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數學是人文活動的結果:分享數學遊戲案例的故事

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Academic year: 2021

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通訊作者:梁淑坤,e-mail:leung@mail.nsysu.edu.tw 收稿:2020 年 2 月 27 日;接受刊登:2020 年 3 月 31 日。 梁淑坤(2020)。 數學是人文活動的結果:分享數學遊戲案例的故事。 臺灣數學教師,41(1),40-52 doi: 10.6610/TJMT.202004_41(1).0003

數學是人文活動的結果:分享數學遊戲案例的故

梁淑坤 國立中山大學教育研究所 108 綱要總綱重視跨領域以及人文關懷,本文就筆者的一次教師研習課程(數學 遊戲教材教法),分析上課時教學行動的資料,包括:照片、學習單、札記及學 員日記,呈現出一些人文活動結果及比較不同參與者的異同(梁淑坤,2008, 2015 2019),其中有七巧板、統計圖表、公平的交易(單位的換算)和四面八方。另 外,筆者也分析學員自編活動案例,於上課後口頭報告再以文字紀錄改編的 4 個數學遊戲設計。以上的隨堂活動事例及課後分析,呈現出數學是人文活動的教 師專業發展案例,供師培及在職進修國小數學課程設計的參考(Math as human activity;見 Freudenthal, 1973)。 關鍵詞:人文活動、師資專業發展、數學遊戲

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壹、 前言

本文是一個數學教學案例分享,筆者乃師資培育者,常為中小學教師研習擔 任講師,包括共同備課、教學演示及共同議課。無論是任教大學的師資生、在職 教師、家長或是中小學生等,其教學策略加入個人特別研擬的隨堂活動,均以分 組進行,使組員互動,完成任務後向同儕報告結果,整合所有結果與全班分享, 形成後一起學習成長的共識域(consensus domain)。本文是其中一個案例,參與 者是在職小學教師,學員來自不同地區,共完成 12 節數學遊戲教材教法的課程。 由於資料宏大,本文僅供針對部分資料分析及報告。感謝教師們上課熱烈討論及 認真付出,筆者留下文字記錄,與沒有參加這一次課程的教師分享結果。

貳、 緣起

荷蘭學者弗賴登塔爾(Freudenthal, 1973)說過,數學是人文活動(Math as a human activity)。筆者在任何一個教學歷程,力圖加入「數學人文活動」的精神, 令數學學習成為一個動人的活動過程,如同鋼琴的鍵盤,要動手動腦去玩(play), 學習數學倘若只接受結果而不理會過程,就會使數學的學習失去意義。 筆 者 採 數 學 是 人 文 活 動 取 向 , 是 參 考 荷 蘭 數 學 家 及 數 學 教 育 家 Hans Freudenthal 對課程討論的主張,載於 Gravemeijer & Ternel(2000)文章中。荷蘭 馳名的 RME(Realistic Math Education)對傳統教數學方法起了很大的改革方向, 過去在教數學時,一般教師均有操作性目標、固定的評量手法甚至標準的測驗。 可是,到現今世代的數學教育取向,Freudenthal 的 RME 想法已被普遍的採納。 RME 重視真實(想象)性的數學教育,Freudenthal 同時受到歐洲當時的”Didaktik” 及”Bildung”主張,認為教育的理想,就是人格的形式(personality formation)而 不是單純的傳授知識(transmission of knowledge)。 對 Freudental 而言,課程理論不是固定、預先指定的目的及手法、教材和教 法,而是和過程相關的(related to process)且可允許改變及發展的東西。 舉例來說,教師研習的課程是「數學遊戲的教材及教法」,除了連結課程標 準解讀,更有教學內容分析與編擬遊戲技巧、遊戲執行的要領、撰寫想法以及教 學生如何去學習等等。身為教師,如何想像學生能否透過「玩」去學習? 對數學是人文活動而言,教數學是要教學生做數學 (Mathematizing)。 Freudenthal 認為數學起始是一個活動,一個人文活動,而做數學(doing math) 的過程比數學現成品(ready-made product)來得重要。Polya(1945)也提到做 數學的重要性(Math in the making)。因此,Freudenthal 認為先教結果後教活動 就是顛倒了教學(Gravemeijer & Terwel 2000, p.780)。若是採用數學是人文活動 主張的話,應該展示的是教學者和學習者共同解題,一起發現問題並能把數學知 識組織起來的教學過程。

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為了讓學員理解其中的道理,筆者會刻意安排時間帶領遊戲的實作,筆者認 為加入課程的實作(配合學習單、操作材料),可以整體呈現課的重點,包括課 程地圖、遊戲編擬、執行要領、場地佈置、教具的選取及製作、活動的編寫原則、 學習單的設計以及難易度的調整。筆者引導教師是用推介的數學方式帶領教師, 不只是心動,而是要行動。 玩,要玩出數學的魔力! 玩,要玩出數學的學習力!

