國小低年級學童數概念的發展及數學文字題解題

本研究旨在分析國小低年級學童在整數加減法各類型文字題之解題表現，並 探討國小低年級學童在整數加減法各類型文字題的解題情形及其知識結構之變 化情形，而國小低年級學童在整數加減法各類型文字題之解題能力，與國小低年 級學童數概念的發展以及數學文字題的解題能力均有密切的關係。

ㄧ、國小低年級學童數概念的發展

學童數概念的發展，會影響學童在解題時所採用的策略，且學童在整數加減 法各類型文字題的解題表現，亦會因之而有所差異，在此針對學童的數概念發展 進行探討，並分述如下：

（一）數概念認知發展階段之研究

皮亞傑認為數概念的發展是源自學童心智發展，它是獨立的，且是自發性 的，並非來自他人的教導 (Piaget, 1953) 。皮亞傑把兒童的認知發展分成感覺 動作期 (sensorimotor, 0-2 歲) 、前運思期 (preoperational, 2-7 歲) 、具體運思期 (concrete operational, 7-11 歲) 以及形式運思期 (formal operational, 11 歲以上) 四個階段 (張春興，1997) ，此四個數概念認知發展階段，具有順序性與普遍性，

且個體間有個別差異存在 (周甘逢、劉冠麟合譯，2002) 。各階段順序是自然的

階層，所有成功發展的階段均有前面階段的元素參與合作，但後一階段比前面 的階段更加統整，即不論生長在任何國度之學童，其數概念發展順序相同，但是 個體間存在個別差異現象，故每個學童數概念認知發展的速度並不相同。

皮亞傑在實驗研究中發現，保留數目不變性的能力是數學理解的先備條 件，幼兒在六歲半以前就會唱數、計數，甚至還會一些簡單的加減運算，但此 時期的幼兒並不具保留 (conservation) 概念，而大約六歲半的幼兒，其保留概 念會自然的發展出來 (Piaget, 1952) 。皮亞傑在實驗中亦發現，幼兒的數概念 有三個發展階段，其第一階段和第二階段的幼兒是隸屬於認知發展的前運思 期，而第三階段的幼兒則是進入了具體運思期，將此三個發展階段分述如下：

1、第一階段 (大約在四~五歲之間) ：此階段幼兒對數概念無法了解，無一 對一的對應概念，此階段之幼兒通常以排出實物的長度是否等長，來判斷 兩組數目是否相等。在這個階段的幼兒即使能夠計數，但其計數能力卻無 助數目相等的保留概念。例：在實驗中，當實驗者要求幼兒擺出與 A 相 同數目的實物，幼兒卻擺出B，幼兒認為只要兩組實物有相同的長度，即 是具有相同的數目 (如圖 2-1 之 a 所示) 。

2、第二階段 (大約在五~六歲之間) ：此階段是屬於幼兒一對一對應概念的 過渡期，此階段幼兒會應用一對一對應概念建構出同等數目，但無法充分 了解一對一關係，當幼兒所排出的一對一關係被破壞 (將一組實物拉長或 縮短) 之後，幼兒即無法保留他自己所建立的數目相等之保留概念，也就 是說，在將一組實物拉長或縮短後，幼兒會認為兩組實物之數目不同。此 階段之幼兒所關注的焦點已經較第一階段擴展了一些，幼兒有時候關注於 長度，有時又關注於密度，故稱此階段為一對一的對應概念的過渡期。例：

在實驗中要求幼兒擺出與 A 相同數目的實物，幼兒能一對一的將實物擺 放好 (如圖 2-1 之 b 所示) ，但在實驗者將幼兒擺出的一對一關係被破壞 (將 B 組實物縮短) 之後 (如圖 2-1 之 c 所示) ，有時幼兒會關注於長度而 稱A 組數目較多，下一刻卻因注意力轉移至密度，而認為 B 組數目較多。

