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3-2-1空間中的直線與平面-空間概念與空間坐標系

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Academic year: 2021

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(1)第三冊 2-1 空間中的直線與平面-空間概念與空間坐標系 【性質】 1. 空間的基本要素:點、線、面、體。 2. 畫圖時,有時配合上虛線可以增加立體感。 3. 直線通常只畫成有端點的線段。 4. 平面通常畫成有邊界的樣子,以有界的型式表示,便於理解與討論。 【性質】 1. 空間中,點、線、面有下列三個基本公設: (1)過空間中兩相異點,恰有一直線存在。 (2)不在同一直線上的三相異點恰決定一平面。 (3)若一直線上有相異兩點在一平面上,則此直線在該平面上。 (4)若兩相異平面上有一共同點,則此兩平面的所有共同點恰為一直線。 2. 決定空間中一直線的條件: (1)空間中相異兩點。 3. 決定空間中一平面的條件: (1)空間中不共線三點。 (2)一線與不在線上的一點。 (3)相交於一點的兩線。 (4)兩平行線。 4. 空間中直線與平面的關係如下: (1)直線與直線的關係: (a)相交:恰交於一點。 (b)平行:共平面但不相交。 (c)歪斜:不平行且不相交。 (2)直線與平面的關係: (a)相交:直線與平面恰交一點。 (b)平行:直線與平面不相交。 (c)重合:直線在平面上。 (3)平面與平面的關係: (a)相交:兩平面恰交於一直線。 (b)平行:兩平面不相交。 註:平行不含重合。 【定義】 1. 空間中兩直線平行: 空間中相異兩直線共平面而不相交,稱為平行。 2. 空間中兩直線互為歪斜: 空間中相異兩直線不共平面,必不相交,稱此兩直線是一組歪斜線。 註:空間中既不平行也不相交的兩直線。 3. 空間中兩平面平行: 空間中相異兩平面 E1 與 E 2 沒有共同點時, E1 與 E 2 就不相交,稱不平行,記 為 E1 // E 2 。當 E1 與 E 2 有共同點時, E1 與 E 2 恰交於一直線。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P1.

(2) 【定義】 1. 直線 L 與平面 E 垂直: 直線 L 與平面 E 交於一點 P 時,若平面 E 上,每一條過點 P 的直線都與直線 L 垂直,則稱直線 L 與平面 E 垂直。 註: 實際上只要兩條平面上的直線與直線 L 垂直即可得證直線 L 與平面 E 垂直。 2. 稜: 兩平面 E1 , E2 相交於一直線 PQ ,此直線稱為稜。 3. 二面角: 相異兩半平面與稜的聯集稱為二面角,兩半平面 E, F 稱為此二面角的兩邊或 兩面。當二面角為 90° 時,稱二面角為直二面角。 4. 二面角的平面角(兩半平面所構成的角): 假設直線 L 是二面角的稜,點 P 在直線 L 上,點 A, B 分別在二面角中的兩平 面 E1 , E2 上,且 PA ⊥ L, PB ⊥ L ,則 ∠APB 的角度是此二面角的平面角。. E1 L. E2. A P. θ B. 5.. 兩平面的垂直與平行: 兩平面相交有四個夾角, (1)若兩平面 E1 , E2 的夾角為直角,則稱平面 E1 與 E2 垂直,記為 E1 ⊥ E2 。 (2)若兩平面 E1 , E2 不相交,則稱平面 E1 與 E2 平行,記為 E1 // E2 。 【問題】 1. 一個長方體,以其中不同的頂點當始點與終點可以決定幾個不同向量?稜可 以決定幾個不同向量?互相歪斜的稜共有幾個? 2. 設兩平面 E1 , E 2 所夾的二面角為 θ ,現有線段 AB ∈ E1 ,試問 AB 在平面 E 2 上 的投影長度為何?是否為 AB⋅ | cos θ | ? 3. 設兩平面 E1 , E 2 所夾的兩面角為 θ ,現有 ∆ABC 面積為 S ,試問 ∆ABC 在平面 E 2 上的投影面積為何?是否為 S ⋅ | cos θ | ? 4. 設 A, B 為空間中的任意兩點,試問滿足 PA = PB 之點 P 所成圖形為何?. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P2.

