外積

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(1)外積 1010211 bee 關於空間向量的運算，有加法、減法、係數積、內積與外積。其中只有外積這一個運算在平面向量時看不到，那麼，關於外積有什麼特別之處呢？本文作一些討論。. 1. 幾何意義. . . . 在空間中任給兩個不平行的向量 u , v 。我們想問：怎樣可以找到一個向量 w ，使得 w. . 與 u , v 兩個向量都垂直呢？. . 在回答這一個問題之前，我們必須先比劃一下：在桌面上放兩枝筆當作 u , v ，筆頭當作向量的起點擺在一起，然後再取一枝筆，讓這枝筆和原先的兩枝筆都垂直，你會發現，這枝筆的擺法只有一種 (因為在桌面上，你的擺法只有一種，當然，向量的方向卻有兩個)。. . 比劃完了之後，我們想想看，和 u , v 都垂直的向量有多少個？答案並不是一個，是很多個，不過，這些向量都是互相平行的，因此，如果我們把平行的向量都當成是一樣的，那麼，這一個向量是唯一的。. .  . 因此，我們可以說空間中兩個不平行的向量 u , v ，恰有「一種向量 w 」與 u , v 都垂. . 直，我們把這一種向量稱為「 u , v 的公垂向量」。. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 1.

(2) 2. 公垂向量的計算. 看完圖之後，我們試著來計算一下。. . . .  . 設兩個不平行的向量 u = ( x1 , y1 , z1 ), v = ( x2 , y2 , z2 )。又向量 w = (α , β , γ ) 滿足 w ⊥ u ，. w ⊥ v 。則. x1α + y1 β + z1γ = 0 ， x2α + y2 β + z2γ = 0 。.  x α + y1β = − z1γ 將此二方程式看成 x,y 的方程組  1 ，利用克拉瑪公式可得：  x2α + y2 β = − z2γ. − z1γ y1 x1 − z1γ − z γ y1 x − z2γ α= 2 ，β = 2 ， x1 y1 x1 y1 x2 y 2 x2 y 2. − z1 y1 x1 − z1 y − z2 y1 x − z2 即α = γ ，β = 2 γ ，因此 α : β : γ = 1 x1 y1 x1 y1 y2 x2 y 2 x2 y 2.   y 於是當 w = . 1.  y2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. . z1 z1 : z 2 z2. x1 x1 : x2 x2. . y1 。 y2.   . y1   時， w 同時與 u , v 垂直，即 w 為 u 與 v 的 y2 . x1 x2. 公垂向量。.       y   ，滿足 w ⊥ u , w ⊥ v 。. 經由上面的計算，我們知道給空間中不平行的兩向量 u 與 v ，可以透過二階行列式得. .  y 到一個新向量 w =  1  y2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. x1 x2. 1. y2 .        垂向量，也就是說 u 與 v 的公垂向量為 t w ， t 是一個非零的實數。.  . 不過， u 與 v 的公垂向量不是只有 w 而已，只要和 w 平行的都可以當作 u 與 v 的公. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 2.

