2-3-1三角函數的性質與應用-三角函數的圖形

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(1)第二冊. 第三章. 三角函數的性質與應用. 第二冊 3-1 三角函數的性質與應用-三角函數的圖形【類型】度量分成兩種： 1. 度度量：度。 2. 弳度量：弧度。【定義】 1. 度(degree)：半徑為 r 的圓 O ，將其圓周分成 360 等分，每一等分所對應的角度大小就定義為 1 度，因此一個圓周就是 360° 。 2. 弧度(radian)：半徑為 r 的圓 O ，在其圓周上取一段圓弧 PQ ，使得圓弧 PQ 的長度等於半徑 r ，規定這一段圓弧所對的圓心角 ∠POQ 為 1 弧度。即當弧長等於半徑時弧長。所對的圓心角是 1 弧度。所以弧長除以半徑就是弧度，即弧度 = 半徑註： (1)圓心角固定時，弧長除以半徑的比值不會變。弧度也就是用半徑來量角度之意，是一個比值。 (2) 1 弧度比 60° 小。 (3)在用弧度計算角度時，為了方便，一般不寫弧度單位，直接寫值。 sin x (4)在微積分中， lim = 1 ，可見弧度的另一好處。 x →0 x Q s. θ O. 3.. r. P. 繞一圈的弧度：半徑為 r 的圓 O ，繞一圈的弧度為弧長除以半徑，弧長 2π r 即 = = 2π (弧度) 。半徑 r 【性質】 1. 度與弧度之關係：由於 360° = 2π (弧度) 360 2π ⇒ 1 (弧度) = ( )° ≈ 57°17'45' ' ≈ 57.3° 且 1° = ( ) (弧度) ≈ 0.01745 (弧度)。 2π 360 註：一般我們 π (弧度) = 180° ，而不是講 π = 180 ， π 永遠是指 3.14159K 。【問題】 1. 試轉換下列角度：度 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330° 360° π π π 2π 3π 5π 7π 5π 4π 5π 7π 11π 弧度 0 2π 6 4 3 3 4 6 6 4 3 3 4 6.

(2) 【公式】 Q. s A. θ r. O. P. 1.. 扇形的弧長：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度，弧長為 s ，由於弧長與角度成正比， s 弧長 2π r 故 = = ，得 s = rθ ，角度 2π (弧度) θ (弧度) θ θ = rθ 。或(扇形弧長 s ) = (圓周長) × = 2π r ⋅ 2π 2π 2. 扇形的周長：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度，弧長為 s ，扇形 POQ 的周長為 L ，得 L = r (2 + θ ) 。 3. 扇形的面積：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度，弧長為 s ，扇形 POQ 的面積為 A ，由於面積與角度成正比， A 面積 π r2 1 1 1 = = ，得 A = r 2θ = r (rθ ) = rs ，故 2 2 2 角度 2π (弧度) θ (弧度) 1 θ θ 或(扇形面積 A) = (圓面積) × = r 2θ 。 = π r2 ⋅ 2π 2π 2 4. 弓形面積： (弓形面積) = (扇形 POQ 面積)−(三角形 POQ 面積) 1 1 1 = r 2θ − r 2 sin θ = r 2 (θ − sin θ ) 。 2 2 2 Q s. θ O. A r. P. 註： 1. 一般未寫角度單位時，即表示為弧度，若寫度時，一定要標示出來。故若一廣義角為 x 弧度，其六個三角函數即為 sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x 。 2. 使用弧長、面積、周長等公式，角度的單位要使用弧度才正確，不可使用度。 3. 六個三角函數皆為比值，弧度也為比值，皆為無單位數。.

(3) 【定義】 1. 奇函數：若函數 y = f ( x ) 滿足 f ( − x ) = − f ( x ) ，則稱函數 y = f ( x ) 為奇函數。 2. 偶函數：若函數 y = f ( x ) 滿足 f ( − x ) = f ( x) ，則稱函數 y = f ( x ) 為偶函數。 3. 週期(period)函數：一個函數 y = f ( x ) 的圖形若滿足 f ( x + p ) = f ( x) ，就稱函數 y = f ( x) 為一週期函數。若可以找到滿足條件的最小正數 p ，則稱 p 為函數 y = f ( x ) 的週期。 4. 振幅：函數圖形最高點與最低點差距的一半。【性質】 1. 因 sin( − x ) = − sin x ，故 y = sin x 為奇函數。因 cos( − x ) = cos x ，故 y = cos x 為偶函數。因 tan( − x ) = − tan x ，故 y = tan x 為奇函數。因 cot( − x ) = − cot x ，故 y = cot x 為奇函數。因 sec( − x) = sec x ，故 y = sec x 為偶函數。因 csc( − x ) = − csc x ，故 y = csc x 為奇函數。 2. 因 sin( x + 2π ) = sin x ，故 y = sin x 週期為 2π 。因 cos( x + 2π ) = cos x ，故 y = cos x 週期為 2π 。因 tan( x + π ) = tan x ，故 y = tan x 週期為 π 。因 cot( x + π ) = cot x ，故 y = cot x 週期為 π 。因 sec( x + 2π ) = sec x ，故 y = sec x 週期為 2π 。因 csc( x + 2π ) = csc x ，故 y = csc x 週期為數 2π 。 3. 奇函數的圖形對稱於原點。證明： ( a, b) ∈ y = f ( x ) ⇔ b = f (a ) ⇔ b = − f (−a ) ⇔ −b = f ( − a ) ⇔ ( − a , −b ) ∈ y = f ( x ) ∴奇函數的圖形對稱於原點。 4. 偶函數的圖形對稱於 y 軸。 ( a, b) ∈ y = f ( x ) ⇔ b = f (a ) ⇔ b = f (−a) ⇔ (− a, b) ∈ y = f ( x ) ∴偶函數的圖形對稱於 y 軸。.

