杜知耕及其《幾何論約》之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生. 博士. 論文題目. 杜知耕及其《幾何論約》之研究. 研究生：郭志輝. 中華民國九十八年六月.

(2) 感謝函歷經了多年一波三折的辛勤耕耘，論文終於順利完成。在口試委員們宣布論文通過的那一刻，心中除了喜悅之外，更是充滿感謝之心。首先要感謝的人當然是指導教授洪萬生老師。自開課的暑假開始，洪老師不辭辛勞的利用暑期碩博班的課程，教導我們數學史及數學哲學等相關知識，並耐心的指導論文寫作的要領及方法。原本的我因為身體及家庭因素，差點就要放棄論文的寫作，多虧洪老師的鼓勵與引導，使我有繼續下去的勇氣與動力，更讓我從一個數學史的門外漢，得以漸漸學習如何閱讀及理解相關的數學史書籍及文本，並能慢慢的引導出自己的想法及結論，甚至如今能完成一篇研究論文。這樣的成長及成果全都要歸功於洪老師細心及耐心的引導及指正。真的謝謝你，洪老師。其次，亦要感謝左台益教授及林炎全教授在口試過程中給予許多寶貴的建議，讓論文得以更加完善。最後，還要感謝同事洪宜亭老師的指導及家人的大力支持，尤其是內人黃珍香在各方面的配合及協助，辛苦的照顧幼小、可愛又頑皮的女兒，並不時地給予我加油、打氣，讓我能全心全意地投入論文的撰寫。另外，對提供我完成論文的各方協助，謹此一併致謝。衷心地感謝大家！謝謝！.

(3) 摘要清初算學家杜知耕，數學上「會通中西」的要角之一。他身處在中學式微、西學東傳的時代背景下。他以歐幾里得《幾何原本》為基礎，用圖文並列之方式說明刪削的原理，作成《幾何論約》一書。本文透過對杜知耕生平、學習情形的研究，及對《幾何論約》文本題目的分析，試著勾勒出清初「會通中西」算學家研究的風貌，並找出《幾何原本》的內容及公理化思想，與《幾何論約》一書的關聯性。最後，本論文將對杜知耕及其算學著作《幾何論約》作全面的分析與研究，期能給杜知耕在中算的發展中一個歷史定位。另外，我們也探討杜知耕為何要做此刪修，以及刪修的標準為何，並作深入的解析。綜觀《幾何論約》這本著述，筆者所得即是：只要能夠直觀由圖形之觀察便能知命題者，「解曰」及「論約」便捨去，只留命題。若是圖形只須配合一些解釋便能使人清楚明瞭者，便保留「解曰」，刪除「論約」。若是命題本身尚須理論基礎、或是探討之命題較艱深難懂，則「解曰」及「論約」就保留或是只作刪減。關鍵字：幾何原本（The Elements）、杜知耕（Du Zhigeng）。.

(4) 目錄第 1 章前言 1.1 研究動機‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1 1.2 文獻探討‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4 1.3 研究取向‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥6 第 2 章《幾何論約》的歷史脈絡 2.1 明末清初中算的發展 2.1.1 政治背景‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7 2.1.2 思想文化‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥8 2.1.3 近代西方數學的第一次傳入‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥9 2.2 杜知耕的生平著作與學術交流‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥13 2.3 杜知耕的數學思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20 2.4 《幾何論約》的成書背景‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥22 第 3 章《幾何論約》的內容分析與《幾何原本》的比對 3.0 內容分析前言‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥24 3.1 《幾何論約》第一卷 3.1.1 《幾何論約》第一卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥28 3.1.2 《幾何論約》第一卷與《幾何原本》第二卷的內容比對‥‥34 3.2 《幾何論約》第二卷. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.2.1 《幾何論約》第二卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40 3.2.2 《幾何論約》第二卷與《幾何原本》第二卷的內容比對‥‥44 《幾何論約》第三卷 3.3.1 《幾何論約》第三卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥48 3.3.2 《幾何論約》第三卷與《幾何原本》第三卷的內容比對‥‥53 《幾何論約》第四卷 3.4.1 《幾何論約》第四卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥59 3.4.2 《幾何論約》第四卷與《幾何原本》第四卷的內容比對‥‥62 《幾何論約》第五卷 3.5.1 《幾何論約》第五卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥66 3.5.2 《幾何論約》第五卷與《幾何原本》第五卷的內容比對‥‥71 《幾何論約》第六卷 3.6.1 《幾何論約》第六卷的內容分析‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥78 3.6.2 《幾何論約》第六卷與《幾何原本》第六卷的內容比對‥‥82 《幾何論約》第七卷‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥87.

(5) 第4章. 結論‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥95. 參考資料‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥97 附錄一：《幾何論約》與《幾何原本》第一卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥100 附錄二：《幾何論約》與《幾何原本》第一卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥107 附錄三：《幾何論約》與《幾何原本》第二卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥146 附錄四：《幾何論約》與《幾何原本》第二卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥148 附錄五：《幾何論約》與《幾何原本》第三卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥164 附錄六：《幾何論約》與《幾何原本》第三卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥168 附錄七：《幾何論約》與《幾何原本》第四卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥205 附錄八：《幾何論約》與《幾何原本》第四卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥207 附錄九：《幾何論約》與《幾何原本》第五卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥222 附錄十：《幾何論約》與《幾何原本》第五卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥238 附錄十一：《幾何論約》與《幾何原本》第六卷之首比對‥‥‥‥‥‥‥‥267 附錄十二：《幾何論約》與《幾何原本》第六卷比對‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥274 附錄十三：《幾何論約》卷末‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥319.

(6) 第 1 章前言本章分為兩部分作論述如下。首先，略述研究動機，說明《幾何論約》此一文本何以值得研究。其次，再說明本論文之研究取向。. 1. 1. 研究動機中西之間自有交通之往來至少已有兩千餘年歷史，其間關係相互交錯，文化. 的交流斑斑可考。近代西方學術之輸入中國，可分為二期：第一期始於明萬曆中葉，盛於清康熙間，至乾隆中葉而絕；第二期，始於清咸豐、同治間之洋務運動，以迄民國。明末清初之西學輸入，為耶穌會士傳教之附帶事業。其所輸入以天文學為主，數學次之，物理學又次，而其餘輿地學、採礦術、語言、藝術，哲學則為附庸之。其在中國建設最大者為天文學，與清代學術團體關係最深者，便是天文學與數學。數學中最早譯為中文的，是希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著之《幾何原本》，1為利瑪竇與徐光啟所合譯。《幾何原本》前六卷譯本是利瑪竇與徐光啟根據德國數學家克拉維斯（C. Clavius，中譯丁先生，1537－1612）改編的歐幾里得《原本》譯出，並於 1607 年出版。徐光啟曾說：「此書為用至廣，在此時尤所急需，．．．欲公諸人人，令當時習焉，而習者蓋寡。竊意百年之後，必人人習之，即又以為習之晚也。」2《幾何原本》由少數的公理、公設出發，進行演繹式的論述。入清之後，清康熙皇帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》（53 卷， 1723），是一部相當全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。乾嘉年間形成一個以考據學為主的乾嘉學派，編成《四庫全書》，其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作，為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。. 1. 於杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030 中，又名歐吉里斯。於杜知耕〈《幾何論約》提要〉，頁 3027 中，又名薩幾里得。 2 引自徐光啟，〈《幾何原本》雜議〉。 1.

(7) 自從西洋傳教士將西方數學原理傳入中國後，中國學人受其影響，各種有關西法之數學著作，如雨後春筍，不勝列舉。而杜知耕所著《幾何論約》，3便是其中之一。然而，《幾何論約》卻是甚少受到注意。觀此著作，參考《四庫全書》版本，本書的前面保存了吳學顥的序，內容則以《幾何原本》為基礎，另行刪修，類似重點節錄外加補充。事實上，此書是杜知耕根據利瑪竇與徐光啟所譯《幾何原本》加以刪削而成，故取名論約。當初徐光啟於《幾何原本》中提及「四不必」：「不必疑、不必揣、不必試、不必改。」4但是，自古以來，每個人讀書皆有自己本身的領會，杜知耕有自我一套取捨的標準，自然也不意外。而四庫館員於《幾何論約》提要亦云：「國朝杜知耕撰，知耕字臨甫，號伯瞿，柘城人，是編取利瑪竇與徐光啟所譯幾何原本復加刪削故名曰《論約》。考光啟於幾何原本之首冠雜議數條有云，此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改。有四不可得：欲脫之不可得、欲駁之不可得、欲減之不可得、欲前後更置之不可得。知耕乃刊削其文，似乎蹈光啟之所戒，然讀古人書者，往往各有所會心，當其獨契，不必喻諸人人，併不必印諸著書之人。《幾何原本》十五卷，光啟取其六卷，薩幾里得以絕世之藝，傳其國遞，校之秘法，其果有九卷之冗贅，待光啟去取乎，亦各取其所欲取而已。知耕之取所欲取，不足異也。梅文鼎算術造微，而所著《幾何摘要》，亦有所去取於其間，且稱知耕是書，足以相證，則是書之刪繁舉要，必非漫然矣。」5顯見《幾何論約》之刪削亦是有其根據，且是杜知耕深思熟慮所為。杜知耕，字端甫，號伯瞿，河南柘城城關北街人，康熙丁卯年舉人，正是身處在這樣時代背景的人。他原以太學生的身份入國子監、欽天監中學習數學與曆法，後並留在國子監教學。因此，他有機會接觸到西洋傳入的數學知識，並潛心研究。且由於其肯於鑽研、一絲不茍及實事求是的研究精神，因此，他對《幾何原本》等西學概念的了然於胸，廣為當時公卿大夫及學者所稱許。事實上，《幾何論約》一書，以《幾何原本》為基礎，依杜知耕自己所見，「因其次第，論可約者約之，別有可發者，以己意附之，解已盡者節其論，題自明者并節其解，務. 3 4 5. 引自文淵閣版四庫全書。引自杜知耕〈《幾何論約》提要〉，頁 3027、3028。引自杜知耕，〈《幾何論約》提要〉，頁 3027。 2.