(3) 3. 外積的定義.   在上一個討論中，我們已經知道：當兩個不平行的向量 u = ( x , y , z ), v = ( x , y , z ) ，   y z , z x , x y  為 u 與 v 的一個公垂向我們可以用二階行列式得到向量 w =  1.   . 1. 1. 1. 1. 1.  y2. z2. z2. x2. x2. . 1. 1. 2. 2. 2. 1. y2 .  . 量，於是我們定義 w 為 u 與 v 的外積，以符號 u × v 表示，即 w = u × v 。由上面的定義，你可以發現外積這一個運算是定義來找公垂向量，所以將兩個向量外積出來的是一個向量 --- 公垂向量。.  y 不過，你一定會覺得為何要定義  1  y2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. x1 x2.  y 呀！原因是這一個定義還有其他的好處，  1  y2. z1 , z2. z1 z2. y1   為外積，難道不可以定義 y2 . 這一個向量的 2 倍為外積嗎？. x1 , x2. x1 x2. y1 y2.   不僅是公垂向 . 量，它的長度還有特別的地方。. 4. 外積的長度.   很有意思，外積的長度恰好與 u 與 v 所張出來的平行四邊形的面積一樣。真的嗎？     設 u = ( x , y , z ) 與 v = ( x , y , z ) 為空間中不平行的兩向量，其夾角為 θ ，且由 u 與 v 1. 1. 1. 2. 2. 2. 所張出的平行四邊形面積為 S ，如圖所示。利用面積公式，得.   =| u || v | 1 − cos θ     = | u | | v | − | u | | v | cos θ    = | u | | v | −( u ⋅ v ). S =| u || v | sin θ. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.  v. . θ. 2. u. 2. = ( x12 + y12 + z12 )( x2 2 + y2 2 + z2 2 ) − ( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) 2 2. 2. = ( x1 z2 − z1 y2 ) + ( z1 x2 − x1 z2 ) + ( x1 y2 − y1 x2 ).  . 2. =. y1 y2. 2. z1 z1 + z2 z2. 2. x1 x1 + x2 x2. y1 y2. 2. =| u × v |=| w | 。 http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 3.

(4) 有了上面的性質，我們可以得到下圖：.   w = u× v.  v. . . S =| u × v |. u. 上面這一個圖將外積的性質說透了，真是一個很棒的圖。. 5. 外積的方向. . 不過，其實上面的圖有點疑惑，公垂向量有兩個方向，為何上圖中 w 的方向要朝上呢？難道，朝下不可以嗎？.  事實上， w 的方向可以用「右手定則」確定。也就是說      當 w = u × v 時，我們可以用右手的四指由 u 向 v 旋轉，  而大拇指所指的方向就是 w 的方向。. . . a× b. a.  b. . 這一個定則是因為空間坐標系的選擇如下圖：. b× a. z. y O x.  . 我們可以證明在這一個坐標系中，外積的方向必須滿足右手定則。又當然 u × v 和 v × u 的方向相反，即 http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 4.

(5) u × v = − v × u 。在物理上，和外積有關的概念是力矩，力矩有兩個方向，一個是逆時針方向、一個是順時針方向。我們恰巧可以用外積來表示力矩。. . .   . 設力臂為 r ，施力為 f ，則力矩定義 τ 為 τ = r × f 。如下圖所示：. τ   = r× f.  f. θ 支點.  r. f sin θ.  f. . 其中向上表示力矩是逆時針方向。因為外積不能改變順序，所以力臂的定義必須是 r × f 而. . 非 f× r 。又力矩的大小為垂直於力臂方向的分力大小與力臂長度的乘積，所以.   . | τ |=| r × f |=| r || f | sin θ ，. 真是恰到好處。用右手定則及向量來表示逆時針或順時針轉動，對於高中生而言真是有點辛苦，不過這樣的表達，非常適切。. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 5.

(6) 6. 右手定則. 用右手定則來判定外積的方向為何是正確的呢？這絕對是你學會外積後最想問的問題。.  在二階行列式與克拉碼公式一文中，我已經證明當二階行列式的  寫法是逆時針轉時   (即由 u 到 v 是逆時針方向轉小於 )，那麼其值為正，而當寫法是順時針寫法時，其值為 u v. 180°. 負。現在把這一個概念放在空間上來看，如下圖所示：. z. . O. . y. v. u. x.    當我們使用右手法則時，如果由 u 到 v 是逆時針方向轉，那麼  的值為正數，所以大拇指 u v. 指向 z 軸的正向，恰恰好。. .  y1 現在把 w =   y2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. y1   拿出來看看： y2 . x1 x2. z.  . v = ( x2 , y 2 , z 2 ). u = ( x1 , y1 , z1 ). O. y. ( x2 , y2 ,0) x. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. ( x1 , y1 ,0). 6.

