數位學習環境與引導策略對高低先備知識高中生數學遞迴學習成效與動機之影響

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(1)國立臺灣師範大學資訊教育研究所碩士論文. 指導教授：陳明溥博士. 數位學習環境與引導策略對高低先備知識高中生數學遞迴學習成效與動機之影響. 研究生：盧健瑋撰中華民國 106 年 7 月.

(2) 數位學習環境與引導策略對高低先備知識高中生數學遞迴學習成效與動機之影響摘要本研究旨在探討數位學習環境、引導策略及先備知識對高中生數學遞迴關係的學習成效與動機之影響。研究對象為高中二年級學生，採因子設計之準實驗研究法，有效樣本 96 人。自變項包含數位學習環境、引導策略及先備知識，數位學習環境分為擴增實境及虛擬實境；引導策略分為程序引導及反思引導；先備知識依學習者課前具備之能力分為高先備知識及低先備知識。依變項為學習成效與學習動機。研究結果顯示：(1)在學習成效方面，就知識理解而言，擴增實境學習環境組在知識理解表現優於虛擬實境學習環境組，程序引導組優於反思引導組，且高先備知識組優於低先備知識組；就知識應用而言，擴增實境學習環境組在知識應用表現優於虛擬實境學習環境組，高先備知識組優於低先備知識組，而程序引導組及反思引導組在知識應用表現則無顯著差異。(2)學習動機方面，各實驗組對學習活動皆抱持正向的學習動機；其中，在期望成功面向，擴增實境學習環境組表現優於虛擬實境學習環境組、反思引導組優於程序引導組、而在先備知識二組間則無顯著差異。. 關鍵詞：遞迴概念、擴增實境、虛擬實境、引導策略、體驗式學習、先備知識. i.

(3) Effects of Digital Learning Environment, Guiding Strategy and Prior Knowledge on Senior High School Students’ Learning Performance and Motivation in Learning of Recursion Abstract The purpose of this study was to investigate the effects of type of digital learning environment, guiding strategy and prior knowledge on senior high school students’ learning performance and motivation in learning of recursion. A quasi-experimental design was employed and the independent variables were type of digital learning environment, guiding strategy, and prior knowledge. The participants were the eleventh graders and the effective sample size was 96. While the digital learning environments consisted of the augmented reality and the virtual reality, the guiding strategies included the procedural guidance and the reflective thinking guidance; the prior knowledge involved high and low prior knowledge. The dependent variables were the students’ learning performance and motivation. The results showed that: (a) for knowledge comprehension performance, the augmented reality group outperformed the virtual reality group, the procedural guidance group outperformed the reflective thinking guidance group, and the high prior knowledge group outperformed low prior knowledge group; as for the knowledge application, the augmented reality group outperformed the virtual reality group and the high prior knowledge group outperformed the low prior knowledge group, whereas there was no significant difference between the procedural guidance group and the reflective thinking guidance group; and (b) as for learning motivation, all participants showed ii.

(4) positive motivation toward the employed learning environments; in particular, regarding learner’s expectancy for success, the augmented reality group showed more positive effect than the virtual reality group did, and the reflective thinking guidance group showed more positive effect than the procedural guidance group did while there was no significant difference between the high prior knowledge group and the low prior knowledge group.. Keywords: recursive concept, augmented reality, virtual reality, guiding strategy, experiential learning, prior knowledge. iii.

(5) 誌謝終於，要填滿致謝這一頁了。首先要感謝陳明溥教授嚴而不厲的指導，讓我從一張白紙到漸漸能掌握論文研究的方向。還要感謝學長姐的論文作為我研究的啟發，以及麗君學姊與榮泉學長在口試中給予寶貴的建議與指導。還要感謝對於在研究所中從格式到口語文字表達都要求精準與系統化，從不適應到漸漸成長，最終準時完成論文，沒有中途放棄的我。再來，在研究室中如果沒有經益學長對研究和生活進行開導，我的學習活動架構和我的實驗一定一片灰暗。沒有學長的話實驗中也不會有協力雞排、芋頭米粉、牛肉麵、酸菜白肉鍋……學長謝謝您！也感謝璨璨，俗話說休息是為了走更長遠的路，雖然 Lab 不同給的建議不一定是我要的，不過到處遊玩也是為我舖了一條更長遠的路！感謝品萱，歷經各種網站修改要求、放乖乖的主機壞掉與實驗提供雙倍人力從網站到論文都有品萱罩，我才能平穩畢業。還有書豪、佩均、郁欣、洛誼也都是我生產論文重要的推手，同時我也不會忘記被走到爛的師大夜市、吃到爛的第一腿、戰到凌晨的桌遊與團練、各式各樣整人的生日或是有人不用一杯酒就能醉。用一起經歷的這兩年作為約定，未來也要對所有的成功全力以赴！當然也要感謝柏豪學長、曉瑀、彩鳳……太多在這兩年中幫助我的人。最後，必須感謝我爸、我媽和我哥，我真的很幸運，能在沒有經濟壓力的情況下長到這麼大還能不時給我後援，你們的投資就快回本了。還有喜歡趴在鍵盤上的阿虎也是最棒的呢。突然想起我第一次辦國家圖書館的圖書證，走進去後耗一整天翻找著想要參考的論文。「人生唯有經歷過，才會印象深刻」這種俗氣的話很適合用來勉勵未來的自己。總之，我想對自己說的是：「後來沒幾本派上用場呢！但我還記得那天中午吃的是排骨飯。」. iv.

(6) 目錄摘要. ......................................................................................................................... i. Abstract ........................................................................................................................ ii 誌謝. ....................................................................................................................... iv. 附表目錄 ...................................................................................................................... vii 附圖目錄 ..................................................................................................................... viii 第一章. 緒論 ................................................................................................................ 1. 第一節研究背景與動機....................................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題............................................................................... 3 第三節研究範圍與限制....................................................................................... 4 第四節重要名詞釋義........................................................................................... 6 第二章. 文獻探討 ........................................................................................................ 9. 第一節數學遞迴學習........................................................................................... 9 第二節體驗式學習............................................................................................. 11 第三節數位學習環境......................................................................................... 16 第四節引導策略................................................................................................. 20 第五節先備知識................................................................................................. 23 第三章. 研究方法 ...................................................................................................... 24. 第一節研究對象................................................................................................. 24 第二節研究設計................................................................................................. 25 第三節實驗流程................................................................................................. 49 第四節研究工具................................................................................................. 51 第五節資料處理與分析..................................................................................... 55 第四章. 結果與討論 .................................................................................................. 60. 第一節遞迴單元學習成效分析......................................................................... 60 第二節數學學習動機分析................................................................................. 66 v.

(7) 第五章. 結論與建議 .................................................................................................. 81. 第一節結論......................................................................................................... 81 第二節建議......................................................................................................... 85 參考文獻 ...................................................................................................................... 88 中文部分............................................................................................................... 88 英文部分............................................................................................................... 89 附錄一. 程序引導組實驗學習 .................................................................................. 94. 附錄二. 反思引導組實驗學習單 ............................................................................ 104. 附錄三. 遞迴先備知識測驗卷 ................................................................................ 114. 附錄四. 數學遞迴單元學習成效測驗卷 ................................................................ 116. 附錄五. 數學學習動機問卷 .................................................................................... 118. vi.

(8) 附表目錄表 3-1 教學分組及各組人數分配表 .......................................................................... 25 表 3-2 「遞迴單元」之主要概念、學習目標與認知層次分類表 ......................... 28 表 3-3 體驗式循環意義與數位學習環境融入規劃 ................................................. 33 表 3-4 呱呱保衛戰學習活動內容規劃表 .................................................................. 34 表 3-5 遞迴先備知識測驗卷之內容向度、題數分配及信度係數 .......................... 51 表 3-6 遞迴單元學習成效測驗卷之內容向度、題數分配及信度係數 .................. 52 表 3-7 數學科學習動機之問卷內容向度、題數分配及信度係數 ......................... 54 表 4-1 遞迴單元學習成效之知識理解之平均數、標準差及人數 ......................... 61 表 4-2 遞迴單元學習成效表現之共變量矩陣等式的 Box 檢定............................. 62 表 4-3 遞迴單元學習成效表現之多變量檢定 .......................................................... 63 表 4-4 遞迴單元學習成效之受試者間效應項的檢定 .............................................. 64 表 4-5 遞迴單元學習成效分析結果摘要 .................................................................. 65 表 4-6 數學學習動機價值成分之平均數、標準差及人數 ...................................... 68 表 4-7 數學學習動機價值成分表現之共變量矩陣等式的 Box 檢定...................... 70 表 4-8 數學學習動機價值成分表現之多變量檢定 .................................................. 70 表 4-9 數學數學學習動機價值成分之受試者間效應項的檢定 .............................. 72 表 4-10 數學學習動機期望成分之平均數、標準差及人數 .................................... 73 表 4-11 數學學習動機期望成分表現之共變量矩陣等式的 Box 檢定 .................... 75 表 4-12 數學學習動機期望成分表現之多變量檢定 ................................................ 76 表 4-13 數學學習動機期望成分表現之受試者間效應項的檢定 ............................ 77 表 4-14 數學學習動機表現分析結果摘要 ................................................................ 78. vii.