(8) 簡省文句，期合題意而止。」6 並用詳盡的圖解方式附以文字說明，顯然是一部會通中西的著作。然而，鮮少學者注意到杜知耕在中西會通方面的特殊意義，以至於數學家對《幾何論約》的研究大部份是局部或片面的，因此，本論文將對杜知耕及其算學著作《幾何論約》作全面的分析與研究，期能給杜知耕在中算的發展中一個歷史定位，並希望藉由文本內容的分析，勾勒出清初「會通中西」學者的研究風貌。. 6. 引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。 3.

(9) 1. 2. 文獻探討就筆者所能蒐集到的資料，近年來，對杜知耕及其算學研究相關的論述甚. 少，以專文討論的更是罕見。作概略介紹如下：（1）程和欽，《清代算學家杜知耕及其《數學鑰》之研究》，國立台灣師範大學數學研究所數學碩士論文，2007 年，頁 7~16。（2）高宏林，〈杜知耕與《數學鑰》〉，收入吳文俊主編，《中國數學史大系－第七卷明末到清中期》，北京：北京師範大學出版社，1999 年，頁 204~214。（3）高宏林，〈略論孔林宗的數學成就〉，收入李迪主編，《數學史研究文集－第七輯》，內蒙古大學出版社，1993 年，頁 58~63。（4）黃清揚，《中國 1386~1806 年間勾股術發展之研究》，國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2002 年，頁 58~62。（5）李迪，《梅文鼎評傳》，南京大學出版社，頁 89~95。（6）李人言（即李儼），《中國算學史》，臺灣商務印書館，1937，頁 225。（7）李儼，〈近世數學家小傳〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第三卷，瀋陽：遼寧出版社，1998 年，頁 515。（8）錢寶琮，〈與梅文鼎同一時期的幾個數學家〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷，瀋陽：遼寧出版社，1998 年，頁 296。（9）錢寶琮，〈明清之際西方數學的傳入〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷，瀋陽：遼寧出版社，1998 年，頁 263。（10）李儼，〈梅文鼎年譜〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第七卷，瀋陽：遼寧出版社，1998 年，頁 525。（11）錢寶琮，《中國數學史》，北京，科學出版社，1964 年。頁 266。（12）阮元，《疇人傳》，收入楊家駱主編，《疇人傳彙編》上冊，台北：世界 4.

(10) 書局，1982 年。頁 454。李人言的《中國算學史》、李儼的〈近世數學家小傳〉和錢寶琮的〈與梅文鼎同一時期的幾個數學家〉為通論性的著述，只是提及或簡介杜知耕的生平事跡及其著作。大致上與阮元的《疇人傳》上所述雷同。而從高宏林的〈略論孔林宗的數學成就〉、李迪的《梅文鼎評傳》與李儼的〈梅文鼎年譜〉中，可看出杜知耕與梅文鼎、孔林宗的學術交遊情形。. 5.

(11) 1. 3. 研究取向就筆者孤陋所知，似乎不曾有人對杜知耕之《幾何論約》一書作完整詳細的. 介紹及論述，因此，筆者首先於本論文的第 2 章，透過相關史書、杜知耕的其他著作，去還原作者所處的時代背景和生平資料及交遊情況，進而將其與《幾何論約》一書連結，進而解釋該書的著書動機及歷史脈絡。第 3 章筆者將對《幾何論約》進行內容分析，並透過《幾何原本》的對照，利用現代的數學符號和知識去還原《幾何論約》的內容，以釐清杜知耕如何結合傳統中算與西算的知識及概念，並找出其自主發展或轉化的部份。其次，在本論文的第 4 章結論中，筆者根據第 3 章的內容，整理出《幾何論約》的主要特色部份，同時，透過同時代有名學者如李子金、梅文鼎等人對作者的評價，探索在西方初等數學傳入中國之際，杜知耕如何在中國傳統數學的基礎上，融入西方的數學知識，賦予中國傳統數學的新面貌。. 總之，本論文從杜知耕如何擷取《幾何原本》的觀點著手，探討當時的社會所需，人民所能接受的程度，以及如何使《幾何原本》能夠普及化為目標，作深入的探討。另一方面，亦希望透過杜知耕的數學觀，一窺當時數學的社會背景與需求。自然地，我們也想探討杜知耕為何要做此刪修，以及刪修的標準為何。. 6.

(12) 第 2 章《幾何論約》的歷史脈絡本章將分為四個小節為《幾何論約》一書的歷史脈絡作論述，以「明末清初中算的發展」開始，論及「杜知耕的生平著作與學術交流」、「杜知耕的數學思想」，最後以「《幾何論約》的成書背景」作為本章之結尾。. 明末清初中算的發展. 2. 1. 《幾何論約》一書成書於康熙三十七年（公元 1698 年），該時期正處明末清初西學傳入中國之際，為了對該書有更深入的了解，我們須先認識當時的時代背景，故先說明政治背景與思想文化，後論及中西文化交流，並說明西方數學的第一次傳入的概況。 2. 1. 1. 政治背景. 中國古代帝王對天象、歷數向來重視，7認為天象有關治理，每逢變異，皇帝常反躬自省，因此，編製歷法一直是統治者所關心的大事。8而天象與歷數之研究常是需要大量的算學及天文的知識。因此，當朝政府鼓勵或禁止天象與歷數之研究，常是該朝代算學與科學是否持續進步的原因。如：明朝政府即為了怕士子與農民假借天象而造反，因此，除透過八股取士之外，也嚴禁人民研究天文曆法，使得和天文曆法相輔相成的中國古代數學加速衰退。因此，相較於宋元數學高度發展的成就，明代數學反而呈現停頓、衰退的情形。9 明朝滅亡後，湯若望在《崇禎曆書》的基礎上，進行整理與增加內容後編成《新法曆書》。清兵入北京後，他把歷書獻上，並期望西方歷算能為統治者所採用。多爾袞採納了湯若望的建議，下諭其至欽天監任職。10湯若望憑藉其科學才能，逐漸博得了順治帝與清政府的信任，西方歷算亦漸成為當時的歷算的重心。康熙即位後不久，發生了中西歷法之爭的楊光先（1597~1669 年）事件，這 7. 「歷數」亦作「曆數」，指曆法。或指天道、天運，星象運行的軌道及週期，古人以此觀盛衰興亡的氣數。此外，清高宗執政後，為避諱其名弘曆，後多用「歷數」。 8 參見韓琦，《康熙時代傳入的西方數學及其對中國數學的影響》，頁 7~9。 9 參見鍾秀瓏，《陳藎謨《度測》之內容分析》，頁 1~10。 10 參見吳嘉麗等編《新編中國科技史》，頁 465~490。 7.

