12-空間的平面與直線

12- 空間的平面與直線

【83-1】設直線 L 的方程式為 3 2  x _ 1 1   y _ 2 1  z ，則下列哪一個平面與 L 平行？ (A) 2x  y  z  1 (B) x  y  z  2 (C) 3x  y  2z  1 (D) 3x  2y  z  2 (E) x  3y  z  1 【解答】(B) 【詳解】 令 3 2  x _ 1 1   y _ 2 1  z _ t 代入，             t z t y t x 2 1 1 3 2 代入(B) x  y  z  2  (2  3 t )  (1  t)  (1  2t)  2  0．t  2（不合） ∴ t 無解，選(B) 【83-2】設 L 為 x  y  z  1 與 x  y  z  1 兩平面的交線，則直線 L 上與點(1，2，3)距離最 近之點的坐標為 。 【解答】(1， 2 5 ， 2 5 ) 【詳解】 L：          1 1 z y x z y x …… …… 得 x  1 ∴ y  z  0 ∴ y  z 令 y  z  t ∴ (1，t，t) d  (11)2(t2)2 (t3)2  2t210t13 2 1 ) 2 5 ( 2 t 2  ∴ t  2 5 ∴ (1， 2 5 ， 2 5 ) 【84】在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面。有一光線通過點 P (1，2，1)，射向鏡面上的點 O (0，0，0)，經鏡面反射後通過點 R。若OR 2PO ，則 R 點的坐標為 。 【解答】( 2， 4，2) 【詳解】 先作 P 關於 xy 平面的對稱點 P ，得 P 的坐標為 (1，2，1) ∴ POOP，又 OR 2PO

 _____OR\ 2 \ _____  OP  2(1，2，1)  ( 2， 4，2)  R 點坐標為( 2， 4，2) 【85】已知直線 L1，L2交於 (1，0，1)，且相互垂直，其中 L1：           1 1 z t y t x ，t  R，L2：             t z t y t x 1 1 ， t  R。若以 L1為軸將 L2旋轉一圈得一平面，則此平面的方程式為何？ (A) x  1 (B) y  0 (C) x  y  1  0 (D) x  y  z  2 (E) x  y  3  0 【解答】(C) 【詳解】 設以 L1為軸將 L2旋轉一圈所得之平面為 E 則平面 E 過 L1與 L2之交點 (1，0，1) 且以 L1之方向向量(1，1，0)為法線向量 故平面 E 的方程式為 1．(x 1)  1．(y  0)  0．(z  1)  0 即 x  y  1  0 【86-1】設 P，Q 為平面 ax + by  cz  5 上相異兩點，且 \ _____ PQ  (x0，y0，z0 )，

則 PQ ．(a，b，c)為(A)不定值，隨 (x_____\ 0，y0，z0 ) 而改變 (B) 25 (C) 5 (D) 0 (E)

1 【解答】(D) 【詳解】 \ _____ PQ 與向量 (a，b，c) 垂直 ∴ \ _____ PQ ．(a，b，c)  0 【86-2】設 為兩平面 2x  y  2z  6 與 3x  4z  2 的夾角（取銳角），則 最接近的整數 度數為 。 【解答】82 【詳解】 cos  | 16 0 9 4 1 4 ) 4 0 3 ( ) 2 1 2 (       ． ， ， ． ， ， |  | 5 3 2   | 15 2 _ 0.1333… 查表得 sin 740 0.1334，即 cos 8220 0.1334 ∴  最接近 82 【88-3】在空間中，連接點 P (2，1，3) 與點 Q (4，5，5) 的線段 PQ 之垂直平分面為 。 【解答】x  2y  z  13

【詳解】 \ _____ PQ  (2，4，2) // (1，2，1)，PQ之中點 (3，3，4) ∴ PQ的垂直平分面為 1．(x  3)  2 ( y  3)  1．(z  4)  0，即 x  2y  z  13 【89】空間中有一直線 L 與平面 E：x  2y  3z  9 垂直。試求通過點 (2， 3，4) 且與直線 L 垂直的平面方程式。答： 。 【解答】x  2y  3z  8 【詳解】 同時垂直一直線的兩平面必平行故所求平面可設為 x  2y  3z  k 將點 (2， 3，4) 代入  2  6  12  k  k  8 ∴ 所求平面為 x  2y  3z  8 【92】設a：x  4y  az  10（a 為常數），E1：x  2y  z  5 及 E2：2x  5y  4z  3 為 坐標空間中的三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？(1)存在實數 a 使得a與 E1 平行 (2)存在實數 a 使得a與 E1垂直 (3)存在實數 a 使得a，E1，E2交於一點 (4)存在實數 a 使得a，E1，E2交於一直線 (5)存在實數 a 使得a，E1，E2沒有共同 交點 【解答】(2)(3)(5) 【詳解】 a之法向量 \ ____ a n  (1， 4，a)，E1之法向量 \ ____ 1 n  (1， 2，1) E2之法向量 \ ____ 2 n  (2， 5，4) (1) \ ____ a n // \ ____ 1 n  a//E1 (2)令 \ ____ a n ． \ ____ 1 n  0  (1， 4，a)．(1， 2，1)  0  1  8  a  0  a  9 ∴ 當 a  9，a E1 (3)(4)(5)△  4 5 2 1 2 1 4 1    a  5  a，△z 3 5 2 5 2 1 10 4 1      31  0 當 a  5  △  0  a，E1，E2交於一點 當 a  5  △  0 且△z 0  a，E1，E2兩兩交於一線，且三直線互相平行（沒有共同點）

