虛擬計算機的開發與教學研究—以探索數字樣式一般化為例
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(2) 虛擬計算機的開發與教學研究 —以探索數字樣式一般化為例 Research on the development and teaching of a virtual calculator: Exploring generalisations of number patterns. 研 究 生：劉賢建. Student：Hsienzen-chien Liu. 指導教授：袁. Advisor：Yuan Yuan. 媛. 國 立 交 通 大 學 理學院網路學習學程 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Degree Program of E-Learning July 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十五年七月.
(3) 中文摘要. 虛擬計算機的開發與教學研究—以探索數字樣式一般化為例. 學生：劉賢建. 指導教授：袁. 媛 教授. 國立交通大學理學院專班網路學習組. 摘. 要. 本研究主要是使用 Flash 開發一台可以提供國中數學教師教學 使用及幫助學生進行尋找數字樣式一般式探索活動的虛擬計算 機，並將此套虛擬計算機實際運用於國中生數學教學以了解本虛 擬計算機使用於教學的可行性，最後探討數字樣式一般化教學實 施後對學生學習數字樣式一般化的影響。 本研究採不等組前後測準實驗研究設計，以台北市一所國中的 兩個班級 59 位學生為研究樣本，隨機選取一班為實驗組，另一 班為控制組，實驗組的學生接受虛擬計算機融入數學教學，控制 組的學生接受對等的傳統教室教學，並以研究者自行設計之數字 樣式探索測驗及課程意見表為資料收集的主要工具。實驗研究主 要發現如下： 一、使用虛擬計算機輔助教學與傳統教學實施能夠達到相同的效 果。 二、使用虛擬計算機輔助教學能增加學生學習的延宕效果。 三、使用虛擬計算機輔助教學能提升學生的數學學習態度，帶給 學生持續的新奇感，營造輕鬆的學習氣氛，增強學生解題的 自信心，並促使學生願意主動學習。 四、使用虛擬計算機輔助教學能夠幫助學生澄清錯誤觀念，釐清 正負數的概念，填補學生過去學習上的間隙（gap），且能有 效輔助學生探索等比數列數字樣式的一般式。 最後根據研究結果與發現，提出若干建議以做為教師教學改進 與未來研究之參考。 關鍵字：計算機、虛擬教具、數字樣式、一般化 i.
(4) 英文摘要. Research on the development and teaching of a virtual calculator: Exploring generalisations of number patterns Student：Hsien-Chien Liu. Advisors：Dr. Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University ABSTRACT The study investigates the effects and the feasibility of utilizing a virtual calculator in real mathematical classroom at a junior high school in Taiwan. The virtual calculator was developed by Flash. It is hoped that it can offer mathematical teachers a new kind of supplementary material to help students to explore number patterns and the concept of generalization. The study applied the nonequivalent–groups pretest–posttest quasi–experimental design. The samples are from two classes (59 students) in the 7 th grader of a junior high school in Taipei. The researcher randomly selected one class as the experiment group and the other one as the control group. Students in the experiment group were taught with the use of the virtual calculator. Students in the control group were taught without using the virtual calculator. Major results of this study are as following: 1. The learning effect in the experiment group was the same as in the control group. 2. There was a carry-over effect in the experimental group. 3. The students in the experiment group have more positive attitudes toward mathematical learning than those in the control group. It was observed that classroom atmosphere was more harmonious in the experimental group. Moreover, using the virtual calculator in class sustained students’ curiosity, motivated students’ learning interest, promoted students’ active learning, and reinforced students’ confidence. 4. Using the virtual calculator in class can help the students to clarify the concepts of positive and negative numbers and to bridge the gap of weakness in the past. Moreover, students’ performance was better in finding the generalization form of a ratio sequence. Based on results of this research, suggestions for teaching and future study were provided.. Keyword: calculator, virtual manipulatives, number patterns, generalisation. ii.
(5) 誌. 謝. 本研究論文能夠順利完成，首先要感謝我的指導教授袁媛博 士對我的細心指導，讓我不只在專業知識上有所成長，也讓我熟 悉研究的過程與方法，在此致上最高的敬意與謝意；同時，也感 謝中央大學單維彰教授與本校李榮耀教授在百忙之中抽空批 閱，改正錯誤，並給予寶貴建議；更感謝交大提供這個進修的機 會，讓我在專班教授的引導下學會做學問的精神與態度，尤其是 莊祚敏主任、林登松教授、陳明璋教授等人。 研究期間，非常感謝學校同事的支持及專班同學的鼓勵，讓 我能夠在這兩年的過程中不但在學業上獲益良多，也在生活及人 際關係上獲得很多經驗，特別要感謝專班王智弘學長和台北縣立 丹鳳國中的陳燕如老師，在我進行研究及撰寫論文期間，不厭其 煩的與我討論，指導我、督促我並不斷鼓勵我，讓我的研究能夠 順利的進行而不致有所偏差。 最後要感謝我的家人對我的照顧，讓我在這兩年能夠無後顧 之憂，順利完成我的學業。 能夠順利完成碩士論文並取得碩士學位是靠大家的指導、支 持與鼓勵，誠心的謝謝大家，並將這份喜悅及成果與所有關心我 的人一同分享。. 研究生 劉賢建 2006 年七月. iii.
(6) 目. 錄 頁次. 中 文 摘 要 ..................................................................................................... i 英 文 摘 要 .................................................................................................... ii 誌. 謝 ....................................................................................................... iii. 目. 錄 ....................................................................................................... iv. 表 目 錄 ....................................................................................................... vi 圖 目 錄 ...................................................................................................... vii 第 一 章 緒 論 ............................................................................................... 1 第 一 節 研 究 動 機 ................................................................................ 1 第 二 節 研 究 目 的 ................................................................................ 3 第 三 節 名 詞 解 釋 ................................................................................ 3 第 二 章 文 獻 探 討 ....................................................................................... 4 第 一 節 數 字 樣 式 的 論 述 ..................................................................... 4 第 二 節 計 算 機 在 教 學 上 的 應 用 .......................................................... 8 第 三 節 虛 擬 教 具 和 實 體 教 具 的 探 討 ................................................ 10 第 三 章 研 究 設 計 與 方 法 .......................................................................... 15 第 一 節 研 究 設 計 .............................................................................. 15 第 二 節 研 究 對 象 .............................................................................. 17 第 三 節 研 究 工 具 .............................................................................. 18 第 四 節 虛 擬 計 算 機 軟 體 開 發 ........................................................... 23 第 五 節 資 料 分 析 .............................................................................. 30 第 四 章 結 果 與 討 論 ................................................................................. 31 第 一 節 教 學 實 施 後 對 學 生 學 習 數 字 樣 式 一 般 化 的 影 響 ................... 31 第 二 節 學 生 學 習 歷 程 與 意 見 分 析 .................................................... 33 第 三 節 教 師 的 反 省 與 成 長 ............................................................... 42 第 五 章 結 論 與 建 議 ................................................................................. 44 第 一 節 結 論 ..................................................................................... 44 第 二 節 建 議 ..................................................................................... 46 參 考 文 獻 .................................................................................................. 48 中 文 部 份 ........................................................................................... 48 英 文 部 分 ........................................................................................... 49 iv.
(7) 附 件 一 數 字 樣 式 探 索 教 學 設 計 ............................................................... 52 附 件 二 教 學 活 動 學 習 單 .......................................................................... 58 附 件 三 「 數 字 樣 式 探 索 」 學 習 單 ........................................................... 61 附 件 四 「 數 字 樣 式 探 索 測 驗 」 前 測 試 題 ................................................ 62 附 件 五 「 數 字 樣 式 探 索 測 驗 」 後 測 試 題 ................................................ 68 附 件 六 課 程 意 見 表 ................................................................................. 74. v.
(8) 表目錄 表 2-3-1 實 體 教 具 的 分 類 ........................................................................ 10 表 2-3-2 虛 擬 教 具 的 分 類 ........................................................................ 12 表 2-3-3 行 動 研 究 探 討 使 用 虛 擬 教 具 學 習 數 學 的 效 果 ........................... 13 表 3-1-1 不 等 組 前 後 測 準 實 驗 設 計 ......................................................... 15 表 3-2-1 研 究 樣 本 人 數 統 計 表 ................................................................ 17 表 3-3-1 數 字 樣 式 類 別 及 題 目 ................................................................ 19 表 3-4-1 鍵 盤 的 數 字 鍵 與 數 字 樣 式 對 照 表 及 數 字 產 生 之 輸 入 ................ 29 表 3-4-2 鍵 盤 的 字 母 鍵 與 例 題 對 照 表 ..................................................... 29 表 4-1-1 實 驗 組 與 控 制 組 前 後 測 分 數 統 計 量 .......................................... 31 表 4-1-2 實 驗 組 與 控 制 組 前 後 測 差 異 分 數 T 檢 定 摘 要 表 ....................... 31 表 4-1-3 實 驗 組 與 控 制 組 前 測 、 延 後 測 統 計 量 ...................................... 32 表 4-1-4 實 驗 組 與 控 制 組 前 測 、 延 後 測 差 異 分 數 檢 定 摘 要 表 ................ 32 表 4-2-1 使 用 策 略 分 析 表 ........................................................................ 38. vi.