（a） （b） （c）

A ○ ○ ○ ○ ○

B ○ ○ ○ ○

A ○ ○ ○ ○ ○

B ○ ○ ○ ○ ○

A ○ ○ ○ ○ ○

B ○○○○○

數概念發展第一階段之特 徵：幼兒認為只要兩組實 物有相同的長度，即是具 有相同的數目。

數概念發展第二階段之特 徵：幼兒能自行建構一對 一對應關係。

數概念發展第二階段之特 徵：將幼兒所建立之一對 一對應關係破壞 (拉長或 縮短) ，則幼兒自己所建 立數目相等的保留概念將 被破壞。

圖2- 1 數概念發展第一、二階段特徵之示意圖

3、第三階段 (大約在六歲半以後) ：此為數概念真正理解的階段，此階段的 幼兒已能運用數數、一對一對應以及保留住數目之不變性等各種方法，來 建構數目相等之保留概念，不管實物之安排有何變化 (將實物拉長或縮 短) ，都不再影響其數目相等之保留概念。皮亞傑認為，學童發展保留概 念 的 過 程 ， 涉 及 相 互 性 (reciprocity) 、 恆 同 性 (identity) 和 逆 反 性 (negation) 三種邏輯運思之協調 (Ginsburg & Opper, 1979) ，以下將就此 三種邏輯運思舉例說明之。

（1）相互性：將一杯裝於口徑較寬水杯的水，倒入口徑較窄水杯中，會造 成水位增加，但其水量並無改變。也就是說，同水量之水裝於口徑較 寬的水杯，其水位較低；而裝在口徑較窄在的水杯，其水位較高，水 位高低和口徑寬度之間具有補償作用，此即稱為相互性。

（2）恆同性：將一杯水，倒入不同的容器中，其水量並無增加或減少，還 是同樣為原先那杯水的水量，此即稱為恆同性。

（3）逆反性：等量的 A 和 B 兩杯水，將 B 杯的水倒到不同的容器 C 中，

再將容器C 中的水倒回 B 杯，則會回復 A 和 B 等量的初始狀態，此 即稱為逆反性。

（二）數概念發展層次之研究

關於國小低年級學童的數概念發展，甯自強 (1994) 將之分成四個層次。

以下就以「27」這個數字為例，並以吸管做具體物來進行說明。

1、前置概念：「27」代表自 1 開始對應標準數詞序列到具體物的最後一項。

因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示第27根吸管。

2、起始數概念：「27」代表由27個「1」所合成的新集聚單位。因此，對此 概念層次的學童而言，「27」就是表示全部的27根吸管。

3、內嵌數概念：「27」代表由某一個集聚單位，再往上累積所合成的新集聚 單位。因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示「24」(可以是 其他數字) 根吸管，加上3個 (可以是其他數字) 「1」根吸管而成的27根 吸管，此時學童即了解數的合成與分解之意義。

4、巢狀數概念：「27」代表由2個「10」和7個「1」所合成的新集聚單位。

因此，對此概念層次的學童而言，「27」就是表示每10根吸管綁成一束的 吸管有2束，外加一根一根置放的吸管7根，此時學童即具有位值概念。

以上四個數概念的層次，是有順序性，且是不可跳躍的，學童必須經過前 一個概念層次才會到達下一個概念層次，而具備不同概念層次的學童，其運思 方式亦會有所不同。

（三）數概念運思方式之研究

民國八十二年「國小數學課程實驗研究小組」將學童數概念的運思方式，

分為序列性合成運思期 (sequential integration operation) 、累進性合成運思 (progressive integration operation) 、 部 分-全 體 運 思 (part-whole operation) 、 測 量 運 思 (measurement operation) 以及比例運思 (ratio operation) 等五個發 展階段 (國民學校教師研習會，2000) 。因本研究的數素材是整數加減法各類 型文字題，研究的對象是國小低年級學童，其數概念發展處於序列性合成運 思、累進性合成運思、部分-全體運思以及測量運思四種運思階段（張淑怡，

