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以奠基理念發展國中七年級一元一次方程式補救教材

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Academic year: 2021

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以 奠基理 念發 展國中 七年 級一元 一次 方程式

補 救教材

蕭 新 雄

1

、 徐 偉 民

2 1國 立 屏 東 大 學 科 普 傳 播 學 系 研 究 生 2國 立 屏 東 大 學 科 普 傳 播 學 系 教 授

壹 、 前 言

數 學 學 習 領 域 九 七 課 程 綱 要 ( 教 育 部 , 2008) 中 , 代 數 為 一 個 重 要 主 題,其 中 一 元 一 次 方 程 式 更 是 代 數 學 習 的 重 要 基 礎,它 會 影 響 往 後 多 項 式 、 函 數 或 抽 象 代 數 的 學 習 。 然 而 , 國 中 學 生 在 一 元 一 次 方 程 式 單 元 卻 遭 遇 極 大 的 挫 折,如 此 重 要 的 代 數 知 識,讓 許 多 國 中 生 感 到 十 分 頭 痛,因 而 排 斥 、 抗 拒 學 習 , 於 是 產 生 了 很 多 需 要 補 救 的 數 學 低 成 就 學 生 。 筆 者 認 為 一 元 一 次 方 程 式 學 習 問 題 的 形 成 原 因 有 二 : 一 是 國 中 的 教 學 缺 乏 具 體 情 境 的 引 導 , 很 快 就 進 入 抽 象 的 代 數 運 算 , 導 致 學 生 無 法 有 意 義 的 了 解,只 記 憶 規 則 而 產 生 了 錯 誤 和 迷 思( 王 如 敏, 2004;楊 榮 達, 2006; 張 景 媛 、 余 采 玲 、 鄭 章 華 、 范 德 鑫 , 2012; 郭 輝 煌 , 2014); 一 是 過 多 的 抽 象 運 算 讓 學 習 變 的 枯 燥 乏 味,導 致 學 生 對 一 元 一 次 方 程 式 的 學 習 產 生 反 感 、 無 興 趣 ( 田 興 蓉 , 2003; 劉 環 毓 , 2008; 賴 勤 薇 , 2011)。 所 以 , 筆 者 想 要 針 對 上 述 兩 個 原 因 , 設 計 一 套 有 效 的 補 救 教 材 , 將 學 生 在 一 元 一 次 方 程 式 的 學 習 問 題 予 以 解 決 , 提 高 其 學 習 成 效 。 筆 者 發 現 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 教 育 中 心 所 推 動 的 「 奠 基 數 學 」 正 好 可 以 解 決 上 述 問 題 ,「 奠 基 數 學 」 認 為 教 學 活 動 在 設 計 上 應 該 有 兩 個 原 則 , 那 就 是 「 具 象 有 感 」 和 「 活 潑 有 趣 」( 教 育 部 , 2014)。 教 師 應 該 以 學 生 為 中 心 研 發 活 動 教 材 , 讓 數 學 的 學 習 變 得 有 趣 , 引 發 學 習 數 學 興 趣 , 並 從 具 象 操 作 中 學 得 重 要 的 數 學 概 念 。 所 以 , 筆 者 決 定 以 「 奠 基 」 理 念 來 設 計 一 元 一 次 方 程 式 補 救 教 材 。

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貳 、 奠 基 數 學 的 理 論 基 礎

「 奠 基 數 學 」一 詞 來 自 於 教 育 部 委 託 國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 教 育 中 心 所 承 辦 「 就 是 要 學 好 數 學 (JUST DO MATH) 」 計 畫 ( 教 育 部 , 2014)。 「 奠 基 」是 在 學 生 學 習 前,先 讓 學 生 經 由 活 潑 有 趣 的 數 學 活 動,激 發 學 生 對 數 學 的 興 趣,可 引 起 學 生 的 數 學 學 習 動 機;同 時,在 進 行 數 學 活 動 時 , 養 成 學 習 數 學 內 容 的 具 象 經 驗 , 讓 學 生 體 會 與 數 學 單 元 連 結 的 關 鍵 點 , 促 使 學 生 在 關 鍵 點 引 動 的 好 奇 心 驅 使 下 , 進 一 步 探 索 相 關 問 題 , 之 後 進 入 數 學 教 室 學 習 相 關 單 元 時 能 具 象 有 感 的 學 習 。 目 前 , 大 部 分 的 數 學 奠 基 模 組 是 根 據 Bruner 的 三 種 學 習 表 徵 ( 動 作 、 圖 像 、 符 號 ) 而 設 計 的 , 針 對 數 學 概 念 選 擇 適 當 的 圖 像 表 徵 來 轉 化 成 具 體 操 作 活 動 , 再 規 劃 成 遊 戲 的 教 學 活 動 。 以 下 就 Bruner 的 表 徵 理 論 和 數 學 遊 戲 融 入 教 學 做 探 討 。 一 、 Bruner 的 表 徵 理 論 Br uner ( 1966) 由 運 思 的 觀 點,認 為 表 徵 是 指 人 類 經 由 認 知 表 徵 的 過 程 獲 得 知 識 , 並 進 一 步 將 其 分 為 三 種 類 型 ( 引 自 張 春 興 , 1994):

1. 動 作 表 徵 (enact i ve rep r esent at i on)

動 作 表 徵 是 指 靠 動 作 來 獲 得 知 識 。 例 如 : 在 數 學 學 習 上 , 以 教 導「 有 兩 堆 糖 果 , 一 堆 有 7 顆 糖 果 、 另 一 堆 有 5 顆 糖 果 , 請 問 共 有 幾 顆 糖 果 ? 」 為 例 , 在 動 作 表 徵 下 , 教 師 會 教 導 學 生 實 際 操 作 7 顆 糖 果 和 5 顆 糖 果 , 並 把 他 們 合 在 一 起 , 點 數 以 得 知 結 果 為 12。