(9) 圖目錄 圖 3-1-1 研 究 流 程 圖 ............................................................................... 16 圖 3-3-1 測 驗 題 本 版 面 ........................................................................... 20 圖 3-4-1 虛 擬 計 算 機 操 作 介 面 ................................................................ 23 圖 3-4-2 自 動 出 題 (a)與 手 動 出 題 (b)........................................................ 23 圖 3-4-3 題 目 顯 示 區 ............................................................................... 24 圖 3-4-4 自 動 出 題 模 式 (a)和 手 動 出 題 模 式 (b)的 按 鍵 區 .......................... 25 圖 3-4-5 虛 擬 計 算 機 簡 易 說 明 ................................................................ 25 圖 3-4-6 答 案 區 ...................................................................................... 26 圖 3-4-7 答 案 的 呈 現 ............................................................................... 26 圖 3-4-8 探 索 規 律 的 提 示 視 窗 ................................................................ 27 圖 3-4-9 第 十 項 的 提 示 視 窗 .................................................................... 28 圖 3-4-10 一 般 式 提 示 視 窗 ...................................................................... 28. vii.
(10) 第一章 緒論. 雖然不允許我們看透自然界本質的秘密從而認識現象的真 理，但我們仍然可以透過一定的觀察推理來解釋許多現象。 — Leonhard Euler. 第一節 研究動機 英 國 數 學 家 哈 地（ G. H. Hardy, 1877-1947）說 過：「 數 學 家 就 像 畫 家 或 詩人，是樣式的創造者，數學樣式就好比畫家的畫或詩人的詩，很美；而 概念就像色彩或語言一樣和諧。不美的數學在世界上是找不到永久地位 的 。 」 法 國 數 學 家 何 密 得 （ Charles Hermite, 1822-1901） 也 曾 說 過 ：「 在 一 團 亂 糟 糟 的 事 物 中，一 條 小 小 規 律 的 察 覺，宛 如 黑 暗 中 摸 索 時 的 一 線 光 明， 常常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗花明又一村』帶來的喜 悅 ， 就 是 許 多 學 者 窮 盡 畢 生 之 力 ， 研 究 純 粹 科 學 的 內 在 動 機 」（ 黃 敏 晃 ， 2000） ，數 學 追 求 的 目 標 是 想 在 千 變 萬 化 的 事 物 中 找 出 一 些 規 律，使 我 們 能 探討事物變化的一些模式，進而預測將來的變化，因此尋找規律、探求樣 式 可 說 是 數 學 家 畢 生 的 目 標，也 是 數 學 的 本 質（ 曹 亮 吉，2003） 。數 學 能 成 為一門研究抽象事物的科學，依靠的是邏輯而非單單只以觀察就作為事實 標 準，觀 察、模 擬 甚 至 實 驗 都 必 須 是 發 現 事 實 的 方 法（ Mathematical Sciences Education Board, 1989, p.31） 。樣 式 和 一 般 化 是 數 學 教 育 中 兩 個 重 要 的 基 本 概念，樣式的探究是進入代數的重要過程，樣式的一般化有助於引導學生 利 用 代 數 解 決 問 題 ， 而 解 決 問 題 就 是 數 學 教 育 的 重 心 （ Melanie & Diane & John, 1998）。在 九 年 一 貫 課 程 暫 行 綱 要（ 2000）的「 代 數 」中 提 到「 代 數 的學習應從學生生活經驗中的數量關係出發探討，培養每位國民觀察數量 關係的數學結構之能力」 ，可 見 樣 式 的 覺 察 與 一 般 化 在 數 學 教 育 裡 的 重 要 。 在民國八十二年的新數學課程標準與之後的九年一貫課程暫行綱要中 都提到要教授計算機的使用，使用計算機來協助學生的數學學習。美國全 國 數 學 教 師 會 （ The National Council of Teachers of Mathematics： NCTM） 的 《 學 校 數 學 的 原 則 與 標 準 》（ Principles and Standards for School Mathematics）在 2000年 也 提 到「 適 當 的 使 用 科 技 教 學 工 具，將 其 融 入 統 整 1.
(11) 於 數 學 的 學 習、教 學 與 評 量 之 中 」 ，其 中 的「 科 技 教 學 工 具 」也 包 含 計 算 機。 也有不少研究也指出使用計算機能夠促進學生的數學成就、解題技能及增 進 數 學 概 念 的 了 解（ Suydam, 1987） ，適 當 地 使 用 計 算 機 能 有 助 學 生 學 習 基 本 數 概 念 與 技 巧 、 提 升 解 題 能 力 及 數 學 態 度 的 改 變 （ Campbell & Stewart, 1993; Groves & Stacey, 1998; Hembree & Dessart, 1992; Huinker, 2002; Shuard, 1992）， 可 見 計 算 機 在 數 學 教 學 上 的 應 用 有 越 來 越 重 要 的 趨 勢 。 多 數的計算機具有自動記憶常數運算的功能，這樣的功能有助於學生觀察數 字的變化，發現數字樣式的規律。因此運用計算機在樣式探索上最適合不 過，只是傳統計算機沒有能夠引導學生將樣式一般化的功能。 不 少 研 究 指 出 使 用 數 學 教 具 有 助 於 學 生 對 數 學 的 理 解（ Driscoll, 1983; Greadbell, 1978; Raphael & Wahlstrom, 1989; Sowell, 1989; Suydam, 1985, 1986），在 數 學 課 中 使 用 教 具 輔 助 數 學 教 學 是 被 接 受 的（ Moyer, 2001）。然 而隨著科技的進步，將電腦作為協助教師教學及學生學習的一種教學工具 已 是 一 種 趨 勢（ 尹 玫 君，1993） ，數 學 教 具 也 應 有 新 的 變 革（ 張 漢 宜，2002） ， 懂得軟體技術的數學教師們可以利用電腦將傳統教具予以改造，創造出一 種 新 形 式 的 教 學 工 具，稱 之 為 虛 擬 教 具（ Virtual Manipulatives） 。美 國 國 家 科 學 基 金 會（ National Science Foundation，NSF）與 全 國 數 學 教 師 會（ NCTM） 正 致 力 於 虛 擬 教 具 的 研 究 開 發，我 們 在 NCTM 的 網 站 中 可 以 看 到 豐 富 的 成 果。儘管如此，研究者在網路上或文獻中找到的虛擬教具應用在數字樣式 探索的部份，也大都只引導學生尋找到數字樣式的規律及策略方法 （ Melanie, Diane & John, 1998） ，很 少 有 能 夠 進 一 步 引 導 學 生 對 數 字 樣 式 做 一般化的虛擬教具。 基於以上的背景因素，研究者希望能夠開發設計一台虛擬計算機輔助 學生進行數字樣式探索的學習，引導學生尋求數字樣式的一般式，並希望 透過這個虛擬計算機讓學生學得更有趣。. 2.
(12) 第二節 研究目的 本數字樣式一般化教學研究的目的有三： 一 、 透 過 軟 體 (Flash MX 2004)設 計 ， 開 發 一 台 虛 擬 計 算 機 提 供 國 中 數 學 教 師教學使用及幫助學生進行數字樣式的探索及一般式的尋求的教學活 動。 二、將 此 套 虛 擬 計 算 機 實 際 運 用 於 國 中 生 數 學 教 學，作 為 軟 體 修 訂 的 參 考， 以了解本工具使用於教學的可行性。 三、探 討 數 字 樣 式 一 般 化 教 學 實 施 後，對 學 生 學 習 數 字 樣 式 一 般 化 的 影 響。 依據上述的研究目的，本研究採準實驗研究設計，實驗組的學生被實 施虛擬計算機融入數學教學，控制組的學生則被施以對等的傳統教室教 學。根據上述研究目的三，提出下列問題假設： 一、實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗後測和前測的得分差距上 沒有顯著差異。 二、實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗延後測和前測的得分差距 上沒有顯著差異。. 第三節 名詞解釋 為了使研究更為具體明確，本節針對本研究涉及的重要名詞作說明： 一、數字樣式一般化 指整數規律的察覺活動，觀察數字變化情形找出規律，並將規律以數 學符號表示，求得代數式的過程。 二、二階數列 一 個 數 列 的 連 續 項 的 差 剛 好 形 成 一 個 等 差 數 列，稱 此 數 列 為 二 階 數 列。. 3.
(13) 第二章 文獻探討. 本章旨在探討本研究相關之文獻，以做為本研究之理論基礎，並藉以 建立本研究之研究架構。全章共分三節，第一節為數字樣式的論述，第二 節為計算機在教學上的應用，第三節是虛擬教具與實體教具的探討。. 第一節 數字樣式的論述 一、樣式的意義 從巴比倫時代人們學會用數字記帳，古埃及時代為了丈量尼羅河氾濫 後 的 田 界 發 展 出 幾 何 學，長 久 以 來，數 學 一 直 被 認 為 是 研 究「 數 」與「 形 」 的 學 問 。 韋 德 與 艾 希 頓 （ 2004） 認 為 自 然 界 的 現 象 都 一 再 反 覆 出 現 ， 背 後 一 定 存 在 著 某 種 規 律 ， 這 些 無 所 不 在 的 規 律 便 是 「 樣 式 」。「 樣 式 」 譯 自 英 文 pattern 一 詞，泛 指 通 性、風 格、式 樣、圖 案、花 樣、典 型、大 要 等 等 ， 曹 亮 吉 （ 2003） 將 pattern 譯 為 「 胚 騰 」， 意 思 是 說 任 何 一 個 看 似 突 然 或 特 別的現象，其實背後一定都有其發生的依據及規律。知名數學家史都華 （ 1996） 認 為 樣 式 標 示 了 物 件 之 間 隱 藏 的 規 律 關 係 ， 這 些 物 件 並 不 必 然 是 圖 畫 式 的，也 可 以 是 數 字、抽 象 的 關 係、甚 至 是 思 維 的 方 式。Sawyer (1955) 曾 說 ：「 數 學 是 所 有 可 能 樣 式 的 分 類 與 研 究 」， 簡 而 言 之 ， 數 學 就 是 樣 式 的 科 學 （ 鄭 毓 信 、 李 國 偉 ， 1999）， 理 查 ‧費 曼 （ 2001） 說 的 更 直 接 ：「 數 學 就是把樣式找出來。」 數學是為了解決日常生活中觀察到一些現象或問題歸納其規律而成的 一 門 學 問（ 黃 敏 晃，2000） 。數 學 家 從 數 字 間、空 間 中、電 腦 裡 甚 至 是 從 想 像 中 尋 找 樣 式，數 學 定 理 便 是 研 究 樣 式 與 樣 式 之 間 的 關 係（ 洪 明 賢，2003） 。 因此，我們可以說只要是一再重複出現的事物就是樣式，而如何尋找出樣 式，便是數學的主要工作。 二、樣式的類型 規律的特性在數學中涵蓋的層面很廣，從符號、顏色、圖形的排列、 奇偶數、數列、級數等，乃至於符號、集合、函數對應等等，都是樣式的 一 環（ 曹 亮 吉，2003） 。依 據 九 年 一 貫 課 程 暫 行 綱 要 數 學 能 力 指 標 所 提 到 與 國 中 數 學 教 材 較 相 關 之 規 律 型 態 有 「 形 的 規 律 」、「 數 列 規 律 」 和 「 形 數 規 4.