(13) 是一場科學的戰爭，也是一場政治的鬥爭。其導源於回回與西洋天文家之爭論。但也因此引發了康熙努力學習自然科學的動機，及重視科學技術與支持科學研究。後來康熙在給大臣議政，論及學習動機時就曾說：「爾等惟知朕算術之精，卻不知朕學算之故。朕幼時，欽天監漢官與西洋人不睦，互相參劾，幾至大辟。楊光先、湯若望于午門外九卿前當面賭測日影，奈九卿中無一知其法者。朕思己不知，焉能斷人是非，因自憤而學焉！」11 2. 1. 2. 思想文化. 由於康熙帝對科學技術的重視及清朝政府對天文、歷算等科學研究的鼓勵與支持，清初的學術界對算學的研究也因此蓬勃發展。然不論是面對剛剛傳入中國，尚不熟悉的西方數學，或源遠流長但因明代數學衰微所引起斷層的中國古代數學，清初的學者同樣的不熟悉也不知如何取捨。有人尊古而排斥西學，有人則只重西學，鄙視傳統數學，於是形成中西數學之爭。梅文鼎自幼留心算學，積多年研究中西數學之經驗，深知「會通」的重要性。因此他主張「會通中西」。12而此主張也與康熙的「西學中源」說的想法與做法類似。因此「西學中源」、「會通中西」成為清初算學研究的一個的主流。薛鳳祚、 13. 王錫闡、14方中通、15李子金、梅文鼎、杜知耕、…等人皆以此為方向，嘗試從. 古代典籍中尋找某些與西方相似或類似的記載，以證實西學出於中國，中國文化是西方文化之源頭。除此之外，梅文鼎按照「形」和「數」來區別數學物件的作法也在當時廣為流行，其所謂：「夫數學一也，分之則有度有數。度者量法，數者算術，是兩者皆由淺入深。是故量法最淺者方田，稍進爲少廣，爲商功，而極於勾股；算術最淺者粟布，稍進爲衰分，爲均輸，爲盈朒，而極於方程。方程於算術，猶勾股之. 11 12. 13. 14. 15. 引自《庭訓格言》，頁 86。參見孔國平，〈「會通中西」的天算家梅文鼎〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁 144~145。薛鳳祚（1599~1680 年），字儀甫，號寄齋，山東益都人。著有《天步真原》三卷，又著《天學會通》術，並曾根據穆尼閣所傳授歷算術，編成《歷學會通》。王錫闡（1628~1682 年），字寅旭，號曉庵，自號天同一生，蘇州府吳江縣人。著有《曉庵新法》6 卷。方中通（1634~1698 年），字位伯，號陪翁，安徽桐城人。著有《數度衍》、《揭方問答》、《物理小識》、《浮山文集》。 8.

(14) 於量法，皆最精之事，不易明也。」16梅文鼎將數學分成了算術及量法，並且他認為傳統幾何學的「最精之事」和達於「極」者是勾股術。並將西法中的幾何學知識與九章的方田、少廣、商功、勾股結合在一起，故而「幾何即勾股」便成為其研究西方幾何學的具體實踐。17而梅文鼎這種欲用傳統勾股化約西方幾何學的思想亦為「西學中源」說提供具體想法與作法，並為當時學者所接受。如：方中通的「西學歸九章」、「九章皆勾股所生」的說法就與其有異曲同工之妙。 2.1.3 近代西方數學的第一次傳入在明朝萬曆年間（公元十六世紀末和十七世紀初），中國國內的經濟有了很大的發展，在某些地區的若干行業中出現了資本主義生產方式的萌芽。但是由於明末統治者的殘酷剝削和明末清初若干年內連續不斷的戰爭，社會經濟非但不能繼續發展，反而在相當長的一段時期官呈現顯著的停滯不前。當時的歐洲卻與此相反，在公元十五至十六世紀的時候，便逐漸由封建社會向資本主義社會轉變。到了十七世紀，這種轉變已在大部分地區完成。資本主義的發展，眾所周知，是和掠奪原料、市場和勞動力的活動分不開的。在十六世紀八十年代，西方資本主義發展較早的國家便已經開始了對遠東和對中國的交流。從此，西方的科學（包括數學在內）就伴隨著傳教士而陸續傳入中國。當時前來中國的傳教士，大都是屬於「耶穌會」的「會士」。「耶穌會」是公元十六世紀南歐一些國家中的保守教會勢力為反對「宗教改革運動」而組成的一個保守組織。這個組織在公元 1540 年成立。它仇視文藝復興以來一切的新的思潮，在羅馬設立了「神學院」，並把訓練出來的「有學問的會士」，明目公開地按劃分的區段，分往全世界各地進行「傳教」活動。為了完成傳教使命，會士們可以到處進行傳教。當時的中國，在明朝政權統治之下相對來講還是比較強大的，因而傳教士就用科學和技術來作敲門磚。公元 1581 年（明萬曆九年），耶穌會教士意大利人利瑪竇（Matteo Ricci,公元 1552-1610 年）來到中國。他是來中國進行活動的第一個耶穌會傳教士。當他. 16 17. 引自梅文鼎，《方程論》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，頁 4b-5a。參見劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉，收入梅榮照主編《明清數學史論文集》，頁 184。 9.

(15) 到達廣州之後，便把帶來的日晷、自鳴鐘、地圖、渾儀等獻給當時的地方官員，用以買得他們的歡心。此後，他更逐步深入內地，進行活動。除利瑪竇之外，從公元十六世紀末到十八世紀末大約二百年間，陸續前來中國進行活動的教士有幾百人，他們大多數都有一個中國名字。當利瑪竇到達中國的時候，明朝所用的大統曆的回回歷已不合天時；特別明顯的是關於日月蝕的預告，往往與實際天象不符。與此同時，為了防禦邊患，也非常需要關於火炮方面的知識。歷法的修改，火炮的鑄造和使用，正是當時明朝政府方面所迫切需要的。當時一些知識分子也熱烈希望富國強兵，因而對西方的科學和技術抱有濃厚的興趣。傳教士們便利用了這一點，首先從曆法的修改和編制入手，通過與上層知識分子的聯繫，取得皇帝的信任，再用這些手段來達到傳教和進行其他活動的目的。西方數學傳入的第一個階段便是以修改曆法為中心來進行的。這一個階段可以由利瑪竇來華（公元 1581 年）算起，一直到清雍正年間（公元十八世紀初期）為止，前後約一百五十餘年。這一階段西算東傳的歷史的主要內容有：１．明末西算傳入初期，《幾何原本》、《同文算指》兩書的翻譯；２．明末清初傳入的西洋曆法中的數學知識；３．梅文鼎（公元 1633－1721 年）的數學研究工作；４．康熙帝和《數理精蘊》的編輯。從傳入數學的內容方面講起來，在這一階段中以歐幾里得幾何學、筆算算法、三角法（包括平面、球面）和對數為最重要。《幾何原本》和《同文算指》是最早翻譯成中文的西方數學著作。這兩部書都是通過最早前來中國的傳教士利瑪竇介紹進來的。《幾何原本》題為「泰西利瑪竇口譯，吳淞徐光啟筆受」，《同文算指》題為「西海利瑪竇授，浙西李之藻演」。前文已說過，當西方科學技術最初傳入中國的時候，國內一些知識分子從富國強兵的願望出發，對傳入的西方科學技術知識抱有濃厚的興趣。徐光啟和李之藻正是這些人物的代表。現在介紹徐光啟和《幾何原本》的翻譯工作。徐光啟（公元 1562－1633 年）字子先，號玄扈，吳淞（今屬上海市）人。他從萬曆末年起，經過天啟、崇禎各朝，曾作到文淵閣大學士的官職（相當於宰相）。他精通天文曆法，是明末改曆的主要主持人。他對農學也頗有研究，曾根據前人所著各種農書，附以自己的見 10.

(16) 解，編寫了著名的《農政全書》，全書有六十餘卷，共六十多萬字。明朝末年，滿族的統治階級從東北關外屢次發動戰爭，徐光啟曾屢次上疏論軍事，並在通州練新兵，主張採用西方火炮。他是一位熱愛祖國的科學家。在他沒有入京作官之前，曾在上海、廣東、廣西等地教書。在此期間，他曾博覽群書。在廣東還初步接觸到一些西方傳教士，對他們傳入的西方文化開始有所接觸。公元 1600 年，他在南京和利瑪竇相識；以後兩人又長期同住在北京，經常來往。考徐光啟在公餘之暇，常常去拜訪利瑪竇，你來我往，彼此慢慢熟悉了，開始建立起較深的友誼。一六○六年，徐光啟再次請求利瑪竇傳授西方的科學知識，利瑪竇爽快地答應了，他用西元前三世紀左右希臘數學家歐幾里得的著作原本做教材，對徐光啟講授西方的數學理論。經過一段時間的學習，徐光啟完全弄懂了歐幾里得這部著作的內容，深深地為他的基本理論和邏輯推理所折服，認為這些正是我國古代數學的不足之處。他感到，我國的古代數學雖然也取得了輝煌的成就，但千百年來一直受到經驗實證的限制，未能很好地運用邏輯推理的方法，如果能把歐幾里得的這部著作介紹過來，對我國數學的發展將是很有好處。於是，徐光啟建議利瑪竇同他合作，一起把它譯成中文。開始時，利瑪竇對這個建議頗感猶豫，因為歐幾里得的這部著作是用拉丁文寫的，拉丁文和中文語法不同，詞彙也很不一樣，書裡的許多數學專業名詞在中文裡都沒有相應的現成詞彙，要譯得準確、流暢而又通俗易懂，是很不容易的。早先曾有一個姓蔣的舉人同利瑪竇合作試譯過，就因為這個緣故而不得不半途而廢，但是徐光啟卻很有信心，他認為只要肯下功夫，多動腦筋，仔細推敲，反覆修改，總是可以譯成的。在他的一再勸說下，利瑪竇也就同意了。從一六○六年的冬天開始，他們兩人開始了緊張的翻譯工作，每天晚上，他們坐在燈燭之下，先由利瑪竇用中文逐字逐句地口頭翻譯，再由徐光啟草錄下來；譯完一段，徐光啟再字斟句酌地作一番推敲修改，然後由利瑪竇對照原著進行核對。遇有譯得不妥當的地方，利瑪竇就把原著再仔細地講述一遍，讓徐光啟重新修改，如此反覆數次，直到認為滿意了，再接著譯下一段。 11.