(9) 附圖目錄圖 2-1 擴增實境與真實世界及虛擬實境比較 ......................................................... 17 圖 3-1 數位學習環境對高中數學遞迴單元學習之研究設計架構圖 ...................... 26 圖 3-2 遞迴單元課程相關概念知識架構圖 .............................................................. 28 圖 3-3 Unity3D-遊戲資源商店介面 ........................................................................... 29 圖 3-4 Unity3D-遊戲引擎編輯介面 ........................................................................... 29 圖 3-5 Visual Studio-程式撰寫介面 ........................................................................... 30 圖 3-6 遊戲開場畫面 ................................................................................................. 30 圖 3-7 遊戲背景說明 ................................................................................................. 31 圖 3-8 擴增實境學習環境組實體教具 ..................................................................... 32 圖 3-9 虛擬實境學習環境組實體教具 ..................................................................... 32 圖 3-10 擴增實境學習環境組學習流程 ................................................................... 35 圖 3-11 學習者依照任務問題動手疊高防禦塔 ........................................................ 37 圖 3-12 擴增實境組強調進駐的青蛙已數過避免學習者重複計數 ........................ 37 圖 3-13 學習者依照任務問題動手移動青蛙過河計數青蛙過河需要的步伐數 .... 38 圖 3-14 擴增實境組程式強調各隻青蛙移動的步數、可移動之方向與總步伐數 38 圖 3-15 左右各派一隻青蛙時問題初始狀態 ............................................................ 39 圖 3-16 左右各派一隻青蛙時問題完成狀態 ............................................................ 40 圖 3-17 完成指引步驟後將會出現「填寫學習單」的提醒按鈕 ............................ 41 圖 3-18 反思引導組中所給予的引導則為該階段所包含概念相關屬性之問題的指引................................................................................................................................... 41 圖 3-19 擴增實境組學習者透過掃描學習單裡的 Marker 顯示各階段之觀察重點同步於學習單上............................................................................................................... 42 圖 3-20「主動驗證」階段要求學習者能利用數列的一般式去檢驗數列的任意項 ....................................................................................................................................... 43 viii.

(10) 圖 3-21 回答之答案為正確答案則可以通過任務 .................................................... 43 圖 3-22 答案錯誤則會給予學習者提示性的回饋讓學習者重新回答問題 ............ 44 圖 3-23 回答錯誤的次數達到三次之回饋畫面 ........................................................ 44 圖 3-24 虛擬實境學習環境組學習流程 ................................................................... 45 圖 3-25 虛擬實境組中學習者以點擊平板電腦螢幕的方式計數進駐的青蛙數 .... 46 圖 3-26 虛擬實境組在平板電腦強調任務中各隻青蛙移動的步數、可移動之方向與總步伐數................................................................................................................... 47 圖 3-27 虛擬實境-程序引導組學習者依照步驟性引導觀察差值變化 ................... 47 圖 3-28 虛擬實境-反思引導組中學習者依照問題提示思考差值變化在填入學習單中................................................................................................................................... 48 圖 3-29 實驗教學暨體驗式遊戲學習活動流程 ........................................................ 49 圖 3-30 學習者進行數學遞迴學習活動「呱呱保衛戰」 ........................................ 50 圖 3-31 遞迴單元概念分項成效表現分析流程圖 .................................................... 55 圖 3-32 遞迴單元學習動機價值成分分析流程圖 .................................................... 57 圖 3-33 遞迴單元學習動機期望成分分析流程圖 .................................................... 59. ix.

(11) 第一章. 緒論. 本章分別以研究背景與動機、研究目的與待答問題、研究範圍與限制及重要名詞釋義等四個小節分別進行探討。. 第一節研究背景與動機在大多數的科學研究中，都需要以數學為工具，並且需要數學的理論為基礎 (Muijs & Reynolds, 2001)。數學也廣泛運用在生活日常之中，無論是自然科學、計算機科學、科技的發展及社會現象等皆可藉由數學分析與協助(教育部, 2010)，可見數學之重要性。因此，數學可說為現今人們必須具備的基本能力。然而對大多數學生來說，數學的抽象概念是學習數學時最大的阻礙。以遞迴單元概念為例，學生在面對尋找規律問題時，無法找出規律將之以數列的型態呈現，有些學生在找到規律後，也不會以代數進行接續的運算轉換(吳勇賜, 2005)。學生在面對許多問題應用都需要使用代數的運算，然而學生由具象操作轉換到抽象計算的能力較弱(陳勝楠, 2003)，因此學習數學時僅是將學到的公式代入題目後得到答案，這樣學習者只知道計算卻不知道真正的數學是什麼(Picker, 1997)，這樣並無法讓學生接觸到學習數學真正的意義，且會讓學習者更抗拒數學。利用「做數學」(Doing Mathematics)探究數學問題，在過程中去尋找、臆測、判斷問題的規律以解決實際問題，是一個很好的機會以數學的方式解決現實中的實際問題 (National Council of Teachers of Mathematics, 2000)。在十二年國民基本教育數學領域課程綱要中，也鼓勵在數學教學中使用操作活動，並從中的操作經驗建立概念，甚至可以用各式各樣的活動連結至各個抽象概念。Kolb (1984)的體驗式學習理論認為，學習是經由學習者自身的經驗轉化而來，其體驗式學習循環包括：具體經驗(Concrete Experience)、反思觀察(Reflection Observation)、抽象概念(Abstract Concept)和主動驗證(Active Experimentation)等四個階段。透過具體操作數學不僅能有效幫助學習者動機的提升，讓學習者以「學習者中心」的方式經 1.

(12) 歷這四個階段的學習，或許能有效幫助建構知識。然而 Baird、Fensham、Gunstone 與 White (1991)提出，學習者透過實體操作時獲得具體經驗，會使學習者專注於操作步驟而減少了互動與反思的機會。若能讓學生在數位環境下學習，讓學習者在遊戲中關卡的設計及任務的引導下建構知識，將對學習者的學習動機和學習成效有正向的影響。在虛擬實境中，能將各種不易觀察到的現象顯示出來，例如遞迴單元中應用問題的規律性、代數式所代表的意義等，並且能讓學生在充滿豐富影音效果的環境下嘗試錯誤及反覆練習。而在擴增實境中學習，除了虛擬實境的好處外，擴增實境可以讓學習者在融合虛擬與現實的環境中學習，對物件進行流暢的操作與互動。使用擴增實境搭配實體教具，能夠更進一步地提供學習者自我探索的空間，並且也提升與真實環境結合的可能性，這對於數學中的抽象概念有很大的幫助，並且能提高學生的學習動機。在日常的課堂中，儘管學生所在的環境是相同的，教師所應用之教學引導策略也相同，然而學生在進行學習時，高低先備知識程度的學生會有不同的表現，相同的教學引導策略與學習活動也會因為學習者的先備知識程度與個人差異而使學習成效不同。Pressley 與 McCormick (1995)提出學習者在學習時會受到先備知識對學習有所影響，其影響包含以下四項：(1)不同先備知識的學習者會選用不同的學習策略幫助學習；(2)學習者的認知思考策略有助於促進學習活動進行；(3) 先備知識對於學習者將舊知識與新知識連結是有利的；(4)先備知識若夠豐富有時可以取代學習策略。由此可知，使用不同的引導策略對於高低先備知識的學生也是很重要的考量。因此，本研究採用體驗式學習模式做為學習架構，探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識（高先備知識、低先備知識）對於高中生在數學遞迴單元的學習成效及學習動機的影響，期望學習者能藉由動手操作數學，並搭配數位科技的輔助體驗有趣的學習內容，有效促進學習理解與應用。. 2.

(13) 第二節研究目的與待答問題本研究之目的在探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學遞迴單元中學習成效及數學學習動機的影響。研究目的與待答問題分述如下：. 壹、研究目的本研究之目的有二：一、探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學遞迴單元中學習成效(知識理解、知識應用)的影響。二、探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學學習動機(期望成分、價值成分)的影響。. 貳、待答問題本研究針對研究目的所提出之待答問題有二：一、數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學遞迴單元學習成效上是否有差異？二、數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學學習動機上是否有差異？. 3.