2. 圖 像 表 徵 ( i coni c repr esent at i on)

指 利 用 對 物 體 知 覺 留 在 記 憶 中 的 心 像,即 可 獲 得 知 識,當 具 體 物 消 失 時, 兒 童 仍 能 依 照 腦 中 實 物 的 影 像 , 來 進 行 內 在 的 運 思 活 動 。 例 如 : 在 數 學 學 習 上 , 以 教 導 「 有 兩 堆 糖 果 , 一 堆 有 7 顆 糖 果 、 另 一 堆 有 5 顆 糖 果 , 請 問 共 有 幾 顆 糖 果 ? 」 為 例 , 在 圖 像 表 徵 下 , 學 生 以 心 像 運 思 或 畫 圈 圈 取 代 實 際 操 作 糖 果 , 得 知 結 果 為 12。

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3. 符 號 表 徵 (s ymbol i c r e pr esent at i on)

指 運 用 符 號 、 語 言 文 字 為 依 據 認 識 外 界 事 物 。 以「 有 兩 堆 糖 果 , 一 堆 有 7 顆 糖 果 、 另 一 堆 有 5 顆 糖 果 , 請 問 共 有 幾 顆 糖 果 ? 」 為 例 , 在 符 號 表 徵 下 , 學 生 只 要 在 內 心 運 算 或 以 算 式 「 7+ 5= 12」 呈 現 即 可 。 Pi aget (1974) 強 調 , 兒 童 須 藉 由 具 體 操 作 來 認 知 , 經 由 操 作 的 結 果 , 兒 童 始 能 將 獲 得 的 資 料 在 心 中 加 以 變 形 , 形 成 邏 輯 系 統 , 使 之 能 被 組 織 和 利 用 。 Sf ard 與 Li nchevs ki ( 1994) 以 知 識 發 生 的 觀 點 檢 視 代 數 思 考 的 成 長 , 並 提 出 數 學 概 念 的 過 程 物 件 ( process -object) 性 質 , 將 數 學 概 念 分 為 操 作 性 概 念 ( operational conceptions ) 和 結 構 性 概 念 ( structural conception ), 認 為 數 學 概 念 的 初 始 概 念 是 操 作 性 概 念 , 而 透 過 具 體 化 的 過 程 , 數 學 物 件 也 就 是 結 構 性 概 念 方 得 以 產 生 。 綜 合 以 上,說 明 了 具 體 操 作 是 概 念 教 學 的 基 礎,尤 其 是 低 成 就 學 生 的 補 救 教 學 , 在 概 念 的 引 導 和 發 展 上 一 定 得 從 具 體 操 作 開 始 , 才 能 使 其 理 解 。 二 、 數 學 遊 戲 融 入 教 學 Dewe y (1938) 指 出 遊 戲 在 學 校 課 程 中 應 佔 有 明 確 地 位,其 目 的 在 增 進 知 識 及 充 實 社 會 行 為 , 缺 乏 遊 戲 活 動 之 教 育 , 不 能 得 到 有 效 的 學 習 。 所 以 遊 戲 活 動 富 含 教 育 的 意 義 , 不 管 在 知 識 技 能 的 獲 得 和 應 用 , 或 是 個 體 在 群 體 中 的 角 色 扮 演 , 都 可 透 過 遊 戲 來 完 成 。 多 數 研 究 顯 示 數 學 遊 戲 結 合 教 學 不 僅 能 有 效 引 起 學 生 的 學 習 興 趣 與 動 機 , 對 其 學 習 態 度 亦 有 正 面 影 響 。 因 為 學 生 在 遊 戲 中 是 一 個 主 動 參 與 的 角 色,不 僅 能 表 達 自 己 的 想 法,亦 能 自 己 建 構 知 識( 田 興 蓉, 2003;劉 環 毓 , 2008; 賴 勤 薇 , 2 011 )。 綜 合 以 上,若 能 於 教 學 中 配 合 教 材 內 容 設 計 相 關 的 數 學 遊 戲,讓 學 生 可 以 透 過 數 學 遊 戲 建 構 數 學 的 概 念 或 者 運 用 數 學 的 知 識,解 決 遊 戲 中 的 問 題 , 培 養 帶 得 走 的 能 力 , 將 是 寓 教 於 樂 的 最 佳 模 式 。

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參 、 一 元 一 次 方 程 式 的 補 救 教 材 內 容

補 救 教 材 設 計 第 一 件 重 要 工 作 就 是 確 定 學 習 內 容 , 也 就 是 低 成 就 學 生 應 該 學 會 什 麼 ? 筆 者 從 兩 個 向 度 來 分 析 一 元 一 次 方 程 式 的 學 習 內 容 , 一 是 解 題 歷 程 , 一 是 關 係 類 型 , 分 析 如 下 : 一 、 解 題 歷 程 一 元 一 次 方 程 式 的 主 要 解 題 歷 程 有 二:一 是 列 方 程 式,一 是 解 方 程 式 。 其 中 列 方 程 式 歷 程 為 設 未 知 數→以 符 號 代 表 數 →整 合 出 方 程 式 ; 解 方 程 式 歷 程 為 化 簡 運 算→等 量 公 理 或 移 項 法 則 求 解 。 詳 細 如 下 圖 。 圖 1 一 元 一 次 方 程 式 的 解 題 歷 程 二 、 關 係 類 型 在 相 同 的 解 題 歷 程 下 , 題 目 有 困 難 有 簡 易 , 學 生 該 學 會 怎 樣 的 難 度 , 且 題 目 難 易 度 又 如 何 分 別 , 這 又 是 傷 腦 筋 的 事 。 在 分 析 所 有 題 目 類 型 後 , 決 定 由 文 字 題 的 關 係 類 型 來 決 定 問 題 的 難 度 。 筆 者 先 由 「 未 知 數 出 現 的 位 置 和 次 數 」 決 定 關 係 型 態 有 三 種 : 未 知 數 出 現 在 等 號 單 側 一 次 、 未 知 數 出 現 在 等 號 單 側 兩 次 、 未 知 數 出 現 在 等 號 雙 側 各 一 次 , 接 著 , 在 這 三 種 型 態 下 , 由 「 以 符 號 代 表 數 的 次 數 」 決 定 其 關 係 複 雜 度 , 選 取 次 數 為 1~4次 , 最 後 決 定 學 生 應 該 學 會 的 五 種 關 係 類 型 如 下 表 :