(14) 律 」（ 洪 明 賢 ， 2003）： 1. 形 的 規 律 ： 圖 形 具 有 重 複 、 對 稱 、 旋 轉 和 屬 性 等 結 構 。 2. 數 列 規 律 ： 如 0 階 、 一 階 、 二 階 和 三 階 等 結 構 。 3. 形 數 規 律 ： 如 三 角 形 數 、 正 方 形 數 、 長 方 形 數 和 五 邊 形 數 等 結 構 。 三、樣式的探索 「在一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，宛如黑暗中摸索時 的 一 線 光 明，常 引 導 我 們 到 達 新 的 數 學 天 地。這 份 經 過『 柳 暗 花 明 又 一 村 』 帶 來 的 喜 悅，就 是 許 多 學 者 窮 盡 畢 生 之 力，研 究 純 粹 科 學 的 內 在 動 機 」(黃 敏 晃 ， 2000）， 抽 取 變 化 中 的 不 變 性 質 ， 數 學 定 理 於 世 被 創 造 （ 謝 哲 仁 ， 2002） 。也 就 是 說，數 學 必 須 是 經 由 察 覺 生 活 周 遭 千 變 萬 化 的 樣 式 規 律，將 其公式化或一般化而產生。 人 是 尋 求 規 律 的 動 物，數 學 裡 有 許 許 多 多 的 規 律 可 以 讓 學 生 去 尋 求（ 曹 亮 吉，2003）。美 國 國 家 研 究 會 議（ National Research Cauncil，1989）指 出 數學乃尋找規律的學科。數學是使我們理解事物的方法，它使我們認識規 律 、 了 解 資 料 及 做 小 心 的 推 理 （ 陳 滿 ， 2003）。 NCTM 在 《 學 校 數 學 的 原 則與標準》中表示全部學生應該瞭解樣式、關係和函數，國內九年一貫課 程暫行綱要數學能力指標也已經將樣式的教學活動已編入其中，教師應該 設計有價值的教學活動，藉由數與形的觀察、統整與推理，察覺出樣式與 規律，讓學生體驗具體到抽象的過程，促使學生展現解決數學問題的思維 能力。 樣式規律是數學的本質，學會尋求數與形的規律及過程是學習數學的 主 要 目 的（ 曹 亮 吉，2003） 。那 麼 尋 求 樣 式 規 律 的 過 程 應 如 何 進 行 與 了 解 呢 ？ 研究者彙整過去數字樣式探索的相關文獻，藉以獲得本研究之架構及軟體 開發之參考。 （一）尋求樣式規律的策略 Melanie, Diane & John（ 1998）研 究 發 現 如 果 給 予 足 夠 的 時 間，七 至 十 一歲的學生也會產生自己的探索策略，學生在面對等差和二階模式的數字 樣式的策略如下： 1. 尋 找 數 字 間 的 差 。 2. 判 斷 奇 偶 數 。 3. 尋 找 倍 數 關 係 。 4. 尋 找 數 字 差 的 差 。 5.
(15) 5. 判 斷 數 字 差 的 奇 偶 數 。 6. 合 併 某 幾 項 去 產 生 其 他 項 。 （二）樣式的探索過程 Bishop(2000)研 究 發 現 國 中 七 、 八 年 級 的 學 生 對 於 處 理 線 型 幾 何 數 樣 式的探索過程有四個步驟： 1. 依 賴 具 體 物 表 示：能 夠 用 模 型 來 表 示 具 體 樣 式，但 似 乎 無 法 察 覺 其 中 「數」的規律性。 2. 用 比 例 表 示：學 生 意 識 到 數 和 位 置 有 某 種 關 係 存 在，傾 向 單 純 的 用 乘 法倍數關係表達數列的規律。 3. 遞 迴 地 找 關 係 ： 學 生 將 注 意 力 放 在 相 鄰 幾 項 ， 來 找 出 數 列 的 規 律 。 4. 函 數 性 的 認 知 ： 學 生 能 建 立 數 列 中 各 項 的 值 與 項 數 間 的 對 應 關 係 。 陳 滿 （ 2003） 在 國 小 五 年 級 的 學 生 面 對 樣 式 的 探 索 過 程 中 發 現 下 列 現 象： 1. 學 生 在 面 對 圖 形 樣 式 與 數 字 樣 式 較 常 使 用 的 推 理 模 式 均 為 尋 找 數 字 間的差及尋找倍數關係。 2. 學 生 在 做 圖 形 樣 式 的 題 目 時 ， 會 將 圖 形 直 接 換 算 成 數 列 模 式 。 3. 學 生 會 使 用 有 限 的 資 料 來 做 歸 納，而 不 會 考 慮 是 否 所 有 的 項 次 皆 符 合 此一規律。 洪 明 賢 （ 2003） 在 研 究 國 中 生 在 面 對 規 律 探 索 時 有 下 列 發 現 ： 1. 國 中 生 能 夠 自 然 察 覺 單 因 重 複、單 因 對 稱、單 因 旋 轉、零 階 數 列、等 差數列的規律。 2. 學 生 察 覺 對 稱 規 律 的 難 度 明 顯 高 於 重 複 及 旋 轉 規 律 。 3. 對 於 形 數 規 律，多 數 學 生 並 非 以 圖 形 擴 張 放 大 的 思 維 來 觀 察，而 是 以 圖形點數的「數字規律」來觀察。 4. 國 中 生 較 不 易 察 覺 其 結 構 的 依 序 為：三 階 數 列、面 積 形 數 與 二 維 屬 性 規律。 （三）樣式規律的表達 林 政 輝 （ 2002） 研 究 學 生 如 何 表 達 自 己 探 索 到 的 規 律 ， 歸 納 出 學 生 在 表達規律時有兩種類型： 1. 經 驗 論：學 生 會 根 據 探 索 過 程 的 經 驗 寫 出 計 算 式 或 舉 例 來 表 達 自 己 的 想法。. 6.
(16) 2. 敘 述 關 鍵 性 質：學 生 能 夠 進 一 步 歸 納 後，在 以 口 語 文 字 的 敘 述 及 用 算 式表示出關鍵性質。 李 美 蓮 （ 2004） 認 為 圖 形 表 徵 能 夠 提 供 學 生 體 驗 具 體 到 抽 象 的 思 維 歷 程，有助於學生將數列關係一般化。當學生能適當地利用圖形表徵來表達 自己的數學想法時，不但能做為與別人溝通的橋樑，同時也能增進對數學 概 念 的 理 解，並 在 相 關 的 數 學 概 念 之 間 做 連 結，讓 數 學 學 習 有 意 義 且 深 刻。 綜合分析以上相關文獻，學生在面對不管是數字樣式、圖形樣式或形 數樣式都會以「數字規律」來觀察，透過數字樣式的觀察將有助於樣式的 一般化，因此本研究將以數字樣式為主要探索內容；從文獻中也發現學生 在 面 對 數 字 樣 式 所 使 用 的 探 索 策 略 不 外 乎「 加、減、乘、除 」 ，此 外，使 用 圖形表徵將可以使學習更深刻，因此在軟體開發設計上應提供學生能夠輕 易探索的功能，並加強圖形表徵的部份；最後在學生規律表達的部份，研 究初期應鼓勵學生根據經驗寫出計算式、舉例或畫圖，研究結束後則期望 學生能夠進一步歸納，求得抽象思維的一般式。. 7.