(14) 第三節研究範圍與限制本研究為配合教學活動之設計與進行，在研究對象、學習內容、教學時間與環境及評量方法有以下之研究範圍與限制：. 壹、研究對象本研究之對象為高中二年級學生，常態分班，年齡介於 16 至 17 歲間，之前於課堂中接觸過數列、級數與遞迴相關課程，但未具備做擴增實境之數位學習的經驗。此外，各班性別人數比例相等，具有代表性並且符合常態分配的基本假設。由於本研究之實驗學校位於桃園市，並非市中心之學校，亦不是山區學校。在教學實驗開始時會給予學生操作說明並進行操作的練習，因此參與者均能有熟練的數位科技能力。. 貳、學習內容本研究實驗教材為根據教育部普通高中數學課程必修科目數學課程綱要中「數列與級數」的「遞迴」單元進行單元內容的篩選與編製，並且所有教材內容及學習單皆經過現任高中數學科教師修訂而成。因考量學生的學習時間與學習程度，課程之教學範疇包含「等差數列問題之規律、遞迴關係式與數學一般式」、「二階數列問題之規律、遞迴關係式與數學一般式」等兩個類型的學習概念，依難易度漸增。本研究之教學重點在於讓學習者了解遞迴的基本概念與應用，故對於高中二年級學生較不熟悉之遞迴數列如：等比數列之遞迴的學習成效，則不深入探究與討論。. 參、教學時間與環境本研究以數學營隊方式進行，為配合活動時間教學時間共 180 分鐘，扣除遞迴單元先備知識測驗、遞迴單元學習成效測驗與數學學習動機問卷等，施測時間 4.

(15) 學習者進行學習活動之歷程共 120 分鐘。本研究之實驗地點為圖書館而非在傳統教室中進行，學生一人分配一台平板電腦與一組實驗教具，各自進行實驗活動。. 肆、評量方法本實驗使用測驗卷及自評量表兩種評量方法，皆為讓學習者以紙筆填寫的方式進行。評量遞迴單元學習成效測驗卷為研究者編撰並經由現任高中數學科校閱後修訂而成；數學學習動機表現依據研究者改編之「數學學習動機問卷」共 30 題。由於本研究僅以紙筆的方式蒐集學習者之先備知識、學習成效及動機等資料，因此無法過度推論至以實作評量獲得之結果。此外，由於評量與學習活動分開進行以測驗題方式實施，而非融合在學習活動中施測，因此對於部分不喜歡或者不擅長考試的學習者來說，可能無法真實呈現其學習的結果。. 5.

(16) 第四節重要名詞釋義本研究中所使用的重要名詞，分別說明如下：. 壹、體驗式學習體驗式學習理論中指出，學習者的學習知識會在經過「具體經驗」、「反思觀察」、「抽象概念」及「主動驗證」等四個過程後，達到有效的學習。學習者透過真實或虛擬情境獲得經驗，再從中觀察並給予各種資訊與事件促進學習者深入思考經驗的意涵，再藉由理解與統整進而轉化為知識，接著透過自我主動檢測的方式確認概念的正確性。本研究藉由讓學習者實際操作數學教具，具體感受數列規律達到「具體經驗」階段；接著透過平板中提供的提示訊息引導學習者觀察數列前後項的差值，並推論出數列前後項的遞迴關係達到「反思觀察」階段；第三階段中透過程式的引導策略，促使學習者統整在遊戲任務所經驗到的概念，完成數學一般式轉換達成「抽象概念」的學習階段；最後階段透過平板電腦所透過立即回饋的方式，以形成性測驗驗證此階段中所建立的觀念是否正確，進而達成「主動驗證」的學習階段。. 貳、數位學習環境資訊科技融入教學已成為一種趨勢，數位化的學習環境提供學習者互動性高的教學環境，不只可以呈現新鮮且有趣的虛擬情境教學，在各種研究中也顯示能有效的幫助學習者提升學習效果(Michael, 2001)，因此使用數位化工具進行教學已成為促進學習的方式之一。本研究為了瞭解不同的數位學習環境對學習者學習成效和學習動機之影響，因此將數位學習環境分為擴增實境與虛擬實境兩種。在「擴增實境」中，學習者可以透過平板，在融合虛擬與現實的環境中對實體物件或虛擬物件進行操作與互動達到將操作經驗與學習內容整合，以幫助學習者發現規律並將規律與遞迴關係 6.

(17) 適當的連結。在「虛擬實境」中，學習者可以透過平板電腦能將各種不易觀察到的數學概念呈現出來，例如：遞迴單元中應用問題的規律性、代數式所代表的意義。. 參、引導策略 Akdemir 與 Koszalka (2008)對引導之定義為在學習過程中，透過提供學習者準確和完整的程序資訊或相關的陳述性知識，讓學習者能夠學習到如何完成學習任務和解決問題。當學習者在學習的過程中遭遇困難或阻礙，若能適時的提供引導，將能有效幫助學習者進行學習活動。本實驗採用 Hill 與 Hannafin (2001)所定義的四種鷹架類型為基礎，設計兩種引導方式分為「程序引導」及「反思引導」。「程序引導」為提供學習者一步一步地提示資訊，幫助學習者在面對不熟悉的學習環境時，能夠掌握學習流程，讓學習者把焦點放在每個教學活動任務上，不會因過於複雜的教學內容影響學習者在課程單元上的心力；「反思引導」為給予適當的問題提示讓學習者對問題進行思考與探究，學習者透過反思引導策略主動檢視、測試、與修正既有的想法，建構出屬於個人的知識。. 肆、先備知識先備知識係指學習者在學習前對數學科遞迴單元概念學習理解及學習應用之程度。透過先備知識可以幫助學習者在學習過程中吸收更多的元素與資訊 (Sweller, 2008)，故在設計學習活動及選用教學策略時，應需要將學習者的先備知識程度納入考量(Recht & Leslie, 1988)。本研究之先備知識測驗內容為依據教育部普通高中數學課程必修科目數學課程綱要中「數列與級數」的「遞迴」單元進行單元內容的篩選與編製，範圍分成「知識理解」和「知識應用」兩向度。知識理解為評量學習者對於遞迴單元中對於數列規律、等差數列的遞迴關係式概念理解能力；知識應用為評量學習者， 7.

(18) 對於遞迴單元中對於推論二階數列的遞迴關係式與轉換數學為一般式之應用能力。依據遞迴單元先備知識測驗進行評估，各向度測驗所得分數越高，表示學習者在數學遞迴單元中先備知識越高，反之若測驗所得分數越低，表示學習者在數學遞迴單元中先備知識越低。. 8.

(19) 第二章. 文獻探討. 本研究旨在探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、教學引導策略(程序引導、反思引導)與先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學生在數學遞迴單元的學習成效及數學學習動機之影響。本章首先探討學習數學的意義及困難，再探討於不同數位學習環境下，體驗式遊戲學習中使用不同的教學引導策略對於數學科學習的影響。以下就「數學學習」、「體驗式學習」、「數位學習環境」、「教學引導策略」及「先備知識」分別進行文獻探討歸納。. 第一節數學遞迴學習本節先探討「數學遞迴學習之重要性」，接著探討「數學遞迴單元的學習困境」。. 壹、數學遞迴學習之重要性數學廣泛的被運用在生活日常之中，無論是自然科學、計算機科學、科技的發展及社會現象等總會發現其規律，皆可藉由數學分析與協助(教育部, 2010)。追根究柢，數學的本質就是在找尋問題的「規律」與「關係」(劉文斌, 1999)。而本研究中的遞迴是一個為生成數列的強大數學程序(Pirie & Kieren, 1989)，尋找數列之間的規律以解決遞迴關係，不僅對於學生未來在學習離散數學時亦是一重要部分，對於許多應用於電腦程式的問題，使用遞迴能以簡潔易懂方式解決複雜問題。而就像「全美數學教師委員會」所提出的，在數學教學與學習中，能使學習者「理解」是最重要的一件事情(National Council of Teachers of Mathematics, 2000; Chen & Chiu, 2016)。然而對大多數學生來說，學習數學只是代入學到的公式得到答案，並沒有接觸到數學的本質。利用「做數學」(Doing Mathematics)探究數學問 9.

