/ More than/ Referent quantity unknown) but perform significantly better in the 17 types and 4 categories except for type 15 (Equalize /Join/ Compared quantity unknown) and type 17 (Equalize/ Separate/ Referent quantity unknown). 4. For both tests, the number of clusters is the same in 4 categories. However, there are characteristics in its knowledge structure for different clusters in the same categories and different groups of pupils in the same test. 5. In the first year pupils are most proficient in type 5 (Change/ Decrease/ Change quantity unknown) and least proficient in type 20 (Change/ Increase/ Change quantity unknown). This remains true for the second year. Pupils that are most proficient in all of the change problems in the first year will deal with the change problems well in the second year. III.

(5) 6. Most of the pupils will be proficient in all of combine problems in the second year regardless of how they performed on the problems in the first year. 7. In compare type of problems, pupils that are most proficient in types of compared and difference quantity unknown, and least proficient in those types of in referent quantity unknown in the first year are most likely still most precise and least precise in the same types in the second year. Pupils are least proficient in type 19 (Compare/ Less than/ Referent quantity unknown) only are most likely to be proficient in all types. 8. Most of the pupils who are proficient in type 2 (Equalize/ Join/ Referent quantity unknown) and type 17 (Equalize/ Separate/ Referent quantity unknown) and who are least proficient in type 7 (Equalize/ Separate/ Compared quantity unknown) in the first year will show similar mathematical problem solving results in the second year. Pupils who are most proficient in all of equalize problems in the first year are most likely to perform are same in the second year. 9. Population proportion by every cluster in both tests for all examinees in change, compare and equalize is significant. There are important cognitive meanings of mathematics in each result group. There are particularity in learning behaviors and cognition in mathematics. The knowledge structure changed for both tests. However, the base and upper types always are the base and upper. 10. For both tests, both hierarchy structure and number of people are different for pupils who belong to each of the 4 categories. Not only the results are in complete accordance with difficulty levels (base to upper), but also shows the hierarchical characteristics of knowledge structure. Diagnostics for cognitive abilities should be based on the characteristics and different knowledge structures. Moreover, this research provides useful information for as of how to design teaching materials, what are the remedial procedures for future research and studies.. Keywords: addition and subtraction word problems, ordering theory, knowledge structure, fuzzy clustering, longitudinal research IV.

(6) 目次第一章緒論 ........................................................................................ 1 第一節研究動機.................................................................................................... 1 第二節研究目的.................................................................................................... 3 第三節名詞釋義.................................................................................................... 4. 第二章文獻探討 ................................................................................ 7 第一節國小低年級學童數概念的發展及數學文字題解題................................ 7 第二節國小低年級數學之整數加減法文字題教材.......................................... 25 第三節加減法文字題的類型及其相關研究...................................................... 32 第四節集群分析理論及模糊集群分析理論...................................................... 38 第五節次序理論及廣義多元計分之次序理論.................................................. 48. 第三章研究方法 .............................................................................. 55 第一節研究流程.................................................................................................. 55 第二節研究對象.................................................................................................. 56 第三節研究工具.................................................................................................. 56 第四節資料處理與分析方法.............................................................................. 66. 第四章研究結果與討論................................................................... 69 第一節學童的解題表現分析.............................................................................. 69 第二節學童解題能力之成長情形...................................................................... 76 第三節學童在各類型模糊集群之變化情形...................................................... 82 第四節全體受試學童在四個類別之知識結構................................................ 101 V.

(7) 第五節隸屬於四個類別各集群學童知識結構之異同 ....................................110. 第五章結論與建議......................................................................... 129 第一節研究結論.................................................................................................129 第二節研究限制.................................................................................................133 第三節研究建議.................................................................................................134. 參考文獻 .......................................................................................... 137 ㄧ、中文部分......................................................................................................137 二、英文部分......................................................................................................145. 附錄 .................................................................................................. 155 附錄一自編加減法文字題解題測驗甲卷 .......................................................155 附錄二自編加減法文字題解題測驗乙卷 .......................................................161 附錄三兩次施測四個類別各集群之中心向量 ...............................................167 附錄四第一年施測全體受測者在各類型的次序性係數 ...............................169 附錄五第一年施測全體受測者在各類型的次序性關係 ...............................169 附錄六第二年施測全體受測者在各類型之間的次序性係數 .......................170 附錄七第二年施測全體受測者在各類型的次序性關係 ...............................170 附錄八兩次施測全體受測者在各類型的次序性係數矩陣和關係矩陣 .......171 附錄九兩次施測改變類各集群學童之次序性係數矩陣和關係矩陣 ...........173 附錄十兩次施測合併類各集群學童之次序性係數矩陣和關係矩陣 ...........174 附錄十一兩次施測比較類各集群學童之次序性係數矩陣和關係矩陣 .......175 附錄十二兩次施測等化類各集群學童之次序性係數矩陣和關係矩陣 .......176. VI.

(8) 表目次表 2- 1 「低年級數學整數加減法文字題教材」之相關能力指標及其說明 .........27 表 2- 2 各版本「低年級數學整數加減法文字題」相關課程之單元及名稱 .........31 表 2- 3 四個版本各册之整數加減法文字題類型題數..............................................32 表 2- 4 加減文字題的類型與舉例..............................................................................36 表 2- 5 二元計分次序理論試題 i 和試題 j 答題人數之列聯表 ................................50 表 2- 6 廣義多元計分次序理論試題 i 和試題 j 的答題人數之列聯表 ....................52 表 3- 1 施測研究有效樣本人數分布情形..................................................................56 表 3- 2 整數加減法文字題試題類型、題號及內容內容一覽表 (甲卷).................58 表 3- 3 整數加減法文字題試題類型、題號及內容內容一覽表 (乙卷).................59 表 3- 4 一年級學童預試結果之平均數與鑑別度......................................................60 表 3- 5 一年級學童預試結果之項目刪除時的信度..................................................61 表 3- 6 二年級學童預試結果之平均數與鑑別度......................................................61 表 3- 7 二年級學童預試結果之項目刪除時的信度..................................................62 表 3- 8 一年級學童正式施測結果之平均數與鑑別度..............................................63 表 3- 9 一年級學童正式施測之項目刪除時的信度..................................................64 表 3- 10 二年級學童正式施測結果之平均數與鑑別度............................................64 表 3- 11 二年級學童正式施測之項目刪除時的信度................................................65 表 3- 12 相關係數分析................................................................................................65 表 4- 1 一年級學童進行施測結果之描述性統計......................................................70 表 4- 2 二年級學童進行施測結果之描述性統計......................................................71 表 4- 3 兩次施測學童在四個類別之解題表現..........................................................74 VII.

(9) 表 4- 4 兩次施測學童在四個類別差異性之成對比較 .............................................75 表 4- 5 兩次施測學童在四個類別解題表現之變異數分析摘要表 .........................75 表 4- 6 兩次施測各類型解題表現以及平均分數之重複樣本t檢定 ........................77 表 4- 7 兩次施測類型 1、類型 15 及類型 17 得分人數之列聯表 ..........................81 表 4- 8 兩次施測四個類別解題表現之重複樣本t檢定 ............................................82 表 4- 9 第一年施測學童在改變類各集群人數比率及平均數 .................................83 表 4- 10 第一年施測學童在合併類各集群人數比率及平均數 ...............................85 表 4- 11 第一年施測學童在比較類各集群人數比率及平均數 ...............................86 表 4- 12 第一年施測學童在等化類各集群人數比率及平均數 ...............................88 表 4- 13 第二年施測學童在改變類各集群人數比率及平均數 ...............................89 表 4- 14 第二年施測學童在合併類各集群人數比率及平均數 ...............................91 表 4- 15 第二年施測學童在比較類各集群人數比率及平均數 ...............................92 表 4- 16 第二年施測學童在等化類各集群人數比率及平均數 ...............................93 表 4- 17 改變類第一年和第二年施測各集群人數之列聯表 ...................................95 表 4- 18 合併類第一年和第二年施測各集群人數之列聯表 ...................................97 表 4- 19 比較類第一年和第二年施測各集群人數之列聯表 ...................................98 表 4- 20 等化類第一年和第二年施測各集群人數之列聯表 ...................................99 表 4- 21 兩次施測第 7 題得分人數之列聯表 .........................................................100. VIII.

