全體受試學童在四個類別之知識結構

分別就兩次施測所蒐集之資料，以 POT 軟體 ，取閾值ε =.16，進行廣義多 元計分次序理論分析，探討在整數加減法文字題改變、合併、比較以及等化等四

個類別中，全體受試學童之知識結構。

一、第一年和第二年施測，全體受試學童在整數加減法文字題各類型的次序性係 數和次序性關係，分別如附錄四、附錄六和附錄五、附錄七所示。如：由附 錄四和附錄五可知，第一年全體受試學童類型 2 和類型 1 的次序性係數 為.20，在本研究取閾值 ε=.16 的條件下，得知類型 2 並無指向類型 1，故類 型2 和類型 1 的次序性關係R₂₁=0；而由附錄六和附錄七可知，第二年全體 受試學童類型2 和類型 1 的次序性係數為.07，同樣在閾值 ε=.16 的條件下，

得知類型 2 指向類型 1，故類型 2 和類型 1 的次序性關係 。這代表對 全體受試學童而言，第一年類型 2 不是類型 1 之前置關係 (precondition) ， 但第二年則是。由此可知學童之知識結構，會隨著學童之成長與學習而有所 改變。

21=1 R

二、依據第一年和第二年施測所得資料進行分析，可得知全體受測者一年級及二 年級下學期末，於四個類別各文字題類型之次序性係數、次序性關係矩陣 (如 附錄八所示) ，以及精熟次序階層結構圖，將研究結果分述如下：

（一）根據次序性關係矩陣可得其精熟次序階層結構圖，配合兩年施測全體學 童於改變類6 個文字題類型之平均數，繪製圖 4-11，並將其結果分述如 下：

1、全體受試學童第一年在改變類之精熟次序階層結構，共分為5個階層；而 第二年則分為3個階層。顯示全體受試學童經過一年成長與學習，其在改 變類之精熟次序階層結構有所改變。

2、對全體受試學童而言，第一年位於改變類第1、第2、第4和第5階層各只有 1個類型，而位於第3階層的類型卻有2個；而第二年位於位於第1階層之類 型有4個，第2和第3階層的類型各只有1個。

3、對全體受試學童而言，第一年改變類之精熟次序階層結構如下，類型5 (改 變拿走型改變量未知) 為類型8 (改變添加型結果量未知) 之前置關係；類 型8 (改變添加型結果量未知) 為類型4 (改變添加型起始量未知) 和類型 14 (改變拿走型結果量未知) 之前置關係；類型4 (改變添加型起始量未知)

和類型14 (改變拿走型結果量未知) 為類型11 (改變拿走型起始量未知) 之前置關係；而類型11 (改變拿走型起始量未知) 為類型20 (改變添加型改 變量未知) 之前置關係。且以類型5 (改變拿走型改變量未知) 為第1階層 類型，位於所有類型之最下層，為改變類之基礎類型；而類型20 (改變添 加型改變量未知) 為第5階層類型，位於所有類型之最上層，為改變類中 最不容易精熟之類型。

4、對全體受試學童而言，第二年改變類之精熟次序階層結構如下，類型5 (改 變拿走型改變量未知) 、類型8 (改變添加型結果量未知) 、類型11 (改變 拿走型起始量未知) 和類型14 (改變拿走型結果量未知) 均為類型4 (改變 添加型起始量未知) 之前置關係；而類型4 (改變添加型起始量未知) 則為 類型20 (改變添加型改變量未知) 之前置關係。且以類型5 (改變拿走型改 變量未知) 、類型8 (改變添加型結果量未知) 、類型11 (改變拿走型起始 量未知) 和類型14 (改變拿走型結果量未知) 為第1階層類型，位於所有類 型之最下層，為改變類之基礎類型；而類型20 (改變添加型改變量未知) 為 第3階層類型，位於所有類型之最上層，為改變類中最不容易精熟的類型。

5、綜合以上所述，全體受試學童在改變類之精熟次序階層結構，第1層類型 數目由第一年的1個增加到第二年的4個。學童經過一年的成長與學習，其 在改變類之精熟次序階層結構有所變化。其基礎類型增加，即精熟的類型 增加了，但類型5 (改變拿走型改變量未知) 仍為改變類之基礎類型；且類 型20 (改變添加型改變量未知) 仍是改變類中學童最難精熟的最上層類 型。

1.27 (第5階層)