(17) 第二節 計算機在教學上的應用 隨著科技的進步，許多科技產品已進駐到我們的生活，計算機是一種 很普遍且廣泛地被大家使用的工具，許多國家已經將計算機融入數學教育 中，國內九年一貫課程暫行綱要也強調計算器已被廣泛使用於生活之中， 引導學生對計算器正向且有效的使用已日趨重要，因此應加強有關計算機 使用的教學。 計算機是一項教學的輔助工具，它的主要功用是啟發學生思考過程及 數 學 概 念 形 成，並 提 供 更 豐 富 的 解 題 活 動（ 袁 媛，2005） 。過 去 有 不 少 研 究 指出使用計算器能夠促進學生的數學成就、解題技能及增進數學概念的了 解（ Suydam, 1987） ，在 小 學 階 段 適 當 地 使 用 計 算 機 不 但 不 會 降 低 學 生 的 計 算能力，反而可以幫助學生學習基本數概念與技巧、提升解題能力及數學 態 度 的 改 變 (Campbell & Stewart, 1993; Groves & Stacey, 1998; Hembree & Dessart, 1992; Huinker, 2002; Shuard, 1992)。 有學者認為使用計算機會忽略學童自我建構的機會，無法促進學童思 考 （ 楊 德 清 ， 1999） ， 但 研 究 中 發 現 在 計 算 機 的 情 境 下 的 確 有 助 於 學 童 學 習 。 顏 杏 宜 （ 2003） 研 究 發 現 國 小 學 生 在 使 用 計 算 機 的 情 境 下 學 習 對 學 生 的心理層面和數學學習層面都有助益： 一、學生心理層面 （一）降低心理壓力：可以減少紙筆計算時擔心計算錯誤產生的心理壓 力。 （二）提供即時回饋：運用計算機可達立即回饋的功能，學童能夠立即 得知答案是否正確，進而修正答案。 （三）增加自信心：因為計算機可以提供學生即時回饋，獲得立即的正 確答案，因此可以增加學生的自信心。 二、數學學習層面 （一）提高計算的效率：運用計算機，只要按幾個按鍵就能得到正確答 案，可以加快計算的速度。 （二）容易進行探索活動：學生可在計算機上不斷的嘗試，透過觀察， 最後歸納出結果。 （三）計算機的自動記憶常數運算功能和即時回饋的功能，可以讓學童 進行數字樣式的探索。 8.
(18) 袁 媛 （ 2005） 也 認 為 使 用 計 算 機 有 助 於 學 生 學 習 ： 一、計算機可以節省學生完成複雜及冗長的計算時間，鼓勵無法完成計算 程序的學生完成解題的活動，進一步地加強數學的學習與思考。 二、計算機做了低層次的計算工作，可以加速學習過程，讓學生有更多時 間把學習的焦點放在概念的學習及了解上，得以有機會經驗數學的意 義及價值。 三、適當地使用計算機學習數學不但不會損害計算能力的培養，反而因為 計算機的使用使學生有機會接觸新的科技產品，了解計算機的優缺 點，可提高其使用高科技產品的意願。 可見其關鍵應不在計算機本身，而是在於活動的設計。如能善用計算 機立即回饋及自動記憶常數運算的功能，在數字規律的察覺活動上，計算 機將會是一項輔助數學學習的有效工具。. 9.
(19) 第三節 虛擬教具和實體教具的探討 一 、 實 體 教 具 （ Physical Manipulatives） 的 探 討 （一）實體教具的意義 實體教具是可以被拿起、旋轉、重新排列，也可以被收集的真實物 件 （ Perl, 1990）。 實 體 教 具 有 操 作 簡 便 的 特 性 ， 長 久 以 來 一 直 是 教 師 用 來輔助教學的重要工具，這些實體工具允許教師和學生自由的放置、旋 轉或視需要來重新排列，幫助學生藉由操作來了解抽象性的概念。有些 時候實體教具還可以有效的提升學生的學習興趣，使得學生在學習過程 更加專注。 （二）實體教具的分類 實體教具是實際的物件，看得到也觸摸得到，一般分為平面和立體 兩 類 。 如 表 2-3-1。 表 2-3-1 實 體 教 具 的 分 類 項目 內容. 平面教具. 立體教具. 圖卡、字卡、圖表等等。. 用於數學課的有方瓦、古氏積 木、花片、各種立體的模型、 數版、釘版，大型的三角版、 圓規等等。. 功效. 範例. 這一類的教具對低年級的學生. 這一類的教具提供學生更多樣. 特別有用，尤其是數學啟蒙階. 的操作性，不但可以排列，還. 段，可以設計情境來幫助學生. 可以旋轉、堆疊等，可以幫助. 建構數與量等概念。. 學生學習更複雜的概念。. 教師可以用卡車的圖卡來呈現. 學生可以藉由堆疊立體的古氏. 卡車的數量。. 積木探究發現長方體的體積和 長、寬、高之間的關係。. （三）實體教具的教學研究 過 去 許 多 研 究 證 實 實 體 教 具 對 教 師 教 學 是 有 正 面 幫 助 的 。 Parham （ 1983） 曾 經 對 64 個 學 生 的 成 就 測 驗 做 過 小 型 的 統 計 研 究 ， 發 現 使 用 教具學習的學生她們的成就測驗分數顯著高於沒有使用教具的學生。. 10.
(20) Suydam 和 Higgins 在 1977 年 重 新 對 教 具 的 使 用 與 否 再 一 次 研 究 ， 判 定 適當的使用教具確實比不使用教具更可以提高學生在數學方面的學習 成 就。Moyer & Jones（2004）研 究 發 現 孩 童 在 自 己 使 用 教 具 時，多 半 是 進行與實際學習無關的遊戲，換句話說，如果沒有教師的有效引導，教 具通常會變成玩具；但是建議使用教具時只要指引學生方向，不要直接 告訴學生該如何操作，應該允許學生試誤並鼓舞學生自己思考，而不應 勉 強 學 生 倉 卒 作 出 抽 象 的 陳 述 。 Char（ 1989） 認 為 不 同 的 學 生 需 要 不 同 的幫助，單一種類的教具無法適用於每一個小孩。因此除了教具本身的 好壞之外，更需要教師的專業能力選擇教具與引導教學，才能提升教具 的實質效益。 教具的使用對學生而言，有老師的專業引導可以達到相輔相成的效 果，但是在學校的經驗，一般老師面臨的困境是：現有的教具資源太少、 無法取得真正想用的教具，還有使用教具教學時所產生的班級秩序管理問 題、教具收納問題等等，都有待克服。 二 、 虛 擬 教 具 （ Physical Manipulatives） 的 探 討 （一）虛擬教具的意義 近年來電腦軟體技術日新月異，網際網路的普及，許多數學教師開 始嘗試著使用新的科技來幫助數學教學，於是有虛擬教具的產生。虛擬 教具可以看作是一套電腦軟體，可以用來呈現許多實體教具所能夠呈現 或無法呈現的概念，藉以幫助學生建構數學的抽象概念的學習工具。虛 擬教具是利用電腦技術產生的數位影像，看得到但無法實際觸摸，不 過，實際運用時卻比可觸摸的實體教具來得更有彈性。 （二）虛擬教具的分類 Moyer, Bolyard, & Spikell（ 2002） 將 網 際 網 路 上 的 虛 擬 教 具 分 為 兩 大 類 ： 一 類 是 靜 態 的 虛 擬 教 具 （ Static Visual Representations of Concrete Manipulatives）； 另 一 類 是 動 態 的 虛 擬 教 具 （ Dynamic Visual Representations of Concrete Manipulatives）， 如 表 2-3-2。. 11.
(21) 表 2-3-2 虛 擬 教 具 的 分 類 項目. 靜態的虛擬教具. 動態的虛擬教具. 呈現. 將傳統的圖像投射在投影布. 用 軟 體 呈 現，可 以 透 過 鍵 盤、滑. 方式. 幕，或是繪製於黑板。. 鼠，對 它 像 對 實 體 教 具 一 般 進 行 實作。. 表徵. 是藉由電腦軟體技術所繪製出. 是 一 個 可 以 被 移 動、翻 轉、旋 轉. 來的虛擬影像。學生無法對靜. 等 操 作 的 虛 擬 物 件，甚 至 於 實 體. 態的虛擬影像進行操作，因此. 教 具 無 法 複 製、放 大、縮 小 等 限. Moyer 認 為 靜 態 的 虛 擬 圖 像 並. 制，虛擬教具都可以辦到。. 非真正的虛擬教具。 範例. 教 師 以 PowerPoint 顯 示 卡 車 的. 教師利用電腦軟體製作積木軟. 圖卡來呈現命題。. 體，讓 學 生 可 以 藉 由 拖 曳 積 木 探 究 發 現 長 方 體 的 體 積 和 長、寬 、 高之間的關係。. （三）虛擬教具的教學研究 Izydorczak（ 2003） 整 理 出 虛 擬 教 具 的 八 大 優 點 ： 1. 虛 擬 教 具 可 以 監 控 學 習 活 動 。 2. 虛 擬 教 具 比 實 體 教 具 更 有 擴 張 性 。 3. 虛 擬 教 具 能 呈 現 出 比 實 體 教 具 更 細 微 的 概 念 。 4. 虛 擬 教 具 比 實 體 教 具 更 易 於 操 作 。 5. 虛 擬 教 具 比 實 體 教 具 更 適 合 用 於 大 團 體 的 教 學 。 6. 有 些 虛 擬 教 具 透 過 輔 助 說 明 的 連 結，可 以 更 清 楚 的 表 徵 數 學 符 號 和 程序。 7. 購 買 實 體 教 具 往 往 有 經 費 的 限 制，而 虛 擬 教 具 可 以 解 決 經 費 不 足 的 問題。 8. 虛 擬 教 具 比 傳 統 的 實 體 教 具 所 產 生 的 班 級 管 理 問 題 較 少 。 虛擬教具雖然有眾多的優點，但到目前為止，教室中使用虛擬教具 的教學研究仍十分有限，一個可能的原因是教師欠缺使用虛擬教具從事 數 學 教 學 的 知 能 （ Reimer & Moyer, 2005）。 最 近 Moyer, Niezgoda & Stanley（ 2005）以 兩 個 行 動 研 究 探 討 使 用 虛 擬 教 具 學 習 數 學 的 效 果 。 這. 12.