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5 表 1 一 元 一 次 方 程 式 關 係 類 型 分 析 表 未 知 數 出 現 的 位 置 和 次 數 未 知 數 出 現 在 等 號 單 側 一 次 未 知 數 出 現 在 等 號 單 側 兩 次 未 知 數 出 現 在 等 號 雙 側 各 一 次 以 符 號 代 表 數 的 次 數 1 次 2 次 3 次 4 次 2 次 關 係 類 型 a x+ b = k c ( a x + b ) + d = k ( c 為 正 整 數 ) ( a x+ b ) -( c x+ d ) = k ( a x+ b ) + e ( c x+ d ) = k (e≠-1 , e 為 整 數 ) a x+ b = c x+ d 註 : 考 慮 數 學 低 成 就 學 生 的 計 算 能 力 , 補 救 教 材 中 所 選 用 的 數 字 盡 量 以 整 數 為 主 , 若 有 分 數 也 以 簡 單 型 態 呈 現 。 茲 將 各 關 係 類 型 的「 以 符 號 代 表 數 的 次 數 」及「 難 易 順 序 」說 明 如 下 : ( 一 ) 由 列 方 程 式 歷 程 分 析 各 關 係 類 型 的 「 以 符 號 代 表 數 的 次 數 」 1. 關 係 類 型 一 : ax+b= k ∴ 以 符 號 代 表 數 1 次 。 2. 關 係 類 型 二 : ax+b=c x+d ∴ 以 符 號 代 表 數 2 次 。 3. 關 係 類 型 三 : c( ax+b) +d=k

x

ax+b

ax+b=k

x

ax+b

cx+d

ax+b=cx+d

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6 ∴ 以 符 號 代 表 數 2 次 。 4. 關 係 類 型 四 : (ax+b) -( cx+d)=k ∴ 以 符 號 代 表 數 3 次 。 5. 關 係 類 型 五 : (ax+b)+ e(cx+d) =k ∴ 以 符 號 代 表 數 4 次 。 關 係 類 型 五 的 問 題 以 「 雞 兔 同 籠 問 題 」 為 代 表 。 例 如 , 問 題 「 有 5 元 郵 票 和 12 元 郵 票 兩 種 , 小 明 總 共 買 了 18 張 郵 票 共 花 了 160 元 , 那 麼 小 明 買 了 5 元 郵 票 和 12 元 郵 票 各 多 少 張 ? 」 先 假 設 5 元 郵 票 x 張 , 再 以 18-x 表 示 12 元 郵 票 的 張 數 , 以 5x 表 示 5 元 郵 票 的 花 費 , 以 12(18-x)表 示 12 元 郵 票 的 花 費,以 5x+12(18 -x)表 示 總 共 花 費,最 後 列 方 程 式 5x+12(18 -x)=160。 上 述 每 個 畫 底 線 的 部 分 都 是 一 次 以 符 號 代 表 數 , 共 4 次 。 ( 二 ) 由 解 方 程 式 及 列 方 程 式 分 析 各 關 係 類 型 的 難 易 度 1. 以 解 方 程 式 的 難 度 而 言 由 易 至 難 依 序 是 ax+b=k,ax+b=cx+d,c(ax+b)+d=k,(ax+b) -(cx+d)=k,

x

ax+b

c(ax+b)+d

c(ax+b)+d=k

x

ax+b

cx+d

(ax+b)- (cx+d)

(ax+b)-(cx+d)=k

x

ax+b

cx+d

e(cx+d)

(ax+b)+e(cx+d)

(ax+b)+e(cx+d)=k

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7 ( ax+b) +e( cx+d) =k。 因 為 前 兩 者 是 單 純 的 等 量 公 理 或 移 項 法 則 求 解 , 且 ax+b=cx+d 運 算 難 度 高 於 ax+b= k; 而 後 三 者 必 須 先 經 過 化 簡 運 算 後 才 能 進 行 求 解,且 由 去 括 號 的 難 度 (難 度 依 序 是 正 整 數 倍 ,負 1 倍,負 整 數 倍 )和 同 類 項 合 併 的 項 數 可 看 出 , (ax+b)+e(cx+d)=k(e≠-1, e 為 整 數 )難 度 高 於 ( ax+b) -(cx+d)= k, ( ax +b) -( cx+d) =k 難 度 高 於 c(ax+b)+d=k( c 為 正 整 數 ) 。 2. 以 列 方 程 式 的 難 度 而 言

由 易 至 難 依 序 是 ax+b=k, ax+b=cx+d , c(ax+b)+d=k, (ax+b) -(cx+d)=k, ( ax+b) +e(cx+d)=k。 因 為 以 符 號 代 表 次 數 後 者 比 前 者 高 , 所 以 後 者 難 度 高 於 前 者 。 其 中 ax+b=cx+d和 c(ax+b)+d=k的 以 符 號 代 表 數 次 數 雖 然 都 是 兩 次 , 但 因 為 c(ax+b)+d=k在 列 方 程 式 時 使 用 了 間 接 關 係 , 而 ax+b=cx+d只 使 用 了 直 接 關 係 , 所 以 c(ax+b)+d=k比 ax+b=cx+d 難 度 高 。 上 述 之 直 接 關 係 是 指 此 題 目 中 的 某 兩 個 物 件 (二 元 )不 需 透 過 第 三 者 就 能 建 立 關 係 , 例 如 y=3x+1 或 2x+3y=5 中 , x和 y是 直 接 關 係 ; 而 間 接 關 係 則 需 要 第 三 者 、 第 四 者 等 為 媒 介 才 能 建 立 關 係 , 例 如 y=3x+1 , z=2y-3, 所 以 z=2(3x+1) -3, 則 x和 z是 透 過 y 而 有 間 接 關 係 。 綜 合 上 述,有 了 一 元 一 次 方 程 式 解 題 歷 程 和 關 係 類 型 的 架 構 後,對 於 補 救 教 材 的 編 製 就 有 很 好 的 依 據 。