1.46 (第4階層)

1.50~1.63 (第3階層)

1.72 (第2階層)

1.79 (第1階層)

全體受試學童第一年施測

1.46 (第 3 階層)

1.61 (第 2 階層)

1.80~1.87 (第 1 階層)

全體受試學童第二年施測

圖4- 11 兩次施測全體受試學童在改變類之精熟次序階層結構圖及平均數 註：類型4 為改變添加型起始量未知；類型 5 為改變拿走型改變量未知；

類型 8 為改變添加型結果量未知；類型 11 為改變拿走型起始量未知；

類型 14 為改變拿走型結果量未知；類型 20 為改變添加型改變量未知。

（二）根據次序性關係矩陣，可得其精熟次序階層結構圖，配合兩年施測全體 學童於合併類2 個文字題類型之平均數，繪製圖 4-12，並將其結果分述 如下：

1、全體受試學童，兩年施測在合併類精熟次序階層結構均分為2個階層。

2、對全體受試學童而言，兩次施測合併類之精熟次序階層結構，均顯示類型 10 (合併類全體量未知) 為類型13 (合併類部分量未知) 之前置關係。

3、對全體受試學童而言，兩次施測在合併類之精熟次序階層結構如下，其均

以類型10 (合併類全體量未知) 為第1階層類型，位於所有類型之最下層，

為合併類之基礎類型；且均以類型13 (合併類部分量未知) 為第2階層類 型，位於所有類型之最上層，為合併類中最不容易精熟之類型。

4、綜合以上所述，兩次施測在合併類之精熟次序階層結構完全相同，由此 可知全體受試學童在經過一年的成長與學習之後，在合併類之平均數雖有 進步，但其知識階層結構並無改變。

1.24 (第2階層)

1.47 (第1階層)

全體受試學童第一年施測

1.55 (第2階層)

1.58 (第1階層)

全體受試學童第二年施測

圖4- 12 兩次施測全體受試學童在合併類之精熟次序階層結構圖及平均數 註：類型10 為合併類全體量未知；類型 13 為合併類部分量未知。

（三）根據次序性關係矩陣可得其精熟次序階層結構圖，配合兩年施測全體學 童於比較類6個文字題類型之平均數，繪製圖4-13，並將其結果分述如下：

1、全體受試學童第一年在比較類之精熟次序階層結構，共分為4個階層；而 第二年則分為3個階層。此表示全體受試學童經過一年的成長與學習，在 比較類之精熟次序階層結構有所改變。

2、第一年位於比較類第1和第2階層的類型各有2個，位於第3和第4階層的類 型各只有1個；而第二年位於改變類第1階層的類型有3個，位於第2階層的

類型只有1個，位於第3階層的類型有2個。

3、第一年改變類之精熟次序階層結構如下，類型3 (比較較少型差異量未知) 和類型9 (比較較少型比較量未知) 均為類型12 (比較較多型比較量未知) 和類型18 (比較較多型差異量未知) 之前置關係；類型18 (比較較多型差異 量未知) 為類型1 (比較較多型參考量未知) 之前置關係；而類型1 (比較較 多型參考量未知) 和類型12 (比較較多型比較量未知) 均為類型19 (比較 較少型參考量未知) 之前置關係。且以類型3 (比較較少型差異量未知) 和 類型9 (比較較少型比較量未知) 為第1階層類型，位於所有類型之最下 層，即代表此兩個類型為比較類之基礎類型；而類型19 (比較較少型參考 量未知) 為第4階層類型，位於所有類型之最上層，即代表類型19 (比較較 少型參考量未知) 為比較類中最不容易精熟之類型。

4、第二年改變類之精熟次序階層結構如下，類型3 (比較較少型差異量未 知) 、類型9 (比較較少型比較量未知) 和類型12 (比較較多型比較量未知) 均為類型18 (比較較多型差異量未知) 之前置關係；而類型18 (比較較多型 差異量未知) 為類型1 (比較較多型參考量未知) 和類型19 (比較較少型參 考量未知) 之前置關係。以類型3 (比較較少型差異量未知) 、類型9 (比較 較少型比較量未知) 和類型12 (比較較多型比較量未知) 為第1階層類 型，位於所有類型之最下層，即代表此三個類型為比較類之基礎類型；而 類型1 (比較較多型參考量未知) 和類型19 (比較較少型參考量未知) 為第 3階層類型，位於所有類型之最上層，即此兩類型為比較類中最不易精熟 的類型。