(10) 圖目次圖 2- 1 數概念發展第一、二階段特徵之示意圖........................................................9 圖 2- 2 Mayer之解題歷程與知識的關係 ....................................................................20 圖 3- 1 研究流程圖......................................................................................................55 圖 4- 1 學童在各個類型以及平均分數兩次施測平均數之折線圖..........................78 圖 4- 2 學童在四個類別兩次施測平均數之折線圖..................................................82 圖 4- 3 第一年施測改變類各群學童之解題表現......................................................84 圖 4- 4 第一年施測合併類各群學童之解題表現......................................................86 圖 4- 5 第一年施測比較類各群學童之解題表現......................................................87 圖 4- 6 第一年施測等化類各群學童之解題表現......................................................88 圖 4- 7 第二年施測改變類各群學童之解題表現......................................................89 圖 4- 8 第二年施測合併類各群學童之解題表現......................................................91 圖 4- 9 第二年施測比較類各群學童之解題表現......................................................92 圖 4- 10 第二年施測等化類各群學童之解題表現..................................................93 圖 4- 11 兩次施測全體受試學童在改變類之精熟次序階層結構圖及平均數......104 圖 4- 12 兩次施測全體受試學童在合併類之精熟次序階層結構圖及平均數 .....105 圖 4- 13 兩次施測全體受試學童在比較類之精熟次序階層結構圖及平均數 .....107 圖 4- 14 兩次施測全體受試學童在等化類之精熟次序階層結構圖及平均數 .....109 圖 4- 15 兩次施測在改變類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數..............113 圖 4- 16 兩次施測在合併類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數..............117 圖 4- 17 兩次施測在比較類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數..............121 圖 4- 18 兩次施測在等化類各群學童之精熟次序階層結構圖及平均數..............125 IX.

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(12) 第一章緒論本研究旨在結合模糊集群分析 (fuzzy clustering) 與廣義多元計分次序理論 (generalized ordering theory) ，以縱貫研究 (longitudinal research) 探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學童與各集群學童，在四個類別知識結構 (knowledge structure) 跨時間的變化情形。本章將說明研究動機、研究目的，並針對本研究所涉及的特定名詞加以定義。. 第一節研究動機在教學實際經驗中，常常發現許多計算能力精熟的學童，在面對文字題時束手無策，因此常把題目中的數字拼湊一番來解題，這是因為學童缺乏解題能力而導致。學童正確解題是僥倖猜中，或是真正具備了解題能力？學童解題錯誤是因為粗心，抑或是概念不清楚？數學文字題解題是一個複雜的心智活動，除要具備計算能力外，還涉及解題者的語文理解與數學問題解決 (problem-solving) 之運作歷程等心理運作機制 (Kintsch & Greeno, 1985) 。在傳統評量裡，往往以總分來代表一個學習者的能力，但總分卻無法呈現出知識結構特徵。以往整數加減法各類型文字題之相關研究頗多，但鮮少探究學童之知識結構，故針對學童在整數加減法各類型文字題之知識結構進行研究，實有其必要之處。解決問題的能力在九年一貫課程中，是頗受重視的要點 (教育部，2003) ，尤其在數學領域中更是備受強調與重視。九年一貫教學能力指標中明白的要求，學生要有帶著走的能力；在九年一貫數學課程目標亦表達，期望能發展學童的數學問題解決能力；在數學領域基本理念中具體的指出：「數學課程顧及技術層面外，……強調解決問題」 (教育部，1999) ；黃敏晃 (1994) 亦曾指出：「自從 1980 年之後，全世界教育人士，都同意將數學視為解題」；且美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics， NCTM) 在 1989 年也強調「問題解決是 1980 年代數學教育的重心」，並希望數學教師能創造適合培養學童解題能力的情境，讓學童在有意義的情境中進行解題活動。在人類的真實生活中，有許多問題是以語言、文字或圖畫表徵來呈現，需要人們運用數學能力去解決，又文字 1.

(13) 題為問題解決的常見題型，其針對問題解決的議題，如題意的了解、策略的選擇、策略的執行以及檢核等進行探究。因此，數學的解題能力與解題活動已經成為了眾所關注的目標與數學教育的重心。為了因應科技、資訊與知識的快速發展，世界各國紛紛對現行教育提出不同程度的改革與建議，期盼能培育出二十一世紀的頂尖人才，以提昇國家整體素質和競爭力。Hart (1994) 認為，必須提供真實且有意義的情境來進行評量，才能讓學童在日常生活中應用他的所知所學。文字題 (word problem) 正是反映生活情境的具體教材，解題則為數學能力的綜合應用，其重要性自是不可言喻。在研究者的教學經驗中發現，解題不單只是最後答案的呈現，其中學童的思考過程、解題的策略和步驟，更是解題重要關鍵，故對文字題解題的表現絕不可忽略其重要性。以國小數學課程五大領域而言，「數與計算」是其他領域的基礎，而加減法是四則運算的根本。在美國的「數學課程評鑑」 (NCTM, 1989) 中，亦明白指出加減法的運用是低年級數學課程中主要的課題之一，同時也是日常生活中常被使用的知識，如果無法在生活中學以致用，即會造成許多窒礙與不便。而學童在計算能力及解題策略上常有錯誤發生，尤以解題策略的錯誤最常出現，如忽略、不明白或誤解問題情境中所欲呈現的情境，因而錯誤的應用了解題策略 (林碧珍， 1989；邱志賢、毛國楠，2001；Anand & Ross, 1987; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Dossey, Mullis, Lindquist, & Chambers, 1988) 。研究學童如何解簡單的文字題，可以供我們洞察較複雜的解題行為及解題能力之發展情形，此外，正式的加減法解題是學童學習數學的關鍵，日後發生之數學學習困難往往可以追溯到此一時期的學習 (Carpenter, 1981) ，因此，了解學童在整數加減法各類型文字題跨時間的變化情形，是有其必要性。在眾多整數加減法文字題解題的相關研究中，鮮少進行縱貫研究，故本研究將就低年級學童在整數加減法文字題解題進行縱貫研究。雖然有許多研究者，針對學童在整數加減法各類型文字題之解題表現進行研究與探討 (如：呂玉琴，1997；蔣治邦、鍾思嘉，1991；De Corte & Verschaffel, 1991; Riley, 1981)，然而學童在整數加減法各類型文字題之分群，及其跨時間觀點之整數加減法文字題知識結構變化，在文獻上較少探及，尚待進一步去探討，故此方 2.

(14) 面的研究實有必要與可行之處。而 Bart and Krus (1973) 所提出的次序理論，能提供知識概念階層性 (hierarchy) 和順序性 (ordering) 之結構圖，對學童的知識概念結構分析多所助益 (余民寧、陳嘉成，1998；林原宏，2005a；Takeya, 1999) 。基於上述，故本研究擬對同一群學童進行為期一年的縱貫研究，並以模糊集群分析以及廣義多元計分次序理論，針對低年級學童在整數加減法各類型文字題的知識結構進行跨時間之分析。探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現，以及經過一年的學習歷程，其解題表現之成長情形；並以模糊集群分析理論適當分群，分析受試學童在整數加減法各類型文字題所隸屬的集群之變化情形；更近一步以廣義多元計分次序理論，探討所有受試學童與各集群學童在四個類別，知識結構的階層性和順序性其跨時間之變化情形。. 第二節研究目的本研究旨在結合模糊集群分析與廣義多元計分次序理論，對國小低年級學童進行為期一年的縱貫研究，以探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學童與各集群學童，在四個類別知識結構跨時間的變化情形。希望能作為日後國小低年級數學科改善教學與評量的參考。基於上述，本研究的目的可臚列如下：ㄧ、了解國小低年級學童在面對整數加減法各類型文字題的解題表現。二、了解國小低年級學童在經過一年的學習歷程之後，對於整數加減法各類型文字題解題能力之成長情形。三、分析國小低年級學童在經過一年的學習歷程之後，在整數加減法各類型文字題模糊集群之變化情形。四、分析所有受試學童在整數加減法文字題四個類別之知識結構。五、分析隸屬於整數加減法文字題四個類別各集群學童，其知識結構之異同。. 3.