肆 、 一 元 一 次 方 程 式 補 救 教 材 的 設 計 說 明

一 、 教 材 設 計 的 重 要 考 量 補 救 教 材 的 設 計 必 須 考 量 許 多 面 向 , 包 含 教 材 架 構 、 教 學 策 略 、 問 題 選 編 等 , 其 說 明 如 下 : ( 一 ) 教 材 架 構 張 新 仁 ( 2001) 指 出 補 救 課 程 的 規 劃 上 , 要 考 慮 由 易 至 難 、 由 簡 而 繁 等 原 則 , 才 能 重 新 建 立 學 生 的 自 信 與 學 習 動 機 。 所 以 , 筆 者 以 五 個 關 係 類 型 做 為 補 救 教 材 架 構,並 依 各 關 係 類 型 的 難 度 (由 易 至 難 )作 為 教 材 編 排 次 序 ( ax+b=k → ax+b=cx+ d → c(ax+b) +d=k → ( ax+b) -(cx+d)=k →

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8 ( ax+b) +e(cx+d)=k) 。 希 望 低 成 就 學 生 能 完 整 且 有 層 次 的 學 習 一 元 一 次 方 程 式 代 數 運 算 和 問 題 解 決 概 念 。 ( 二 ) 教 學 策 略 本 補 救 教 材 的 教 學 策 略 是 採 用 奠 基 理 念 來 進 行 教 學 活 動 , 也 就 是 筆 者 須 發 展 具 象 有 感 、 活 潑 有 趣 的 數 學 活 動 來 使 學 生 有 意 義 的 理 解 一 元 一 次 方 程 式 相 關 概 念 並 提 升 數 學 學 習 興 趣。活 動 的 設 計 是 依 據 Bruner的 表 徵 理 論 , 由 具 體 物 的 操 作 讓 學 生 形 成 簡 單 問 題 解 決 的 心 像 為 開 始 , 再 以 圖 像 卡 片 的 操 作 來 表 徵 複 雜 問 題 並 精 緻 學 生 的 心 像 , 最 後 在 心 像 的 輔 助 運 思 下 , 漸 漸 達 到 以 符 號 表 徵 來 解 決 問 題 為 目 的 , 並 在 教 學 活 動 中 搭 配 相 關 數 學 遊 戲 來 提 升 學 生 對 數 學 學 習 的 興 趣 。 ( 三 ) 問 題 選 編 在 補 救 教 材 架 構 和 補 救 教 學 策 略 確 定 後 , 接 著 就 是 選 編 數 學 問 題 來 充 實 教 材 內 容 , 在 此 必 須 思 考 兩 個 需 求 , 一 是 數 學 問 題 必 須 能 完 整 涵 蓋 一 元 一 次 方 程 式 的 代 數 運 算 和 問 題 解 決 概 念 ; 一 是 數 學 問 題 的 情 境 必 須 是 低 成 就 學 生 可 操 作 且 容 易 理 解 的 。 在 概 念 完 整 的 需 求 方 面 , 五 個 關 係 類 型 已 提 供 了 完 整 一 元 一 次 方 程 式 的 學 習 內 容 架 構 , 只 要 充 實 問 題 來 涵 蓋 所 有 化 簡 運 算 狀 況 就 能 達 成 需 求 。 所 以 , 筆 者 在 每 個 關 係 類 型 下 , 考 慮 不 同 的 運 算 狀 況 , 再 設 計 了 數 小 題 不 同 化 簡 運 算 的 文 字 題 , 並 以 五 個 解 題 歷 程 為 學 習 目 標 貫 穿 每 個 問 題 , 希 望 學 生 能 學 會 代 數 運 算 和 問 題 解 決 的 完 整 概 念 。 例 如 , 在 關 係 類 型 ( ax+b) +e(cx+d)=k下 , 設 計 兩 小 題 文 字 題 , 其 題 目 方 程 式 為 3x +2(15 -2x) =24 和 (2x+5) -3(9-x)=3,這 兩 小 題 在 列 方 程 式 和 求 解 方 法 上 並 無 明 顯 差 異,主 要 的 差 異 在 於 正 整 數 倍 2(15-2x)和 負 整 數 倍 -3(9-x) 的 去 括 號 化 簡 運 算 , 筆 者 希 望 學 生 在 這 樣 的 佈 題 下 能 完 整 學 會 「 去 括 號 規 則 」 和 「 同 類 項 合 併 」 。 在 數 學 問 題 情 境 方 面 , 因 為 本 研 究 的 數 學 問 題 全 部 是 自 編 的 , 所 以 在 數 學 問 題 的 設 計 時 , 筆 者 必 須 尋 找 好 的 情 境 來 呈 現 數 學 問 題 , 也 就 是 這 樣 的 題 目 情 境 對 學 生 是 可 操 作 並 容 易 理 解 的 , 且 可 以 發 展 整 個 教 材 架 構 的 所 有 問 題 。 符 合 這 需 求 的 以 離 散 型 的 珠 子 罐 子 情 境 最 為 適 合 , 所 以 筆 者 選 取 珠 子 罐 子 作 為 數 量 表 徵 物 並 為 其 編 造 問 題 情 境 , 在 編 造 這 些 問 題 情 境 時 ,