(22) 兩篇研究報告的出現，為使用虛擬教具學習數學提供了一些實證研究結 果 。 如 表 2-3-3。 表 2-3-3 行 動 研 究 探 討 使 用 虛 擬 教 具 學 習 數 學 的 效 果 研究者. 研究主題. 研究對象. 研究結果. Moyer,. 探討幼稚. 18 位 上 全. 顯示使用虛擬教具時，兒童能表. Niezgoda. 園兒童的. 日班的幼. 現出較多的創作類型，每個類型. &. 類型製造. 稚園兒童. 所使用的積木數也較多，因此全. Stanley. 活動. 部使用的積木數也較多。研究觀. （ 2005）. 察者也注意到使用虛擬教具時兒 童創作出的類型較多元且有變 化，肯定使用虛擬教具確能提供 兒童創作類型的學習機會。. Moyer,. 探討二年. 19 位 國 小. 發現兒童確實能透過虛擬教具的. Niezgoda. 級兒童使. 二年級兒. 視覺印象掌握十位數及個位數的. &. 用虛擬十. 童. 位值概念，兒童在使用虛擬教具. Stanley. 進位積木. （ 2005）. 的成效。. 後的解題策略也趨向一致。. 在這兩個行動研究中，兩位老師都在使用虛擬教具前，先使用實體 教具進行教學概念，虛擬教具在教學過程中扮演表徵抽象概念的三種表 徵（具體物、圖形及符號）的橋樑，尤其在這兩個研究中發現對以學習 英語為第二外語的兒童而言，虛擬教具提供其表達概念了解及學習的機 會。 綜觀而言，國外相當重視虛擬教具的開發，有大學、教師協會等大型 學 術 單 位 全 力 發 展 以 及 專 業 的 設 計 人 員（ 包 含 教 師 ） ，因 此 架 構 完 整，內 容 豐 富，支 援 的 課 程 涵 蓋 幼 稚 園 到 12 年 級，而 且 每 一 個 虛 擬 教 具 都 提 供 說 明 文件及教學指導，數學教師相當容易學習並且實際運用於教學。反觀國內 對虛擬教具的研究還是以單打獨鬥者（在職教師）為主，缺少系統性的開 發 計 畫 ， 課 程 內 容 以 國 高 中 階 段 居 多 ， 而 且 大 都 偏 重 在 以 GSP（ The Geometer’s Sketchpad）為 主 的 幾 何 數 學，對 於 國 民 中 小 學 基 礎 教 育 的 關 注 程度遠遠落後於國外。希望未來國內也能有大型的學術機構投入研發，相 信對國內的數學教育會有實質的幫助。 13.
(23) 綜合以上文獻，樣式的探索有助於學生從具體思維到抽象思維，進而 學習更高深的數學，計算機的特殊功能可以有效輔助樣式的探索，但要在 教學上用的更深、更廣則還需要教學活動的配合，且若真的要在教室操作 計算機，費用將會是一個問題，因此本研究將以文獻分析結果做為開發設 計虛擬計算機之依據，設計相關教學活動，以建立本研究之研究架構。. 14.
(24) 第三章 研究設計與方法. 根據本研究之研究目的，研究者設計一教學實驗。本章針對相關實驗 之研究設計與方法進行探討，全章共分為五節，第一節主要探討研究設計 與實驗流程，第二節介紹研究樣本與教學教師，第三節為研究之相關工具 之 發 展，第 四 節 為 虛 擬 計 算 機 軟 體 之 開 發 與 說 明，最 後 第 五 節 為 資 料 分 析。. 第一節 研究設計 本研究目的之一是探討虛擬計算機運用於教學國中生數字樣式一般化 教學的學習成效。由於無法隨機選取受試者，因此本研究採取不等組前後 測 準 實 驗 設 計 ， 如 表 3-1-1。 表 3-1-1 不 等 組 前 後 測 準 實 驗 設 計 自變項. 前測. 實驗處置. 實驗組. T1. X. 控制組. T1. 後測 T2. T3. T2. 延後測 T2 T2. 註 ： T1、 T2 為 數 字 樣 式 探 索 測 驗 ， T3 為 課 程 意 見 表 。 實 驗 組 與 控 制 組 學 生 均 接 受 前 測（ 數 字 樣 式 探 索 測 驗 ） ，兩 組 學 生 在 前 測後，分別實施以數字樣式一般化為學習內容的虛擬計算機融入數學教學 與 對 等 的 傳 統 教 室 教 學。教 學 結 束 後，實 驗 組 與 控 制 組 的 學 生 再 進 行 後 測， 前 後 測 的 測 驗 內 容 相 當，相 關 係 數 達 .98，實 驗 組 的 學 生 需 加 填 一 份 課 程 意 見表以了解實驗組學生對於虛擬計算機融入數學教學課程之心得與意見， 控制組學生則不需填寫此意見表。實驗結束兩週後進行延後測，延後測與 後測使用相同的試卷。施測完畢之後，分別以後測得分和延後測得分減去 前 測 得 分 所 得 的 差 異 分 數 做 為 檢 定 變 數，以 T 檢 定 考 驗 分 析 兩 組 後 測 成 績 與延後測成績是否有顯著差異；另外研究者從教學過程中觀察學生課堂反 應和教學後的課程意見表回答意見做為質性的研究分析，藉以更深入了解 虛擬計算機融入數字樣式一般化教學之後對於學生學習的影響。詳細流程 如 圖 3-1-1:. 15.
(25) 形成研究問題. 蒐集相關資料. 課程意見表. 發展研究工具. 數字樣式探索測. 試驗性教學研究. 準備預試階段. 確定研究主題. Flash 軟 體. 編修研究工具. 選定研究對象. 傳統教學. 數字樣式探索測. 虛擬計算機輔助教 數字樣式探索測. 實施後測 兩週. 數字樣式探索測. 正式施測試階. 實施前測. 實施延後測. 課程意見表 控制組不必填此表. 資料分析階. 資料分析. 撰寫研究結果並完成論文. 圖 3-1-1 研 究 流 程 圖 16.
(26) 第二節 研究對象 本研究原本希望以國中八年級學生為研究對象，但因實驗學校八年級 各班數學教師有教學進度的壓力，以及學生的課業壓力，因此本研究改以 國中七年級的學生為研究對象，經研究者與數學教師討論，以及考量實驗 學校的電腦教室借用情況，僅能選取台北市某市立國民中學兩班七年級學 生為實驗研究對象。這兩班七年級為研究者為本研究教學實驗而借用，研 究者並非這兩班七年級學生原來的數學教師，學生對研究者亦不熟識。該 校 採 常 態 男 女 合 班 的 模 式 教 學 ， 研 究 者 隨 機 選 取 一 班 為 實 驗 組 （ 35 人 ） ， 另 一 班 為 控 制 組（ 30 人 ）。在 實 驗 期 間，實 驗 組 有 兩 位 同 學 請 假，控 制 組 有兩位同學轉學，兩位同學請假。考量學生接受實驗的完整性，故最後各 組 資 料 分 析 人 數 資 料 分 析 如 表 3-2-1。 表 3-2-1 研 究 樣 本 人 數 統 計 表 組別. 人 數（ 男 生，女 生 ） 有 效 樣 本（ 男 生，女 生 ）. 實驗組. 35（ 18， 17）. 33（ 17， 16）. 控制組. 30（ 17， 13）. 26（ 16， 10）. 合計. 65（ 35， 30）. 59（ 33， 26）. 擔 任 本 實 驗 研 究 教 學 的 教 師 為 研 究 者 本 人，具 有 13 年 的 數 學 科 教 學 經 驗，對於電腦輔助教學有較深入的研究與興趣，本研究所使用之「虛擬計 算機」即是由研究者本人所自行開發與設計的。實驗組與控制組都是同一 位教師進行教學活動，學生於電腦自行操作前均接受教學教師指引，按部 就班的熟悉虛擬計算機的操作方式。. 17.
(27) 第三節 研究工具 一、數字樣式探索測驗（見附件三、附件四） （一）測驗目的 本測驗希望了解學生在數字樣式一般化教學實施之後的學習成效， 測 驗 時 間 45分 鐘 。 （二）題目內容 本研究之目的在利用虛擬教具引導學生對數字樣式進行一般化。在 題目設計部分，根據文獻，常用「數字樣式」有以下模式： 1. 自 然 數 列 2. 單 調 數 列 3. 奇 數 數 列 4. 等 差 數 列 5. 等 比 數 列 6. 遞 加 數 列 7. 遞 乘 數 列 8. 二 因 數 列 （ 分 數 ） 9. 二 階 數 列 （ 加 法 ） 10. 二 階 數 列 （ 乘 法 ） 11. 平 方 數 12. 三 階 數 列 考量數字樣式一般化的模式是否是國中學生能夠寫出一般式的數列 模式，選擇「等差數列」、「等比數列」和「二階數列」三種模式的數 字樣式作為題目內容，每種模式又分為兩種類別，共六種類別，每種類 別 設 計 三 題，共 18 題（ 如 表 3-3-1）。正 式 的「 數 字 樣 式 探 索 測 驗 」共 有 六 題 ， 每 題 四 分 ， 總 分 為 24 分 。. 18.