參、 師生共學形成人文活動故事四則

在某一次工作坊,筆者準備了學習單以及操作材料,這些材料是「低結構」 的,能夠供老師們做各種操作,從而吸納老師們創新的想法。靜態的物料配合生 動的遊戲設計,企圖引領工作坊老師多姿多彩的創意,演繹出一個個學習故事。 好的教育,一定會有學習故事發生,因為教育是人與人之間的交往,數學教 學,也可以是「人文活動」。

一、百變七巧板(圖形)-(梁淑坤,2008,頁 139)

遊戲玩法:每一位組員先各自用正方形紙折出七巧板(見附錄),剪下(亦 可變換顏色),再各自拼出圖案,最後組員合力,根據組員拼出的圖案編寫故事 並上臺發表。這個遊戲,把數學和編故事(語文、作文)結合在一起。而數學老 師們,也都是「戲精」呢!下面三則成果,是到研習會場才相遇被別人分組的教 師們「玩」出的故事:新小貓釣魚、貓咪與風箏和百變哪吒。 (一)新小貓釣魚 圖 1 教師用七巧板拚搭的衣服、小貓、帆船、魚和螃蟹 一隻穿著黃色衣服的小貓咪,肚子餓啦。它想找點食物吃,遠遠望去前面有 一條河。咦!在河邊上停了一條小帆船。它開心極了,一下子跳到了小帆船上, 划到了河中間。可是他想呀!「咦……我怎麼釣到魚呢?」於是,它把尾巴放到 了水裡,想用尾巴釣上一條魚,可是魚沒上鉤,卻被螃蟹給夾住了尾巴!

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(二)貓咪與風箏 圖 2 故事由兩位老師創作,二人上台時以對話的方式講述。 貓咪:秋高氣爽的天氣,貓小飛在路上走著,他的心情太低落了,他覺得生 活很無聊!走呀走呀走呀,突然,看到天空飄來了一個影子。哇!是漂亮的風箏! 他在想:風箏,你在天上的生活應該特別美好吧!(突然把麥克風交給另一位老 師)。 風箏:(愣住)對呀!——怎麼突然輪到我說話(看來兩人有即興發揮,大 家大笑)但是,我看你在地上跑著,可以跟很多朋友說話、聊天,然後做遊戲, 我覺得你的生活也很美好。 貓咪:那麼,我們就來換換角色? 風箏:好呀!我們換一下角色吧!(兩位老師交換自己的作品表示角色交換) 貓咪:我就變成了一隻風箏,在天上游呀游,飄呀飄!忽然,烏雲來了,天 空開始下雨了,還伴隨著雷電交加。哎呀!媽呀!我就被擊中了!哎呀呀!旁邊 的小鳥,還來啄我!原來,天上的生活並不是那麼好玩的!唉!原來風箏的生活 也沒有麼好玩呀! 旁白(扮演風箏的老師):風箏在地上,也失去了他的色彩,所以他們最後 還是決定換回他們的身分,因為屬於自己的生活才是最美好的(大家都鼓掌)。 也祝福我們所有的夥伴們:「做最好的自己就是最好的。」 (三)真身之「百變哪吒」 圖 3 續寫了哪吒故事,學員拼出哪吒、樹、蛇、貓、飛魚。 大家都知道剛上映的電影中,哪吒最後失去了他的肉身,只剩下了靈魂。這 個時候,太乙真人找了他的祖師爺救了哪吒。之後,哪吒有一次喝醉了酒,被壞

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人設計陷害變成了一棵樹,不能動彈!這個時候,太乙真人拋出了三個妖孽(拼 成蛇、貓、飛魚的老師招手示意,大家哄堂大笑),指揮哪吒去降服。因為哪吒 已經失去真身,所以還沒能力再變成人形,所以降伏這三個妖孽就暫時獲得靈魂 的寄存處,獲得了三個新的真身。最後,哪吒成為一個百變哪吒。