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9 筆 者 試 著 融 入 電 影 《 魔 戒 》 的 角 色 及 有 趣 故 事 , 以 增 加 教 材 樂 趣 。 例 如 , 題 目 方 程 式 為 (2x+5) -3(9-x)=3的 數 學 問 題 , 其 情 境 敘 述 為 : 「 7月 8日,紅 通 通 農 場 裡, 生 出 2罐 魔 法 蛋, 又 生 出 5顆 魔 法 蛋 ; 而 綠 油 油 農 場 裡 , 生 出 9顆 魔 法 蛋 後 被 偷 吃 了 1罐 魔 法 蛋 , 而 且 出 現 了 。 最 後 , 哈 比 人 Hobbits比 較 7月 8日 兩 個 農 場 魔 法 蛋 數 量 , 結 果 紅 通 通 農 場 比 綠 油 油 農 場 多 了 3顆 , 請 問 7月 8日 那 天 每 罐 魔 法 蛋 是 多 少 顆 ?」 其 中 可 操 作 的 具 體 物 (圖 像 卡 片 )為 以 珠 子 表 徵 魔 法 蛋 (圖 像 表 示 1顆 , 表 示 生 出 10顆 ),以 玻 璃 罐 表 徵 罐 子 (圖 像 表 示 一 罐 x顆 , 表 示 被 吃 掉 一 罐 ), 以 表 示 原 有 數 量 變 為 3倍 , 以 不 同 塑 膠 托 盤 表 徵 不 同 農 場 (如 附 錄 一 )。 二 、 教 材 的 內 容 及 範 例 說 明 筆 者 開 發 的 補 救 教 材 共 有 五 份 學 習 單 (如 附 錄 二 ), 兩 份 輔 助 學 習 單 及 三 份 數 學 遊 戲 單 , 其 教 學 流 程 及 設 計 理 念 如 下 圖 :

3

3

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11 以 下 筆 者 以 三 個 範 例 , 來 說 明 奠 基 活 動 教 材 如 何 以 具 體 操 作 和 數 學 遊 戲 來 進 行 一 元 一 次 方 程 式 的 補 救 教 學 。 ( 一 ) 具 體 物 操 作 範 例:學 習 單 二—由 具 體 物 操 作 理 解 未 知 數、等 量 公 理 、 移 項 法 則 的 概 念 及 方 程 式 ax+b=cx+d的 問 題 解 決 問 題 舉 例 :「 若 左 盤 放 置 2罐 又 17 顆 珠 子 , 而 右 盤 放 置 4 罐 又 5顆 珠 子 , 這 時 候 左 右 兩 托 盤 的 珠 子 數 量 相 等 , 則 一 罐 珠 子 有 幾 顆 ?」, 筆 者 預 備 操 作 的 具 體 物 , 請 小 組 討 論 , 由 具 體 操 作 找 出 一 罐 珠 子 有 幾 顆 並 紀 錄 如 下 表 : 表 2 具 體 物 操 作 過 程 表 解 題 操 作 過 程 ( 學 生 在 此 欄 畫 出 簡 單 圖 像 ) 代 數 運 算 :等 量 公 理 代 數 運 算 :移 項 法 則 = 2x+17=4x+5 ( 學 生 的 觀 點 : 左 盤 放 置 2 罐 又 17 顆 , 右 盤 放 置 4 罐 又 5 顆 , 左 右 兩 盤 相 等 ), (學 生 要 先 假 設 一 罐 有 x 顆 ) 2x+17=4x+5 = 2x+17 -2x=4 x+5 -2 x ( 左 右 兩 盤 各 拿 走 兩 罐 ) 17=4x+5 -2x ( 因 為 2x -2x=0 , 所 以 省 略 不 寫 )

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12 = 17=2x+5 ( 左 右 兩 盤 各 拿 走 兩 罐 後 的 結 果 ) 17=2x+5 ( x 項 合 併 結 果 ) = 17 -5=2x+5 -5 ( 左 右 兩 盤 各 拿 走 5 顆 ) 17 -5=2x ( 因 為 5 -5=0, 所 以 省 略 不 寫 ) = 12=2x ( 左 右 兩 盤 各 拿 走 5 顆 後 的 結 果 ) 12=2x ( 常 數 項 合 併 結 果 )

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13 = 12÷ 2=2x÷ 2 ( 左 右 兩 盤 各 等 分 成 兩 份 ) 12÷ 2=x ( 因 為 2÷ 2=1, 所 以 省 略 不 寫 ) = 6=x ( 左 右 兩 盤 各 等 分 成 兩 份,取 其 中 一 份 的 結 果 , ) 6=x ( 運 算 結 果 ) 老 師 要 求 學 生 檢 驗 答 案 的 合 理 性 並 寫 答 。 2× 6+17=29 4× 6+5=29 所 以 答 案 正 確 答 :1 罐 有 6 顆 珠 子 ( 同 左 )