(3) 【定理】 1. 若直線 L 與平面 E 交於點 P ,則 L 與 E 垂直的充要條件是平面 E 上有過 P 的 兩相異直線 L1 , L2 與直線 L 垂直。 註:若只有一條直線與 L 垂直,則過此條直線的平面不一定是唯一。 證明: L A E P. Q1 L1 Q2 L2 Q M. B. (1)在直線 L 上取相異兩點 A, B , 使 AP = BP , 設直線 M 為平面 E 上過點 P 的直線, 在直線 L1 , L2 , M 上分別取點 Q1 , Q2 , Q , 使這三點共線, 連接 AQ1 , AQ2 , AQ, BQ1 , BQ2 , BQ 。 (2)因 L1 , L2 垂直 L 於點 P , 則 L1 , L2 為 AB 的中垂線, 所以 AQ1 = BQ1 , AQ2 = BQ2 , 又 Q1Q2 = Q1Q2 , 則 ∆AQ1Q2 ≅ ∆BQ1Q2 , 故 ∠AQ1Q2 = ∠BQ1Q2 。 (3)因 AQ1 = BQ1 , ∠AQ1Q = ∠BQ1Q , 又 Q1Q = Q1Q , 則 ∆AQ1Q ≅ ∆BQ1Q , 故 AQ = BQ 。 (4)因 AQ = BQ , 所以 PQ 為 AB 的中垂線, 則L ⊥ M ⇒ L⊥ E。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P3.

(4) 【定義】 1. 坐標平面: x 軸、 y 軸再加上 z 軸就可建立一個空間坐標系,這三個軸都稱坐標軸,它 們兩兩互相垂直,且交會於同一點,即原點,通常以 O 表示。 x 軸與 y 軸所 決定的平面稱為 xy 平面, y 軸與 z 軸所決定的平面稱為 yz 平面, z 軸與 x 軸 所決定的平面稱為 zx 平面,這三個平面都稱為坐標平面。 2. 投影: 若過點 P 與平面 E 垂直的直線交平面 E 於 Q,則稱點 Q 為點 P 在平面 E 上的 投影。 3. 空間坐標: 設點 P 在平面 E 上的投影為 Q,它在 xy 平面上的平面坐標為 (a, b),P 點在 z 軸上的投影為 C ,它在 z 軸上的坐標為 c ,則稱點 P 的空間坐標為 (a, b, c) 。 我們稱 a, b, c 分別是 P 點的 x 坐標、 y 坐標、 z 坐標。 z C. c P(a,b,c) b. a. y. Q(a,b,0). x. 註: 設點 P 的坐標 (a, b, c) ,點 P 在 xy 平面與 x 軸的投影分別為 Q, R ,試問 Q 點 在 x 軸的投影點是否為 R 點?(即點 P 直接投影到 x 軸上定坐標,結果是否 相同?) 註:對點 P(a, b, c) 而言: (1)對 x 軸的投影點為 (a,0,0) , 對 y 軸的投影點為 (0, b,0) , 對 z 軸的投影點為 (0,0, c) 。 (2)對 xy 平面的投影點為 (a, b,0) , 對 yz 平面的投影點為 (0, b, c) , 對 zx 平面的投影點為 (a,0, c) 。 (3)對原點的對稱點為 (− a,−b,−c) , 對 x 軸的對稱點為 (a,−b,−c) , 對 y 軸的對稱點為 (−a, b,−c) , 對 z 軸的對稱點為 (− a,−b, c) 。 (4)對 xy 平面的對稱點為 (a, b,−c) , 對 yz 平面的對稱點為 (−a, b, c) , 對 zx 平面的對稱點為 (a,−b, c) 。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P4.