分析

同樣的活動,由不同的參與者嘗試,其結果會有所不同。首先,第一則「新 小貓釣魚」故事和原來的不同,由於筆者令學員先拼圖,到組員拼完取名後,才 知道要用所有組員拼的圖去創故事,因此,故事就安排魚就被螃蟹吃掉算了。第 二則「貓咪和風箏」有說教的部份~「我們不必羨慕他人,要滿意自己的身份」。 學員(教師身份)結論出「做最好的自己就是最好的」是非常有教育價值的故事。 這與梁淑坤(2008,頁 148-149)的「自由的快樂」故事有同樣的效果,那一則 故事,由小學高年級學生拼出魚、人、魚缸、家及橋,故事是說小孩抓魚返家養, 看到魚不快樂就放回溪中給小魚自由,小魚才會快樂,這簡單的拼七巧板活動可 以被變成寓言的編寫。最後一則是哪吒,七巧板可以與有名的神話結合。以上事 例結合數學、美學、語文等多領域,非常配合 108 綱要的跨領域精神。

二、人體長條圖(統計)-(梁淑坤,2015,頁 55)

遊戲玩法:把一年 12 個月分成四季,春(1-3 月),夏(4-6 月),秋(7-9 月),冬(10-12 月)——這裡不求科學層面的準 確,只是相對定義;各找一位在不同季節出生的 老師作為每個季節的代表,大家根據自己生日的 季節分別記住各自的代表是誰;從二樓會場下到 一樓大廳,代表舉起「春夏秋冬」的牌子,所有 老師根據自己的生日分別站在牌子後面,形成直 直的隊伍;向二樓微笑、拍照,留下「人體長條 圖」的照片,如圖 4。 這個遊戲安排在上午學習的最後,前面的內 容比較燒腦,恰好可以提前結束,讓所有的老師 都離開會場活動一下。這個遊戲也是在示範「遊 戲場地佈置」中如何根據會場條件設計遊戲活動。 長條圖(條形統計圖)不用紙筆去畫,用身體排 出來這樣體驗一次,卻給老師們留下深刻的印 象——研習老師們紛紛把照片發朋友圈。為了這 個小活動,主辦方提前一晚製作標牌,筆者提前 查看場地,計算人數安排間距,估算能否站下所 有老師……。 圖 4 人體長條圖

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分析

梁淑坤(2015,頁 55;2019,頁 47)以堆饅頭來做統計圖表,這次場地允 許及研習教師合作,成功的用身體堆出長條圖。任課教師當天的應變臨時起意加 此活動,令大家有難忘的人文活動,也很生活化,找出冬天這季節最多人生日。

三、公平的交易(量)-(梁淑坤,2015,頁 111)

遊戲玩法:玩牌時,抽出一張,正反面寫不同大小的單位,雙方要講出答案; 若為相等,握手說:「公平的交易」;若不相等,則不握手,說:「我不跟你交易」; 兩位玩家自己決定先後順序再抽牌玩。例如:牌正面是( )星期,背面是( ) 日,甲方先說「3 星期」,乙方再說「21 日」,則甲方則可喊「公平的交易」並和 乙方握手。 這個遊戲可以用於各種量的互換上,還可以用在等值分數以及分數小數等的 互換上。在現場,老師們針對量的連續換算,還發明了多人玩法,比如 600 秒換 成 10 分鐘是一次公平交易,10 分鐘換成 6 1 小時又是一次公平交易;還有老師也 發明出逆向玩法,比如,小時換分鐘,再換秒;如此一來轉圈玩法也出現了,比 如,4 個人圍成圈,大換小、小換大,最大的單位(天)和最小的單位(秒)是 相鄰的兩個人,也要交易一次。 老師們還自己製造新牌,如下圖 5。 圖 5 公平的交易

分析

筆者前一項帶領活動是親子為參與者,這一次是教師為學員,於是加入發明 新的交易卡及製作紙牌,大家除了玩指定的牌,也玩新發明新的換算單位的牌, 筆者馬上檢查學員的創新效果。

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四、四面八方(配對)