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14 ( 二 ) 圖 像 卡 片 操 作 範 例 : 輔 助 學 習 單—由 圖 卡 的 操 作 理 解 含 負 數 的 比 較 運 算 問 題 舉 例 如 下 : 請 完 成 底 下 表 格 :利 用 圖 卡 的 翻 面 代 表 變 號 來 進 行 負 數 的 比 較 運 算 紅 通 通 農 場 魔 法 蛋 數 量 綠 油 油 農 場 魔 法 蛋 數 量 觀 察 紅 農 場 比 綠 農 場 多 多 少 ? 並 做 (代 數 )運 算 ( 2x+6) -(10 -x) =2x+6 -10+x =3x -4 筆 者 認 為 像 (2x+6) -(10-x)這 樣 複 雜 的 代 數 式 , 其 化 簡 運 算 已 很 難 用 具 體 物 的 操 作 來 表 徵 了 , 學 生 也 很 難 想 像 具 體 物 情 境 來 幫 助 運 思 , 所 以 筆 者 採 用 圖 像 直 觀 比 較 結 果 , 對 應 圖 卡 的 翻 面 操 作 (減 去 某 數 就 是 加 上 它 的 相 反 數 )之 運 算 結 果 來 幫 助 學 生 形 成 心 像 。 在 圖 像 的 直 觀 比 較 上 , 比 較 運 算 變 成 兩 種 單 位 (珠 子 單 位 1和 罐 子 單 位 x) 各 自 比 較 , 例 如 , ( 2x+6) 比 (10 -x) 中 2x 比 -x多 了 3x; 6比 10 少 了 4, 所 以 化 簡 運 算 結 果 為 3x-4。再 對 應 圖 卡 的 翻 面 操 作 之 運 算 結 果,-(10-x)的 操 作 就 是 將 10和 -x的 圖 卡 翻 面 , 得 到 -10+x, 再 進 行 加 法 運 算 , 其 運 算 是 ( 2x+6) -(10 -x) =2x+6 -1 0+x =3x -4, 最 後 學 會 負 數 倍 去 括 號 時 要 變 號 、 同 類 項 合 併 的 運 算 規 則 。 其 圖 卡 的 操 作 過 程 如 下 圖 。

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15 圖 3 圖 像 卡 片 操 作 過 程 圖 註:每 張 圖 卡 有 兩 面,圖 卡 翻 面 表 示 原 面 的 相 反 數,例 如, 的 翻 面 是 ; 的 翻 面 是 。 ( 三 ) 數 學 遊 戲 範 例 : 數 學 遊 戲 三 —解 題 賓 果 1. 遊 戲 規 則 及 紀 錄 單 遊 戲 規 則 :「 教 師 預 備 16個 一 元 一 次 方 程 式 及 各 方 程 式 的 解 。 遊 戲 競 賽 前 先 發 給 各 組 兩 張 賓 果 遊 戲 單 (4×4方 格 )及 各 方 程 式 的 解 , 請 各 組 將 這 16 個 解 任 意 填 入 表 格 (4×4方 格 )中 。 遊 戲 競 賽 時 , 由 PPT將 每 個 題 目 依 順 序 編 號 播 放 於 布 幕 上 , 請 各 組 解 題 (只 要 有 哪 一 組 完 成 解 題 並 舉 手 , 則 PPT就 再 顯 示 下 一 題 且 排 列 於 前 一 題 之 後 , 不 覆 蓋 前 一 題 ), 各 組 找 出 的 解 若 有 在 16 方 格 內 的 即 圈 選 (找 出 的 解 必 須 註 明 第 幾 題,以 防 作 弊 ),遊 戲 競 賽 一 直 到 哪 組 的 兩 張 賓 果 遊 戲 方 格 共 連 成 八 條 線 (每 張 全 部 有 4橫 列 、 4直 行 、 左 右 對 角

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16 線 共 十 條 線 )即 該 組 獲 勝 , 並 停 止 競 賽 。 」 舉 例 說 明 : 先 請 小 組 將 16 個 解 任 意 填 入 下 列 賓 果 遊 戲 方 格 (每 組 所 填 入 的 位 置 不 一 定 相 同 )。 x=4 x= -10 x=35 x=5 x=6 a=2 a= 0 x=3 x= -8 x=9 a= 3 5 x= -7 x= 7 12 x=15 x= 10 a=13 若 PPT已 播 放 的 一 元 一 次 方 程 式 題 目 中 有 17-2x=9(解 為 4), 3x+ 50= 20( 解 為 -10), x÷ 7- 2 =3( 解 為 35), 3(2x- 1)+5=32( 解 為 5), 且 小 組 也 將 其 解 算 出 , 那 麼 就 可 連 成 一 線 (如 上 圖 ), 哪 組 最 快 連 成 八 條 線 即 可 獲 勝 。 2. 遊 戲 概 念 統 整 單 目 的 是 在 遊 戲 後 做 概 念 統 整 。 學 習 單 中 有 兩 個 問 題 : 一 是 「 在 此 遊 戲 的 方 程 式 中 哪 五 題 最 困 難 , 請 依 序 列 出 。 」, 一 是 「 在 此 遊 戲 的 解 方 程 式 中 哪 些 我 不 會 , 請 依 序 列 出 。 」 並 請 學 生 在 列 出 的 方 程 式 後 方 說 明 「 困 難 或 不 會 的 原 因 。 」

伍 、 結 語

徐 偉 民、劉 曼 麗( 2015)指 出 大 多 數 教 師 表 示 會 根 據 學 生 程 度 來 決 定 數 學 補 救 課 程 的 目 標 或 內 容 , 但 實 際 上 卻 是 以 學 生 原 年 級 的 數 學 教 科 書 作 為

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17 主 要 教 材 。 由 此 看 來 , 在 補 救 教 學 的 實 施 前 , 發 展 適 合 不 同 起 點 行 為 , 且 符 合 數 學 概 念 的 邏 輯 結 構 的 數 學 補 救 教 材 , 是 目 前 教 師 最 急 切 需 要 的 。 所 以 , 國 中 小 的 數 學 教 師 若 想 要 補 救 教 學 實 施 成 功 , 就 必 須 針 對 學 生 的 起 點 行 為 和 學 習 困 難 , 自 行 發 展 一 套 有 效 的 補 救 教 材 。 導 致 數 學 低 成 就 的 原 因 不 外 乎 兩 種,一 是 想 學 卻 聽 不 懂,無 法 理 解 教 學 內 容 ; 另 一 是 對 數 學 內 容 沒 興 趣 不 想 學 , 所 以 在 設 計 補 救 教 材 時 , 具 象 有 感 、 活 潑 有 趣 的 特 性 是 很 重 要 的 。 而 教 材 內 容 應 由 淺 而 深 、 由 簡 而 繁 讓 學 生 建 構 概 念 , 多 給 學 生 由 操 作 來 體 驗 數 學 現 象 , 多 花 時 間 慢 慢 引 導 學 生 歸 納 出 數 學 內 涵 , 接 著 多 搭 配 有 趣 的 教 學 活 動 、 數 學 遊 戲 來 引 起 學 習 動 機 , 這 樣 才 能 提 升 低 成 就 學 生 的 學 習 成 效 。 因 此 , 本 文 從 奠 基 理 念 出 發 , 考 慮 一 元 一 次 方 程 式 學 習 內 容 的 類 型 和 難 易 順 序 , 設 計 以 具 體 操 作 活 動 來 奠 定 低 成 就 學 生 的 運 算 及 解 題 概 念 基 礎 , 並 搭 配 相 關 數 學 遊 戲 來 激 發 學 生 對 數 學 學 習 的 興 趣 , 希 望 能 提 升 低 成 就 學 生 在 一 元 一 次 方 程 式 的 學 習 成 效 。