(5) 4.. 三垂線定理: 設 E 是一平面,直線 L 垂直平面 E 於 Q ; M 為平面 E 上不經過點 Q 的直線; 若過點 Q 的直線 QR 與直線 M 垂直於 R ,則直線 L 上任意點 P ,直線 PR 與 直線 M 互相垂直。 P L E. Q. M R. O. 證法一: 設 O 是直線 M 上異於 R 的一個點, 2. 2. 2. 2. 2. 2. 因 PQ ⊥ QR ⇒ PQ + QR = PR 及 QR ⊥ OR ⇒ QR + OR = OQ , 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 則 PR + OR = PQ + QR + OR = PQ + OQ = OP , 故直線直線 PR 與直線 M 互相垂直。 證法二:. vv v v v v v v v v v. 因 P R ⋅ RO = ( P Q + Q R ) ⋅ RO = P Q ⋅ RO + Q R ⋅ RO = 0 + 0 = 0 , 故 P R ⊥ RO 。 註: 三垂線定理的逆命題: 若直線 PQ 垂直平面 E 於 Q 點,直線 PR 垂直平面 E 上不過點 Q 的一直線 M 於 R 點,則 QR 垂直直線 M 於 R 點。 5. 第一卦限: 三個坐標平面將空間分割成八個區域,每個區域稱為一個卦限, x 坐標、 y 坐標、 z 坐標皆為正數的卦限稱為第一卦限。 6. 兩點的距離: 空間中兩點 P ( x1 , y1 , z1 ) 與 Q ( x2 , y 2 , z 2 ) 的距離公式為. PQ =. ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 。 P(x1,,y1,z1). Q(x2,,y2,z2). 註:對點 P(a, b, c) 而言: (1)到 x 軸的距離為 b 2 + c 2 ,到 y 軸的距離為 a 2 + c 2 ,到 z 軸的距離為 a2 + b2 。 (2)到 xy 平面的距離為 | c |,到 yz 平面的距離為 | a |,到 zx 平面的距離為 | b |。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P5.

(6) 【性質】 1. 任兩相異直線必有公垂線。 2. 垂直於同一平面之兩相異直線必平行; 垂直於同一直線之兩相異平面必平行。 3. 過直線上一點有無窮多直線與此直線垂直; 過平面上一點恰可作一直線與此平面垂直。 4. 過直線外一點有無窮多直線與此直線垂直; 過直線外一點恰可作一直線與此直線平行; 過直線外一點恰可作一平面與此直線垂直; 過直線外一點有無窮多平面與此直線平行。 5. 過平面外一點恰可作一直線與此平面垂直; 過平面外一點有無窮多直線與此平面平行; 過平面外一點有無窮多平面與此平面垂直; 過平面外一點恰可作一平面與此平面平行。 6. 平面 E 上與不在 E 上的直線 L 若相交,其交點是唯一的。 過此交點的直線有無窮多條,其中至少有一條直線與 L 垂直。 【問題】 1. 如何定義一組歪斜線的夾角? 解: 選擇一點 O (可選在任何地方) 過 O 分別作 L1 , L2 的平行線 L1 ' , L2 ' 規定 L1 ' , L2 ' 之夾角為 L1 , L2 的夾角。 2. 試求邊長分別為 a, b, c 的立方體中兩對角線的夾角為何? 3. 試求正四面體中任意兩面所夾二面角的大小? 4. 試求正八面體中任意兩面所夾二面角的大小? 5. 設金字塔型的各稜長均為 a ,試求兩側面所夾的兩面角為何?一側面與一底 面所夾的二面角為何? 6. 試問正立方體的稜長中可以組成幾組歪斜線? 7. 試問過正立方體的頂點所形成的直線中可以組成幾組歪斜線? 8. 設正四面體任兩面所夾的二面角為 θ ,求 cos θ 之值。 1 (解: ) 3. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P6.

(7) 【公式】 1. 正三角形邊長為 a ,則. 3 a。 2 3 2 a 。 (2)面積為 4 (1)高為. 2. 長方體三邊長為 a, b, c ,則對角線長為 a 2 + b 2 + c 2 。 3. (1)柱體體積 = (底面積) × (高)。 1 (2)錐體體積 = × (底面積) × (高)。 3 (3)球體半徑 r ,則 (a)表面積為 4πr 2 。 4 (b)體積為 πr 3 。 3 4. 正四面體稜長為 a ,則. 6 a。 3 2 2 (2)體積為 a 。 12 (3)表面積為 4 3a 2 。. (1)高為. 6 a。 12 6 a。 (5)外切球半徑為 4 (4)內切球半徑為. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P7.

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參考文獻

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