(15) 第三節名詞釋義為了讓研究內容更加明確，故釐定出本研究所涉及的特定名詞之定義與說明，界定如下：ㄧ、整數加減法文字題本研究之整數加減法文字題，主要是依照 Fuson (1992) 依語意結構及數量運作方向，將整數加減法文字題歸納分類。分為改變 (添加型和拿走型) 、合併、比較 (較多型和較少型) 及等化 (添加型和拿走型) ，並依未知數之所在位置不同予以分類。二、知識結構所謂知識結構係依皮亞傑 (J. Piaget) 的理論，指個體在出生不久之後，即開始主動運用他與生俱來的一些基本行為模式，對於周圍環境中的事物做出反應，這些原本彼此孤立、互不相關的反射動作，漸漸發展成較大且互相協調的行為模式，這些行為模式一路分化、整併的結果，就形成相互交錯且複雜的網狀結構－「知識結構」，亦就是，學習者透過認知過程，把各種資料加以儲存及組織，形成知識結構，而外來刺激會使學童本身的知識基模產生不協調現象，人腦便會根據已有的知識去解釋這些外來資訊，並整合到原有知識結構中，當外來資訊不斷藉由自我協調作用加以整合時，學童知識結構便不斷的改變與成長。三、縱貫研究本研究所指的縱貫研究，係以九十四學年度入學的一年級學童，在一年級下學期學期末至二年級下學期學期末，進行為期一年的縱貫探討。四、模糊集群分析模糊集群分析是根據一組樣本的觀察變數，模式與資料的適配性，進行適當的分類，分析出適合的分群組數與結構。因此，經由模糊集群分析，使得隸屬於同集群的受試者具有相似的性質，而隸屬於不同集群的受試者具有迥異的性質，且經由分析所得各群之知識結構分別有其特殊性 (林原宏、黃美盼、易正明， 2007) ，亦就是「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高」 (林邦傑，. 4.

(16) 1981；林原宏，2002；林清山，1985) 。五、廣義多元計分次序理論次序理論主要應用於衡量兩試題間先備條件 (precondition) 之次序關係，以試題間的次序性係數及閾值 ε ( 0 < ε < 1 ) 來決定試題間是否存在次序關係，因此利用次序理論分析試題，可以呈現試題階層 (item hierarchy) 。而廣義多元計分次序理論，為 Lin, Bart, and Huang (2006) 依據 Bart and Krus (1973) 所提出之二元計分 (dichotomous) 次序理論發展而成的 (林原宏，2007b ) ，可以用來分析多元計分之資料。因本研究採多元計分，故使用廣義多元計分次序理論，分析國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的順序性和階層性，並將其分析結果以結構圖呈現，使人一目了然，很容易理解且產生共識。. 5.

(17) 6.

(18) 第二章文獻探討本研究旨在結合模糊集群分析與廣義多元計分次序理論，以縱貫研究探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現、所隸屬的集群，以及所有受試學童與各集群學童，在四個類別知識結構跨時間的變化情形。因此，本章共分五節，主要根據本研究中的相關理論進行探討。第一節先就國小低年級學童數概念的發展以及數學文字題解題加以說明；第二節針對國小低年級數學之整數加減法文字題教材進行探討；第三節對加減法文字題的類型及其相關研究做一概略性介紹；第四節介紹集群分析理論及模糊集群分析理論；第五節則介紹次序理論以及廣義多元計分之次序理論，各節內容如下。. 第一節國小低年級學童數概念的發展及數學文字題解題本研究旨在分析國小低年級學童在整數加減法各類型文字題之解題表現，並探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題情形及其知識結構之變化情形，而國小低年級學童在整數加減法各類型文字題之解題能力，與國小低年級學童數概念的發展以及數學文字題的解題能力均有密切的關係。ㄧ、國小低年級學童數概念的發展學童數概念的發展，會影響學童在解題時所採用的策略，且學童在整數加減法各類型文字題的解題表現，亦會因之而有所差異，在此針對學童的數概念發展進行探討，並分述如下：（一）數概念認知發展階段之研究皮亞傑認為數概念的發展是源自學童心智發展，它是獨立的，且是自發性的，並非來自他人的教導 (Piaget, 1953) 。皮亞傑把兒童的認知發展分成感覺動作期 (sensorimotor, 0-2 歲) 、前運思期 (preoperational, 2-7 歲) 、具體運思期 (concrete operational, 7-11 歲) 以及形式運思期 (formal operational, 11 歲以上) 四個階段 (張春興，1997) ，此四個數概念認知發展階段，具有順序性與普遍性，且個體間有個別差異存在 (周甘逢、劉冠麟合譯，2002) 。各階段順序是自然的 7.

(19) 階層，所有成功發展的階段均有前面階段的元素參與合作，但後一階段比前面的階段更加統整，即不論生長在任何國度之學童，其數概念發展順序相同，但是個體間存在個別差異現象，故每個學童數概念認知發展的速度並不相同。皮亞傑在實驗研究中發現，保留數目不變性的能力是數學理解的先備條件，幼兒在六歲半以前就會唱數、計數，甚至還會一些簡單的加減運算，但此時期的幼兒並不具保留 (conservation) 概念，而大約六歲半的幼兒，其保留概念會自然的發展出來 (Piaget, 1952) 。皮亞傑在實驗中亦發現，幼兒的數概念有三個發展階段，其第一階段和第二階段的幼兒是隸屬於認知發展的前運思期，而第三階段的幼兒則是進入了具體運思期，將此三個發展階段分述如下： 1、第一階段 (大約在四~五歲之間) ：此階段幼兒對數概念無法了解，無一對一的對應概念，此階段之幼兒通常以排出實物的長度是否等長，來判斷兩組數目是否相等。在這個階段的幼兒即使能夠計數，但其計數能力卻無助數目相等的保留概念。例：在實驗中，當實驗者要求幼兒擺出與 A 相同數目的實物，幼兒卻擺出 B，幼兒認為只要兩組實物有相同的長度，即是具有相同的數目 (如圖 2-1 之 a 所示) 。 2、第二階段 (大約在五~六歲之間) ：此階段是屬於幼兒一對一對應概念的過渡期，此階段幼兒會應用一對一對應概念建構出同等數目，但無法充分了解一對一關係，當幼兒所排出的一對一關係被破壞 (將一組實物拉長或縮短) 之後，幼兒即無法保留他自己所建立的數目相等之保留概念，也就是說，在將一組實物拉長或縮短後，幼兒會認為兩組實物之數目不同。此階段之幼兒所關注的焦點已經較第一階段擴展了一些，幼兒有時候關注於長度，有時又關注於密度，故稱此階段為一對一的對應概念的過渡期。例：在實驗中要求幼兒擺出與 A 相同數目的實物，幼兒能一對一的將實物擺放好 (如圖 2-1 之 b 所示) ，但在實驗者將幼兒擺出的一對一關係被破壞 (將 B 組實物縮短) 之後 (如圖 2-1 之 c 所示) ，有時幼兒會關注於長度而稱 A 組數目較多，下一刻卻因注意力轉移至密度，而認為 B 組數目較多。. 8.