(20) 題，在過程中以體驗的方式去尋找、臆測、判斷問題的規律解決實際問題，是一個很好的機會去將現實中的實際問題以數學的方式解決 (National Council of Teachers of Mathematics, 2000)。. 貳、數學遞迴單元的學習困境在數學學科中對於普遍學生來說是覺得最難的學科，尤其在高中一、二年級時學習空間與代數時達到高峰，學習者對於數學感到抗拒與厭惡 (Mickelson, Canton & Ju, 2011)，因為在數學學習中學生從小便一直練習各種計算過程，然而學習者只知道計算考卷上的答案卻不知道真正的數學是什麼(Picker, 1997)，因此也使數學課程成為多數學生中最無趣、不受歡迎且成就感低落的科目(楊淑芬, 1992)。而數學內容中的歸納推理與抽象概念也是令學生無力招架之處，以本研究之數學遞迴單元概念為例，其中分為三大困難，分別為對「察覺規律」、「歸納規律之遞迴關係」及「抽象思考將規律轉換為一般式」產生的困難，這些困難並非單獨存在而是相互關聯的。研究發現學生在面對尋找規律問題時，無法找出規律將之以數列的型態呈現，而有些學生就算能找出規律，但不會使用代數進行接下來的運算(吳勇賜, 2005)。此外研究中亦發現學生對於察覺數形規律後要以代數式呈現這件事無從下手(MacGregor & Stacey, 1992)。而許多問題應用都需要使用代數的運算，然而學生由具象操作抽離到抽象計算的能力較弱(陳勝楠, 2003)，學生對於代數符號的意義也不甚了解(Hart, Brown, Kuchemann, Kerslake, Ruddock, & McCartney, 1981)。像在遞迴單元中將規律轉換為一般式，此種以算數為基礎，以抽象代數概念為中心的抽象轉換過程，學生普遍覺得在學習上有難度(Booth, 1988)。由於一般學生對數學焦慮高且興趣低落，並且對其中的抽象概念不甚了解而無所適從，或只背誦公式不求甚解。若透過「體驗式學習」以做中學的方式幫助學習，得以讓學生在操作過程中獲得數學本質的樂趣，並與抽象概念產生連結。 10.

(21) 第二節體驗式學習本節將分別就「做中學之意涵」、「體驗式學習之範疇」及「體驗式學習在數位遊戲的應用」分別進行探討：. 壹、做中學之意涵 Dewey (1938)提出「做中學」(Learning by Doing)的體驗學習理論，強調在經驗中學習的重要性，要了解經驗中的本質，需要透過對經驗的經歷與試驗結合。並且主張將各種經驗融入傳統的教育型態中，其要點包括：(1)在經驗中學習的重要性；(2)以學習者為中心的學習；(3)經驗的教育價值；(4)反思在學習過程中的重要性。Dale (1969)提出「學習金字塔」(Cone of Learning)理論，學習者會因為學習方式的不同而有很大的差異。以聽講此種被動的方式學習兩週後記得的只剩下百分之五，如果學生有機會以教別人或以實際操作的方式學習，學習效果高達百分之七十五以上，可見「做中學」在學習的效果。以下將「體現認知」(Embodied Cognition)、「額外感覺通道理論」(Additional Sensory Channel Theory)與「認知表徵」(Cognition Representation)的觀點敘述透過實際操作具體物的重要性：. 一、體現認知體現認知是以個體的生理條件當作基礎，探討個體訊息處理的運作是如何受到心智之外的訊息所影響，也就是說體現認知強調抽象概念學習時，透過動手操作、身體動作等個體與真實世界互動的重要性(Barsalou, 2008; Wilson, 2002)。 Barsalou (2008)定義了體現認知中認知的本質為「感受」，這代表任何觀念的理解都是基於身體感受的經驗。 Johnson (2008)表示知識的特質來自於身體的本質，其意義不僅僅在於個體運用身體以進行思考推論，更重要的是，進行推論的過程與架構來自於感受的細節。 11.

(22) 換句話說，是從感受與環境互動形成的意涵，來理解這個世界。因此體現認知在教育上的意義為任何個體與真實環境的互動都默默地提供現實環境中的現象或是系統如何運行的感受知識(Zacharia, 2015)。舉例來說，兩人在玩傳接球時，不需要準確的計算任何影響球行進的因素：摩擦力、距離、空氣阻力等，就可以知道需要用多少力氣將球傳到對方的手套中。 Han 與 Black (2011)表示透過動手具體操作可以創造一個知覺錨點，為其在學習概念前提供一個穩固的認知基底，如此一來學習者對於概念能有更好的理解。同時，Han 與 Black (2011)也表示具體操作依據感受經驗而創造了多元表徵 (Multimodal Representation)是在體現認知中一重要內涵，因為透過多元表徵中的各式經驗幫助學習者往後的學習。. 二、額外感覺通道理論額外感覺通道理論是基於工作記憶(Working Memory Theory)理論與認知負荷理論(Cognitive Load Theory)而來，其理論也強調工作記憶之功用。以自然科實驗為例，在動手操作實驗時雙手的觸覺回饋提供了一種額外的感覺通道，學習者因此在操作中可以獲得更多關於學習材料的額外資訊(McNeil & Jarvin, 2007)。額外感覺通道其中一個好處為引發一種卸載認知(Offloading Cognition)的機制，降低學習者於工作記憶的認知負荷，因此也可輔助學習者對於更複雜之概念的發展(Manches & O'Malley, 2012)。在此機制中，視覺、聽覺和觸覺等皆各自擁有其通道，將資訊分散在各個通道中(Wilson, 2001)。. 三、認知表徵「表徵」是指學習知識過程中，學習者用具體操作物、圖形、抽象符號等各種不同方式來內化知識，並藉由內心轉換後呈現具體的想法(Heddens, 1984)。而在數學的學習過程中，數學概念與思維可透過實體教具來呈現表徵，學習者也可以用表徵呈現解題過程或是溝通數學想法。 12.

(23) Bruner (1966)將個體對外在事物，經知覺將外在事物內化至心理的過程，稱作認知表徵(Cognitive Representation)。個體隨年紀表徵方式不同分為三階段：(一) 動作表徵(Enactive Representation)：靠具體動作來獲得知識。(二)形象表徵(Iconic Representation)：經由記憶中對物體的心像(Mental Image)，或依靠圖形、圖像等方式獲得知識。(三)符號表徵(Symbolic Representation)：運用符號、語言、文字為依據，不必依靠圖形或動作協助，以邏輯推理相關事物的求知或解決問題的方式。 Piaget (1977)認為透過操作經驗，可以幫助將知識內化，故 Bruner 雖將認知的發展分為三個階段，但在教學時，他主張應注重表徵的應用並根據學習者智力發展，在教材的難度從易到難、從具體到抽象、從動作表徵到符號表徵，幫助學習者在舊經驗與新知識之間建立良好的連結。由上所述，了解透過實際操作具體物的重要性。然 Dewey 強調，操作的經驗的重點在於引起學習者的思考，若學習者缺少主動思考，實作並不具任何教育意義(林秀珍, 1999)。故本研究以學習者為中心，提供學習者將具體經驗與抽象概念加以整合，冀望透過體驗式學習作為改善數學學習的理論架構。. 貳、體驗式學習之範疇 Kolb (1984)強調「學習」是藉由經驗不斷的轉換進而創造知識的歷程，而「知識」是經過理解與經驗轉換的結果。Kolb (1984)有鑑於體驗式學習是一個完整的循環歷程，因此學習環是指學習者為達成特定的學習目標或任務，所需經歷的完整性學習活動歷程或階段。在體驗式學習理論中依據資訊獲取及資訊處理兩個觀點，將學習過程區分為一個四階段的循環性週期，其歷程包括：具體經驗(Concrete Experience， CE)、反思觀察 (Reflective Observation ， RO)、抽象概念 (Abstract Conceptualization，AC)和主動驗證(Active Experimentation，AE)四個循環性的學習階段，此四個階段是連續、隨時發生，且會影響未來的經驗。以下分別就四個循環性的學習階段做說明：. 13.