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參 考 文 獻

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20 附 錄 一 : 情 境 故 事 說 明 情 境 故 事 哈 比 人 Hobbits 擁 有 兩 個 魔 法 農 場 , 分 別 稱 為 紅 通 通 農 場 和 綠 油 油 農 場,這 兩 個 農 場 都 分 別 飼 養 一 大 一 小 魔 法 雞,小 魔 法 雞 每 次 生 出 魔 法 蛋 1 顆 , 2 顆 , 3, 4, 5, 6, …顆 不 等 , 大 魔 法 雞 每 次 生 出 魔 法 蛋 1 罐 , 2 罐 , 3, 4, …罐 不 等 。 但 常 有 大 小 精 靈 來 偷 吃 魔 法 蛋 , 小 精 靈 每 次 偷 吃 魔 法 蛋 1 顆 , 2 顆 , 3, 4, 5, 6, …顆 不 等 , 大 精 靈 每 次 偷 吃 魔 法 蛋 1 罐 , 2 罐 , 3, 4, …罐 不 等 。 另 外 , 還 有 兩 種 仙 子 , 一 種 是 倍 數 仙 子 , 一 種 是 等 分 之 一 仙 子 , 其 複 製 倍 數 或 等 分 分 數 由 仙 子 的 名 字 決 定 。 例 如 , 3 倍 仙 子 出 現 在 某 農 場 時 , 那 農 場 的 魔 法 蛋 就 變 為 原 來 的 3 倍 ; 而 4 分 之 一 仙 子 出 現 在 某 農 場 時 , 那 農 場 的 魔 法 蛋 就 變 為 原 來 的 4 1 。 哈 比 人 Hobbits 每 天 傍 晚 都 會 巡 視 兩 魔 法 農 場 , 並 合 算 或 比 較 兩 魔 法 農 場 的 魔 法 蛋 , 以 了 解 兩 魔 法 農 場 的 魔 法 蛋 生 產 狀 況 , 底 下 是 7 月 份 兩 魔 法 農 場 魔 法 蛋 的 生 產 情 形 : 註 : 1. 生 出 (偷 吃 )一 罐 的 意 思 是 生 出 (偷 吃 )的 魔 法 蛋 數 量 可 裝 滿 一 罐 。 2. 當 天 魔 法 蛋 的 大 小 一 定 相 等,但 不 同 日 子 裡,魔 法 蛋 的 大 小 卻 不 一 樣 。 又 因 為 每 個 罐 子 容 量 一 定 , 所 以 , 不 同 日 子 裡 , 每 罐 魔 法 蛋 數 量 未 必 一 樣 , 例 如 :7/1 當 天 每 罐 裝 可 能 有 5 顆 魔 法 蛋 ; 而 7/2 當 天 每 罐 裝 可 能 有 7 顆 魔 法 蛋 …

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21 附 錄 二 : 學 習 單 內 容 (部 分 ) 學 習 單 一 : 由 具 體 物 操 作 理 解 未 知 數 、 等 量 公 理 、 移 項 法 則 、 解 的 概 念 及 方 程 式 ax+b=k 的 問 題 解 決 (舉 例 ) 請 按 問 題 的 指 示 操 作 , 並 記 錄 於 紀 錄 單 : 注 意 事 項 :請 小 組 討 論 並 由 具 體 物 操 作 找 出 一 罐 珠 子 有 幾 顆 , 千 萬 不 能 將 罐 中 珠 子 倒 出 點 數 。 代 數 運 算 紀 錄 請 以 x 表 示 一 罐 珠 子 的 數 量 。 第 5.6.兩 題 的 等 量 公 理 記 錄 須 確 實 記 錄 操 作 動 作 和 操 作 結 果 。 1. 若 左 盤 放 置 1 罐 又 3 顆 珠 子 , 而 右 盤 放 置 13 顆 珠 子 , 這 時 候 左 右 兩 托 盤 的 珠 子 數 量 相 等 , 則 一 罐 珠 子 有 幾 顆 ? 5. 若 左 盤 放 置 3 罐 又 5 顆 珠 子 , 而 右 盤 放 置 23 顆 珠 子 , 這 時 候 左 右 兩 托 盤 的 珠 子 數 量 相 等 , 則 一 罐 珠 子 有 幾 顆 ? 由 具 體 物 操 作 理 解 未 知 數 、 等 量 公 理 、 移 項 法 則 、 解 的 概 念 及 方 程 式 ax+b=k 的 問 題 解 題 紀 錄 (表 格 經 過 調 整 ) 問 題 實 物 操 作 過 程 的 畫 圖 操 作 結 果 (答 案 ) 問 題 1 問 題 實 物 操 作 過 程 的 畫 圖 代 數 運 算 :等 量 公 理 代 數 運 算 :移 項 法 則 問 題 5