(20) （a）. （b）. A. ○. B. ○. ○ ○. ○. ○ ○. （c）. ○. A. ○ ○ ○ ○ ○. A. ○ ○ ○ ○ ○. ○. B. ○ ○ ○ ○ ○. B. ○○○○○. 數概念發展第一階段之特數概念發展第二階段之特數概念發展第二階段之特徵：幼兒認為只要兩組實徵：幼兒能自行建構一對徵：將幼兒所建立之一對物有相同的長度，即是具一對應關係。一對應關係破壞 (拉長或有相同的數目。縮短) ，則幼兒自己所建立數目相等的保留概念將被破壞。圖 2- 1 數概念發展第一、二階段特徵之示意圖 3、第三階段 (大約在六歲半以後) ：此為數概念真正理解的階段，此階段的幼兒已能運用數數、一對一對應以及保留住數目之不變性等各種方法，來建構數目相等之保留概念，不管實物之安排有何變化 (將實物拉長或縮短) ，都不再影響其數目相等之保留概念。皮亞傑認為，學童發展保留概念的過程，涉及相互性 (reciprocity) 、恆同性 (identity) 和逆反性 (negation) 三種邏輯運思之協調 (Ginsburg & Opper, 1979) ，以下將就此三種邏輯運思舉例說明之。（1）相互性：將一杯裝於口徑較寬水杯的水，倒入口徑較窄水杯中，會造成水位增加，但其水量並無改變。也就是說，同水量之水裝於口徑較寬的水杯，其水位較低；而裝在口徑較窄在的水杯，其水位較高，水位高低和口徑寬度之間具有補償作用，此即稱為相互性。（2）恆同性：將一杯水，倒入不同的容器中，其水量並無增加或減少，還是同樣為原先那杯水的水量，此即稱為恆同性。（3）逆反性：等量的 A 和 B 兩杯水，將 B 杯的水倒到不同的容器 C 中，再將容器 C 中的水倒回 B 杯，則會回復 A 和 B 等量的初始狀態，此即稱為逆反性。（二）數概念發展層次之研究關於國小低年級學童的數概念發展，甯自強 (1994) 將之分成四個層次。. 9.

(21) 以下就以「27」這個數字為例，並以吸管做具體物來進行說明。 1、前置概念：「27」代表自 1 開始對應標準數詞序列到具體物的最後一項。因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示第27根吸管。 2、起始數概念：「27」代表由27個「1」所合成的新集聚單位。因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示全部的27根吸管。 3、內嵌數概念：「27」代表由某一個集聚單位，再往上累積所合成的新集聚單位。因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示「24」(可以是其他數字) 根吸管，加上3個 (可以是其他數字) 「1」根吸管而成的27根吸管，此時學童即了解數的合成與分解之意義。 4、巢狀數概念：「27」代表由2個「10」和7個「1」所合成的新集聚單位。因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示每10根吸管綁成一束的吸管有2束，外加一根一根置放的吸管7根，此時學童即具有位值概念。以上四個數概念的層次，是有順序性，且是不可跳躍的，學童必須經過前一個概念層次才會到達下一個概念層次，而具備不同概念層次的學童，其運思方式亦會有所不同。（三）數概念運思方式之研究民國八十二年「國小數學課程實驗研究小組」將學童數概念的運思方式，分為序列性合成運思期 (sequential integration operation) 、累進性合成運思 (progressive integration operation) 、部分-全體運思 (part-whole operation) 、測量運思 (measurement operation) 以及比例運思 (ratio operation) 等五個發展階段 (國民學校教師研習會，2000) 。因本研究的數素材是整數加減法各類型文字題，研究的對象是國小低年級學童，其數概念發展處於序列性合成運思、累進性合成運思、部分-全體運思以及測量運思四種運思階段（張淑怡， 1995；甯自強，1993），故僅就此四種運思方式進行說明。 1、序列性合成運思此發展階段之學童將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位的集合體。 10.

(22) 序列性合成運思運用在改變添加型以及合併型的加法問題情境中，學童由1 開始分別將指示量分別表徵 (representation) 後 (分別畫出兩個指示量) ，接著將它們合併，最後再從1開始重新數數，以確定數值。也就是說，學童在解決加法問題時，必須序列性地進行兩次做數活動和一次數數活動，然後才能夠得到答案。例如：在解「26+12=？」時，學童先分別畫出26個以及12個「○」，將這些「○」合併後，再從1開始重新數數，可以得到答案是38；在改變拿走型的減法情境中，數數活動亦是由1開始，學童依指示量表徵起始量後 (畫出起始量) ，再由1開始數數將改變量表徵出來 (將改變量畫掉) ，最後再從1 開始重新數數，以確定數值。如解「26-12=？」時，學童先畫出26個「○」，再畫掉12個「○」，最後再對所剩下的「○」從1開始重新數數，可以得到答案是14；在比較較多型減法情境中，學童由1開始分別將參考量與比較量分別表徵後 (分別畫出兩個指示量) ，再透過一對一的比較活動進行比較，最後再從1開始重新數數，以確定數值，如解「26-12=？」時，學童先分別畫出26 個以及12個「○」，再進行一對一的比較，最後將多出來的「○」從1開始重新數數，可以得到答案是14；而在比較較少型減法情境中，必須將較少的量內嵌於較多的量中，而此種內嵌所蘊含數與數的關係，已超出了序列性合成運思的發展階段，故此階段學童無法解決此類問題。 2、累進性合成運思在此發展階段之學童是將數詞指示的量當成一個集聚單位，由此集聚單位出發，以進行數的合成與分解，也就是說，此發展階段之學童是將較小的數內嵌於較大的數中。累進性合成運思運用在改變添加型以及合併型的加法問題情境，學童由被加數的數詞開始，依數詞序列向上數出加數的數詞，而得到答案，例如：在解「26+12=？」時，學童直接以26為基礎，依數詞序列向上數12個數，而得到答案是38；在改變拿走型的減法情境，學童以被減數為基礎，依數詞序列倒數，數出減數的數詞，而得到答案，如解「26-12=？」時，學童直接以26為基礎，依數詞序列倒數12個數，而得到答案是14；由於學童已進入了累進性合成運思，故能理解將較少量內嵌於較多量中之概念，故此時期的學童是可以針對比較較多型以及較少型情境問題進行解題。 11.

(23) 此外，在此階段之學童已能解決依問題情境以算式填充題表徵為「12+？ =26」、「26-？=12」、「？+12=26」以及「？-26=12」之各種加減法情境問題，故進入累進性合成運思後，學童才能全盤了解加減法文字題情境之所有意義，並進行解題。 3、部分-全體運思此發展階段之學童已能掌握「1」與「10」為元素合成之集聚單位，也能清楚分辨部分-全體兩者之關係與意義，因此在混合使用兩個以上集聚單位時，也不會混淆其意義。例如：在解「26+12=？」時，學童可以先將26分解為2個「10」和6個「1」，將12分解為1個「10」與2個「1」，再分別將2個「10」與1個「10」合成為3個「10」，6個「1」與2個「1」合成為8個「1」，最後再將3個「10」以及8個「1」合成為38；同樣的在解「26-12=？」時，學童可以先將26分解為2個「10」和6個「1」，將12分解為1個「10」與2個「1」，再分別將2個「10」減掉1個「10」剩下1個「10」，6個「1」減掉2個「1」剩下4個「1」，最後再將1個「10」以及4個「1」合成14。 4、測量運思此發展階段之學童，能以「1」和集聚單位 (例如 6) 間的部分－全體關係為基礎，進而能掌握集聚單位 (例如 6) 與以其為元素所合成的另一個集聚單位 (例如 2 個「6」) 之部分－全體關係，故此發展階段之學童已能同時掌握兩個層級集聚單位之部分－全體關係。例如：在解「6×2=？」時，學童知道「6」為 6 個「1」所合成，且會將「6」視為一個集聚單位，而 2 是代表有 2 個「6」，如此便可以求出答案為 12。綜合以上研究者之研究，當學童在不同數概念發展階段，面對需要操作數概念之數學問題時，他們所表現的運思方式會有所差異，所採取之解題策略亦會有所不同。在「起始數概念」階段之前，學童表現出序列性合成運思；在「內嵌數概念」階段時，學童會表現出累進性合成運思；在「巢狀數概念」階段前期，學童會表現出部分－全體運思，而在「巢狀數概念」階段後期，學童則會表現出測量運思。. 12.