(24) 1.具體經驗：透過真實世界環境或日常生活情境之模擬，將學習內容融入其中，使學習者可以自行建構知識。 2.反思觀察：提供各種資訊與事件促進學習者深入思考經驗的歷程與內涵。 3.抽象概念：學習者將具體經驗與反思觀察兩階段所經歷到的事件，透過自行的理解與統整，進而轉化為知識。 4.主動驗證：學習者整理出學習概念後，藉由自動檢測來確認概念的正確性，並將其延伸應用於新的情境上。由上述可知，體驗式學習循環以「做中學」為基礎，以學習者的具體經驗開始，透過觀察與反思將經驗轉換成抽象概念並藉由主動驗證後再創造新的具體經驗，以不斷重複此循環建構知識。有研究以大學生為實驗對象，利用實體操作七巧板，透過翻轉、組合創造樣式，並觀察七巧板樣式的組合，提升數學表現與空間能力(Thompson, 2013)。另有研究以融入生活文化內涵的方式，使原住民學生操作數學教具，其一教案中請學童使用十個一單位的積木與一條時單位的積木，利用此積木排出正確的十進位數字，確實可以提昇國小低年級學生對於數學的興趣與數學抽象概念的成效(郭佩宜, 2007)。Mickelson、Canton 和 Ju (2011)在研究中探究大學學習者體驗利用身體的動作紀錄於螢幕產生樣式，並從樣式中觀察幾何的排列抽象概念，提升學生對於探究數學幾何的動機。亦有研究利用摺紙活動分別探討國中生透過摺紙是否提升幾何推理能力與在尺規作圖上的效益(陳聖別, 2012; 吳嵐婷, 2013)。透過具體操作數學不僅能有效幫助學習者動機的提升，也同時呼應 Gallagher (2015)所提到，利用操作式數學在代數與空間等數學單元扮演重要的角色。. 參、體驗式學習融入數位遊戲的應用然而 Baird、Fensham、Gunstone 與 White (1991)提出，學習者透過實體操作時獲得具體經驗，會使學習者專注於操作步驟而減少了互動與反思的機會。Kiili 與 Lainema (2006)指出將數位遊戲的特性與體驗式學習結合，讓學習者在遊戲中 14.

(25) 關卡的設計及任務的引導下建構知識，將對於學習者的學習成效與動機有正向的影響。以下對體驗式學習結合數位遊戲之教學實驗進行介紹：鄭嘉鴻(2014)透過拯救光光村村民的故事，以凸透鏡與蠟燭的實體操作讓國中學習者打造光光槍建立具體概念，並以虛實整合的方式協助學習者觀察與反思光成像的概念，利用程式中的鷹架策略引導學習者在學習單整合抽象概念，最終以操作的方式讓學習者再次主動驗證，有助於自然科學的學習。廖邦捷(2014)透過操作化學實驗的方式學習電化學反應概念結合打造鋼鐵人之數位遊戲活動，以數位學習之動畫呈現出化學反應中無法用肉眼觀察到的微觀現象將化學反應的抽象概念具體化，有助於化學的學習。任欣垚(2012)利用星海爭霸讓學生扮演虛擬角色體驗國小質因數概念學習，透由遊戲中學習任務的指引、虛擬角色所給予的資訊促進反思、並以選擇題的方式建立正確抽象概念，及最後給予類似任務讓學習者主動驗證，能夠有效幫助學習者進提升學習成效。故本研究欲透過讓學習者於故事情境下動手操作實體教具，具體感受數列的規律，並且搭配數位遊戲提供學生操作時所需的虛擬資訊以輔助學習。學習者在操作後，依提供的步驟提示，運用先前的操作經驗，觀察數列前後項的差值，並推論出數列前後項的遞迴關係。並依照遊戲中的引導策略，促使學習者統整在遊戲任務所經驗到的概念，完成數學一般式轉換，再透過立即回饋的方式，以形成性測驗驗證此階段中所建立的觀念是否正確。經由體驗式學習循結合不同數位學習環境之遊戲提升學生在數學學科上遞迴單元的學習成效與動機。. 15.

(26) 第三節數位學習環境本節依照「數位學習環境類型」、「數位學習環境在教育上的應用」進行探討：. 壹、數位學習環境類型本研究依照遊戲時數位環境呈現方式的不同，以下分別就「虛擬實境」、「擴增實境」兩種不同之數位學習環境類型進行敘述：. 一、虛擬實境虛擬實境提供學習者不同於真實世界的情境，在虛擬世界中，任何事物都可經由軟體設計出來，因此對於一些課程內容中無法用肉眼觀察的現象，透過虛擬實境所提供的優勢可以有效幫助解決。虛擬實境讓學習者不必經由操作真實物體也能將各種不易觀察到的現象模擬出來(張霄亭, 2004)，並且在虛擬實境中提供學習者嘗試錯誤、反覆練習的機會 (Huang, 2005)。在虛擬實境中也提供了提供豐富的影音效果，使得學習者在虛擬實境中是比較有自信、有創意、參與度高並且對於學習保持正向愉悅的態度 (Loureiro & Bettencourt, 2014)。另外虛擬實境相較於實體環境也較能降低成本 (Roblyer, 2003)。因此，在虛擬實境下能協助學習者縮短真實與抽象知識之間的距離，藉由學生的主動參與學習過程，提高學生的學習動機和學習成效(Lee, 1999)。. 二、擴增實境有別於虛擬實境將學習者完全融入在模擬世界中，無法觀看到真實環境的景物；擴增實境可以使學習者一方面看的到真實環境中的景物，另一方面還可以將虛擬資訊呈現在真實世界中。Azuma (1997)指出，擴增實境須符合以下三種定義包含：(1)結合虛擬與現實；(2)及時互動；(3)3D 定位。如圖 2-1 所示： 16.

(27) 圖 2-1 擴增實境與真實世界及虛擬實境比較(Milgram et al., 1994). Craig (2013)依據 Azuma (1997)對擴增實境之定義，提出擴增實境的關鍵要素：. (一) 在現實世界可看到虛擬資訊疊加於真實環境中：使用者在現實世界中可以透過人體的視覺、聽覺、觸覺甚至是味覺或嗅覺來接受虛擬資訊的刺激，而虛擬資訊是疊加於真實環境之中。例如將看到的照片透過其他介面看到 3D 虛擬模型或是聽見聲音。. (二) 虛擬資訊與真實環境同步顯示：當虛擬資訊擴增於真實物體時，使用者的能夠同步接收資訊而不產生誤差或延遲。例如有一張桌子上面畫出一個圓圈，將透過擴增實境，同時看到圓圈內有一個虛擬花瓶。. (三) 虛擬資訊是依據真實環境的定位與人類的視覺角度展示於現實世界：就同一物體所擴增出的虛擬物件，使用者在不同的視角可看到不同面向的物件。. (四) 擴增實境的互動範圍可以從使用者單純變換視角到創造新的虛擬資訊： 17.

(28) 使用者與擴增實境的互動行為可以為單純變換視角以檢視不同面向之虛擬物件，甚至是可以對虛擬物件進行移動；其中又可分為對虛擬物件或對真實物件進行互動。 Billinghurst 和 Dunser (2012)指出，擴增實境可以提供一些其他科技作法無法達到的獨特優勢，例如，若是使用擴增實境作為教具，可以讓學習者在融合虛擬與現實的環境中，對物件進行流暢的操作與互動，同時此教具也將衍伸出新的教學與學習策略 Hsiao、Chen 和 Huang (2012)研究發現擴增實境遊戲透過動手操作與虛擬物件互動，能激發學生的學習興趣和學習動機。有研究則發現擴增實境對學習成效影響，在情意方面，學習者有高參與感、高認同感、積極的動機與正向的學習態度(Schmitz, Specht, & Klemke, 2012)；在認知方面，學習者能有好的理解(Liu, Tan, & Chu, 2009)。. 貳、數位學習環境之教育應用 (一) 虛擬實境在教育領域之應用透過上述在虛擬實境中能有的好處，對於如何應用在教育領域上進行討論： Trey 和 Khan (2008)透過數位模擬的方式下對高中三年級學生進行科學教育透過動態影像模擬兩種化學反應，提升學習者對於科學中肉眼無法觀察之現象的學習。Han 和 Black (2011)為了介紹機械的好處，讓國小五年級學習者以搖桿操作以 Adobe Flash 進行的模擬齒輪並在環境中提供嘗試錯誤、反覆練習的機會，並搭配操作後的課程講解，幫助知識的遷移。在數學教育的虛擬實境中，許瑋芷(2005)，透過虛擬教具幫助國小高年級學生探索圖型樣式，以視覺化的動畫幫助學習者察覺樣式規律的關係。Kong 和 Kwok (2005)以虛擬教具提供國小中年級學生以虛擬教具學習分數的方法，透過動手操作虛擬圖型的切割找到兩分數共同的分母，提升學習者在等值分數中的概念。 18.