(17) 徐光啟對翻譯非常認真，常常是到了深夜，利瑪竇休息了，他還獨自坐在燈下加工、修改譯稿，有時為了確定一個譯名，他不斷地琢磨、推敲，不知不覺地就忙到天亮。譯文裡的「平行線」、「三角形」、「對角」、「直角」、「銳角」、「鈍角」、「相似」等等中文名詞術語，都是經過他嘔心瀝血的反覆推敲而確定下來。在徐光啟和利瑪竇譯出這部著作的前六卷付印之前，徐光啟又獨自一人將譯稿加工、潤色了三遍，盡可能把譯文改得準確。然後他又同利瑪竇一起，共同敲定書名的翻譯問題。這部著作的拉丁文原名叫《歐幾里得原本》，如果直譯成中文，不大像是一部數學著作，如果按照它的內容，譯成《形學原本》，又顯得太陳舊了。筆者認為，中文裡的「形學」，英文叫作「Geo」，它的原意是希臘的土地測量的意思，能不能在中文的詞彙裡找到同它發音相似、意思也相近的詞。徐光啟應該查考了十幾個詞組，都不理想，後來才想起了「幾何」一詞，覺得它與「Geo」音近意切，最後把書名譯成《幾何原本》。他和利瑪竇兩人共同譯《幾何原本》一書。1607 年譯完前六卷。《幾何原本》是一部古希臘的傑出數學著作。它是古希臘數學家歐幾里得（Euclid，約公元前四世紀）編著的，因而也常稱為《歐幾里得原本》。此書共十三卷：第一至六卷為平面幾何學，七至十卷為數論，十一至十三卷為立體幾何學。其後又有人在十三卷之外添入兩卷，其中第十四卷是十三卷的補遺，第十五卷則是公元三世紀時添入，價值較少。. 12.

(18) 2. 2. 杜知耕的生平著作與學術交流杜知耕的著述，除本書外還有《數學鑰》六卷。兩書均收入《四庫全書》中，. 并曾對梅氏的《方程論》參與質正。杜知耕，字端甫，號伯瞿，河南柘城城關北街人，康熙丁卯 (1687) 年舉人，生卒年月不詳，與同科舉人此興太、吳學顥及同里李子金等人友善。在數學上均各有成就。梅文鼎對本書很推重，評語有“「杜端伯數學鑰圖注九章，頗中孺肯綮。」 18。杜知耕生長在一個與明清政權有著密切關係的柘城世家，家境殷實，世代書香。19 曾祖父杜銀，以子杜齊芳貴贈文林朗刑科給事中。祖父杜齊芳，字元驊，號雲槃，為人清剛高警有忠孝大節。明萬曆己未科莊際昌榜進士，初授平陽府推官，其地多夷落，叛服不常。齊芳嚴覆虛實，約身束下，釐弊剔奸，諭以朝廷威德，邊人帖服進貢。後繡衣徐卿伯同劉中丞上其功於朝，升任刑科給事中。上任首擊大璫魏忠賢并及其黨禍，後因受宦官魏忠賢陷害，落職歸返故里。崇禎即位後又以特恩拔置刑垣都諫，彈劾了當時的宰相陽羨（即溫體仁），陽羨以莫須有的罪名將他下獄大理寺，後遇赦重歸故里。生平嗜書，手不釋卷，三子行恕、行素、行醕受其影響皆好學有文采，行恕、行素皆國朝舉人。20 杜知耕父杜行恕，字無忮，號容居。幼好學，尤善詩書，順治辛卯舉於鄉，人咸以大器目之。性耽林壑，不樂仕進，在柘城西邊河道上辟一精舍，環植垂柳，養蜂種藥，題名曰「柳澳」，終日嘯歌其中，怡然自得。著有詩集《柳澳初吟》，廣為傳頌。育有三子，知耕為長，另二子為杜實甫、杜玉甫，三人皆為國學生，對數學皆有研究。另知耕子杜允璿，對數學也相當愛好，對杜知耕著作的整理與出版作出很大的貢獻。21. 18 19. 20 21. 參見杜知耕《數學鑰》參見程和欽，〈清代算學家杜知耕及其《數學鑰》之研究〉，國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2007 年，頁 7。參見《柘城縣志》卷三人物志。同上。 13.

(19) 杜知耕孝性天成，年十二，父行恕歿，「哀毀骨立，苫塊三年，祭葬盡禮。」 22. 因弟皆年幼，母親又體弱多病。因此，從小他就一肩擔起了全家生活的負擔，. 並率兩弟勤攻苦讀數年。母體弱多病，其「躬侍湯藥，禱天願以身代母卒，淚盡繼血，生養死葬無憾。」23且其本身性格開朗，樂於助人，虛懷若谷，目標遠大，從不計較小事，如其娶妻分家時，就對家中房屋、土地等財產的分配聽憑兩弟自擇，兩弟亦各退遜之，兄友弟恭的情形在柘城被傳為佳話。24 杜知耕幼年聰穎絕倫。因受家學之影響，初入小學時即慨然有學聖賢之志，立志作一位品德高尚、智慧超人、聲譽四方的賢哲。且其學風踏實，肯於鑽研，一絲不茍，李子金稱其「凡讀一書必求實，實有得；凡講一事，實可得，反之則不好也。」25田叔度亦於〈《杜端甫詩》序〉中說過一段其客居於杜家的親身經歷：26 一日豫章金生謁君，再拜索君詩壽其母。君諾其請並屬之余，余竊疑君不自作而命我為之，其不能也。踴躍綴為篇進於君，君覽之默然，則盡取其先王父黃門先生所遺詩若文使余讀之。余既自愧其詩之無以稱君，亦私謂君先澤如此，竟不能作二十八字以應人可惜。……自君之歿，而後知君之深於易，然終不謂君之能詩也。明年春，君之子允璿忽出君所為詩一卷，次第讀之皆有黃門先生之遺風，然後歎余之不知君者不獨詩也，詩其一耳。27 顯見杜知耕學習知識的態度與精神為領悟其理，曉之以用並求取知識的真正融會貫通。除此之外，杜知耕興趣廣泛，所學涉獵亦廣。李子金便指出其「四書五經之外，如：天文、地理、律呂、歷法、聲韻、算學之類皆極深研，幾務期得其神理而見諸行事。固非淺見寡聞、出口入耳之輩可得彷彿其萬一者。」28 而田叔度亦曾指出：. 22 23 24 25 26 27 28. 引自《柘城縣志》卷三人物志。同上。參見《柘城縣志》卷三人物志。參見李子金，〈杜端甫《數學鑰》序〉，收入《柘城縣志》卷八藝文志。田叔度，字江陂，康熙乙酉年副貢，與杜知耕交二十年的相知好友。引自田叔度，〈《杜端甫詩》序〉，收入《柘城縣志》卷八藝文志。引自李子金，〈杜端甫《數學鑰》序〉。 14.

(20) 追想君居京師時，公卿大夫虛懷請益，學其按脈乎，學其布算乎。大臣濡筆而書啟事，薦為御醫乎，薦為算學博士乎。惟經學可以經世務，則君所玩之易是也。惟文章詩賦可以鼓吹太平，則君所吟之詩及其餘著作是也。彼王侯將相知之矣。29 顯見杜知耕對天文、地理、律呂、歷法、聲韻、算學及醫學等學科皆有很深的研究。同時也可看出他在當時京師政界與學界中享有一定的聲望。杜知耕以太學生身份遊京師，並曾留在國子監或欽天監學習與教學，因此，他和當時許多數學家和某些政要名人都有交往，如李子金、李光地、梅文鼎、孔林宗、吳學顥、田叔度、高玢等。30杜知耕以太學生身份遊京師時，曾受知於李光地，並十分地受到李光地的稱許與賞識。且在當時京師政界與學者中享有一定的聲望。茲列舉與杜知耕交遊的幾位算學家如下。李子金（1622~1701），原名之弦，號隱山，以字行。原河南鹿邑人，後移居柘城縣騾車李村。他自幼聰敏好學，天資過人，1642 年參加科舉考試，以優異成績被督學使者拔為柘城縣增廣生員。他性格開朗，平易近人，天性高尚，不拘小節。31雖清贏，尚隱居，然負壯志，大部份時間從事道學、天文學、數學、律呂以及聲韻學科的研究，尤其精通數學，善勾股嘉量之術。32「嘗遊京師，與客聚飲，客指鄰家樓，問以高幾許？四方幾許？李熟視良久，曰得之矣。客令人加量，悉如李所言數。」33著有《算法通義》、《幾何易簡集》、《天弧象限表》、《解環譜》、《狂夫之言》、……等。他一生著作 12 種，30 餘萬言，總名為《隱山鄙事》。李子金與杜知耕同縣，並可能是杜知耕的啟蒙老師，且曾為其《數學鑰》寫序。李光地（1642~1718 年），字晉卿，號厚庵，諡號文貞，福建安溪人也。康熙庚戌年（1670 年）進士，改為庶吉士，綬編修。康熙十九年任內閣學士，康熙二十五年授翰林院掌院學士，康熙二十八年改通政使，同年擢兵部右侍郎，康 29 30. 31 32 33. 引自田叔度，〈《杜端甫詩》序〉。高玢，字荊襄，河南柘城縣人，康熙戊辰科沈廷文榜進士，官至監察御史。與杜知耕同年交好。參見《柘城縣志》卷四人物志。參見高宏林，〈李子金與《算法通義》〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁 116。引自《柘城縣志》卷四人物志。 15.