遊戲玩法:遊戲用的道具就是兒時的「東南西北」,用正方形紙折好(補充 折法);提前寫好不同的素材;利用手指指定變多下的操作得到不同的配對結果; 根據配對結果進行進一步的遊戲。 筆者提供了 6 種配對情況(可說明),現場請學員發明新玩法,以下分享兩 個結果。 (一)玩算數字(兩位數的加減) 玩法:每次選一個黑色數字和紅色數字(如下圖 6);可以做一種運算計算 (加/減/乘/除法)。例如:18 + 7 = 25、18 – 7 = 11、18 × 7 = 126、18 ÷ 7 = 2……1。 圖 6 玩算數字 (二)七夕配對(一一對應) 出自《孔雀東南飛》。 愛情故事總是和動物結合在一起,白蛇傳有白蛇、青蛇,牛郎織女有牛和喜 鵲,梁山伯與祝英台有蝴蝶,想想第四個故事找什麼動物呢?咦!突然想到《孔 雀東南飛》有個孔雀,特別巧!而且,前面三個結局是比較快樂的,哪怕是化蝶 也很浪漫,最後一個故事卻世俗又悲慘。四個故事,配合摺紙,第一層設計是叫

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做「我愛佳節」,第二層藏著的是「更愛佳人」(大家都鼓掌)——學員的設計很 配合 8 月 7 日那一天(農曆七夕,中國情人節!)。沒想到,還有第三層呢!包 藏在最裡面的是三個字:最愛你。真是太有創意了! 圖 7 七夕配對

分析

這活動在筆者個人網頁(http://www2.nsysu.edu.tw/leung/home.html)的親子成 長班課程有介紹,由於參加者不是家長或學生而是教師,筆者延續此活動,請教 師自創新的對應遊戲。 註:當天是農曆七夕,學員真有創意! 以上是筆者帶領的四個人文活動的真實故事。雖然筆者在別的研習也有帶領 過以上的數學活動,活動內容一樣,但由不同學員完成,結果就會不同。而所謂 「人文活動」,本就意味著老師把自己的感情、想法、趣味、創意融合進去! 數學 ~ 是人文活動,以上事例可以證明,不單只是學童,連教師也能玩出 數學力! 下面是學員自編活動的案例,經筆者修改後呈現。

肆、 學員自創遊戲四則

工作坊第三天,是學員自己編擬新的數學遊戲,限於篇幅,筆者只選 4 個分 享於下。

一、步步為營(20 以內的加減)

兩位一年級小朋友在一端並列站好,老師站好在另一端(約 5-8 步),二人

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看數學題一起,誰最先搶到正確答案就向前一步,誰最快走到老師的位置,則為 贏家,將會得到小獎品。

“Are you ready?5+12、7+10、19+1、16+3、8+9、13+7、7+6、18-6……” 老師示範遊戲的玩法。 第一輪加減法遊戲決出勝負之後,下面同學還想繼續參加的,就可以換下獲 勝學生,獲勝學生可以做小老師出題,直到被新的獲勝者替代。

二、大比拼、快搶分(20 以內的加減)

(一)玩法 1:速算大比拼 一個同學拿著一疊卡片給另一個同學測試,卡片問題如下表 1 呈現。 表 1 速算大比拚 卡片 正面問題 (答案) 卡片 反面問題 (答案) 3+17 (20) 20-17 (3) 7+8 (15) 15-8 (7) 7+7 (14) 14-7 (7) 9+8 (17) 17-8 (9) 15-6 (9) 9+6 (15) 一年級的小朋友,怎麼能快速判斷計算結果是否正確呢?答案就在它的反面。 例如,正面的問題為 3+17,背面就是 20,題目可以根據需要設計。所以兩個學 員在玩的時候,同學 A 答出答案,同學 B 馬上就能判斷出他是否是正確的,如 果 A 回答的正確,這張卡片就給 A。最後看看 A 能得多少張卡片。這個玩法可 以測出孩子對 20 以內加減法的熟練度,玩的同時也可以評量。 (二)玩法 2:搶分達人 可以設置裁判員,玩的兩人搶答卡片上的問題,回答得又快又對的人就把卡 片拿走,最後看誰得的卡片較多。若想升級,可以將搶到的分數相加,分多的就 贏。在剛才的搶牌遊戲中,遊戲者為小朋友的話,則可以同時搶;若是小朋友跟 老師搶,或者是放學後小朋友回家跟家長練習這個遊戲的話,家長可以在想出答 案後,以敲桌的形式,敲一次或者兩次讓孩子時間,然後讓孩子再來搶。

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三、大富翁之小小投資家

我們這一組把原來用整數玩的大富翁,改成六年級學生玩的──應用百分數 的大富翁。學生可以用計算器來算,保留兩位小數,具體如圖 8。 基本的設置有:起點本金 100 萬、銀行利息 5%、命運(漲停、跌停)、銀行 投資 6%、凍結一次、炒股+50%、機會(縮水、增值)、投資成功+20%、投資虧 損-10%、期貨交易+50%、基金交易-20%、炒股失利、黃金交易+20%、慈善贊 助-20%。 圖 8 百分數大富翁