(24) 二、數學文字題解題（一）數學文字解題活動的重要性解決問題能力在各國均是備受重視的焦點，尤其在數學領域更是受到強烈的關注與重視（周筱亭，1994；教育部，2000，2002；黃敏晃，1994；NCTM, 1989, 2000）。在真實生活中，有許多問題是以語言、文字或圖畫來表徵，且需要人們運用數學能力解決，Hart (1994) 認為，必須提供真實且有意義的情境來進行評量，才能讓學童在日常生活應用他的所知所學。因此，教師應能創造適合培養學童解題能力之情境，讓學童在有意義的情境中進行解題活動，並藉此獲得相關知識。也就是說，數學解題活動已成為近代數學教育之重心。在數學教材文字題所佔之比重，是隨著學童年級增長而逐漸增加，但學童在面對文字題時常不知如何思考，焦慮和挫敗感便伴隨而至，因此，學童對學習數學的興趣，往往隨著學童年齡之增長而逐漸滑落 (張再明，1994) 。亦就是學童數學文字題解題能力，與學童對數學學習態度與意願是息息相關的。解題不僅是計算、測量或是解方程式，更是一種思維、歸納與演繹的理解過程 (何縕琪、林清山，1994) 。整數加減法文字題解題活動，為國小低年級學童數學學習之重要內容，學童藉由整數加減法文字題解題活動，獲得相關之數學概念，並培養學童應用所學得之數學知識來解決日常生活問題的能力。數學文字題是以語言或文字來描述一個數學問題，而解題者依自己所採用的解題策略，將語言或文字轉譯成以數學符號表徵的數學算式或是以圖形表徵等方式來進行解題，這類數學問題也常被稱作數學應用問題。學童解決數學文字題時，偏愛使用視覺或非視覺 (語言) 之思維，來思考問題解決之方法 (Lowrie & Clements, 2001; Lowrie & Kay, 2001) ，而如何將一道數學文字題，由文字敘述轉換成以數學符號表徵，的確是許多學童感到困擾之問題。蔡榮貴 (1990) 在其研究中指出，目前國小數學教學，教師只注重計算結果的對錯，很少花時間去了解造成錯誤解題之原因及其錯誤類型，如此便難以對症下藥，有效的協助學童提升其解題能力。. 13.

(25) （二）數學的解題歷程數學解題是一種複雜的心智活動，除了要具備計算能力之外，還涉及解題者的語文理解與數學問題解題之運作歷程 (Kintsch & Greeno, 1985) ，同一個問題，每個人所採用之策略不一定相同，且同一個人處理不同類型問題所使用的方法也可能不同，策略運用可說是人類高層次思維運作之表現，也是成功解題之關鍵因素。因此，數學解題思考歷程之探討，是協助教師了解學童認知發展和知識結構之最佳方式，教師若能對學童之數學解題歷程加以分析，將有助於診斷學童之解題困難，如此便能針對問題對症下藥，提供有效之教學輔導。因此有許多研究者針對數學解題歷程進行研究，並根據研究心得，提出不同之解題歷程模式，以下將就Polya、Schoenfeld、Hayes、Mayer以及Ferrari and Sternberg，所提出之數學解題歷程模式進行說明 (周台傑、蔡宗玫，1997；涂金堂，1996，1999；程景琳，2006；羅素貞，1996) 。 1、Polya 所提出之數學解題歷程模式早期以數學家 Polya (1945) 所提出之數學解題歷程模式最具代表性，許多數學解題研究均以此模式為參考範本。Polyer 將數學解題歷程區分為四個階段 (Polya, 1945, 1971) ：（1）了解問題了解問題 (understanding the problem) 主要在認清題目之已知條件是什麼？問題是什麼？問題中涉及哪些概念？它們的含義是什麼？然後，運用適當的圖形或數學符號，將問題之已知條件與問題清楚的表徵出來。（2）擬定計畫擬定計畫 (divising a plan) 則是設法找出已知條件與所求問題之關係，藉現有之數學概念，擬定由已知向未知轉化之解題計畫。此階段解題者需能深刻分析已知條件，並靈活運用數學概念與解題策略，以獲得解決問題之想法與計畫。. 14.

(26) （3）執行計畫執行計畫 (carring out the plan) 則是將上一個階段所擬訂出之解題計畫付諸行動，進行解題。（4）回顧至於回顧 (looking back) 階段則是將求得的答案代入問題中，檢核答案是否符合題意，且促使學習者從不同角度思考解題方法，並連結其他的類似問題，做同類型問題之延伸。 2、Schoenfeld所提出之數學解題歷程模式 Schoenfeld (1985) 以Polya所提出之數學解題歷程為基礎，在解題模式中加入了後設認知 (metacognitive) 及信念系統，並提出數學解題研究需要考慮四個變項：（1）資源變項資源 (resources) 是指解題者所擁有的數學知識，其包含數學事實、程序及技巧等訊息。（2）捷思變項捷思 (heuristics) 即是指捷思策略 (heuristics strategies) ，其包含了解題的技巧和策略，許多解題研究都非常重視受試者在解題歷程所使用的捷思策略，如簡化問題、畫表格、尋找組型、逆向思考、猜測……等等。（3）控制變項控制 (control) 著重解題者在解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目標，如何監控與評估解題結果等方面，也就是後設認知的部分。（4）信念系統變項信念系統 (belief system) 是指解題者之數學觀點，而解題者之數學觀點將會影響其解題行為。 Schoenfeld (1985) 認為上述四個變項是彼此重疊且彼此間有相互作用， 15.

(27) 又四個變項中，以控制變項居於關鍵地位，故以控制變項為觀點，將解題歷程區分為六個階段：（1）閱讀閱讀 (reading) 指的是解題者逐字閱讀題目。（2）分析分析 (analysis) 是指解題者將問題簡化或重述，以了解問題情境之含義 (如：已知條件為何、所求之未知數為何等) 。（3）探索探索 (exploration) 則是指解題者尋找問題中的已知數、未知數與問題目標之間的關聯性。（4）計畫計畫 (planning) 是解題者擬定解題計畫並評估解題計畫的可行性。（5）執行此步驟解題者執行 (implementation) 其所擬定之解題計畫，並隨時檢核是否按照所擬定之計畫執行解題活動。（6）驗證至於驗證 (verification) 則是檢核執行計畫後，所獲得之解答是否合理並符合題意。 3、Hayes所提出之數學解題歷程模式 Hayes (1989) 則由訊息處理論之觀點，將數學解題歷程區分為五個階段：（1）表徵問題人們在問題解決的過程中，首先會試圖將呈現於現實世界之問題狀態，轉換為內在記憶系統之符號，這就是一個表徵問題的活動，而其表徵之內容包括問題情境之初始狀態、目標狀態及可資利用的行動。. 16.