(29) (二) 擴增實境在教育領域之應用相較於虛擬實境，擴增實境與虛擬實境兩者最大的差別在於學習者在虛擬實境中看到的動畫模擬缺乏真實情境脈絡與觸感互動，而動手實際操作，在觸感、空間感甚至光感上，還是在真實世界中的感受會最深刻且最清楚。因此，相較於虛擬實境的學習方法，擴增實境可以提供給學習者更多樣性的操作可能及使用體驗。在科學教育的學習上，林思汝(2012)以擴增實境的方式讓國小高年級學生學習力與力矩，學生動手操作真正的蹺蹺板，並將力以視覺化的方式呈現，幫助學生在具體操作時對力的抽象概念產生連結。而在數學教育中蔡承哲(2010)由教具提供的實體以及虛擬模型觀察此題目之立體圖形在空間中實際的位置、關係，並且進行觸碰的互動操作在模型中尋找解題的提示，再接著由提示以及公式解出該題的解答，能有效提升高中學習者的空間能力。Cadavieco、Goulao 和 Costales (2012)以擴增實境提供輔助線或數學公式輔助立體圖形體積或表面積之題型計算，透過擴增實境技術直接把對應關係連結起來，降低了思考的負擔，所以在心理上也比較容易對擴增實境的作法產生興趣，容易進入心流的狀態。綜合上述「擴增實境」及「虛擬實境」發現使用擴增實境或是虛擬實境皆可以透過圖影具象化以方便學習者觀察學習。故本實驗欲於其中加入引導策略，引導學習者觀察學習重點與統整學習內容，對於學習將有所助益。. 19.

(30) 第四節引導策略學習的過程中，提供學習者學習引導，以支持學習者將知識內容編碼內化到長期記憶中(Gagné, 1985)，增強學習者的學習表現。以下就引導策略之意涵、學習引導對學習之影響分別進行探討。. 壹、引導策略之意涵引導策略為讓學習者透過練習展示的問題解決步驟，瞭解問題解決步驟的應用環境並從練習中獲得支持與回饋(Clark, 2009)。而 Akdemir & Koszalka (2008)對引導之定義為在學習過程中，透過提供學習者準確和完整的程序資訊或相關的陳述性知識，讓學習者能夠學習到如何完成學習任務和解決問題。在引導策略中，在依照不同程度的指引或提示引導策略可分為高度引導或低度引導(Matlen & Klahr, 2013)。其中高度引導為提供步驟性或明確的指示以幫助學習者進行學習活動，其引導是可以幫助學習者完整的解釋概念的資訊，以符合人類的認知結構(Kirschner, Sweller, & Clark, 2006)；低度引導為僅利用探索性的問題進行學習，應用方式如發現式學習(Discovery Learning)、問題導向學習(ProblemBased Learning)。. 貳、引導策略對學習之影響部分研究者認為高度引導可以提供學習者明確的指引以促進認知處理，達到有效的學習成效(Klahr & Nigam, 2004; O’Neil, Chung, Kerr, Vendlinski, Buschang, & Mayer, 2014)，而低度引導的學習者在學習過程中有許多必須自己做出決策的思考，而 Roy 和 Chi (2005)認為過多的思考可能使學習者產生較高的認知負荷。以廖邦捷(2012)為例，在教學電化學實驗時以程序引導優於反思引導，程序引導策略幫助學習者以循序的方式觀察化學反應的變化，因此在概念理解的同時以循序的方式記憶在腦海中，相較於問題引導策略中學習者必須從觀察中找尋問題的解 20.

(31) 答，導致學習者在概念理解上沒有循序的理解並記憶。然而，有部分研究者卻認為學習者在高度引導的情況下將成為被動的角色，由於引導所給予之資訊無法使學習者進行反思，因此造成知識無法遷移進入長期記憶中而暫存於短期記憶，以致無法應用到真實情境中。也因為程序性引導透過規劃好的詳細既定步驟進行提示與教學，學習者提高能力後，反而阻礙自由思考。透過低度引導促使學習者主動學習，進行問題的反思進而建構知識，並儲存至長期記憶中以達到較好的學習表現(Dean & Kuhn, 2007; Schwartz, Chase, Oppezzo, & Chin, 2011)。 Ucar 與 Trundle (2011)採用傳統式教學、模擬式教學、及引導式發現等三組來探討潮汐現象的原因，模擬式教學以網站提供的模擬工具讓學習者直接透過觀察潮汐的模擬來學習，而引導發現組須自行上網搜尋相關資料，組織成潮汐變化圖並推論潮汐形成成因。以統計分析顯示在科學概念理解上，引導式發現組之學習表現顯著優於其他兩組。由上述兩個範例可知，提供不同程度的引導策略對學習者在學科概念上的理解都是有幫助的，因此，在設計教材時也必須考量學習者對該學科的先備知識程度來設計教學上的引導策略。本研究以 Hill 與 Hannafin (2001)提出之鷹架作為引導方式的設計概念，其中包含：反思引導及程序引導。. 一、反思引導 Soloman (1987)認為反思是個體將過去的經驗與新接受到的學說理論進行調和的過程，經由學習的問題進行反省，由此建構出屬於個人的知識。故反思引導是以學習者的先備知識為出發點，透過提問的方式讓學習者發現與解決問題。在教學活動中給予適當的問題提示讓學習者對問題進行思考與探究，可引發學習者對於學習內容進行反思，以便建構個人的知識與意義(Soloman, 1987)，學習者也能透過反思引導策略主動檢視、測試、與修正既有的想法(Davis, 2000)。. 21.

(32) 二、程序引導程序引導提供一步一步地提示資訊，幫助學習者在面對不熟悉的學習環境時，能夠掌握學習流程，包括提供詳細步驟、逐步提示等，以提供學習者直接引導的方式，讓學習者把焦點放在教學活動任務上，不會因過於複雜的教學內容影響學習者在課程單元上的心力(Hill & Hannafin, 2001)，除了能幫助學習者完成學習任務，並協助學習者建構新的知識內容以達到更深層的認知發展(Veerman, Andriessen, & Kanselaar, 2000)。. 22.

(33) 第五節先備知識壹、先備知識之定義先備知識不僅僅是學科上的知識，是由個體先前所具有的態度、經驗和知識所建構而成(Dochy, 1996)。先備知識在不同領域有不同的定義，以先備知識的廣泛定義而言，是一種在學習過程中可以導入的知識、技能或能力 (Jonassen & Gabowski, 1993)。Dochy (1994)則定義了先備知識是指個體儲存在長期記憶中的基模。個體在進行學習活動時會將舊知識與新資訊做連結，幫助個體吸收新的知識，建構為新的知識概念。故透過先備知識可以幫助學習者在學習過程中吸收更多的元素與資訊(Sweller, 2008)。. 貳、先備知識對學習之影響在基模理論中其中一個學習原則為現存基模的訊息適不適合納入現存的基模中，決定訊息是否容易被理解、學習與保留(Anderson & Bower, 1973)。 Pressley與McCormick (1995)提出先備知識對學習之影響可能包含以下四項： (1)不同先備知識學習者會選用不同的學習策略幫助學習；(2)學習者的認知思考策略有助於推動學習活動的進行；(3)先備知識對於學習者將舊知識與新知識連結是有利的；(4)先備知識若夠豐富有時可以取代學習策略。因此不同高低先備知識程度的學習者在運用策略時會有不同的表現，相同的教學策略與學習活動也會因為學習者的先備知識程度與個人差異而使學習成效不同。故在設計學習活動及選用教學策略時，應需要將學習者的先備知識程度納入考量(Recht & Leslie, 1988)。. 23.

(34) 第三章. 研究方法. 本研究透過體驗式學習循環協助學習者學習數學遞迴單元概念，旨在探討數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)、引導策略(程序引導、反思引導)及先備知識(高先備知識、低先備知識)對於高中二年級學習者在數學遞迴單元的學習成效及數學學習動機之影響。以下將對於研究對象、研究設計、實驗流程、研究工具及資料處理與分析進行說明。. 第一節研究對象研究對象為高中二年級學生，研究樣本為桃園市某高中二年級的學生 117 人，學生入學前經過國中基本學力測驗篩選，錄取分數中等偏向高分。為配合學校課程之安排，以舉辦數學營隊之方式於周末進行本次實驗教學，學習者完成研習活動後頒予研習證明。教學實驗以班級為單位，分梯次於 2017 年 4 月 15 日至 16 日間實施。並依照數位學習環境及引導策略，隨機分派為「擴增實境學習環境組」或「虛擬實境學習環境組」、「程序引導組」或「反思引導組」及「高先備知識組」或「低先備知識組」。本研究之研究對象皆具備基本的電腦以及平板電腦操作技能，在高中數學課綱之規畫下，學習者曾有接觸過數學遞迴相關知識。本研究實驗教學共 180 分鐘，剔除極端值 8 人與剔除高先備知識及低先備知識介於 45%~55%之學習者 13 人後，有效樣本為 96 人。各組人數分配如表 3-1 所示，「反思引導-高先備知識」24 人，「反思引導-低先備知識」24 人，「程序引導-高先備知識」24 人，「程序引導-低先備知識」24 人，「擴增實境-反思引導」24 人，「擴增實境-程序引導」26 人，「虛擬實境-反思引導」24 人，「虛擬實境-程序引導」22 人。合計虛擬實境組共 46 人，擴增實境組共 50 人，反思引導組 48 人，程序引導組 48 人，高先備知識組 48 人，低先備知識組 48 人。. 24.