(28) 表 3-3-1 數 字 樣 式 類 別 及 題 目 類. 別. 等差數列 （正公差）. 等差數列 （負公差）. 等比數列 （正公比）. 等比數列 （負公比）. 題 號. 題. 第 n 項. 目. 1. 3, 5, 7, 9, 11, ?. 2. 2, 5, 8, 11, 14, ?. 3. 5, 9, 13, 17, 21, ?. 4. 3, 1, –1, –3, –5, ?. 5. 15, 11, 7, 3, –1, ?. 6. 13, 10, 7, 4, 1, ?. 7. 1, 2, 4, 8, 16, ?. 8. –3, –9, –27, –81, –243, ?. 9. 2, 6, 18, 54, 162, ?. a 1 + (n–1)×d. a 1 + (n–1)×d. a 1 ×r(n–1). 10 2, –4, 8, –16, 32, ? a 1 ×r(n–1). 11 5, –5, 5, –5, 5, ? 12 3, –6, 12, –24, 48, ? 13 1, 4, 17, 40, 73, ?. 二階數列. 14 2, 5, 18, 41, 74, ?. a(n–1) 2 + b(n–1) + c. 15 3, 5, 9, 15, 23, ?. 多邊形數. 16 1, 3, 6, 10, 15, ?. a(n–1) 2 + b(n–1) + c. 17 1, 4, 9, 16, 25, ?. a(n–1) 2 + b(n–1) + c. 18 1, 5, 12, 22, 35, ?. a(n–1) 2 + b(n–1) + c. （三）測驗題本 每個測驗題目含有問答題為主的四個問題，要求學生說明答案的理 由或想法，以利於質性的研究分析。題幹部份會出現五個數字和一個問 號，接著學生會被問到四個問題： 問 題 一 、 你 認 為 『 ?』 應 該 是 什 麼 數 字 嗎 ？ 請 說 明 你 的 想 法 。 問題二、你有發現到數字的規律嗎？請說明你的發現。 問 題 三 、 你 認 為 第 20個 數 字 應 該 是 多 少 ？ 請 解 釋 你 的 理 由 。 問 題 四 、 你 認 為 第 n個 數 字 應 該 怎 麼 表 示 ？ 請 解 釋 你 的 理 由 。. 19.
(29) 題 本 版 面 設 計 參 考 文 獻 （ Melanie, Diane & John, 1998） ， 以 「 圖 說 文字框」和「圖說泡泡框」呈現，鼓勵學生盡量寫出自己的想法。如圖 3-3-1。. 圖 3-3-1 測 驗 題 本 版 面 學生作答符合下列情況即算正確： 問 題 一 、 你 認 為 『 ?』 應 該 是 什 麼 數 字 嗎 ？ 請 說 明 你 的 想 法 。 得分指標：能正確推算出『？』的答案。 想法可用文字敘述、算式或圖示的方式呈現。 問題二、你有發現到數字的規律嗎？請說明你的發現。 得分指標：能以文字敘述、算式或圖示的方式正確將發現呈現出來。. 20.
(30) 問 題 三 、 你 認 為 第 20 個 數 字 應 該 是 多 少 ？ 請 解 釋 你 的 理 由 。 得 分 指 標 ： 能 正 確 推 算 出 第 20 個 數 字 的 答 案 （ 不 一 定 要 化 到 最 簡 ）。 問題四、你認為第 n 個數字應該怎麼表示？請解釋你的理由。 得 分 指 標 ： 能 夠 正 確 寫 出 第 n 個 數 字 的 一 般 式 （ 不 一 定 要 化 簡 ）。. （四）預試 2006年 5月 12日 進 行 預 試 以 便 完 成 前 後 測 題 本 。 1. 實 施 對 象 考量測驗時間較長，施測對象選取實驗學校八年級趣味數學研究 社 的 學 生 ， 該 社 團 學 生 共 32人 。 2. 預 試 題 目 每 種 類 型 的 題 目 測 驗 各 設 計 三 題 ， 六 種 類 型 共 18題 。 3. 預 試 時 間 因為測驗為問答題，希望能給學生足夠的時間作答，因此預試時 的 測 驗 時 間 給 予 110分 鐘 。 所 有 參 與 預 試 的 學 生 均 能 在 時 間 內 完 成 。 4. 測 驗 結 果 試 卷 收 回 後，將 學 生 的 回 答 逐 一 審 查，學 生 作 答 結 果「 正 確 」得 1 分 ， 「 錯 誤 或 空 白 」 得 0分 。 本測驗共有六種類別，每種類別各三題，依據四個問題的答題情 況，在每一種類別的三道題目中，選取學生回答正確及回答錯誤次數 接 近 的 兩 道 題 目，如 題 號 4、5、6的 三 題 中，第 4題 和 第 5題 的 四 個 問 題 的 答 對 次 數 均 相 同 ； 題 號 16、 17、 18的 三 題 中 ， 第 17題 的 四 個 問 題 的 答 對 次 數 均 高 於 第 16題 和 第 18題 ， 第 16題 和 第 18題 四 個 問 題 的 答 對 次 數 比 較 接 近 ， 因 此 刪 掉 第 17題 。 將不要的試題刪掉後，每種類別的題目各剩下兩題，分別為題號 1、 3、 4、 5、 7、 8、 10、 12、 13、 14、 16、 18的 十 二 題 ， 依 不 同 類 別 分成「前測試題」和「後測試題」兩份試卷，每份試卷各六題。兩份 試 題 的 相 關 係 數 達 .98。 （五）正式測驗信度 最後正式測驗題本共兩份，每份六個題目。在後測施測之後分析試 題 的 信 度 ， 得 到 整 份 題 本 的 α 信 度 值 為 .8613。. 21.
(31) 二、課程意見表（見附件六） 為了了解實驗組的學生在數字樣式一般化教學實施之後對於使用虛擬 計 算 機 融 入 教 學 的 意 見，研 究 者 設 計 一 份「 課 程 意 見 表 」 ，意 見 表 的 題 目 分 為兩個部份，第一個部份為學生基本資料，第二個部份為相關問題，有四 題開放性問題： 1. 你 覺 得 教 師 使 用 這 個 數 學 軟 體 對 你 學 習『 數 字 樣 式 』這 個 主 題 有 幫 助 嗎 ？ 請說明。 2. 你 覺 得 操 作 這 個 數 學 軟 體 對 你 學 習『 數 字 樣 式 』這 個 主 題 有 幫 助 嗎 ？ 請 說 明。 3. 你 覺 得 這 個 軟 體 設 計 還 有 哪 些 可 以 改 善 的 地 方 ？ （操作說明、版面、內容、互動等方面） 4. 你 會 希 望 教 師 以 後 再 使 用 類 似 的 軟 體 輔 助 教 學 嗎 ？ 請 說 明 。. 本 問 卷 施 測 時 間 為 25分 鐘 ， 學 生 在 此 開 放 性 問 題 的 作 答 回 應 將 做 為 質 性研究分析的資料。 三、試驗性教學（見附件一） 1. 實 施 目 的 為了了解研究者設計之教學設計與自行開發設計的虛擬計算機是否 需要修訂，另外選擇一班學生進行試驗性教學。 2. 實 施 對 象 本研究為虛擬計算機輔助教學，教學中必須用到電腦教室，為配合 電腦教室的使用時間和研究者的時間，無法找到另外一班七年級進行試 驗性教學，只能以研究者自己任教的八年級學生為對象進行教學，全班 共 有 31人 。 3. 教 學 時 間 2006年 5月 15、16日 進 行 兩 節 課 的 計 算 機 輔 助 教 學。第 一 節 在 教 室 由 研究者使用虛擬計算機輔助教學，第二節到電腦教室由學生自行操作虛 擬計算機。 4. 教 學 結 果 發現教學活動流程太過緊湊，造成學生無法自己思考、消化吸收， 因此減少研究者上課講述例題，由三種模式各兩題例題減少為三種模式 各一題例題，將減少的題目增加到學生自行操作練習的例題，控制組的 活動也是一樣，將教師演示減少的題目增加到學生自行練習的例題。 22.
(32) 第四節 虛擬計算機軟體開發 一、虛擬計算機軟體開發目的 為了提供探索數字樣式一般化教學使用，引導學生尋找數字樣式的一 般 式，研 究 者 以 Flash MX 2004為 開 發 工 具，自 行 設 計 了 一 套 虛 擬 計 算 機 軟 體，以供數學教師在資訊科技融入教學及設計相關數學電子教材時可以參 考使用。 二、虛擬計算機軟體介面與使用說明 研究者所開發設計的虛擬計算機功能與說明如下。 （一）軟體介面與設計理念. 4. 答 案 區 1. 出 題 模 式 區. 2. 題 目 顯 現 區 3. 按 鍵 區. 圖 3-4-1 虛 擬 計 算 機 操 作 介 面 本虛擬計算機共分為四區： 1. 出 題 模 式 區 為 了 使 虛 擬 計 算 機 在 教 學 上 能 夠 更 彈 性 被 運 用，研 究 者 設 計 出「 自 動 出 題 」 和 「 手 動 出 題 」 兩 種 模 式 （ 如 圖 3-4-2） ：. (a). (b). 圖 3-4-2 自 動 出 題 (a)與 手 動 出 題 (b) 23.