(21) 熙三十三年提督順天府學政，康熙三十六年授工部左侍郎，康熙三十七年授直隸總督，康熙四十二年補吏部尚書，康熙四十四年陞文淵閣大學士。李光地是清聖祖時代的名臣，由於政績突出，深受康熙帝賞識。且其為當時名學者，主要研究程朱理學，著作很多。曆數的著作有《歷象本要》三卷，收入《李文貞公全書》。 34. 李光地透過其弟對梅文鼎的了解與其獲交，梅文鼎曾客居其家，並設館講學。. 壬午年並呈梅文鼎《歷學疑問》三卷于康熙帝求聖誨。康熙帝指出此書沒有謬誤，惟算法未詳備。其後並要求李光地安排與梅文鼎見面，奠定了梅文鼎在當時中算界的地位。梅文鼎（1633~1721），字定九，號勿庵，安徽宣城人。是清初一位十分傑出的天文學家和數學家。他在初等數學方面作了集大成的工作，在清初被譽為「歷算第一名家」。畢生研究天文學和數學覃思著述，成書七十餘種。在他自撰的《勿庵歷算書目》中各有題要。其中數學著作遍及初等數學的各個分門，約有二十餘種。而在梅文鼎的數學著作當中，杜知耕曾參與其《方程論》一書的質正。梅文鼎於〈《方程論》發凡〉中寫到「又得中州孔林宗學博、杜端甫孝廉、錢塘袁惠子文學，共相質正。」此外梅文鼎也曾寄給杜知耕一封書信，索取杜知耕和孔林宗的歷算新作或借抄，書信現錄如下：辛年一別，遂逾十載，著撰知益多，其有關歷算者，望不吝賜示，或付小兒錄副亦可，行笈中有林宗新撰之書，亦望借抄，即同晤聚一堂矣。此學甚孤，我輩數人，落落在天地間，所期相與共明，舍如旦暮者，固已迂遠而闊于事情。某近年頗多雜稿，往往得之養疴之餘。而所辨多在幾微之際，非從事于此最深，不能相為質難，思我同心，無日去懷。有小札寄林宗，亦可同覽也。 35. 當時梅文鼎已接近 70 歲了，由此信除可見其虛心地向他人學習的精神外，更可看出梅文鼎、杜知耕與孔林宗三人學術的交流情形及梅文鼎對杜知耕與孔林宗二人學術研究的肯定。孔林宗，名興泰，字逸房，後改為林宗，河南杞縣人，生卒年月不詳。為梅 34. 35. 參見高宏林，〈康熙帝與李光地、梅文鼎〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》第三編，頁 241。引自梅文鼎，《績學堂文鈔》卷 1〈寄杜端甫孝廉書〉，收入《續修四庫全書》集部 1413 冊。 16.

(22) 文鼎學派的主要成員。36自幼受到家庭良好學風薰陶，聰穎異常，才華出眾。康熙十一年（1671 年）參加河南省學政主持的院試，名列通許縣榜首，保送入京師國子監讀書。他勤奮學習，刻苦鑽研，成績優異，通過朝考後授河南輝縣教諭。康熙丁卯年（1687 年）與杜知耕同年鄉試中第，獲舉人出身資格。著有《大測精義》一書，今已佚。而其一些數學研究的成果，保存在梅文鼎的著作中。而杜知耕之生平著作有兩本：《幾何論約》與《數學讑》。《幾何論約》七卷，清初柘城杜知耕撰，有康熙三十七年)(1698 年)刊本(見《鄭堂讀書記》、《靜嘉祕籍志》卷二十五)、康熙庚辰(1700 年)刊本、《四庫全書》本。此次以《四庫全書》本影印。書的前面保存了吳學顥的序。此書的前六卷是在徐光啟所譯歐幾里得《幾何原本》(前六卷)的基礎上，「因其次第，論可約者約之，別有可發者，以己意附之，解已盡者節其論，題自明者并節其解，務簡省文句，期合題意而止。」37書的第七卷為卷末，另設「增題」十五題「后附」十題，以廣其余意。由是「一題之蘊，數語輒盡，簡而能明，約而能該，篇富既短，精華易括，一目了然，如指諸掌，從此人不苦難，而學者益多矣!」38 為本書作序的吳學顥為吳淇之子，康熙丁卯科(1687 年)舉人，曾任輝縣教諭，著有《大測精義》一書，刊行于世。《數學讑》共六卷，清初杜知耕撰。有康熙二十年(1681 年)杜氏式好堂自刻本、四庫全書本、古今算學叢書植。此次以四庫全書本影印。原式好堂本有李之鉉(字子金，以字行)的序，四庫全書本已將序刪去。本書編排方式主要是以《九章算術》中的方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股為目。書中插圖較多，對幾何部分圖解尤詳。在內容上全書共設凡例四十三則，題二百六十四則，附五則，共三百一十二則。39其中方田章內容分為直線類與曲線類。而第三卷則分上、下二部份，內容則分別涵蓋粟 36 37 38 39. 參見高宏林，〈梅文鼎學派的主要成員孔林宗〉，收入《中國科技史料》1996，17（4），頁 24~28。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。參見〈《數學鑰》簡述〉，收入靖玉樹主編，《中國歷代算學集成》，頁 2873。 17.

(23) 布章與衰分章的題目。並於第三卷後附分法五則，討論命分、約分、乘分、課分、通分等分數的四則運算問題。少廣章的內容則置於第四卷，討論立體圖形求積及反求邊徑的問題。第五卷則分為上卷之上、上卷之下、下卷之上、下卷之下四部份，分別介紹商功章、均輸章、盈朒章、與方程章等題目。而第六卷所討論的則為勾股章的內容。40 《數學鑰》一書於康熙二十年（公元 1681 年）有杜氏式好堂自刻本印行於世，另有一本舊抄本（李盛鋒舊抄本）。乾隆四十六年（1781 年）有四庫全書本。從四庫館員按語中可看出，當時有二種版本，其中一種版本被人竄改，與原書出入頗大。四庫全書本是根據當年初刊本加以校正後確定下來的，然原式好堂本有李之鉉（字子金，以字行）的序已盡數刪去。這種版本在海內外流傳頗廣。41另 1961 年有開封榮興齋石印本。42靖玉樹主編，山東人民出版社於 1994 年出版的《中國歷代算學集成》，亦將四庫全書本影印，收錄其中。本論文以此版本為研究基準。《數學鑰》全書約 73000 餘字。凡例 43 則，題目 264 個，附 5 個分法的問題，共記 312 則。以九數為目分類，分別是方田、粟布、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股九章，茲依其目錄列表如下：43 《數學鑰》目錄列表卷名. 傳統. 西洋新增. 作者心. 題目. 傳入題目. 得附加. 凡例. 目錄. 第一卷. 方田（直線類） 14 則. 57 則. 51. 1. 5. 第二卷. 方田（曲線類）. 40 則. 23. 6. 11. 第三卷（上）. 粟布. 28 則. 27. 0. 1. 第三卷（下）. 衰分. 18 則. 18. 0. 0. 第三卷（附）. 附分法. 5則. 5. 0. 0. 第四卷. 少廣. 7則. 49 則. 36. 2. 11. 商功. 5則. 8則. 8. 0. 0. 第五卷（上卷之上） 40. 41 42 43. 主要內容. 6則 6則. 3 1 3. 參見程和欽，〈清代算學家杜知耕及其《數學鑰》之研究〉，國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2007 年，頁 14。參見高宏林，〈杜知耕與《數學鑰》〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁 206。參見李儼，〈近代中算著述記〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第六卷，頁 557。引自程和欽，〈清代算學家杜知耕及其《數學鑰》之研究〉，國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2007 年，頁 14。 18.