(35) 表 3-1 教學分組及各組人數分配表引導策略反思引導. 程序引導. 數位學習環境. 虛擬實境. 擴增實境. 合計. 高先備知識. 12. 12. 24. 低先備知識. 12. 12. 24. 合計. 24. 24. 48. 高先備知識. 11. 13. 24. 低先備知識. 11. 13. 24. 合計. 22. 26. 48. 46. 50. 96. 先備知識. 合計. 第二節研究設計本研究採用因子設計(Factorial Design)之準實驗研究法，旨在探討不同數位學習環境(擴增實境、虛擬實境)下，不同先備知識(高先備知識、低先備知識)高中學習者對不同教學引導策略(程序引導、反思引導)之在數學遞迴單元的學習成效和學習動機之影響。數位學習環境與教學引導策略之研究設計及教學活動設計分別敘述如下：. 壹、研究架構本研究之研究設計架構如圖 3-1 自變項有三，分別為「數位學習環境」、「引導策略」及「先備知識」。「數位學習環境」是依據學習者在學習時所處環境的不同做分類，分為「擴增實境組」與「虛擬實境組」。兩組的學習工具皆是平板電腦，主要學習環境之差別在「擴增實境組」學習者於實體場景中透過動手操作實體教具結合虛擬輔助資訊進行體驗式遊戲學習。而「虛擬實境組」學習者利用平板中的虛擬場景進行體驗式遊戲學習，操作虛擬教具結合虛擬輔助資訊。「引導策略」是指在教學實驗進行時，提供不同的教學引導策略輔助下做分類，分為「程序引導」及「反思引導」。「程序引導」組依據操作結果給予逐步詳細的觀察引導或解題步驟，並要求將學習內容紀錄至學習單，確保學習者一步一步完成每個教學活 25.

(36) 動。「反思引導」組依據操作結果提出反思性問題，讓學習者根據操作結果進行推理思考並於學習單紀錄問題之答案。「先備知識」為學習者在實驗教學前，作為學習者在學習活動時鑑別先備知識程度之依據，分數越高者代表所具備的遞迴概念先備知識越高，反之分數越低代表所具備的遞迴概念先備知識越低，因此本研究將先備知識分為「高先備知識」與「低先備知識」，分組方式按照先備知識測驗卷之總分高低排序，總分前 45%的學習者為高先備知識組，總分後 45%的學習者為低先備知識組。本研究之依變項有二，分別為「數學遞迴單元學習成效」與「數學遞迴單元學習動機」。「數學遞迴單元學習成效」是指學習者在經過實驗教學活動後對於數學遞迴單元的學習表現，分為知識理解與知識應用兩個向度。「數學遞迴單元學習動機」其目的為了解學生在不同的數位學習環境與不同的教學引導策略下進行學習活動後，學生對於教學活動整體的感受及想法，包含價值成份(內在目標、外在目標、工作價值)與期望成份(控制信念、自我效能、期望成功)兩個向度。. 自變項. 依變項. 一、數位學習環境. 一、數學遞迴學習成效. 1. 擴增實境. 1. 知識理解. 2. 虛擬實境. 2. 知識應用. 二、引導策略. 二、數學學習動機. 1. 程序引導. 1. 價值成份. 2. 反思引導. 內在目標. 三、先備知識. 外在目標. 1. 高先備知識. 工作價值. 2. 低先備知識. 2. 期望成份控制信念自我效能期望成功. 圖 3-1 數位學習環境對高中數學遞迴單元學習之研究設計架構圖 26.

(37) 貳、學習活動設計本研究之學習活動設計以遊戲式學習為主軸、體驗式學習為理論架構，設計出體驗式遊戲學習活動－「呱呱保衛戰」，以不同數位學習環境搭配不同的教學引導策略幫助高中二年級學習者學習數學遞迴單元，欲探討其學習成效與數學學習動機，以下就學習內容與學習目標、遊戲設計發展工具、遊戲設計理念和體驗式遊戲學習活動設計分別說明。. 一、課程內容與學習目標本研究實驗教材為根據教育部普通高中數學課程必修科目數學課程綱要中「數列與級數」的「遞迴」單元進行單元內容的篩選與編製，並且所有教材內容及測驗試題皆經過現任高中數學科教師修訂而成。本研究課程學習目標如下： . 列出等差數列與二階數列問題之規律. . 寫出等差數列與二階數列的遞迴關係式. . 將等差數列與二階數列的遞迴關係式轉換為數學一般式. 以上學習內容主要概念將搭配學習單及數位教材進行教學，其知識架構如圖 3-2 所示，而數學遞迴單元之主要概念、學習目標及認知層次分類詳述於表 3-2。. 27.

(38) 尋找等差數列規律等差數列型遞迴. 等差數列遞迴關係式等差數列一般式. 遞迴. 尋找二階數列規律二階數列型遞迴. 二階數列遞迴關係式二階數列一般式. 圖 3-2 遞迴單元課程相關概念知識架構圖. 表 3-2 「遞迴單元」之主要概念、學習目標與認知層次分類表主要概念. 學習目標. 認知層次. 能夠列出等差數列問題之規律等差數列型遞迴能夠寫出等差數列的遞迴關係式能夠將等差數列的遞迴關係式轉換成一般式. 知識理解知識理解知識應用. 能夠列出等二階列問題之規律二階數列型遞迴能夠寫出等二階列的遞迴關係式能夠將二階數列的遞迴關係式轉換成一般式. 知識理解知識應用知識應用. 二、遊戲設計發展工具本研究之擴增實境遊戲與虛擬實境遊戲設計工具皆採用 Unity3D 遊戲引擎為遊戲開發環境，結合 PTC 公司提供的擴增實境模組套件 Vuforia 進行擴增實境程式開發。如圖 3-3 所示，運用 Unity3D 內的資源商店(Asset Store)下載免費或付費的物件模型，並透過可視化的物件編輯環境擺放遊戲中物件的位置，再利用功能彈性的 C#程式撰寫供學習者操作的程式，設計出符合具備課程目標與遊戲互動. 28.

(39) 性的教材內容。如圖 3-4 所示，Unity 編輯介面分為「可視的場景編輯區」、「遊戲畫面預覽區」、「物件編輯區」、「物件詳細屬性」、「專案資料夾」及「素材選取區」，而「程式撰寫環境」如圖 3-5 所示。. 圖 3-3 Unity3D-遊戲資源商店介面. 圖 3-4 Unity3D-遊戲引擎編輯介面. 29.

(40) 圖 3-5 Visual Studio-程式撰寫介面. 三、呱呱保衛戰遊戲情境說明在「呱呱保衛戰」學習任務開始時，會先以一段故事情境說明遊戲背景與任務目標，如圖 3-6 及圖 3-7。學習者在遊戲中扮演青蛙呱呱的小幫手，協助青蛙呱呱趕走入侵的壞壞鱷魚，為此學習者必須設計能進駐青蛙的防禦塔並且派遣青蛙在時間內取得建材，完成青蛙呱呱交付的任務。. 圖 3-6 遊戲開場畫面 30.

(41) 圖 3-7 遊戲背景說明. 四、學習環境與教具說明本研究之學習者分別於「擴增實境數位學習環境」與「虛擬實境數位學習環境」中以平板電腦進行學習。擴增實境組實體教具如圖 3-8 所示包括：1. 實體池塘場景。2. 木製立方體三塊。3. 面向右方與面向左方不同顏色青蛙各三隻。4. 學習單。5. 平板電腦。學習者經由實體教具進行任務活動，一方面除了可以實際動手操作內容與填寫學習單，另一方面可以透過平板電腦同時提供虛擬資訊供學習者參考以完成操作。而虛擬實境組實體教具包括學習單與平板電腦。學習者經由平板進行任務活動，透過平板電腦操作內容，同時平板電腦提供虛擬資訊供學習者參考以完成操作再移至學習單進行內容的填寫，如圖 3-9 所示。. 31.

(42) 圖 3-8 擴增實境學習環境組實體教具. 圖 3-9 虛擬實境學習環境組實體教具. 五、遊戲設計架構. 32.