(28) （2）擬定計畫擬定計畫是指解題者擬定解題計畫或假設，並尋求各種不同之解題路徑。在擬定計畫的過程中，解題者不僅應注意現在的問題與過去某些問題之類似性，也要查覺其相異處，思考有效可行之解題途徑。（3）執行計畫執行計畫則是將所擬定之解題計畫付諸行動，進行解題。（4）獲得解答獲得解答是指在執行計畫進行解題行動後，所得到問題之解答。（5）評估解答至於評估解答則是檢核執行計畫後，所獲得之解答是否符合題意。以上五個階段中，形成問題之表徵是解題活動的第一步，它對解題計畫之形成與執行有很大的影響。亦即問題表徵是問題解決之重要成分，如果解題者對問題形成不正確之表徵，則將會影響其尋找正確解題之路徑與方法，故問題表徵對解題成敗有關鍵性之影響。 4、Mayer所提出之數學解題歷程模式 Mayer (1987, 1989, 1992) 綜合認知心理學及訊息處理之觀點，指出在人們解決問題的過程中，會試圖將呈現於現實世界之問題，轉換為內在記憶系統之符號，此即為一個表徵問題的活動。表徵的內容包括問題情境之初始狀態、目標狀態及可資利用的行動；再者，為填補初始狀態與目標狀態間之差距，人們勢必得以問題表徵為基礎，建立及實踐解決問題之計畫。因此，在人類問題解決過程中，基本上應將解題分為兩個階段 (問題表徵、問題解決) 、四個歷程 (轉譯、整合、計畫與監控、執行) 以及五種知識類型 (語言的、語意的、基模的、策略性、程序性) ，Mayer (1992) 之解題歷程與知識的關係如圖 2-2 所示，並分述如下：. 17.

(29) 【階段一】：問題表徵階段（1）歷程一：問題轉譯歷程問題轉譯 (problem translation) 即是指將問題中每一個句子轉換為內在的心理表徵，也就是解題者對問題的理解及對問題所牽涉的數學事實，進行運作並轉譯成某種表徵。（2）歷程二：問題整合歷程問題整合 (problem integration) 指的是指解題者使用基模知識，將問題之訊息放在一起，連貫成一致之表徵。一個問題的正確表徵，絕對不只是一個句子一個句子分開轉譯而已，還需要將幾個陳述句關聯在一起，使之成為有用的條件，如此方有正確解題之可能。 Mayer (1992) 指出對學童而言問題轉譯之歷程是不容易的，尤其是包含關係語句 (表示數量之間數量關係的陳述句) 之問題，對學童而言是相對困難的。有些學童在轉譯的過程中忽略或誤解了關係句的語意，而產生轉譯錯誤；另外，有些學童則是把問題的每個陳述句分開轉譯後，卻不知道如何將陳述句整合。因此，學童除了要能正確的將問題轉譯外，並可以將陳述句整合連貫成一致的表徵，如此才能正確解題。【階段二】：問題解決階段（3）歷程三：計畫及監控歷程計畫及監控 (planning & monitoring) 是指解題者使用策略知識，依據問題情境擬定適當的解題計畫、選擇適用的解題策略並評估其可行性。（4）歷程四：執行歷程執行 (execution) 是指解題者使用程序性知識，並依據所擬定的解題計畫，正確有效的進行解題，完成解題計畫。. 18.

(30) 下列將針對五種知識類型，加以說明：（1）語言的知識語言的知識 (linguistic knowledge) 是指英文或其他語言之能力，運用來轉譯問題之敘述。（2）語意的知識 (semantic knowledge) 語意的知識是指現實世界中的知識，如一公斤等於一千公克等。（3）基模的知識基模的知識 (schematic knowledge) 能將問題訊息結構成「有意義的」整體，並與熟悉的問題型態產生相關。（4）策略性知識策略性知識 (strategic knowledge) 是指使用數種已獲得的知識，來擬定計畫以及檢視問題解答的技能。（5）程序性知識程序性知識 (procedural knowledge) 則是指如何運用一系列運算，逼近 (approach) 或找出問題的解答。 Newell and Simon (1972) 所提出「問題空間 (problem space) 」概念，就是問題解決活動發生的空間，以問題之初始狀態、目標狀態、中介狀態及可利用的行動為基礎，並在初始狀態到目標狀態的問題空間中，尋求正確行動的過程。而所謂的「問題解決」，即是建構問題空間，以及在問題空間中尋求正確行動的過程，此觀點與 Mayer 所提出問題解決過程之「問題表徵」及「問題解決」十分類似，兩者均是試圖建立問題表徵並在問題空間搜尋正確行動的過程。. 19.

(31) 階段問題敘述. 知識種類. ↓ 問題表徵轉譯. ——————. 語言知識語意知識. ——————. 基模知識. 計畫與監控. ——————. 策略知識. 執行. ——————. 程序知識. 整合 ↓ 問題解決. ↓ 答案圖 2- 2 Mayer 之解題歷程與知識的關係 (引自 Mayer, 1992) 5、Ferrari and Sternberg所提出之數學解題歷程模式 Ferrari and Sternberg (1998) 總結Schoenfeld (1992) 和Hegarty, Mayer, and Monk (1995) 的研究，提出數學文字題之解題歷程包含了五種關鍵成分。（1）數學知識學童在解數學文字題時，需要具有事實性、程序性及概念性的數學知識，才能順利進行解題活動 (Hecht, 1998) 。（2）轉譯和整合問題的各元素在轉譯和整合問題的各元素部分，涉及到運用數學知識將問題轉換成心智表徵，如：要將數學文字題轉譯成適當的數學符號與運算，學童往往需要先將問題中的情境建構出正確的心智模式，再將問題之關係精確地轉換成數學算式 (Hegarty, Mayer, & Monk, 1995; Kintsch & Greeno, 1985; Stern, 1993) 。. 20.

(32) （3）執行數學程序執行數學程序是指應用正確算則之程序性知識，來進行某些數學運算。（4）監控數學問題解決的表現監控 (如：計畫、監控、評估) 是指設計與修正問題的解決程序，此部分與兒童之後設認知能力有關。（5）學童的信念和情意學童的信念和情意則是指學童對數學之學習動機、情感、興趣以及價值等，即是對數學之態度與認同感。綜合上述文獻，Mayer (1992) 的理論是較全面性；Mayer 和 Ferrari and Sternberg (1998) 的研究均包含了解題成分；而 Polya (1945), Schoenfeld (1985), Hayes (1989) 以及 Mayer 的數學解題歷程，則均較著重於探究數學解題歷程所經歷的階段。在 Mayer 的研究中指出，解決問題需要五種知識類型，但是許多研究均顯示，多數數學教學強調獲得事實及演算法的知識，而忽略了基模及策略的知識 (王瑋樺，2001) 。且在王瑋樺針對國小三年級學習障礙學童加減法文字題解題歷程之研究發現，學童在五種知識類型的錯誤次數由多到少分別為：策略性知識、語言的知識、程序性知識、基模的知識、語意的知識，可見學童最缺乏的是策略性知識，教師應增強學童此種知識類型。Mayer 亦提出，學童在對數學文字題擬定計畫與進行監控時，知道如何去運用各種不同類型且可行之策略知識，此乃是影響學童解數學文字題的重要知識能力之ㄧ。已經有許多研究者投入解題歷程之相關研究，孫達剛 (1992)、劉貞宜 (2001) 以及 Sriraman (2003) 均在其研究中發現數學能力高的學童都能符合數學家所提出之解題歷程；劉貞宜綜合 Kilpatrick (1967) 的解題策略及 Webb (1975) 的特殊解題策略歸納成十五種策略；羅素貞 (1996) 探討問題表徵與解決；蕭見文 (1996) 針對數學解題策略之教學進行研究；謝淡宜 (1998，1999) 針對小學四、五年級數學資優生與普通生之數學解題思考歷程進行比較分析；林香、張英傑 ( 2004) 對國小數學資優生運用畫圖策略解題進行探討；陳英豪 (2007) 分析影響資優生數學解題能力之因素；黃家杰、梁淑坤 (2007) 分析小 21.