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22 學 習 單 二 : 由 具 體 物 操 作 理 解 未 知 數 、 等 量 公 理 、 移 項 法 則 的 概 念 及 方 程 式 ax+b=cx+d 的 問 題 解 決 (舉 例 ) 請 按 問 題 的 指 示 操 作 , 並 記 錄 於 紀 錄 單 :由 小 組 討 論 解 決 注 意 事 項 :請 小 組 討 論 並 由 具 體 物 操 作 找 出 一 罐 珠 子 有 幾 顆 , 千 萬 不 能 將 罐 中 珠 子 倒 出 點 數 。 代 數 運 算 紀 錄 請 以 y 表 示 一 罐 珠 子 的 數 量 。 等 量 公 理 記 錄 須 確 實 記 錄 操 作 動 作 和 操 作 結 果 。 3. 若 左 盤 放 置 4 罐 又 5 顆 珠 子 , 而 右 盤 放 置 2 罐 又 17 顆 珠 子 , 這 時 候 左 右 兩 托 盤 的 珠 子 數 量 相 等 , 則 一 罐 珠 子 有 幾 顆 ? 由 具 體 物 操 作 理 解 未 知 數 、 等 量 公 理 、 移 項 法 則 的 概 念 及 方 程 式 ax+b=cx+d 的 問 題 解 題 紀 錄 (表 格 經 過 調 整 ) 問 題 實 物 操 作 過 程 的 畫 圖 代 數 運 算 :等 量 公 理 代 數 運 算 :移 項 法 則 問 題 3

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23 學 習 單 三 : 由 圖 像 及 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 c(ax+b)+d=k 的 問 題 解 決 (舉 例 ) 情 境 一 :7 月 1 日 , 紅 通 通 農 場 裡 , 生 出 3 罐 魔 法 蛋 , 生 出 5 顆 魔 法 蛋,高 興 的 是 出 現 了,但 之 後 又 被 偷 吃 了 7 顆 魔 法 蛋。最 後 , 哈 比 人 Hobbits 結 算 7 月 1 日 紅 通 通 農 場 魔 法 蛋 數 量 , 結 果 是 45 顆 , 算 是 還 令 人 滿 意 , 請 問 7 月 1 日 那 天 每 罐 魔 法 蛋 是 多 少 顆 ? 解 題 引 導 :按 照 底 下 過 程 記 錄 於 下 頁 表 格 中 1. 畫 圖 呈 現 ( 生 出 3 罐 魔 法 蛋 , 生 出 5 顆 魔 法 蛋 )的 數 量 。 2. 畫 圖 呈 現 出 現 後 的 數 量 (不 必 合 併 數 量 )。 3. 畫 圖 呈 現 ( 偷 吃 了 7 顆 魔 法 蛋 )後 的 數 量 (不 必 合 併 數 量 )。 4. 畫 圖 呈 現 最 後 結 果 是 45 顆 的 數 量 關 係 ( 不 必 合 併 數 量 ) 。 5. 以 x 表 示 上 述 數 量 關 係 ( 不 必 做 化 簡 運 算 )。( 假 設 每 罐 魔 法 蛋 數 量 為 x 顆 ) 6. 解 方 程 式 , 找 出 一 罐 魔 法 蛋 的 數 量 並 且 驗 算 答 案 的 正 確 性 。 由 圖 像 及 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 c(ax+b)+d=k 的 問 題 解 題 紀 錄 (表 格 經 過 調 整 ) 將 過 程 1~4 的 圖 像 畫 在 底 下 過 程 1~2 過 程 3 過 程 4 以 x 列 出 上 述 的 數 量 關 係 (列 方 程 式 ) 解 方 程 式 , 找 出 一 罐 魔 法 蛋 的 數 量 並 且 驗 算 答 案 的 正 確 性 學 習 單 四 :由 圖 像 及 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 (ax+b)± (cx+d) =k 的 問 題 解 決 (舉 例 )

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24 情 境 三 :7 月 3 日 , 紅 通 通 農 場 裡 , 生 出 2 罐 魔 法 蛋 , 又 生 出 5 顆 魔 法 蛋 ; 而 綠 油 油 農 場 裡 , 在 生 出 1 罐 魔 法 蛋 後 被 偷 吃 了 3 顆 魔 法 蛋。最 後,哈 比 人 Hobbits 合 併 7 月 3 日 兩 個 農 場 魔 法 蛋 數 量,結 果 共 是 23 顆 , 請 問 7 月 3 日 那 天 每 罐 魔 法 蛋 是 多 少 顆 ? 由 圖 像 及 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 (ax+b)± (cx+d) =k 的 問 題 解 題 紀 錄 (表 格 經 過 調 整 ) 畫 圖 呈 現 數 量 關 係 紅 通 通 農 場 綠 油 油 農 場 合 併 運 算 一 元 一 次 方 程 式 解 題 過 程 設 未 知 數 : 列 方 程 式 : 解 方 程 式 : 驗 算 寫 答 :

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25 學 習 單 五 : 由 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 (ax+b)+e(cx+d) =k 的 問 題 解 決 (舉 例 ) 情 境 七 :7 月 7 日 , 紅 通 通 農 場 裡 , 生 出 3 罐 魔 法 蛋 ; 而 綠 油 油 農 場 裡 , 在 生 出 15 顆 魔 法 蛋 後 被 偷 吃 了 2 罐 魔 法 蛋 , 後 來 出 現 了。最 後,哈 比 人 Hobbits 合 併 7 月 7 日 兩 個 農 場 魔 法 蛋 數 量,結 果 共 是 24 顆 , 請 問 7 月 7 日 那 天 每 罐 魔 法 蛋 是 多 少 顆 ? 由 符 號 表 徵 處 理 方 程 式 (ax+b)+e(cx+d) =k 的 問 題 解 決 紀 錄 單 (表 格 經 過 調 整 ) 一 元 一 次 方 程 式 解 題 過 程 設 未 知 數 : 列 方 程 式 : 解 方 程 式 : 驗 算 寫 答 :

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數據

圖 2  教 學 流 程 及 設 計 理 念 圖

參考文獻

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