(43) 本研究之學習活動設計以體驗式學習循環為理論架構，學習者透過遊戲任務，在經歷「具體經驗」、「反思觀察」、「抽象概念」與「主動驗證」四個學習階段後，可以在過程中有效地建立數學遞迴單元概念，如. 表 3-3 所示。. 表 3-3 體驗式循環意義與數位學習環境融入規劃循環階段. 循環階段意義. 本研究實驗之策略規劃. 具體經驗. 以活動來促進學習者的參與，讓學習者操作教具，透過遊戲具透過這樣的問題解決歷程循序體感受數列的規律，並且搭配虛漸進地達到活動的學習目標，擬資訊以輔助學習。並學習到有價值的知識。. 反思觀察. 學習者比較過去的知識與經透過步驟提示，運用先前的操作驗，在活動體驗的過程中，可經驗，觀察數列前後項的差值，並以藉由省思與檢視去瞭解本身推論出數列前後項的遞迴關係。問題存在或是產生疑惑的地方，並設法連結經驗來找出問題的解決方法。. 抽象概念. 將思考過程中的想法與過往經透依程式的引導策略顯示抽象符驗結合後形成概念以作為理想號的運算，完成數學一般式轉換。中解決問題的最佳方法。. 主動驗證. 體驗式學習的成效，即是個人透過立即回饋的方式，以形成性能夠應用參與活動的所有經驗測驗驗證此階段中所建立的觀念及所得，把所學習到的知識推是否正確。理運用到其他不同情境的問題上，或是應用到個人的日常生活當中。. 六、遊戲學習活動設計本研究之體驗式遊戲學習活動目的在幫助學習者透過遊戲情境所給予之任務，從中藉由動手操作學習數學遞迴單元的概念與應用，進而提升學習成效與學習動機。「呱呱保衛戰」依據「等差數列型遞迴」與「二階數列型遞迴」二單元之 33.

(44) 學習內容與目標規劃學習活動，包括主題、學習目標、任務名稱、學習內容四個部分，如表 3-4 所示。以下分別就「擴增實境學習環境組」與「虛擬實境學習環境組」進行學習活動設計的介紹。. 表 3-4 呱呱保衛戰學習活動內容規劃表主題. 學習目標. 任務名稱. 學習內容. 等差數列型學習者動手疊任務 1、搭建塔台遞迴高防禦塔，計數能進駐之青 1-1 疊高防禦塔進駐蛙協助呱呱建造防禦塔塔，了解等差數列問題蛙數，進而推力理等差數列規律、遞迴關係式與數學一般式。. 1-2 觀察進駐青蛙數差等差數列之間的規律值差值 1-3 反思進駐蛙數數學等差數列各項之間以式數學式呈現 1-4 推論等差數列的遞等差數列的遞迴關係迴關係式式 1-5 等差數列的一般式. 二階數列型學習者動手跳遞迴青蛙解謎，計數青蛙過河所需步伐數，進而推理二階數列規律、遞迴關係式與數學一般式。. 等差數列的數學一般式. 任務 2、青蛙過河 2-1 取得建材所花費步協助青蛙過河，了解二伐數階數列問題 2-2 觀察青蛙步伐數差二階數列之間的規律值差值 2-3 推測步伐數學式. 二階數列各項之間以數學式呈現. 2-4 推論二階數列的遞二階數列的遞迴關係迴關係式. 式. 2-5 代入就有解的一般二階數列的數學一般式式. （一）、呱呱保衛戰擴增實境遊戲任務學習歷程與操作說明在擴增實境學習環境中又分為「程序引導組」與「反思引導組」，其學習流程如圖 3-10。 34.

(45) 圖 3-10 擴增實境學習環境組學習流程. 35.

(46) 在體驗式學習環中的第一階段「具體經驗」中，學習者經由遊戲中角色的對話獲得遊戲背景及任務說明，其中角色對話所介紹之遊戲背景與生活情境相關，讓學習者與現實的經驗作連結。如圖 3-11 所示，在任務一「搭建塔台」的 1-1「疊高防禦塔進駐蛙力」中，學習者依照任務問題動手疊高防禦塔，透過旋轉、點擊等方式計數防禦塔可以進駐的青蛙數目。程式強調進駐的青蛙已數過避免學習者重複計數，如圖 3-12。關於任務一任務問題的操作敘述如下： 1. 請依呱呱的指揮來蓋防禦塔，首先將正方體(1F)放置到池塘上，正方體搭建的防禦塔每一面可以進駐一隻青蛙防守，能幫我看看一層樓的防禦塔能進駐幾隻青蛙嗎？ 2. 如果要蓋兩層樓的防禦塔能進駐幾人嗎？麻煩你將另一塊正方體(2F)疊上原本的正方體上頭，正方體搭建的防禦塔每一面可以進駐一隻青蛙防守，能幫我看看兩層樓的防禦塔能進駐幾隻青蛙嗎？ 3. 請再幫我將第三層的防禦塔(3F)疊上來，成為三層樓的防禦塔，能再數數看三層樓的防禦塔能進駐幾隻青蛙嗎？學習者必須動手建蓋塔台並計數進駐的青蛙數，接著進行學習單的填寫，成功紀錄完成後，進行後續的學習。. 36.

(47) 圖 3-11 學習者依照任務問題動手疊高防禦塔. 圖 3-12 擴增實境組強調進駐的青蛙已數過避免學習者重複計數. 如圖 3-13 所示，在任務二「青蛙過河」的 2-1「取得建材所花費步伐數」中學習者依照任務問題動手移動青蛙過河，計數青蛙過河需要的步伐數。程式強調各隻青蛙移動的步數、可移動之方向與總步伐數，如圖 3-14。. 37.

(48) 圖 3-13 學習者依照任務問題動手移動青蛙過河計數青蛙過河需要的步伐數. 圖 3-14 擴增實境組程式強調各隻青蛙移動的步數、可移動之方向與總步伐數. 關於任務二之任務問題問題規則與操作敘述如下： 1. 剛才規劃了防禦塔的設計圖，現在呱呱要趕緊派青蛙過河搬運防禦塔的建材。 2. 如圖 3-15 所示，先左右各派一隻青蛙：取出綠蛙(L1)放置在左側石頭上，取出藍蛙(R1)放置在右側石頭上。 3. 一次只能選擇移動一隻青蛙。綠色青蛙只能向右移動，藍色青蛙只能向左移動！青蛙能跳到相鄰的空石頭上，試著將綠色青蛙向右移動一步。 38.

(49) 4. 另外要記住的是青蛙只能往前，不能退後。 5. 此外，青蛙能跳過一隻青蛙到相鄰的空石頭上，試著移動藍色青蛙向左跳躍過綠色青蛙到空石頭上。 6. 如圖 3-16 所示，遊戲目的就是將左邊的青蛙和右邊的青蛙位置互換。換句話說，左邊的青蛙移到最右邊的石頭，右邊的青蛙移到最左邊的石頭。 7. 左右各派兩隻青蛙時，將左邊的青蛙和右邊的青蛙位置互換需要多少步伐數。 8. 左右各派三隻青蛙時，將左邊的青蛙和右邊的青蛙位置互換需要多少步伐數。. 圖 3-15 左右各派一隻青蛙時問題初始狀態. 39.

(50) 圖 3-16 左右各派一隻青蛙時問題完成狀態. 第二階段「反思觀察」與第三階段「抽象概念」中，程式使用不同的教學引導策略，透過引導使學習者能觀察數列規律資訊，並將之與具體經驗連結，再顯示抽象符號的運算，促使學習者統整在遊戲任務所經驗到的概念，完成數學一般式轉換。在程序引導組中所給予的引導為步驟性的指引，學習者依照指示循序觀察，完成指引步驟後將會出現「填寫學習單」的提醒按鈕，學習者必須按下按鈕後才能繼續進行下一步驟，如圖 3-17；反思引導組中所給予的引導則為問題式的指引，給予該階段所包含概念的相關屬性之問題，學習者透過觀察之結果寫出自行觀察反思後的答案，並且也提供足夠的提示，確保所有學習者都能正確回答問題，如圖 3-18。在擴增實境組中，學習者透過掃描學習單裡的 Marker 顯示各階段之觀察重點同步於學習單上，如圖 3-19；在虛擬實境中，學習者於平板電腦中進行觀察。. 40.

(51) 圖 3-17 完成指引步驟後將會出現「填寫學習單」的提醒按鈕. 圖 3-18 反思引導組中所給予的引導則為該階段所包含概念相關屬性之問題的指引. 41.