(24) 第五卷（上卷之下）第五卷（下卷之上）第五卷（下卷之下）第六卷. 均輸. 7則. 7. 0. 0. 盈朒. 8則. 8+3. 0. 0. 方程. 9則. 9. 0. 0. 5則. 40 則. 37. 2. 1. 43 則. 269 則. 229. 11. 29. 勾股合計. 就上表看來，全書有 269 個題目中傳統題目有 229 題，大抵是有關《九章算術》的題目，約占全書題目數的 85％。以當時中算學的流傳性來看，《算法統宗》應是其主要參考的依據。其次就目錄來看，西洋傳入的題目有 11 題，而原屬傳統題目，但利用西洋傳入的知識及概念解題或證明的則有 15 題。就題目中的「解」觀察，其引用大多是《幾何原本》、《測量全義》、《同文算指》、《大測》、《割圓八線表》等書的概念及題型。另有 29 題為作者新增問題。大多是為使整個章節的概念更加完整而設計的題目。再就各章的題目數觀察，方田章分直線類與曲線類二卷介紹，二卷各有凡例 14 及 6 則，題目 57 及 40 則，合起來約占全書的 37.8％，顯見作者對方田章的重視。此外，若另與勾股章的直角三角形問題、少廣章的立體幾何問題合算，凡例與題目合起來有 218 則，約占全書的 69.9％。因此，可看出杜知耕此書的重點在於平面與空間的幾何問題。顯然與傳統中算著重粟布章、衰分章等比例分配的算術問題有很大的不同。筆者認為杜知耕此種不同於傳統中算的分配方式，顯然是受到《幾何原本》的影響。《數學鑰》中問題解答的格式是先給出問題，接下來是「法」，再接下來是「解」。此處的「法」即現代數學解答問題的公式、算式或定理，並據以算出該題之答案。而「解」則相當於對該題所用的方法、公式、算式或定理進行理論證明或說明，另有部份題目並於「解」中對該題目或其概念加以延伸。此種書寫體例相當於《幾何原本》中的「論」。. 19.

(25) 2.3 杜知耕的數學思想在杜知耕大約 20 歲的時便以太學生的身份遊京師，44李子金便指出「甫弱冠以太學生遊京師，得西洋幾何家之書而讀之。」45而田叔度亦曾說「君遊京師，初受之于諸王，留其邸教授數年，又受知於安溪學士，將表薦之，君不可乃止。」 46. 顯然杜知耕於此時期廣拜名師，其師並包含當時在朝廷很有地位的安溪學士，. 即李光地。且顯然十分地受到李光地的稱許與賞識。可能也由於李光地的關係，知耕大概是在當時的國子監或欽天監中學習到數學與歷法，後並留在國子監教學。應該在同一時期，杜知耕第一次接觸了利瑪竇與徐光啟合譯的《幾何原本》前六卷，並潛心研究。47根據李子金，「所謂幾何家者，不但窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用，即百種道藝咸取資于是書，可謂簡而不遺，大而有本矣。京師諸君子，即素所號為通人者無不望之反走，否則掩卷而不讀，或讀之亦茫然而不得其解。端甫則寓目輒通，莫不渙然冰釋而無所凝滯，一時皆翕然稱異而不知其為端甫等閒之事也。」48可看出當時的學者對《幾何原本》的接受度並不高。而杜知耕則對《幾何原本》中概念則寓目輒通，了然於胸，並為當時公卿大夫及學者所稱許。杜知耕的數學思想，主要為「度算合一」與「形數合一」的概念。我們可從《數學鑰》與《幾何論約》二書的體例得到驗證。此外，李子金於〈杜端甫《數學鑰》序〉清楚指出：「端甫因思九章諸術，西洋之法得之度數者為多，中國之法得之算術者為多，然則度也、算也，皆數也，二而一者也。」49又說「訓詁而疏通之，圖畫而剖析之，以考驗之形合布算之數。」50顯見其形數結合的數學思想與研究方法。. 44 45 46 47 48 49 50. 清朝在國學國子監學習的學生稱太學生。引自李子金，〈杜端甫《數學鑰》序〉。引自田叔度，〈《杜端甫詩》序〉。參見高宏林，〈杜知耕與《數學鑰》〉，收入吳文俊主編《中國數學史大系－第七卷》，頁 206。引自李子金，〈杜端甫《數學鑰》序〉。同上。同上。 20.

(26) 其次，吳學顥為《幾何論約》所作的序中，亦指出：「凡物之生有理、有形、有數，三者妙於自然不可言合。……理為物原，數為物紀，而形為物質，形也者理、數之相附以立者也，得形之所以然，則理與數皆在其中，不得其形，則數有窮時，而理亦杳渺而不安。非理之不足恃，蓋離形求理，則意與象睽，而理為無用。即形求理，則道與器合，而理為有本也。」51更可看出杜知耕形、理、數三者合一的想法，與其認為惟有透過形數結合才能真正認識事物本質的研究方法。再者杜知耕對數學的抽象性有一定的認識，並認為「天地之所以立，日月之所以行，皆可以數而知之者。」52因而在此思想的支配下，其數學學習與研究方法為「以虛例實，以小談大，自近測遠」，53期能因此推義比類，以探索大自然變化的規律。而我們可從其所著作之《數學鑰》與《幾何論約》中，書中題目內容的題題相因，由淺入深，概念的交互引用看出。. 51 52 53. 引自吳學顥，〈《幾何論約》原序〉。引自田叔度，〈《杜端甫詩》序〉。引自吳學顥，〈《幾何論約》原序〉。 21.

(27) 2. 4. 《幾何論約》的成書背景由前述可知，杜知耕大約在國子監、欽天監學習或授課時，第一次接觸了《幾. 何原本》前六卷的譯本，並潛心研究。但由于它是一部抽象的、演繹式的邏輯體系著作，與中國傳統以布算為主、程序化和機械化體系的數學大不相同，因此，至此時雖已出版近 90 年，仍然習之者甚寡。再加上與傳統中算書籍相較，該書解題步驟冗繁，54因此，更無法為一般人所接受。杜知耕就曾說：「蓋以每題必先標大綱，繼之以解，又繼之以論，以論多者千言，少者亦不下百餘言，一題必繪數圖，一圖必有數線，讀者須凝精聚神、手誌目顧方明其義。精神少懈，一題未竟，已不知所言為何事。」55 因此，如何刪繁就簡，使幾何學知識能從單純幾個數學家研究的局面，達到人人習之的普及地步，就成為當時中西會通的學者所共同的信念與研究方向。如方中通的《幾何約》、李子金的《幾何易簡集》、梅文鼎的《幾何摘要》及杜知耕的《幾何論約》，56都是朝著這個方向努力。因此杜知耕設想「若一題之蘊數語輒盡，簡而能明，約而能該，篇幅既短，精神易括，一目了然如指掌」，57學起來就容易多了。就在這個思想的支配下，杜知耕「就其原文，因其次第，論可約者約之，別有可發者，以己意附之解。已盡者節其論，題目自明者併，節其解務簡省文句期合題意而止。又推義比類，復綴數條于末，以廣餘意」而完成《幾何論約》。58 此舉雖與徐光啟於〈《幾何原本》雜議〉中所說有違背，然四庫館員對《幾何論約》的取捨是給予肯定的。其指出：考光啟於《幾何原本》之首冠雜議數條有云：『此書有四不必，不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得，欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。』知耕乃刊其文，似乎蹈光啟之所戒。然讀古人書者，往往各有所會心，……亦各取其所欲取而已。知耕之取所欲取， 54 55 56 57 58. 此處「解題」包含證明，意義與今日不同。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉。梅文鼎，《幾何摘要》二卷，收入梅文鼎，《中西算學通》。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉。同上。 22.

(28) 不足異也。梅文鼎算術造微，而所著《幾何摘要》亦有所去取於其間，且稱知耕是書足以相證，則是書之刪繁舉要必非漫然矣。59 入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國扎根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》﹝53 卷， 1723﹞，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響，本書便是參照《數理精蘊》裡所附的《幾何原本》所修而成。乾嘉年間形成一個以考據學為主的乾嘉學派，編成《四庫全書》，其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作，為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。《幾何原本》寫成於公元前 3 世紀，是世界數學史上著名經典。它通過選取少量原始概念，再設定幾條不須證明的幾何命題，作為定義、公理、公設，使之成為全部幾何學的出發點，然後運用邏輯推理證明其餘的命題。整個幾何學體係，呈現出由簡到繁的演化過程，後人稱之為公理話體系。《幾何原本》於明末傳入中國之後，引起了中國學人的重視，刺激了天算學的復興，引起了以數學為基礎的世界構圖與思維方式的變革。1611 年方中通出版了《幾何約》，1679 年李子金出版了《幾何易簡錄》，1692 年梅文鼎出版了《幾何通解》，1700 年杜知耕出版了《幾何論約》。而杜知耕的《幾何論約》是參照徐光啟所譯《幾何原本》六卷進行刪削，附加第 7 章自我紓發而成。徐顯然對《幾何原本》的精髓體會很深：他說書中的邏輯推理「于前後更置之不可得」60，又說它「似至晦，實至明，似至繁，實至簡，似至難，實至易」61。由此便可知。. 59 60 61. 引自〈《幾何論約》提要〉，收入《四庫全書》。引自杜知耕，〈《幾何論約》提要〉，頁 3027。引自徐光啟，〈《幾何原本》雜議〉。 23.