(33) 學一般智能及資優生數學之解題歷程與策略；而 Goos (2002）則指出合作式後設認知活動是學童提供自己的思維給同儕檢查，同時也扮演同儕思維批判者的角色。（三）解數學文字題錯誤類型有許多研究者致力於解題者在解數學文字題時，所產生錯誤類型之研究，以下將就解題者在解題過程中所可能產生的問題，以及依據 Mayer 之解題四個歷程 (轉譯、整合、計畫與監控、執行) ，分別探討解題者在此四個歷程中所發生的解題錯誤。 1、以解題過程來看綜合多位研究者的研究結果 (呂玉琴，1997；林碧珍，1989；梅文慧， 2003；國立台灣師範大學科學教育中心，1984；張景媛，1994；溫亦剛，1990；楊弢亮，1992；Babbitt, 1990; Campione, Brown, & Connell, 1989; Garofalo & Mtetwa, 1990; Kaput, 1985; Silver, 1987) 以及部分數學教師之教學經驗，學習者在解題過程中所可能產生的問題大致如下：（1）解題者無正確計算的能力，以導致計算方面的錯誤。（2）解題者無法深入了解題意，分析題目之已知條件和解題目標。（3）解題者認為題目中有數字的句子才是要運算的，而沒有數字的句子就是不用運算的。（4）解題者未能仔細閱讀題目內容，便盲目地將題目的已知條件套用於公式中。（5）解題者常憑直覺或關鍵字做反應，因而產生誤用基模知識的情形。（6）解題者不知如何分析題目之已知條件和所欲求取結果之間的關聯，缺乏明確之解題思考方向。（7）在傳統的數學教室裏，學童往往被動地聆聽教師講解解題過程，故缺乏主動參與解題的機會，以致較難獨立思考並完成解題。（8）解題者於解題的過程中，缺乏即時的回饋，以致半途而廢。 22.

(34) （9）在解題者形成問題內在表徵時，所須同時處理與記憶的心理表徵量超過工作記憶的負荷，以造成解題錯誤。（10）其他的錯誤，如多餘訊息的錯誤、語言順序的錯誤、獨特的錯誤。 2、依據Mayer之解題歷程 (轉譯、整合、計畫與監控、執行) 來探討（1）問題轉譯歷程部分在問題轉譯歷程部分，有許多研究結果指出，大部分解題者在數學文字題上的錯誤，是由於誤解問題的題意或是不能理解題目的意思，而不是計算上的錯誤 (林碧珍，1989；邱志賢、毛國楠，2001；梅文慧，2003； Anand & Ross, 1987; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Dossey, Mullis, Lindquist, & Chambers, 1988) 。且Hudson (1983) 認為學童在解數學文字題時所遭遇的困難，是學童並不能完全了解題意，因而無法將兩個概念加以連結或比較，而導致解題失敗，而非缺乏量的觀念或是解決的程序；在林碧珍 (1989) 的研究中發現，學童在進行數學文字解題時，往往不仔細閱讀，或者是還沒看完題目，便急迫作答；Hegarty et al. (1995) 在研究中則發現，學童在解題時常因為將焦點聚集在題目的數字部分，而導致無法成功解題；在秦麗花 (1995) 以及鄭博信、詹勳國、劉曼麗和王瑋樺（2000）的研究中指出，數學學障之學童其基本概念不清無法理解題意，是導致學童解題失敗主要原因之ㄧ；在邱志賢、毛國楠 (2001) 的研究也發現，學童常因沒有正確的單位概念而導致錯誤，如：把「斤」，唸成「公斤」，或因誤解題意而產生解題困難，抑或是根本就不理解題目的意思而無法解題；而在梅文慧 (2003) 的研究，則發現學童因不了解題意而使用錯誤的運算符號來解題，是造成解題失敗最主要之原因。（2）問題整合歷程部分在問題整合歷程部分，在邱志賢、毛國楠 (2001) 之研究中發現，學童在問題整合歷程中，往往因為無法將兩個概念加以連結或比較，而導致解題失敗；梅文慧 (2003) 的研究則發現，學童因不了解題型中各數的關係，因而產生解題錯誤；而鄭惠萍 (2006) 在研究中則指出，學童在辨認 23.

(35) 「解題目標」和「關係語句」時產生困難。而何縕琪、林清山 (1994) 在研究中發現，國小低解題正確率學童解「比較」類應用題的主要困難是在問題表徵階段 (包含了問題轉譯歷程以及問題整合歷程兩部分)。（3）計畫與監控歷程部分在計畫及監控歷程部分，許多研究均發現，解題者忽略問題之深層結構，採直接翻譯策略，而造成解題失敗。也就是說，解題者只有轉譯問題陳述，而沒有整合與解題條件相關之資訊，因此出現了將數字以數學運算符號無意義拼湊，或以關鍵字進行解題的現象，如：題目出現「比….多」或者「共有」就用加法，看到「平均」就用「除」等「解題固著」現象 (何縕琪、林清山，1994；李靜瑤，1994；林奕宏，2000；林碧珍，1989；邱志賢、毛國楠，2001；張燕滿，2004；楊美伶、蔣治邦，1992；Goldin, 1992; Hegarty, Mayer, & Monk, 1995) ，且在楊美伶、蔣治邦 (1992) 的研究中更指出，學童之所以會運用關鍵字策略來解題，大多數是來自教師或家長的教導，因此教師或家長在指導學童進行文字題解題時不可不慎。（4）執行歷程部分在執行歷程方面，有許多研究均指出，解題者在解題時對等式的意義並不全然了解，對於移項法則之概念亦不甚清楚，故導致解題失敗 (邱志賢、毛國楠，2001；Davis & Cooney, 1977; Kieran, 1984; Steinberg, Sleeman, & Ktorza, 1990) 。數學知識的建構是一種動態過程，除了觀察測驗分數的結果之外，更需深入了解學童解題時所產生的另類概念，才能明白學童之錯誤類型。綜合以上所述，可得知數學解題癥結除了涉及解題者的語文能力、問題分析能力、數學概念的認知與應用和運算技巧外，還與數學教師的教學方法相關，這些仍待數學教育研究者與教學者共同努力以尋求解決方法。. 24.

(36) 第二節國小低年級數學之整數加減法文字題教材我國九年一貫數學課程自九十學年度改革以來，現在已經邁入92綱要 (正綱) 的階段，而九十四學年度國小入學之新生，正為接受92綱要教材之第一屆國小學童 (此次受試學童即是隸屬於這一屆之學童) 。以下就92綱要國小低年級整數加減法文字題數學教材之相關能力指標及其說明，以及各版本低年級整數加減法文字題相關課程，分述如下：一、國小低年級整數加減法文字題數學教材之相關能力指標及其說明為了達到數學領域教學整體目標，故將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題，並明訂了詳細的分段能力指標 (教育部，2003) 。「低年級數學整數加減法文字題教材」之相關分年能力指標及其說明，如表 2-1：（一）「低年級數學整數加減法文字題教材」之相關分年能力指標 1、一年級「數與量」 1-n-04：能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。 1-n-05：能熟練基本加減法。 1-n-06：能作一位數之連加、連減與加減混合計算。 2、一年級「代數」 1-a-03：能在具體情境中，認識加減互逆。 3、二年級「數與量」 2-n-04：能熟練二位數加減直式計算。 2-n-05：能作連加、連減與加減混合計算。 2-n-09：能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與乘，不含併式）。 4、二年級「代數」 2-a-02：能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋 25.