【93-3】在坐標空間中，平面 x  2y  z  0 上有一以點 P(1，1，1)為圓心的圓，而 Q( 9，9，27)為圓上一點。若過 Q 與圓 相切的直線之一方向向量為(a，b，1)， 則 a  ，b  。 【解答】5，3 【詳解】 \ _____ PQ  ( 10，8，26)，平面法向量n (1， 2，1)， 設切線之方向向量 \ ___ L e  (a，b，1) ∵ \ _____ PQ  \ ___ L e ∴ \ _____ PQ ． \ ___ L e  0   10a  8b  26  0 ∵ n \ ___ L e ∴ n． \ ___ L e 0  a  2b  1  0          1 2 13 4 5 b a b a ，解得 a  5， b  3 【94-1】假設坐標空間中三相異平面E 、₁ E₂、E₃皆通過(－1,2,0)與(3,0,2)兩點，試問以下哪些 點也同時在此三平面上？(1) (2,2,2) (2) (1,1,1) (3) (4,-2,2) (4) (-2,4,0) (5) (−5, −4, −2 ) 【解答】(2) 【詳解】 令A( 1, 2, 0) , (3, 0, 2) B  u AB(4, 2, 2) 則 : 1 2 4 2 2 x y z AB      將選項代入檢測(1,1,1)得 2 1 1 4 2 2     符合 【94-2】如右圖所示，ABCD-EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。 若 P 點在立方體之內部 且滿足 =3 4 + 1 2 + 2 3 ， 則 P 點至直線 AB 之距離為 。(化成最簡分數) 【解答】5 6 【詳解】 座標化A(0, 0, 0),D( 1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) B E =3 4 + 1 2 + 2 3  3(0,1, 0) 1( 1, 0, 0) 2(0, 0,1) ( 1 3 2, , ) 4 2  3  2 4 3

( 1 3 2, , ) 2 4 3 P   P 點至直線 AB 之距離為 1 2 2 2 5 ( ) ( ) 2 3 6  _{ } 即P x y z( , , )到y軸之距離為 x2z2 【96】坐標空間中，在xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切，設其球心分別為 A,B,C。 今將第四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方，且與這三個球都相切，並保持穩定。 設第四個球的球心為P，試問下列哪些選項是正確的？ (1) 點A,B,C 所在的平面和 xy 平面平行 (2) 三角形 ABC 是一個正三角形 (3) 三角形PAB 有一邊長為 2 (4) 點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5) 點P 到 xy 平面的距離為 1+ 3 【解答】(1)(2)(4) 【詳解】 (2)(3)(4)由題意得 P-ABC 是一個稜長為 2 的正四面體， 故ABC 是一個正三角形 PAB 的邊長為 2， 點 P 到直線 AB 的距離為 2 2 3 = 3 (1) 點 A,B,C 到 xy 平面的距離均為 1， 故點 A,B,C 所在的平面和 xy 平面平行 (5) 過點 P 作底 ABC 的垂直線，必過底的中心。因ABC 是正三角形， 故 3 3 2 3 2 _  AM AO ， 3 8 ) 3 3 2 ( 22 2 2 2      PA AO PO = 3 6 2  d (P, xy 平面)=1+ 3 6 2 【97-1】設坐標空間中三條直線L₁，L2，L3的方程式分別為L1： 3 4 1 6 8 x _ y _ z ； 2 L ： 3 4 1 3 4 x _ y _ z ；L3： 1 3 4 x_{ }y z 。試問下列哪些選項是正確的？ (1) L1與L2相交 (2) L2與L3平行 (3) 點P(0, 3, 4)  與Q(0,0,0)的距離即為點P到L3的最短距離 (4) 直線L： 0 3 4 4 3 x y z       _  _  與直線L₁，L2皆垂直 (5) 三直線L1，L2，L3共平面 【解答】(1)(2)(4)(5)