1995；甯自強，1993），故僅就此四種運思方式進行說明。

1、序列性合成運思

此發展階段之學童將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位的集合體。

序列性合成運思運用在改變添加型以及合併型的加法問題情境中，學童由1 開始分別將指示量分別表徵 (representation) 後 (分別畫出兩個指示量) ，接 著將它們合併，最後再從1開始重新數數，以確定數值。也就是說，學童在解 決加法問題時，必須序列性地進行兩次做數活動和一次數數活動，然後才能 夠得到答案。例如：在解「26+12=？」時，學童先分別畫出26個以及12個「○」，

將這些「○」合併後，再從1開始重新數數，可以得到答案是38；在改變拿走 型的減法情境中，數數活動亦是由1開始，學童依指示量表徵起始量後 (畫出 起始量) ，再由1開始數數將改變量表徵出來 (將改變量畫掉) ，最後再從1 開始重新數數，以確定數值。如解「26-12=？」時，學童先畫出26個「○」，

再畫掉12個「○」，最後再對所剩下的「○」從1開始重新數數，可以得到答 案是14；在比較較多型減法情境中，學童由1開始分別將參考量與比較量分別 表徵後 (分別畫出兩個指示量) ，再透過一對一的比較活動進行比較，最後 再從1開始重新數數，以確定數值，如解「26-12=？」時，學童先分別畫出26 個以及12個「○」，再進行一對一的比較，最後將多出來的「○」從1開始重 新數數，可以得到答案是14；而在比較較少型減法情境中，必須將較少的量 內嵌於較多的量中，而此種內嵌所蘊含數與數的關係，已超出了序列性合成 運思的發展階段，故此階段學童無法解決此類問題。

2、累進性合成運思

在此發展階段之學童是將數詞指示的量當成一個集聚單位，由此集聚單 位出發，以進行數的合成與分解，也就是說，此發展階段之學童是將較小的 數內嵌於較大的數中。累進性合成運思運用在改變添加型以及合併型的加法 問題情境，學童由被加數的數詞開始，依數詞序列向上數出加數的數詞，而 得到答案，例如：在解「26+12=？」時，學童直接以26為基礎，依數詞序列 向上數12個數，而得到答案是38；在改變拿走型的減法情境，學童以被減數 為基礎，依數詞序列倒數，數出減數的數詞，而得到答案，如解「26-12=？」

時，學童直接以26為基礎，依數詞序列倒數12個數，而得到答案是14；由於 學童已進入了累進性合成運思，故能理解將較少量內嵌於較多量中之概念，

故此時期的學童是可以針對比較較多型以及較少型情境問題進行解題。

此外，在此階段之學童已能解決依問題情境以算式填充題表徵為「12+？

=26」、「26-？=12」、「？+12=26」以及「？-26=12」之各種加減法情境問 題，故進入累進性合成運思後，學童才能全盤了解加減法文字題情境之所有 意義，並進行解題。

3、部分-全體運思

此發展階段之學童已能掌握「1」與「10」為元素合成之集聚單位，也 能清楚分辨部分-全體兩者之關係與意義，因此在混合使用兩個以上集聚單位 時，也不會混淆其意義。例如：在解「26+12=？」時，學童可以先將26分解 為2個「10」和6個「1」，將12分解為1個「10」與2個「1」，再分別將2個「10」

與1個「10」合成為3個「10」，6個「1」與2個「1」合成為8個「1」，最後 再將3個「10」以及8個「1」合成為38；同樣的在解「26-12=？」時，學童可 以先將26分解為2個「10」和6個「1」，將12分解為1個「10」與2個「1」，

與1個「10」合成為3個「10」，6個「1」與2個「1」合成為8個「1」，最後 再將3個「10」以及8個「1」合成為38；同樣的在解「26-12=？」時，學童可 以先將26分解為2個「10」和6個「1」，將12分解為1個「10」與2個「1」，