四、左右握握手(100 以內的數)

方框裡面填 100 以內的數,圓圈裡面填加或減號,4 個人一組,可以不按順 序填,你想填哪就填哪,要填上 100 以內的數:□填數字,○填「+」、「-」。 如果填的正確,小組就會一起喊一個口號:「左右握握手」。此遊戲可以擴展 到分數、小數或者更大的數;圓圈裡面也不只局限於加法、減法,也可以填乘號 或除號。然後有餘數的除法也可以,但是中間得寫一個除號。(如:□ ○÷ □ = □……□)。

分析

第一個遊戲(步步為營)是從 1 年級 20 以內的加法教材設想,由於「+」、「-」 和數字的計算很乾燥無趣,設計教師改為 2 人比賽往前走,好動的小孩,除了會 算,也要協調手腳,一步一步往前走,直到目標,使無趣的數字計算變得好好玩。

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第二個遊戲(大比拼、快搶分),目標教材為加減互逆,共 2 個玩法可以多 加練習,複習加減互逆。 玩法 1 的卡片,提供兩位數的加減,正反面巧妙安排,使得正確與否可以由 兩位玩家互相檢查,不必找老師。另外,玩法 2 是可以升級,孩子玩遊戲時連結 到家長,將學習數學,從學校延伸到家中。 第三個遊戲(大富翁之小小投資家)是六年級百分比的運用,結合六年級孩 子喜歡的大富翁遊戲規則,非常方便,教師不用再發明如何玩,直接用大富翁的 規則即可。至於題材,運用可以「增加」、也可以「減少」的情境,以圖 8 為例, 增加的有銀行的利息、期貨以及黃金的交易。減少的情境也有,包括有投資虧損、 股票失利以及捐款做公益。 第四個遊戲(左右握握手)這遊戲 4 人玩之前先握手,引來不少溫馨,四人 填寫數字在式子裡,不用理會順序,只要填寫後,令「=」,左邊和右邊相等即可。 背後的理念是加強孩子們的默契,既要自己填也要觀察別人填什麼,才能完成一 個「=」式。 上述的遊戲都不複雜,在讀者看來可能會覺得也不是那麼巧妙,但關鍵是, 經過工作坊的學習,老師們在嘗試把內容遊戲化,嘗試著把遊戲方法、遊戲精神 融入到教學中。最重要的是,由口頭報告形成文字介紹自創遊戲,這是學員日記 中表示很喜歡的實作,可以練習文字表達,非常珍惜,更說「得意已忘言」(載 於日記)。學員認為遊戲的精神與教學方法及未來自編活動,和工作坊介紹給大 家的具體的遊戲均有長遠的價值和意義。教師們在學習單或日記寫出遊戲設計的 理念。

伍、 人文活動的結後語

臺上臺下不分彼此,互助互愛,共同學習,共同創造,形成上述師生共學故 事。紙短情長,筆者以這篇短文分享工作坊的成果與感受,期待教師們三天以來 凝聚而產生的熱情,不因課程結束而曲終人散,而是能一直燃燒下去,並傳遞給 孩子們。教師與孩子們牽手「玩」數學,玩出感情、玩出無限的數學力。

參考文獻

Freudenthal, H. (1973), Mathematics as an Educational Task, Springer Netherlands. doi: 10.1007/978-94-010-2903-2

Gravemeijer K., and Terwel J. (2000) Hans Freudenthal: a mathematician on didactics and curriculum theory, Journal of Curriculum Studies, 32(6), 777-796

Polya, G. (1945). How to solve it:a new aspect of mathematical method. Princeton University Press.

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梁淑坤(2008)。逃吧!數學瞌睡蟲。臺灣:格子外面文化專業有限公司。 梁淑坤(2015)。晚餐後,幸福的數學時光。臺灣:格子外面文化專業有限公司。 梁淑坤(2019)。嗨!我是好玩的數學遊戲。中國:湖南科學技術出版社。【內

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附錄 如何折出七巧板

折 X→V→l

1. 先將色紙對折再對折---X 2. 再將右下角與左下角對準正方形中心---V 3. 將右邊直線往左最准中心折四分之一---l 4. 最後給予圖形編號 1~7

參考文獻

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