5、綜合以上所述，全體受試學童在改變類之精熟次序階層結構，第1層類型 的類型數目由第一年的2個增加到第二年的3個，且最高層類型數目也由1 個增加到2個，故學童經過一年的成長與學習，在比較類精熟次序階層結 構有所變化。其在比較類之基礎和上階類型數均增加，即精熟的類型增加 了，未精熟的類型也增加了，且類型3 (比較較少型差異量未知) 和類型9 (比較較少型比較量未知) 在兩次施測均為全體受試學童在比較類中最基 礎的類型，類型19 (比較較少型參考量未知) 在兩次施測均為全體受試學

童在比較類中最不容易精熟的類型。第二年比較類之最上層類型，除原來 的類型19 (比較較少型參考量未知) 維持在最高層外，還將第一年施測所 得之次高層類型1 (比較較多型參考量未知) 擠至最高層，故在比較類中，

一年級學童經過一年學習與成長，未精熟的類型不僅無減少，反而增加了 一個類型1 (比較較多型參考量未知) ，造成此特殊現象之可能原因，為學 童在二次退位減法計算不精熟以及學童對未知數位置在中間之文字題語 意不能理解所致，此部分已經本章第二節「學童解題能力之成長情形」中 闡述。

.05 (第4階層)

1.22 (第3階層)

1.53~1.61 (第 2 階層)

1.63~1.70 (第 1 階層)

全體受試學童第一年施測

.98~1.06(第 3 階層)

1.69 (第 2 階層)

1.72~1.87(第1階層)

全體受試學童第二年施測

圖4- 13 兩次施測全體受試學童在比較類之精熟次序階層結構圖及平均數 註：類型1 為比較較多型參考量未知；類型 3 為比較較少型差異量未知；

類型 9 為比較較少型比較量未知；類型 12 為比較較多型比較量未知；

類型 18 為比較較多型差異量未知；類型 19 為比較較少型參考量未知。

（四）根據次序性關係矩陣可得其精熟次序階層結構圖，配合兩年施測全體學 童於等化類6個文字題類型之平均數，繪製圖4-14，並將其結果分述如下：

1、全體受試學童第一年在等化類之精熟次序階層結構，共分為4個階層；而 第二年則分為3個階層。此表示全體受試學童經過一年的成長與學習，在 等化類之精熟次序階層結構有所改變。

2、對全體受試學童而言，第一年位於等化類第1、第3和第4階層的類型各有1 個，位於第2階層的類型有3個；而第二年位於第1階層的類型有3個，位於 第2階層的類型有2個，位於第3階層的類型只有1個。

3、對全體受試學童而言，第一年等化類之精熟次序階層結構如下，類型17 (等 化拿走型參考量未知) 為類型2 (等化添加型參考量未知) 、類型15 (等化 添加型比較量未知) 和類型16 (等化拿走型差異量未知) 的前置關係；類 型15 (等化添加型比較量未知) 和類型16 (等化拿走型差異量未知) 是類 型6 (等化添加型差異量未知) 的前置關係；類型2 (等化添加型參考量未知) 和類型6 (等化添加型差異量未知) 為類型7 (等化拿走型比較量未知) 的 前置關係。以類型17 (等化拿走型參考量未知) 為第1階層類型，位於所有 類型之最下層，即代表類型17 (等化拿走型參考量未知) 為等化類之基礎 類型；而類型7 (等化拿走型比較量未知) 為第4階層類型，位於所有類型 之最上層，即代表類型7 (等化拿走型比較量未知) 為等化類中最不容易精 熟的類型。

4、對全體受試學童而言，第二年等化類精熟次序階層結構如下，類型2 (等 化添加型參考量未知) 、類型16 (等化拿走型差異量未知) 和類型17 (等化 拿走型參考量未知) 均為類型6 (等化添加型差異量未知) 和類型15 (等化 添加型比較量未知) 的前置關係；類型6 (等化添加型差異量未知) 和類型

4、對全體受試學童而言，第二年等化類精熟次序階層結構如下，類型2 (等 化添加型參考量未知) 、類型16 (等化拿走型差異量未知) 和類型17 (等化 拿走型參考量未知) 均為類型6 (等化添加型差異量未知) 和類型15 (等化 添加型比較量未知) 的前置關係；類型6 (等化添加型差異量未知) 和類型