(7)  . . . 把 u 與 v 投影到 xy 平面上，可以發現投影向量為 uxy = ( x1 , y1 ,0) 與 v xy = ( x2 , y2 ,0) ，而它們所張出的平行四邊形面積為. x1 x2. . y1 恰為 w 的 z 分量。 y2. . 因為 z 分量可以決定公垂向量是在 xy 平面的上方還是下方，所以，當 z 分量為正時， uxy.  . . 往 v xy 的旋轉方向是逆時針方向，也因此 u 往 v 的旋轉方向是逆時針方向 (當 z 分量為負時，則旋轉方向為順時針方向)。由圖可知， z 分量和右手法則是一致的。.  . 同理，我們可以把 u 與 v 投影到 xz 平面上，這時候看的是 y 分量，利用右手法則，如果要得到 y 分量是一個正數，那麼必須由 z 軸往 x 軸的方向旋轉，或者說，由 x 軸往 z 軸作逆時針旋轉時，根據右手法則， y 分量會是一個負數。. .  y 於是觀察一下 w =  1  y2. z1. x1. z2. x2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. y1  x1  的 y 分量，投影量並不是 y2  x2. x1 x2. z1 ，而是 z2. ，這一個分量恰好滿足右手法則。. 而 x 分量. y1 y2. z1 也符合右手法則。因此要判斷外積的方向時，在我們採用的空間坐標系 z2. 下，是符合右手法則的。. .  y1 換言之，當我們觀察 w =   y2. z1 z2. ,. z1. x1. z2. x2. ,. x1 x2. y1   時，各個分量為兩向量在各坐標 y2 . 平面的投影向量的「有向面積」，而有向面積的正負值恰好符合右手定則，這真是很美妙的結果。. 7. 外積與面積.  . .  . 最後我們來看看，為何 u 與 v 外積的長度 | u × v | 會和 u 與 v 所張出之平行四邊形的面積相等呢？你會說，我們不是在前面證明過這一件事情了嗎？恩！對的，不過用投影面積再看一次很有意思的。. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 7.

(8) . . 我們知道對於向量 u = ( x1 , y1 , z1 ) 與 v = ( x2 , y2 , z2 ) ，它們的外積為. w. y1 y2. z1 z1 、 z2 z2. x1 x1 、 x2 x2.  y = 1  y2. z1 , z2. z1 z2. x1 , x2. x1 x2. y1  ， y2 . y1   分別是 a 與 b 在 yz 平面、 xz 平面與 xy 平面的投影向量所張出來 y2. 的平行四邊形的「有向面積」。.  . . 設 u 與 v 所張出之平行四邊形為 S ，其面積為 s ， S 所在的平面為 E ，其法向量為 n 。.  . . 我們可以利用方向餘弦將法向量 n 設為 n = (cos α , cos β , cos γ ) ，其中 α , β ,γ 分別為 n 與 x 軸，y 軸與 z 軸正向的夾角。. . 因為 E 與 xy 平面的夾角就是 n 與 z 軸的夾角，就是 γ ，所以 S 在 xy 平面的投影面積. |. x1 x2. y1 |= s⋅ | cos γ | (為什麼呢？)，如下圖所示： y2 z.  v. γ O.  γ. u. y. x. 同理， S 在 yz 平面的投影面積 |. |. z1 z2. y1 y2. z1 |= s⋅ | cos α | ， S 在 xz 平面的投影面積 z2. x1 |= s⋅ | cos β | 。 x2. 因此. |. y1 y2. z1 2 z1 | +| z2 z2. x1 2 x1 | +| x2 x2. y1 2 | = ( s⋅ | cos α |)2 + ( s⋅ | cos β |)2 + ( s⋅ | cos γ |) 2 y2. = s 2 (| cos α |2 + | cos β |2 + | cos γ |2 ) (方向角的餘弦值平方和等於 1). = s2 。由上面的討論，我們知道外積長等於平行四邊形的面積可以用投影的觀點加以證明。 http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 8.

(9) 8. 結語. 寫完這篇文章滿開心的，也謝謝和我一起討論的王老師。外積是一個很有趣的運算，把外積和內積結合起來就變成三階行列式，真是奇妙，下篇文章可以討論三階行列式。恩！加油！. http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee 來自 bee 美麗之家. 9.

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