(4) 【圖形】 1.正弦函數 y = sin θ. 2.餘弦函數 y = cos θ. 3.正切函數 y = tan θ. 4.餘切函數 y = cot θ. 5.正割函數 y = sec θ. 6.餘割函數 y = csc θ.

(5) 【性質】 1.奇偶性與週期、定義域與值域、振幅、漸近線：奇偶週振 y = f (x ) 定義域值域漸近線幅函期數 y = sin x 奇 2π { y ∈ R || y |≤ 1} 1 R y = cos x 偶 2π { y ∈ R || y |≤ 1} 1 R π π y = tan x 奇 π {x ∈ R | x ≠ kπ + , k ∈ Z} x = kπ + , k ∈ Z R 2 2 y = cot x 奇 π { x ∈ R | x ≠ kπ , k ∈ Z } x = kπ , k ∈ Z R π y = sec x 偶 2π {x ∈ R | x ≠ kπ + π , k ∈ Z} { y ∈ R || y |≥ 1} x = kπ + , k ∈ Z 2 2 y = csc x 奇 2π {x ∈ R | x ≠ kπ , k ∈ Z } { y ∈ R || y |≥ 1} x = kπ , k ∈ Z 2.遞增、遞減： 3π π y = f (x ) π . . . . . . . . . . . . 0 2π 2 2 y = sin x 0 ↗ ↘ ↘ ↗ 0 0 1 −1 y = cos x 1 ↘ ↗ ↘ ↗ 0 0 1 −1 y = tan x 0 ↗ + ∞ | −∞ ↗ ↗ + ∞ | −∞ ↗ 0 0 y = cot x − ∞ | +∞ ↘ ↘ − ∞ | +∞ ↘ ↘ − ∞ | +∞ 0 0 y = sec x 1 ↗ + ∞ | −∞ ↗ ↘ − ∞ | +∞ ↘ 1 −1 y = csc x − ∞ | +∞ ↘ ↗ + ∞ | −∞ ↗ ↘ − ∞ | +∞ 1 −1 註：可用三角函數在各象限的正負號輔助判別週期。【方法】描繪三角函數的圖形方法有下列： 1. 描點法，然後用平滑曲線將這些線連結起來。 2. 利用已知函數的圖形以平移、伸縮、鏡射等畫出。【性質】 1. 函數 y = a sin(b( x + c )) + d 的圖形中的 a, b, c, d 之意義分別為何，並求其週期。 a ：表示上下伸縮、鏡射。 b ：表示左右伸縮、鏡射。 c ：表示左右平移。 d ：表示上下平移。 2π 週期：。 |b| 2. 函數 y = a tan(b( x + c )) + d 的圖形中的 a, b, c, d 之意義分別為何，並求其週期。 a ：表示上下伸縮、鏡射。 b ：表示左右伸縮、鏡射。 c ：表示左右平移。 d ：表示上下平移。. 週期：. π |b|. 。. 註：先平移再伸縮與先伸縮再平移，圖形不一定一樣。.

(6) 【問題】 1. 證明：將 y = sin x 的圖形上移 2 單位可以得到 y = sin x + 2 的圖形。證明： ( a, b) ∈ y = sin x ⇔ b = sin a ⇔ b + 2 = sin a + 2 ⇔ ( a, b + 2) ∈ y = sin x + 2 π π 2. 證明：將 y = sin x 的圖形右移單位可以得到 y = sin( x − ) 的圖形。 4 4 證明： ( a, b) ∈ y = sin x ⇔ b = sin a π π ⇔ b = sin(( a + ) − ) 4 4 π π ⇔ (a + , b) ∈ y = sin( x − ) 4 4 3. 證明：將 y = sin x 的圖形以 x 軸上下伸縮 2 倍可以得到 y = 2 sin x 的圖形。證明： ( a, b) ∈ y = sin x ⇔ b = sin a ⇔ 2b = 2 sin a ⇔ ( a,2b) ∈ y = 2 sin x 1 4. 證明：將 y = sin x 的圖形以 y 軸左右伸縮倍可以得到 y = sin 2 x 的圖形。 2 證明： ( a, b) ∈ y = sin x ⇔ b = sin a a ⇔ b = sin( 2 × ) 2 a ⇔ ( , b) ∈ y = sin 2 x 2 5. 試畫出 y = cos x 的圖形。方法：左移. π. 2 y = sin x ⎯⎯⎯ → y = sin ( x +. 6.. π 2. ) = cos x. 試利用 y = sin x 的圖形畫出 y = 3 sin( 2 x +. π 4. ) + 5 的圖形。. 方法： 1 左右伸縮倍 2. 左移. π. 8 ⎯→ y = sin 2 x ⎯⎯⎯ y = sin x ⎯⎯ ⎯ ⎯ → y = sin (2( x + 左移. π. (或 y = sin x ⎯⎯⎯4 → y = sin ( x + 3倍 ⎯上下伸縮 ⎯⎯⎯ ⎯→ y = 3 sin (2 x +. π 4. π 4. π 8. )) = sin (2 x +. 1 左右伸縮倍. 2 ) ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ y = sin (2 x +. ) ⎯上移 ⎯⎯5→ y = 3 sin (2 x +. π 4. )+5. π 4. )). π 4. ).

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