第二章 文獻探討
第五節 次序理論及廣義多元計分之次序理論
向模
第五節 次序理論及廣義多元計分之次序理論
教師往往以學童在試卷上的得分，來評定學童的學習成果和教師的教學成 效，
確推斷學童的學 習困
雄 (1993) 利用模糊集群分析技術，探討我國交通違規記點制度改善之方法 點；張鈿富、孫慶珉 (1993) 利用模糊理論及其測度運算、模糊集合概念、隸屬 度函數之估計以及模糊集合與模糊測度運算之概念，討論學習成就模糊分析之可 能性；呂玉琴 (1994) 利用模糊綜合評判方法分析教師在分數教學之相關知識；
Perdikaris (1996) 利用模糊集合隸屬度函數理論建立出van Hiele幾何認知發展模 式；徐村和、朱國明、詹惠君 (2000) 將模糊集群分析應用於信用卡市場區隔與 消費者行為分析中；何森豪 (2001) 結合模糊集群分析之結果與無母數試題反應 理論所得之學童能力值，對應van Hiele 思考水準，得到量化模式；袁建中、王建 彬、邱華凱、曾國雄 (2005) 利用模糊集群分析建構出臺灣機械產業永續發展之 最佳策略組合；黃馨瑩、王士信、林原宏 (2007) 整合模糊集群與多元計分次序 理論以探究六年級學童植物繁殖概念的知識結構；陳敏彥、林原宏 (2007) 結合 模糊集群、S-P表與多元計分次序理論以進行國小學童數學認知診斷等。
綜合以上所述，發現近來有愈來愈多的研究採用模糊集群分析來進行，且 糊集群分析分別與次序理論、S-P 表等多種分析方法整合的方向來進行。
然而，在同一份試卷得分相同之學童，事實上其所精熟和未精熟的概念卻不 盡然相同。傳統紙筆測驗難以窺見學童之知識結構，而個別晤談雖然可以針對學 童的思考過程做進一步的了解，但是個別晤談既費時又費力。
結構圖能清楚呈現出學童已經建構的知識，並能由結構圖正
難，再配合學習目標，則可以找出適合學童的學習路徑，解決其學習困難 (王 秀琲、胡豐榮、許天維，2004) 。而Bart and Kurt (1973) 所提出的次序理論，早 期被用來分析皮亞傑 (J. Piaget) 等學童運思能力的次序性 (Bart & Mertens, 1979;
Bart & Read, 1984) ，由於學童的數學知識具有次序性的階層結構，因此，次序理
論便被應用於數學試題階層結構之分析，並以次序理論之分析結果，繪製出學童 次序階層結構圖。Lin, Bart, and Huang (2006) 以二元計分模式的次序理論為基 礎，將其擴展為廣義多元計分之次序理論模式，故本研究擬以廣義多元計分之次 序理論，分析各集群學童整數加減法文字題之知識結構。
一、次序理論
次序理論是以Guttman (1944) 所提出的Guttman量表圖分析法 (Guttman scalo
， 所有的次序都是線性
的，
備條件 之次
條件，以圖繪 表示。
gram analysis) 以及線性量尺技術 (linear scaling technique) 為基礎所發展出 的一種測量模式 (Jansson, 1986) 。Guttman量表圖分析法能找出測驗或問卷之問 題階層關係，以利試題之編排 (Guttman, 1944, 1950) ，但由於Guttman量表圖分 析法僅侷限於線性的階層 (linear ordering) 關係，亦即每一項目只出現在某一階 層，且除了最高階之外，每一個項目都必是另一項目之先備條件 (Bart & Airasian, 1974) ，如： i→ j→k →l，其每一項目只出現在某一階層，且除了最高階l之 外，其餘i、 j 均為另ㄧ個項目之先備條件。
但事實上 根據一些邏輯與統計的分析結果指出，並非 和k三個項目
為了改進Guttman量表圖分析法的缺失，於是Airasian and Bart (1973) 提出 了一個可以分析線性與非線性次序的方法－「次序理論」 (Airasian & Bart, 1973;
Bart & Krus, 1973) ，次序理論的應用範圍較Guttman量表圖分析法更為廣泛，次 序理論除了將Guttman量表圖分析法之線性分析，延伸為非線性之測量技術外，
且其所呈現之階層關係能提供較多的訊息 (Bart, Frey, & Baxter, 1979) 。 在以往心理計量相關研究中，次序理論主要應用於衡量兩個試題間先
序關係，進而呈現出試題階層，故常用來定義與分析試題間結構 (余民寧、
陳嘉成，1998；林原宏，2005a，2006) 。Airasian and Bart (1973) 提出次序理論 分析可用來測試兩個概念間假設性之次序，以確定其階層關係，大致上可以分為 下列四個步驟，來檢驗概念間是否存在次序階層關係：
(一) 以言詞或繪製圖表，來呈現假定性之次序
試題i指向試題 j，即試題i為試題 j的先備 i→ j
(二) 具體說明合理的 (confirmatory) 以及不合理的 (disconfirmatory) 反應組型
反應
以及
表2- 5 二元計分次序理論試題 和試題 答題人數之列聯表 試題
以二元計分 (答對以1表示答錯以0表示) 的試題i和 j (但i≠ j) 為例，其 組型應為 (1,1) 、 (1,0) 、 (0,1) 以及 (0,0) 四種，其中表示試題i指向試 題 j的合理反應組型為 (1,1) 、 (1,0) 和 (0,0) 三種，而 (0,1) 則為不合理的反 應組型，表示試題i不指向試題 j。
(三) 選擇容忍水準 (tolerance level) 和適當的試題列聯表資料