【詳解】 (1)○；相交於(0 ,3 ,4)。 (2)○；∵方向向量平行。 (3)╳；∵QP(0 ,3 ,4)﹐ 3 (1, 3 , 4)，則QP 3   25 0，∴QP非垂直L3，∴非 最短距離。(4)○； (0 , 4 ,3)，  1  0  2 ，∴LL1且LL2。 (5)○；包含L₂及L3的平面E之法向量 n (1, 3 , 4) (0 , 3 , 4) (0 ,4 , 3)， 且L₁的方向向量 v (1, 6 , 8)， ∵ n v 0且L1與L2相交， ∴L1包含於平面E，得L1，L2，L3共平面。 【97-2】設O(0,0,0)為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知(2, 2,1)，(2, 1, 2)  ，(3, 6,6) 為此 長方體中與O相鄰的三頂點。若平面E：x by czd將此長方體截成兩部分，其中 包含頂點O的那一部分是個正立方體，則( , , )b c d ____________。 【解答】( , , )b c d  ( 2 , 2 , 9) 【詳解】 (0 , 0 , 0) O 到(2 , 2 ,1)及(2 , 1, 2)的距離相等， 則需將O到(3 ,6 , 6)的距離縮小成相等的距離 (3, 6 , 6) 1 (1, 2 , 2) 3     。 則(1,2 , 2)為E上的點，且 n (1,2 , 2)為E之 法向量，得E：x2y2z9，故( , , )b c d  ( 2 , 2 , 9)。 【98】坐標空間中xy平面上有一正方形，頂點為O(0, 0, 0)，A(8, 0, 0)，B(8,8, 0)，C(0,8, 0) 另一點P在xy平面的上方，且與 O ，A，B， C 四點的距離皆等於 6 。 若x by czd為通過A，B，P三點的平面，則( , , )b c d ____________。 【解答】(0,2,8) 【詳解】 四邊形 OABC 的對稱中心H(4, 4, 0)， 由OP APBPCP6知P在點H的正上方，設P(4, 4, )k ， 因OP6得k 2，即P(4, 4, 2)，AB(0,8, 0)，AP ( 4, 4, 2)， 由 AB ， AP 得知平面ABP的法向量 n (1, 0, 2) 得所求平面為x2z8， 故b0，c2，d 8。

【99】坐標空間中，直線L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點。已知 L 為 平面 2x − y = 2 上通過點(2,2,2)的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點？(1) (2,2,2) (2) (2,0,2) (3)( ,4 2, 0) 5 5 (4) 4 2 ( , , 2) 5 5  (5)( ,8 2, 2) 9 9 9 。 【解答】(1)(3)(5) 【詳解】 令O(0, 0, 0)，A(2, 2, 2)，B(2, 0, 2)， ( ,4 2, 0) 5 5 C  ， ( ,4 2, 2) 5 5 D   ， ( ,8 2, 2) 9 9 9 E   ∴A，C，E 有可能是投影點，而 B 不在平面上且OD DA 0 ∴B 與 D 不可能是投影點，故選(1)(3)(5) 【100】H：x  y z 2為坐標空間中一平面，L 為平面 H 上的一直線。已知點 P(2, 1, 1) 為L 上距離原點 O 最近的點，則________為 L 的方向向量。 【解答】– 1, – 3 【詳解】 H：x – y + z = 2 的法向量為 u (1, 1, 1) ， 設 L 之方向向量為 v (2, , )a b 2 0 1, 3 4 0 , (2, 1, 1) v u a b a b a b v OP OP  _{    }  _ _{   }        _{ }  ， 故 L 之方向向量為(2, – 1, – 3)。 【102-1】阿德賣 100 公斤的香蕉，第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部份，第二天降價為每 公斤36 元；第三天再降為每公斤 32 元，到第三天全部賣完，三天所得共為 3720 元。假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 ，可算得第二天賣出香蕉的公斤數為 ，其中 _________， ________。 【解答】 ， 【詳解】 設第一天賣 x 公斤﹐第二天賣 y 公斤﹐ 100 40 36 32 3720 x y t x y t      _{  }  ﹐  40 得4y 8t 280   y 2t 70﹐∴a 2﹐b70﹒

【102-2】如圖﹐在坐標空間中﹐A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F﹐G﹐H 為正立方 體的八個頂點﹐已知其中四個點的坐標 、 、 及 ﹐P 在線段 上且 ： 1：5﹐R 在線 段 上且 ： 1：1﹐Q 在線段 上﹒若空間中通過 P﹐ Q﹐R 這三點的平面﹐與直線 AG 不相交﹐則 Q 點的 y 坐標為 ____________﹒（化成最簡分數） 【解答】 【詳解】 ∵C(6, 6, 0)﹐G(6, 6, 6)且CP GP: 1: 5﹐∴P(6, 6, 1)﹐ ∵E(0, 0, 6)﹐H(0, 6, 6)且ER RH: 1:1﹐∴R(0, 3, 6)﹐ 令Q(0, , 0)k ﹐則PQ ( 6,k 6, 1)﹐PR  ( 6, 3, 5)﹐ ∴PQPR(5k33, 36, 6k18)﹐ ∴平面 PQR 為(5k33)(x 0) 36(y 3) (6k18)(z 6) 0 (5k 33)x 36y (6k 18)z 36k       ﹐ 又AG: x t y t z t         ﹐ 代 得(5k33)t36t(6k18)t36k (11k15)t36k﹐ ∴當11k 15 0﹐即 15 11 k  時﹐t 無解﹐ ∴Q 之 y 坐標為15 11﹒