(33) (1) 「 自 動 出 題 」 模 式 ： 軟 體 會 隨 機 選 取 研 究 者 事 先 設 計 好 的 數 字 樣 式，並 依 模 式 隨 機 出 題，每 次 出 題 時，樣 式 都 會 再 重 新 選 取 。 此模式適合教師課堂教學和學生自己學習使用。 (2) 「 手 動 出 題 」 模 式 ： 本 模 式 修 改 自 傳 統 計 算 機 的 「 自 動 記 憶 常 數運算功能」。軟體不會主動出題而是由使用者自行出題，使 用者必須先選擇好題目的數字樣式，再輸入題目的部份數字， 接下來就由軟體根據使用者選擇的樣式依序出現數字。此模式 因為要選擇樣式，因此必須配合鍵盤使用，適合教師課堂上教 學使用。 2. 題 目 顯 現 區 本虛擬計算機在「自動出題」模式下是以逐步出題的方式引導學 生 思 考 ， 進 而 探 索 數 字 樣 式 的 一 般 式 ， 如 圖 3-4-3所 示 。. (a). (b). (c). 圖 3-4-3 題 目 顯 示 區 (1) 第 一 步 希 望 學 生 能 先 經 過 觀 察 ， 尋 找 數 字 樣 式 的 規 律 並 輸 入 下 一 項 。 如 圖 3-4-3(a)。 (2) 為 引 導 學 生 逐 步 進 入 抽 象 思 維 ， 當 學 生 能 夠 正 確 輸 入 下 一 項 時 ， 希 望 學 生 能 夠 思 考 要 如 何 跳 到 第 十 項 。 如 圖 3-4-3(b)。 (3) 當 學 生 能 夠 正 確 寫 出 第 十 項 ， 接 著 馬 上 讓 學 生 依 經 驗 思 索 如 何 跳 到 第 n項 ， 進 而 得 到 數 字 樣 式 的 一 般 式 。 如 圖 3-4-3(c)。. 24.
(34) 3. 按 鍵 區 本區有數字鍵、運算符號鍵、說明鍵和其他按鍵。為了使本虛擬 計算機在不同的模式下都能夠使用，部分按鍵依需求做了調整，如圖 3-4-4所 示 。. (a). (b). 圖 3-4-4 自 動 出 題 模 式 (a)和 手 動 出 題 模 式 (b)的 按 鍵 區 (1) 數 字 鍵 ： 數 字 「 0」 到 「 9」 的 按 鍵 。 (2) 運 算 符 號 鍵 ： 即 「 ＋ 」 、 「 － 」 、 「 ×」 、 「 ÷」 按 鍵 ， 在 不 能 輸入運算符號時按這些按鍵軟體不會做任何反應。 (3) 說 明 鍵 ： 按 下 「 說 明 」 ， 會 出 現 簡 易 說 明 。 如 圖 3-4-5。. 圖 3-4-5 虛 擬 計 算 機 簡 易 說 明 (4) 其 他 按 鍵 ： 自 動 出 題 模 式 主 要 目 的 是 引 導 學 生 尋 找 出 數 字 樣 式 的 一 般 式，因 此 在 答 案 輸 入 的 部 份 就 會 需 要「 n」、「 n 2 」和「 ( ) □ 」 的按鍵。另外，由於此模式是軟體出題，最後的一般式的係數 有 可 能 會 出 現 分 數，不 過 只 有 分 母 為 2的 分 數（ 因 為 等 差 級 數 的 關 係 ），因 此 直 接 將「 .」改 為「 .5」，而「 =」在 此 模 式 並 不 會 用 到。在 手 動 出 題 模 式 下，必 須 按「 =」來 讓 軟 體 出 現 下 一 個 數 字 ， 「 n」 、 「 n 2 」 、 「 ) □ 」 和 「 .5」 則 不 會 被 用 到 。 25.
(35) 4. 答 案 區 本 區 又 分 為 「 答 案 顯 現 區 」 、 「 確 定 」 和 「 下 一 題 」 。 如 圖 3-4-6。 答案顯示區. 圖 3-4-6 答 案 區 (1)「 答 案 顯 現 區 」：為 學 生 輸 入 答 案 呈 現 的 地 方，必 須 能 夠 配 合 呈 現 學 生 輸 入 的 數 字 或 代 數 式 。 如 圖 3-4-7。. (a) 數 字. (b) 算 式. (c) 一 般 式. (d) 一 般 式. 圖 3-4-7 答 案 的 呈 現 (2)「 確 定 」 ： 檢 查 輸 入 的 答 案 是 否 正 確 。 (3)「 下 一 題 」 ： 軟 體 自 動 出 下 一 題 。 （二）使用說明 本虛擬計算機設定有六種數字樣式： (1) 等 差 數 列 (2) 等 比 數 列 (3) 二 階 數 列 (4) 多 邊 形 數 (5) 費 氏 數 列 (6) 質 數 本研究以等差數列、等比數列和二階數列等數字樣式為研究教學內 容，故說明以這三種數字樣式為例。 1. 自 動 出 題 模 式 (1) 軟 體 開 啟 後 ， 虛 擬 計 算 機 會 自 動 出 題（ 如 圖 3-4-3(a)），此 時 需 要由數字鍵輸入答案，然後按「確定」。 26.
(36) (2) 若 輸 入 為 正 確 答 案，虛 擬 計 算 機 會 出 現「 答 對 了 ！ 」表 示 正 確 ， 並 出 現 「 第 10個 數 ？ 」， 如 圖 3-4-3(b)所 示 。 若 輸 入 的 答 案 不 正 確 ， 則 虛 擬 計 算 機 會 立 刻 出 現 「 提 示 視 窗 」 （ 如 圖 3-4-8） 。 c 第 一 次 錯 誤 會 出 現 提 示 一。提 示 一 是 以 簡 單 的 動 畫 和 文 字 提 醒 學 生 觀 察 相 鄰 數 字 之 間 的 變 化。了 解 後 按「 繼 續 」再 次 回 答 。 如 圖 3-4-8(a)。. (a) 提 示 一. (b) 提 示 二. (c) 提 示 三 圖 3-4-8 探 索 規 律 的 提 示 視 窗 d 第 二 次 的 答 案 輸 入 如 果 還 是 不 正 確，則 虛 擬 計 算 機 會 出 現「 提 示 二 」的 提 示 視 窗。提 示 二 是 進 一 步 讓 學 生 知 道 觀 察 數 字 樣 式 時 可 以 利 用 加、減、乘、除 等 運 算 來 觀 察 相 鄰 數 字 之 間 的 關 係， 因 此 在 視 窗 中 比 提 示 一 的 視 窗 多 了 加、減、乘、除 的 四 個 按 鍵， 方 便 學 生 觀 察 使 用 。 如 圖 3-4-8(b)。 e 若 第 三 次 還 是 錯 誤，則 虛 擬 計 算 機 在 提 示 三 就 會 直 接 給 予 正 確 答案，但還是希望學生能夠思考一下數字樣式的規律，因此 加、減、乘、除 的 四 個 按 鍵 還 是 會 在 提 示 三 的 視 窗 出 現。如 圖 3-4-8(c)。 (3) 接 著 第 十 項 若 輸 入 為 正 確 答 案，虛 擬 計 算 機 會 出 現「 答 對 了 ！ 」 表 示 正 確，並 出 現「 第 n個 數 ？ 」，如 圖 3-4-3(c)所 示。若 輸 入 的 27.
(37) 答案不正確，則虛擬計算機會立刻出現「提示視窗」（如圖 3-4-9(a)） 。 按 下 視 窗 提 示 文 字 中 的 「 觀 察 」 ， 則 會 出 現 提 示 動 畫 引 導 學 生 觀 察 項 數 與 數 字 的 關 係 ， 如 圖 3-4-9(b)(c)(d)。. (a) 按 下 「 觀 察 」. (b) 等 差 數 列. (c) 等 比 數 列. (d) 二 階 數 列. 圖 3-4-9 第 十 項 的 提 示 視 窗. (a) 等 差 數 列. (b) 等 比 數 列. (c)二 階 數 列 提 示 一. (d)二 階 數 列 提 示 二. 圖 3-4-10 一 般 式 提 示 視 窗. 28.
(38) (4) 接 著 第 n項 的 一 般 式，若 輸 入 為 正 確 答 案，虛 擬 計 算 機 會 出 現「 答 對了！」表示正確，完成該數字樣式一般式的探索。若輸入的 答案不正確，則虛擬計算機會立刻出現「提示視窗」（如圖 3-4-10）。按 下 視 窗 提 示 文 字 中 的「 觀 察 」，則 會 出 現 提 示 動 畫 引 導 學 生 觀 察 項 數 與 數 字 的 關 係 ， 如 圖 3-4-10(a)(b)(c)(d)。 2. 手 動 出 題 模 式 (1) 進 入 手 動 模 式 後（ 如 圖 3-4-2(b)），使 用 者 必 須 從 鍵 盤 上 選 擇 數 字 樣 式 ， 鍵 盤 上 的 數 字 鍵 「 1」 到 「 5」 分 別 代 表 不 同 的 數 字 樣 式 。 如 表 3-4-1。 表 3-4-1 鍵 盤 的 數 字 鍵 與 數 字 樣 式 對 照 表 及 數 字 產 生 之 輸 入 數字鍵. 數字樣式. 數字產生之輸入. 「 1」. 等差數列. 「 首 項 」 → 「 ＋ 」 或 「 － 」 → 「 公 差 」 → 「 =」. 「 2」. 等比數列. 「 首 項 」 → 「 ×」 → 「 公 比 」 → 「 =」. 「 3」. 二階數列. 「 首 項 」 → 「 ＋ 」 → 「 前 兩 數 的 差 」 → 「 =」. 「 4」. 費氏數列. 「 首 項 」 → 「 ＋ 」 → 「 前 兩 數 的 差 」 → 「 =」. 「 5」. 質數. 「 =」. (2) 選 定 數 字 樣 式 之 後 ， 依 該 樣 式 所 需 要 輸 入 的 初 始 值 輸 入 ， 接 著 只 要 按 虛 擬 計 算 機 上 的 「 =」 鍵 ， 就 會 有 數 字 產 生 。 3. 說 明 虛 擬 計 算 機 操 作 中 按 「 說 明 」 ， 可 以 得 到 簡 易 說 明 。 如 圖 3-4-5。. 本虛擬計算機為本研究之教學實驗輔助工具，研究者已將教學活動之 例題及學習單的練習題事先做好設定以為方便教學活動進行，使用者在自 動 出 題 模 式 下 可 以 按 鍵 盤 上 的 「 A」 到 「 I」 得 到 特 定 的 題 目 。 如 表 3-4-2。 表 3-4-2 鍵 盤 的 字 母 鍵 與 例 題 對 照 表 字母鍵. 例題. 字母鍵. 例題. A. 例題1. F. 類題3. B. 類題1. G. 學習單1. C. 例題2. H. 學習單2. D. 類題2. I. 學習單3. E. 例題3. 29.