Bart and Krus (1973) 根據二元計分的試題之列聯表資料，計算其先備條件 次序性關係。以二元計分 (答對以 1 表示答錯以 0 表示) 的試題i和試題j 答題人數之列聯表為例，如表2-5 所示 (引自林原宏，2005a) 。
i j
j
總和
1 0
1 n11 n10 n1• 試題i
0 n01 n00 n0•
總和 n•1 n•0 n=n11+n10 +n01+n00 根據表2-4 所呈現之列聯表資料，Bart and Krus (1973) 定義「試題 指向試 題
i
j」的衡量係數為n01 n，n01 n的範圍是0≤(n01 n)≤1，n01 n若愈小，表示試 題 可能為試題 j的先 件 而，由於不 組 0,1) ，可能肇因 於答題者的猜測或遺漏，故允許極少數錯誤反應之比例，稱為容忍水準或閾值 (threshold) ，以
i 備條 。然 合理的反應 型 (
ε 表之 (0<ε <1) 。
Bart and Kru (1973) s 建議可取閾值ε =.2，Airasian,Bart and Greaney (1975) 建議取閾值ε 值介於.05 到.1 之間，而 on (1986) 認為在樣本不多的情形 下，閾值
Janss
ε 值可以更小，且閾值ε 值可由研究者依樣本數決定。
(四) 執行容忍水準 (即閾值) ，判斷是否具有次序性關係
Bart and Krus (1973) 根據閾值ε 之值，決定試題i與試題 是否有次序關 係，
j 說明如下：
1、若 (n01 n)<ε，表示試題 為試題 的先備條件，即試題 與試題 有次序i j i j
關係 rij =1表示，以圖繪i j表示。
若
，此時以 2、
→ ε
≥ )
(n01 n ，表示試題i不是試題 的先備條件，即試題 與試題 沒有j i j 次序關係，此時以rij =0表示，圖繪中i沒有指向 j。
理論可以應用在各 上，包括課程結構安排、閱讀
次序 領域 技巧、認知歷程的
次序
於多元計分的資料有其限制，因此，林原宏、
Bart、
點數，分別為 和 ，且以
階層等，但其後續主要應用來探討皮亞傑 (J. Piaget) 認知發展理論發展階段 之次序性 (林原宏，2006；Airasian & Bart, 1973) 。如：Bart and Airasian (1974) 以 次序理論分析具體運思期和形式運思期的次序性關係；Airasian, Bart and Greaney (1975) 利用次序理論來檢驗學童在命題邏輯遊戲的階層結構；Martorano (1977) 運用次序理論探討青少年在10個形式運思作業所反應出之次序階層結構關係；
Bart and Mertens (1979) 應用次序理論分析皮亞傑 (J. Piaget) 認知發展理論形式 運思期中基模的階層結構；Bart, Frey and Baxter (1979) 以次序理論比較不同背景 之受試者在形式操作期，所反應出次序階層結構之差異；Jansson (1986) 利用次 序理論來調查皮亞傑 (J. Piaget) 的16種二元組合階層次序；余民寧、陳嘉成 (1998) 應用次序理論於評量技術的開發，及了解學童學習困難和診斷學習缺陷；林原 宏、黃國榮 (2005) 發展出有關二元計分次序理論的分析軟體OT；而林原宏、游 森期 (2006) 更延續次序理論的特點，將之應用於柳橙汁濃度測驗解題規則之階 層結構分析；李佳芸、林原宏 (2006) 應用次序理論分析受試者於機率問題中解 題規則之次序性，發現總分不同之受試者，其解題規則結構性和次序性不同；林 原宏、黃雅婷 (2007) 以次序理論進行平衡槓桿測驗之解題規則階層分析等。
二、廣義多元計分之次序理論 由於二元計分的次序理論對
黃國榮，基於Bart and Krus (1973) 的二元計分模式，將之擴展為廣義多元 計分之次序理論模式，並發展出有關廣義多元計分次序理論之分析軟體POT。 (林 原宏，2007b；Lin, Bart, and Huang, 2006) 。廣義多元計分次序理論的分析步驟如 下 (Lin, Bart, and Huang, 2006) ：
（一）假設試題i和試題j的計分 Ci Cj k =0,1,L,(Ci −1)和
)
國小低年級整數四則運算問題的能力指標試題階層結構分析；游嵐妮、林原宏 (2007) 將多元計分次序理論應用於扯鈴教學評量；黃馨瑩、林原宏、莊曜遠 (2007a) 應用混合計分次序理論探討五年級學童容量概念的知識結構；施杏芬與 林原宏 (2007) 應用 S-P 表與廣義多元計分次序理論分析國小三年級「數與量」
能力指標分年細目的階層次序性；許惠芳、施杏芬、林原宏 (2007) 結合 S-P 表 與多元計分次序理論以分析國小二年級數與量分年細目之概念階層與次序性；黃 馨瑩、林原宏、莊曜遠 (2007b) 整合集群分析與多元計分次序理論探究五年級學 童容量概念的知識結構；黃馨瑩、王士信、林原宏 (2007) 整合模糊集群與多元 計分次序理論以探究六年級學童植物繁殖概念的知識結構；陳敏彥、林原宏 (2007) 結合模糊集群、S-P 表與多元計分次序理論以進行國小學童數學認知診斷等。
綜合以上所述，已經有許多學者運用次序理論以及廣義多元計分次序理論於 學童知識結構之探究，本研究欲探討分別隸屬於整數加減法文字題四個類別各集 群學童之知識階層結構，及其跨時間之變化情形，故結合了模糊集群分析和廣義 多元計分次序理論，來進行分析。