1-3-1多項式-多項式的四則運算

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(1)1-3-1 多項式-多項式的四則運算【定義】 1. 多項式的定義： x 與實數的加減乘所組成的式子稱為 x 的多項式，即形如 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0 的式子，稱為 x 的多項式，其中 a n , a n −1 , L , a1 , a 0 稱為多項式 f (x ) 的係數，且若 a n ≠ 0 時， a n 稱為領導(首項) 係數， a 0 稱為常數項。 2. 次數： f (x ) 中係數非零者中，次數最高者稱為 f (x ) 的次數，記為 deg f ( x ) = n ，此時 f (x ) 稱為 n 次多項式。 3. 單項式：只含一個項的多項式。 4. 常數多項式： f ( x ) = c, c ≠ 0 時，稱零次多項式，其次數為零次。 f ( x ) = 0 時，稱零多項式，不定義次數。 5. 多項式的相等：設 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0 ， g ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + L + b1 x + b0 ，則 f ( x ) = g ( x ) 的充要條件為 n = m, a n = bm , L , a1 = b1 , a 0 = b0 。【性質】多項式的排列方法有： 1. 遞增排列(升羃排列)，形如 f ( x ) = a 0 + a1 x + L + a n −1 x n −1 + a n x n 。 2. 遞減排列(降羃排列)，形如 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0 。多項式的呈現方法有： 1. 因式形(多用於求解)，形如 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 ) L ( x − x n ) 。 2. 層套形(多用於計算器求值)，形如 f ( x ) = x( x ( ax + b) + c ) + d 。若一個多項式 f (x ) 的每項係數都屬於同一個集合 S ，就稱 f (x ) 是布於 S 的多項式，記為 f ( x ) ∈ S [ x ] 。一般討論的有 Z , Q, R, C 等情形，即整系數多項式、有理系數多項式、實系數多項式、複數系數多項式，且在各種集合中的因式分解方法不盡相同。【定義】 1. 多項式的加法、減法：設 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0 ， g ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + L + b1 x + b0 , n ≥ m ，則 f ( x ) + g ( x ) = (a n + bn ) x n + L + ( a m + bm ) x m + L + ( a1 + b1 ) x + ( a 0 + b0 ) f ( x ) − g ( x) = ( a n − bn ) x n + L + ( a m − bm ) x m + L + ( a1 − b1 ) x + ( a 0 − b0 ) 且若 f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0 ，則 deg( f ( x) + g ( x)) ≤ max(deg f ( x ), deg g ( x )) 。 2. 多項式的乘法：設 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0 ， g ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + L + b1 x + b0 , n ≥ m ，則 f ( x ) × g ( x ) = a n bm x n + m + L + ( a1b0 + a 0 b1 ) x + a 0 b0 。且若 f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0 ，則 deg( f ( x ) × g ( x )) = deg f ( x) + deg g ( x ) 。.

(2) 3. 多項式的除法： (1)多項式的運算基本上就是要使同類項合併。 (2)多項式的乘法一般有橫式算法、直式算法、分離係數法。多項式的除法一般有長除法、分離係數法、綜合除法。【問題】設 ( x + 1)( x + 2) L ( x + n) = a n x n + a n −1 x n −1 + L + a1 x + a 0，試以 n 表出 a n , a 0 a n −1 , a n − 2 等之值。【原理】除法原理：設 f (x ) 與 g (x ) 是兩個多項式且 g ( x) = ( x − c ) 不是零多項式，則有唯一的多項式 q (x) 與 r (x ) ，使得 f ( x ) = g ( x )q ( x ) + r ( x ) 且 r ( x) = 0 或 deg r ( x) < deg g ( x ) 。【問題】 b 若 f (x ) 除以 ( ax − b) 之商為 q (x) 、餘式為 r ，則 f (x ) 除以 ( x − ) 之商及餘式各為 a 何？【方法】綜合除法： f (x ) 除以 g ( x ) = x − c 時，若 f ( x) = a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0 = ( x − c)(b2 x 2 + b1 x + b0 ) + r = b2 x 3 + (b1 − cb2 ) x 2 + (b0 − cb1 ) x + ( r − cb0 ). b2 = a3 ⎧ ⎪b − cb = a ⎪1 2 2 ，則⎨ ⎪b0 − cb1 = a1 ⎪⎩ r − cb0 = a0 a3 ⎧b2 = ⎪ b = cb + a ⎪ 1 2 2 即⎨ ， b cb a = + 1 1 ⎪ 0 ⎪⎩ r = cb0 + a0 轉個方向表成 a3. b2. + a2 + cb2. + a1 + cb1. + b1. + b0. 此即為綜合除法。註：利用綜合除法可以求函數的近似值。. + a0 + cb0 +r. c.

(3) 【性質】 1. 多項式的係數： f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + L + a2 x 2 + a1 x + a0 。 2. 常數項： f (0) = a0 。 3. 各項係數和： f (1) = an + an −1 + L + a2 + a1 + a0 。 4. 偶次項係數和：. f (1) + f (−1) = a0 + a 2 + a 4 + L 。 2 5. 奇次項係數和：. f (1) − f (−1) = a1 + a3 + a5 + L 。 2 6. 其他： f (i ) + f ( − i ) = a0 − a2 + a4 − L ， 2 f (i ) − f (−i ) = a1 − a3 + a5 − L 。 2i 【方法】求多項式的未知係數： 1. 若已知根則將根代入。 2. 代某些值進去後比較係數？.

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