(29) 第 3 章《幾何論約》的內容分析與《幾何原本》的比對本論文的第三章將分為前言與第一至七卷共八小節，論述如下。. 3.0 前言本論文所提供的詳盡內容分析，在範圍上做了些取捨。《幾何論約》共有七卷，每卷皆有卷首，卷首的內容主要是「界說」、「求作」與「公論」。「界說」即是名詞解釋，亦可看成定義，作者杜知耕有云：「凡造論，先當分別解說論中所用名目，故作界說」，62即是先將定義說明。「求作」即是作圖，或稱公設，並且假設這些皆是可行的，作者有云：「求作者，不得言，不可作」63。「公論」即是公理，須先全盤接受，不可有所懷疑，作者有云：「公論者，不可疑」64便是此意。「界說」、「求作」與「公論」皆在卷一之首出現，但卷二至卷七之首皆只有「界說」。卷首之後為每卷內容，皆為「題」65。「題」之內容計有「解曰」、「法曰」、「用法」、「論曰」、「耕曰」、「增」及「系」等。其各所代表意義如下表所示：. 解曰. 即是解釋題目，讓讀者懂題目所述。. 法曰. 需用有步驟的作圖法以明題意者，其名曰「法曰」。. 用法. 即將原本作圖「法曰」的做法加以能省則省，以求簡潔明瞭，可以視為較「法曰」簡要的做法。. 論曰. 即所得結論，可視為定理。「論」有「正論」與「駁論」兩種，「正論」可以視為數學邏輯中的「原命題」；而「駁論」則可視為「否逆命題」。. 耕曰. 62 63 64 65. 作者以己之意所述的話語。. 增. 「題」之所延伸的題目。. 系. 顯而易見可推出之定律。. 引自杜知耕，〈《幾何論約》卷一之首〉，頁 3031。引自杜知耕，〈《幾何論約》卷一之首〉，頁 3033。引自杜知耕，〈《幾何論約》卷一之首〉，頁 3033。即是指：題目、命題，亦可看成定理。 24.

(30) 綜觀杜知耕所作刪削之主因，由序中所述：「書成於萬曆丁未，至今九十餘年，而習者尚寥寥無幾，其故何與？蓋以每題必先標大綱，繼之以解，又繼之以論，多者千言，少者亦不下百餘言。一題必繪數圖，一圖必有數線。讀者須凝精聚神，手誌目顧，方明其義，精神稍懈，一題未竟，已不知所言為何事。習者之寡，不盡由此，而未必不由此也。」66。其意便是指《幾何原本》成書已近百年，但是能夠習得此書之人仍是少之又少，原因便是在於內容過於繁瑣而變得難以閱讀。至於其中心思想，誠如其於序中所說：「一題之蘊，數語輒盡，簡而能明，約而能該，篇富既短，精華易括，一目了然，如指諸掌，從此人不苦難，而學者益多矣！」67杜知耕作此刪削，主要是希望能夠使內容變得簡短有力，並且使《幾何原本》易於閱讀，不會使人覺得很難讀懂，如此便會有愈來愈多的人去學習《幾何原本》這本著作了。而取捨標準即是：「因其次第，論可約者約之，別有可發者，以己意附之，解已盡者節其論，題自明者并節其解，務簡省文句，期合題意而止。」68考慮順序次第，論可省則省；能夠有所引申者，用一己之意附加於其上；解已解釋完畢的，便將論省去；命題已清楚明瞭的，解亦一併省略。目的便是將內容縮減，希望能契合題意為止。本論文對於杜知耕如何擷取幾何原本的觀點著手，探討當時的社會所需，人民所能接受的程度，以及如何使幾何原本能夠普及化為目標，作深入的探討。另一方面，亦希望透過杜知耕的數學觀，一窺當時數學的社會背景與需求。《幾何論約》可視為杜知耕依照《幾何原本》作删補而成的教科書。《幾何論約》，剔除的恰好是歐幾里得體系的精髓公理學思想，而只保留下界說、求作及一些實用的幾何命題。至於洋務派們倡言的"中體西用"，更是以現實功利的角度，把科學價值整體潛涵於精神領域的寶貴財富遺漏，並且流失了。. 66 67 68. 引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕，〈《幾何論約》自序〉，頁 3030、3031。 25.

(31) 《幾何論約》七卷中的前六卷內容編排主要按照《幾何原本》的體例，且依據《幾何原本》的線、面兩部份的主要概念與方法，並用詳盡的圖解方式附以文字說明為這些問題作注釋，以說明公式由來。而第七章，也就是卷末，為杜知耕依照己意所添加而成之章節。茲分別簡介如下：卷一之首. 界說三十六則，求作四則（求作者不得言不可作），公論十九則（公論者不可疑）. 卷一. 四十八題. 卷二之首. 界說二則. 卷二. 十四題. 卷三之首. 界說十則. 卷三. 三十七題. 卷四之首. 界說七則. 卷四. 十六題. 卷五之首. 界說十九則. 卷五. 三十四題. 卷六之首. 界說六則. 卷六. 三十三題. 卷末. 十五增題，後附十題. 其中，專有名詞之解釋參考如下表所述：一、界說. 此乃仿照《幾何原本》中的「界說」的體例，每卷開頭先給出界說數則，主要是介紹本卷中題目所需用到的數學名詞、概念、及數學定義。. 二、求作. 於每卷的卷首「界說」之後，便按照分別列出該專題所要介紹、討論的題目。因此就其內容，我們大概可依本書所討論之題目來源將題目分成「幾何原本傳統問題」、「作者新增問題」、與「作者心得附加問題」三個部份。. 三、公論. 即為公理 26.

(32) 四、問題及解答. 《幾何論約》中問題解答的格式是先給出問題，接下來是「法」，再接下來是「解」。此處的「法」即現代數學解答問題的公式、算式或定理，並據以算出該題之答案。而「解」則相當於對該題所用的方法、公式、算式或定理進行理論證明或說明，另有部份題目並於「解」中對該題目或其概念加以延伸。此種書寫體例相當於《幾何原本》中的「論」。. 大體上，每卷先於卷首設界說，其次是求作，最後，再以大量的篇幅對目錄中所列問題一一給出詳細的解答，而每一章節的大致內容，請讀者參考 3.1 至 3.7 章節的內容所述。. 27.

(33) 3.1 《幾何論約》第一卷首先，先介紹本卷之主要各個相關內容標題為何，使讀者知道重點所在。其次，再挑選較基本或是一般讀者較為熟悉之定理作為內容介紹的標準，希望能有助讀者更快速地熟悉本著作之刪削標準。 3.1.1 《幾何論約》第一卷的內容分析卷一之首計有：界說三十六則，求作四則，公論十九則。卷一計有：四十八題，含 14 題作圖及 34 個定理。作圖包含了：（1）作線段；（2）平分線段與直線角；（3）作垂直線；（4）作平行線；（5）作直線角；（6）作三角形；（7）作正方形；（8）作平行四邊形。而定理則包含：（1）三角形全等定理及一般定理；（2）等腰三角形定理；（3）直角三角形定理；（4）平行線定理；（5）直線角定理；（6）平行四邊形定理；（7）直線形等積定理。限於篇幅，因一至三題為較單調且制式化之作圖題，故先以較具連貫性之第四、五題為例，介紹如下：【四題】兩三角形，若相當之兩腰各等，各兩腰間角等，則兩底必等，而兩形亦等，其餘各兩角相當者俱等。解曰，甲乙丙、丁戊己，兩三角形之甲與丁兩角等，甲丙與丁己兩線，甲乙與丁戊兩線，各等。題言乙丙與戊己兩底必等，而兩三角形亦等。乙與戊兩角，丙與己兩角俱等(三角形稱為角形省文也)。69. 69. 引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3035。 28.

(34) 此題即是：大家所熟知的三角形 SAS 全等性質。【五題】三角形若兩腰等，則底線兩端之兩角等，而兩腰引出之其底之外，兩角亦等。解曰，甲乙丙角形，其甲丙與甲乙兩腰等，題言甲丙乙與甲乙丙兩角等，又引甲丙至戊，引甲乙至丁，其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。增凡三邊等形其三角俱等。70. 甲. 乙丁. 丙戊. 「解曰」內容以現代語言可譯為： ∆ 甲乙丙，其甲丙與甲乙兩腰相等，命題已說 ∠ 甲丙乙與 ∠ 甲乙丙相等，又延長甲丙邊至戊點，延長甲乙邊至丁點，可得 ∠ 乙丙戊與 ∠ 丙乙丁兩外角亦相等。《幾何原本》原文有「論曰」，《幾何論約》將其省略，只留下「解曰」與「增」。其實”等腰三角形之兩底角相等”是眾所週知且顯而易見，杜知耕將其省略，正好符合其在序中所述「因其次第，論可約者約之」71、「務簡省文句，期合題意而止」。72 此題即是敘述：三角形若是兩腰等長，則兩底角相等，而兩底角之外角亦等。而「增」所言即是：正三角形之三內角必相等，皆為六十度。. 70 71 72. 引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3035。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3031。 29.