(37) 式子與原問題情境的關係。 2-a-04：能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。（二）「低年級數學整數加減法文字題教材」相關分年能力指標之說明綜合上述各分年能力指標，將一、二年級整數加減法文字題相關教材進行比較，並說明如下： 1、在直式紀錄方面一年級的加減法課程，學童已經進行加減法的橫式紀錄與直式紀錄，但在直式紀錄方面，一年級學童只進行操作，但並未說明其原理；二年級學童則要了解直式計算是利用不同位值來表達數字的意義，並理解進位、借位的意義。 2、在連加、連減與加減混合計算方面一年級學童要理解其計算與記錄方式，但數字不宜太大且運算次數在 3 個以內；對二年級學童，數字則可增大並鼓勵學童用心算來進行計算，總運算步驟亦是 2~3 步驟即可。 3、在加減互逆方面一年級學童要具體情境中認識加減互逆，暫不強調較形式層次的加減互逆；而二年級學童則不再涉入具體情境，應該用比較形式的方式應用加減互逆，來作加減算式的驗算或解題。 4、在解整數加減法文字題方面一年級學童宜由改變類問題入手，而其他問題類型也應在一年級中練習，但數量不宜過大。二年級學童具有充足的學習經驗之後，則可引入被加數、被減數未知等不同題型之算式填充題，讓學童進行解題。. 26.

(38) 表 2- 1 「低年級數學整數加減法文字題教材」之相關能力指標及其說明分年能. 指標內容. 力指標. 說明. 階段能力指標. 在一年級的加減活動著重在數數活動與合成分解活動的過渡，以. 1-n-04. 能從合成、分解的活動中，理. 及後者的熟悉。合成分解活動十分自然，在教學上不必特別區. 解加減法的意義，使用＋、. 分，讓學童在具體情境與解題中，認識加法與減法的互逆關係(參. －、＝作橫式紀錄與直式紀. 見1-a-03)。學習加減法，數量不宜過大，但亦不限於一位數。加. 錄，並解決生活中的問題。. 減的生活問題中，先固定一數再加(或減)一數的類型最簡單，但. N-1-02. 其他問題類型也應在一年級中練習。目的在養成學童簡單心算的能力和習慣，作為日後計算的基礎。 1-n-05. 能熟練基本加減法。. 熟練的意思是，能夠不透過數數就知道答案。而基本加減法包. N-1-02. 括：(1)加 1 與減 1；(2)加 10 與減 10；(3)合 10 與拆 10；(4)被加數與加數為一位數的加法；(5)前者之逆運算。在合成分解情境中理解連加、連減與加減混合的計算與紀錄方. 1-n-06. 能作一位數之連加、連減與加. 式。由於學童剛學加減法，在一年級只作一位數的運算即可，目. N-1-02. 減混合計算。. 的在熟練基本加減法（參見1-n-05）與熟悉較小數的加減運算。. N-1-03. 此時加數與減數的個數不宜太多，三個以內即可。本細目為「檢查細目」，應併入整數教學單元中進行（參見 1-a-03. 能在具體情境中，認識加減互. 1-n-04），不應另立單元教學。「加減互逆」一詞建議不出現於. 逆。. 教學或課本中，其為等量公理的一種表現形式。暫不強調較形式. A-1-04. 層次的加減互逆，但可做練習。在一年級只做加減法的直式紀錄，並未說明其原理。二年級可運用合成分解，解釋加減直式計算的原理，知道直式計算的書寫方式是利用不同位值來表達數字的意義，並理解進位、借位的意義。加減直式計算是具一般性的優越格式，但是教師仍應強調彈 2-n-04. 能熟練二位數加減直式計算。. 性使用其他加減策略的時機，避免讓加減直式計算變成唯一壟斷的解題方式。學習加減直式計算的順序應由淺入深，從無進位、. N-1-02 N-1-05. 無借位的情況開始，直到雙重進位之加法。由於雙重借位的減法較難，在三年級才進行。在直式計算中，應多運用心算（參見 1-n-05）。. 2-n-05. 能作連加、連減與加減混合計算。能在具體情境中，解決兩步驟. 2-n-09. 問題（加、減與乘，不含併式）。能將具體情境中單步驟的. 2-a-02. 加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。. 2-a-04. 這是1-n-06的延伸，處理一般的加減混合計算，總運算步驟二到三步驟即可，在練習連加法的直式計算時，鼓勵學童用心算來協助計算，這是乘法直式計算的基礎。在日常生活的自然問題中，引入兩步驟問題。學童在解兩步驟問題時，應能將各步驟分開紀錄，二年級時不處理併式的問題。. N-1-02 N-1-03. N-1-08. 當學生具有充足的學習經驗之後，教師可引入如被加數未知、被減數未知等不同題型之算式填充題，讓學生列式並解釋式子和題. A-1-02. 目之間的關係。. 能理解加減互逆，並運用於驗. 與 1-a-03 的主要差別是，這裡不再涉入具體情境，應該用比較. 算與解題。. 形式的方式應用加減互逆，來作加減算式的驗算或解題。. 27. A-1-04.

(39) 二、各版本低年級數學整數加減法文字題之相關課程由於92綱要課程為一綱多本，各版本的編輯群理念可能有所不同，因而產生教材內容上的差異，各校數學課程教學亦常因版本的不同，而有不同順序的教材規劃。因此，研究者蒐集了部編、康軒、南一以及翰林等四種不同版本之數學領域教材 (94學年度一年級和95學年度二年級之課本、習作) ，將此四種版本中低年級數學整數加減法文字題相關課程之單元以及其單元名稱，列於表2-2，並針對各版本之相關單元課程進行逐一檢閱，將其出現之各題型題數，列於表2-3。進行內容比較後發現：（一）在一上的課程中 1、此四種版本均由10以內的合成與分解導入整數加減法文字題的課程，接著再進入正式的加減法教學。 2、操作之數字大小方面四種版本中，部編和南一版是將10以內的加法及減法，分列為兩個單元來進行，且部編版在此冊課程中另闢單元進行20以內的加法單元；翰林版是將10以內的加減法，合併成一個單元來進行；康軒版則是將20以內的加減法，在同一個單元中呈現。 3、在進、退位方面四種版本中除了部編版在加法運算中有一次進位的題型出現外，在其餘三個版本均無進、退位題型的出現。 4、在題目類型方面改變添加和拿走型結果量未知、合併全體量未知以及比較較多差異量未知四種類型，四種版本均在此册出現；改變添加改變量未知、比較較多比較量未知以及比較較少差異量未知三種類型，部編版和南ㄧ版均在此册出現；改變拿走改變量未知，只有南ㄧ版在此册出現；合併部分量未知，只有康軒版在此册出現；而比較較多參考量未知和比較較少比較量未知，只有部編版在此册出現。. 28.

(40) （二）在一下的課程中 1、操作之數字大小方面在一下的課程中，此四種版本，均將操作之數字擴大，進入兩位數的加減法，且除了翰林版以加數、減數不大於20的加減法，以及加數、減數不大於30的加減法兩單元分別進行教學外，其餘三個版本均以和與被減數不大於 100來進行教學。 2、在進、退位方面此四種版本在本冊加減法運算，均出現了一次進位以及一次退位的題型。 3、在兩步驟加減問題方面四種版本中，除部編版在此冊尚未出現兩步驟加減，以及康軒版僅出現一位數的連加問題之外，其餘兩個版本均出現了連加、連減以及加減混合的兩步驟問題 (部編及康軒版在二上課程中，才完整出現此三種兩步驟問題) 。 4、在題目類型方面在一下的課程中，改變拿走改變量未知除南ㄧ版在ㄧ上課程中已出現外，在其餘三個版本均在此册首次出現；比較較少比較量未知除部編版在ㄧ上課程中已出現外，在其餘三個版本均在此册首次出現；改變添加改變量未知、比較較多比較量未知以及比較較少差異量未知三種類型，在康軒和翰林版均首次出現；合併部分量未知在部編和翰林版均首次出現；改變添加和拿走型起始量未知以及比較較少參考量未知三種類型，在部編版首次出現；而等化添加差異量未知，在翰林版首次出現。（三）在二上的課程中 1、直式計算方面在二上的課程中，此四種版本均列入了直式計算之教學，且除了南一版以小於200的數來進行外，其餘三個版本均以小於100的數來進行直式教學。. 29.