(35) 第六、八題與第五題具重複性，第七、九至十七題為較不具與生活周遭事物之相關性，在此省略不談。接著看第十八至二十題。【十八題】凡三角形，大邊對大角；小邊對小角。解曰，甲乙丙角形之甲丙邊，大于甲乙邊，乙丙邊，題言，甲乙丙角，大于甲丙兩角。論曰，試于甲丙線上截甲丁與甲乙等作乙丁線，則甲乙丁與甲丁乙兩角等矣（本卷五），夫甲丁乙角者，乙丙丁角形之外角必大于相對之丁丙乙內角（本卷十六），則甲乙丁角亦大于甲丙乙角，而況甲乙丙又函甲乙丁，于其中不更大于甲丙乙乎，如乙丙邊大于甲乙邊，則甲角亦大于丙角，依此推顯。73. 甲. 乙. 丁. 丙「論曰」內容以現代語言可譯為：於甲丙邊上作甲丁線段與甲乙線段等長，，而 ∠ 甲丁乙連接乙丁線段，則 ∠ 甲乙丁與 ∠ 甲丁乙相等（由本卷第五題可得）為 ∠ 乙丙丁之外角，必大於其內對角 ∠ 丁丙乙（由本卷第十六題可得），則 ∠ 甲乙丁亦大於 ∠ 甲丙乙，況且 ∠ 甲乙丙又含 ∠ 甲乙丁，更是必定大於 ∠ 甲丙乙，如乙丙邊大於甲乙邊，則甲角亦大於丙角，依此可推，顯而易見。十八題即是延伸自第五題，利用等腰三角形兩底角相等的性質，證明了大邊對大角；小邊對小角。而此題與在《幾何原本》的內容上並無大差別，相信杜知耕應該認為《幾何原本》所述便已夠簡潔，毋須再做刪減。. 73. 引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3039。 30.

(36) 【十九題】凡三角形，大角對大邊；小角對小邊。74 十八及十九題即是國中教材三角形邊角性質中之：「樞紐定理」，但仍有差異性。此處是指單一個三角形而言，而「樞紐定理」是用兩個同角所連接之邊為等長而言。【二十題】凡三角形之兩邊并，必大于一邊。75 此題即是：三角形兩邊之和大於第三邊，為形成三角形之必要條件。而於十八及十九題，《幾何原本》原文中的「論曰」及「解曰」，《幾何論約》均將其省略刪去，符合杜知耕於序中所言：「因其次第，論可約者約之」76、「解已盡者節其論，題自明者并節其解，務簡省文句，期合題意而止。」77畢竟此二題直接由命題便可知其意。第二十一至第二十六題較偏向理論題與作圖題，在此亦略過。接著為與平行性質有關的第二十七與二十八題。【二十七題】兩直線有他直線交加其上，若內相對兩角等，即兩直線必平行。解曰，甲乙丙丁兩直線，加他直線戊己，交于庚、于辛，而甲庚辛與丁辛庚兩角等，題言甲乙丙丁兩線必平行。論曰，如不平行，兩線必相遇于壬，成庚辛壬三角形，則甲庚辛外角宜大于相對之庚辛壬內角矣（本卷十六），若兩角等，則兩線必平行。78. 74 75 76 77 78. 引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3039。引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3039。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3041。 31.

(37) 戊甲丙. 戊庚. 辛. 乙. 甲. 丁. 丙. 己. 乙丁. 庚. 辛己. 「解曰」內容以現代語言可譯為：甲乙及丙丁兩直線，另作一直線戊己，交甲乙及丙丁兩直線於庚、辛兩點，若 ∠ 甲庚辛與 ∠ 丁辛庚兩角相等，則如命題所言，甲乙及丙丁兩直線必定平行。「論曰」內容以現代語言可譯為：如果不平行，兩直線必相交於壬點，形成 ∆ 庚辛壬，則外角 ∠ 甲庚辛應大於相對之內角 ∠ 庚辛壬（由本卷第十六題可得），故若兩內錯角相等，則兩直線必定平行。此題使用到了兩種「論」之中的「駁論」，就如同我們所熟悉的「反證法」。而此題即是：兩直線平行與同位角或是內錯角相等互為充要條件。《幾何原本》中之「論曰」所述內容在此有做些刪減79，務使文句更為簡短亦於閱讀，誠如「論可約者約之」。80 【二十八題】兩直線有他直線交加其上，若外角與同方相對之內角等，或同方，兩內角與兩直角等，即兩直線必平行。解曰，甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚、于辛，題言若戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙內等，則兩線必平行。又言，若甲庚辛與丙辛庚同方兩內角并與兩直角等，則兩線必平行。81. 79 80 81. 見第 3 章《幾何論約》與《幾何原本》的內容比對：3.1。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。引自杜知耕〈《幾何論約》卷一〉，頁 3041。 32.

(38) 戊庚. 甲丙. 辛. 乙丁. 己「解曰」內容以現代語言可譯為：作一與甲乙及丙丁兩直線相交之直線戊己，交甲乙及丙丁兩直線於庚、辛兩點，命題說道，若外角 ∠ 戊庚甲與同方位相對之 ∠ 庚辛丙相等，則兩線必定平行。又說道，若甲庚辛與丙辛庚同方向之兩內角之和與兩直角相等82，則兩線必定平行。此題於《幾何原本》中有「前解曰」、「論曰」、「後解曰」與「論曰」四部份，作者把「前解曰」與「後解曰」合併為一，而把兩個「論曰」省略，正好符合杜知耕於序中所述：「解已盡者節其論」83。而此題即是：同方向相對之二內角若是與兩直角相等，則兩線平行。最後的第二十九至四十八題，為有關平行線與三角形之內角、外角與面積的討論，皆與前面所述之題多少具重複性，且有些題太理論；而作圖題太呆版，亦不再贅述。. 82 83. 於《幾何原本》中並無「平角（ 180o ）」這個名詞，而是用「兩直角」。引自杜知耕〈《幾何論約》自序〉，頁 3030。 33.

(39) 3.1.2 《幾何論約》第一卷與《幾何原本》第一卷的內容比對而《幾何論約》與《幾何原本》第一卷內容的比對依照前面內容分析所述，略舉相關者如下：幾何原本第一卷本篇論三角形計四十八題（含 14 題作圖及 34 個定理）【第四題】兩三角形，若相當之兩腰線各等，各兩腰線間之角等，則兩底線必等，而兩形亦等，其餘各兩角相當者俱等。解曰，甲乙丙、丁戊己，兩三角形之甲與丁，兩角等，甲丙與丁己兩線，甲乙與丁戊兩線，各等。題言乙丙與戊己兩底線必等，而兩三角形亦等。甲乙丙與丁戊己兩角，甲丙乙與丁己戊丙角俱等。論曰，如云乙丙與戊己不等，即令將甲角置丁角之上，兩角必相合無大小。甲丙與丁己，甲乙與丁戊，亦必相合無大小（公論八）。此一俱等，而云乙丙與戊己不等，必乙丙底或在戊己之上為庚，或在其下為辛矣，戊己既為直線，而戊庚己又為直線，則兩線當別作一形，是兩線能相合為形也辛倣此（公論十二。此以非為論者，駁論也，下倣此）。. 幾何論約卷一. 【第五題】三角形若兩腰等，則底線兩端之兩角等，而兩腰引出之其底之外，兩角亦等。解曰，甲乙丙三角形，其甲丙與後乙丙腰等，題言甲丙乙與甲乙丙兩角等，又自甲丙線任引至戊，甲乙線任引至丁，其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。. 【五題】三角形若兩腰等，則底線兩端之兩角等，而兩腰引出之其底之外，兩角亦等。解曰，甲乙丙角形，其甲丙與甲乙兩腰等，題言甲丙乙與甲乙丙兩角等，又引甲丙至戊，引甲乙至丁，其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等。. 【四題】兩三角形，若相當之兩腰各等，各兩腰間角等，則兩底必等，而兩形亦等，其餘各兩角相當者俱等。解曰，甲乙丙、丁戊己，兩三角形之甲與丁兩角等，甲丙與丁己兩線，甲乙與丁戊兩線，各等。題言乙丙與戊己兩底必等，而兩三角形亦等。乙與戊兩角，丙與己兩角俱等(三角形稱為角形省文也)。「論曰」刪去. 論曰，試如甲戊線稍長，即從引戊截取一分，與甲丁等，為甲己（本篇三）次自丙至丁，乙至己，各作直線（第一 34. 「論曰」刪去.