(39) 第五節 資料分析 在量的分析方面，待收集到前測、後測與延後測的測驗分數之後，本 研 究 使 用 軟 體 SPSS for Windows 10進 行 統 計 結 果 的 分 析，將 統 計 的 α 值（ 顯 著 水 準 ）設 定 為 .05。根 據 本 研 究 之 問 題 假 設，設 計 下 列 相 對 應 的 研 究 分 析 方法： 一、實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗後測和前測的得分差距上 沒有顯著差異。此問題假設要考驗兩組學生在前後測得分差距上的差 異，因此使用直接差異分數檢定法，以後測得分減掉前測得分所得的 分數差距來進行獨立樣本 T 檢定考驗。 二、實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗延後測和前測的得分差距 上沒有顯著差異。此問題假設要考驗兩組學生在兩週後得分差距上的 差異，因此使用直接差異分數檢定法，以延後測得分減掉前測得分所 得的分數差距來進行獨立樣本 T 檢定考驗。 在質性的研究分析方面，除了前測、後測與延後測的測驗外，輔以課 程意見表和研究者在教學時的教室觀察等資料加以分析，藉此了解學生對 於將虛擬計算機融入數學科教學與學習的看法為何。. 30.
(40) 第四章 結果與討論. 本章主要在分析討論數字樣式一般化教學實施後對於學生學習的影 響。本章共分三節，第一節主要在探討數字樣式一般化教學實施後對學生 學習數字樣式一般化的影響，第二節主要從研究者教學時的教室觀察、學 生測驗題本和課程意見表分析虛擬計算機對學生學習歷程的影響，最後的 部份為研究者本身在研究之後的反省所獲得的成長。. 第一節 教學實施後對學生學習數字樣式一般化的影響 本 研 究 在 教 學 實 施 前，依 前 測 得 分 結 果，以 Levene 檢 定 兩 組 變 異 數 的 同 質 性 ， 分 析 結 果 ， 兩 組 學 生 平 均 數 各 為 13.00（ 實 驗 組 ）與 12.77（ 控 制 組 ）， 變 異 數 同 質 性 檢 定 未 達 顯 著 差 異 （ F=.163， p=.688>.05）， 表 示 兩 組 在研究之前是具有同質性的。 以下依據本研究欲分析比較的問題逐題分析與討論研究結果。 一、研究假設：實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗後測和前測的 得分差距沒有顯著差異。 本研究假設使用直接差異分數檢定法，以後測得分減去前測得分所得 的 差 異 分 數 做 為 檢 定 變 數，以 獨 立 樣 本 T 檢 定 考 驗 不 同 組 別 在 數 字 樣 式 探 索 測 驗 後 測 得 分 是 否 有 顯 著 差 異 。 如 表 4-1-1 和 表 4-1-2 所 示 。 表 4-1-1 實 驗 組 與 控 制 組 前 後 測 分 數 統 計 量 組別. 個數. 前測平均. 前測標準差. 後測平均. 後測標準差. 實驗組. 33. 13.00. 2.95. 15.94. 4.66. 控制組. 26. 12.77. 3.08. 14.69. 5.21. 表 4-1-2 實 驗 組 與 控 制 組 前 後 測 差 異 分 數 T 檢 定 摘 要 表 平均數. 標準差. t值. p值. 實 驗 組 （ 後 測 -前 測 ）. 2.94. 4.55. .926. .358. 控 制 組 （ 後 測 -前 測 ）. 1.92. 3.65. 兩 組 學 生 前 測 和 後 測 得 分 的 差 異 分 數 平 均 各 為 2.94 和 1.92，實 驗 組 學 生 在 差 異 分 數 平 均 上 高 於 控 制 組 ， 此 一 獨 立 樣 本 檢 定 的 t 值 為 .926， 顯 著. 31.
(41) 性 為 .358， 並 未 達 顯 著 差 異 ， 顯 示 兩 組 學 生 在 教 學 模 組 之 後 馬 上 進 行 後 測 的進步程度是沒有顯著差異的，也就是說使用虛擬計算機輔助教學與傳統 教學可以達到同樣的效果。 二、研究假設：實驗組與控制組的學生在數字樣式探索測驗延後測和前測 的得分差距沒有顯著差異。 本研究假設使用直接差異分數檢定法，以延後測得分減去前測得分所 得 的 差 異 分 數 做 為 檢 定 變 數，以 獨 立 樣 本 T 檢 定 考 驗 不 同 組 別 在 數 字 樣 式 探 索 測 驗 延 後 測 得 分 是 否 有 顯 著 差 異 。 如 表 4-1-3 和 表 4-1-4 所 示 。 表 4-1-3 實 驗 組 與 控 制 組 前 測 、 延 後 測 統 計 量 延後測平均. 延後測標準. 組別. 個數. 前測平均. 前測標準差. 實驗組. 33. 13.00. 2.95. 15.24. 4.91. 控制組. 26. 12.77. 3.08. 11.92. 6.23. 差. 表 4-1-4 實 驗 組 與 控 制 組 前 測 、 延 後 測 差 異 分 數 檢 定 摘 要 表 平均數. 標準差. t值. p值. 實 驗 組 （ 延 後 測 -前 測 ）. 2.24. 4.68. 2.391. .02. 控 制 組 （ 延 後 測 -前 測 ）. -.85. 5.22. 兩 組 學 生 前 測 和 延 後 測 得 分 的 差 異 分 數 平 均 數 各 為 2.24 和 -.85， 實 驗 組 學 生 在 差 異 分 數 平 均 上 高 於 控 制 組，此 一 獨 立 樣 本 檢 定 的 t 值 為 2.391， 顯 著 性 為 .02（ <.05），達 顯 著 差 異，表 示 使 用 虛 擬 計 算 機 輔 助 教 學 可 以 有 較好的延宕效果，也就是說使用虛擬計算機輔助教學比傳統教學更可以讓 學生的學習記得更久。 本 節 主 要 在 考 驗 兩 組 學 生 在「 數 字 樣 式 一 般 化 課 程 」教 學 模 組 實 施 後， 對學生學習數字樣式一般化的影響，經研究發現，學生在虛擬計算機輔助 教學和傳統教學兩種教學之後表現出相似的效果，顯示使用研究者自行開 發設計的虛擬計算機可以達到和傳統教學一樣的進步效果，且在兩週之 後，實驗組的學生的表現明顯比控制組要好，表示使用虛擬計算機輔助教 學可以加深學生印象，使學生有較好的延宕效果。. 32.
(42) 第二節 學生學習歷程與意見分析 學習應以學生為主體，學生學習歷程的反應和學習意見應該受到重 視，因此本節研究者將透過研究過程中觀察及整理學生的課程意見表分析 探討使用虛擬計算機輔助教學對學生學習產生的影響。在教學研究實施 前，研究者與兩班導師交談藉以了解實驗組和控制組的學生對數學學習的 態度，作為往後教室觀察及分析的依據。為使研究方便記錄與描述，並保 護個人隱私，學生姓名均以化名呈現。 一、虛擬計算機輔助教學對學生數學學習態度的影響 （一）虛擬計算機帶給學生持續的新奇感 教學前，研究者調查知道實驗組有三分之一的學生在小學曾經上過 資 訊 融 入 教 學 的 課 程 ， 小 學 教 師 大 多 以 PowerPoint輔 助 教 學 ， 對 於 使 用 Flash軟 體 設 計 的 電 子 教 材 都 是 第 一 次，因 此 當 研 究 者 開 啟 虛 擬 計 算 機 進 行教學時，研究者觀察發現學生已經出現期待的眼神；在教學中，每當 研究者操作一個步驟，都會觀察到學生流露出驚訝和新奇的表情，有一 股想要自己動手試試看的衝動。在教學課程結束後的課程意見表中，學 生提到： 小. 慧：有許多是原本計算機中沒有的…. 小. 瑩 ： 找 出 規 率 的 速 度 比 較 快 ， 好 玩 又 能 學 習 。（「 率 」 為 小 瑩 寫 的 錯 別 字 ）. 小. 瑜：這樣的話，可以練習很多題目. 第二節課，研究者將實驗組帶到電腦教室讓學生自己動手操作，學 生都迫不及待的想自己動手操作。剛開始會先模仿教師的操作流程，接 著會嘗試用自己不同的想法練習解題，並不時提出問題： 小. 源：老師，怎麼讓老師出的題目出來啊？. 研 究 者 ： 按 鍵 盤 上 的 『 B』 鍵 就 會 出 現 類 題 一 了 。 …………………………………………………… 小. 芳：老師，我的動畫怎麼不會出來啊？. 研究者：你有沒有按題是面板的「觀察」啊？ 小. 芳：啊！出來了。. ……………………………………………………. 相較於控制組，開始實施教學時，學生對於不同的數學教師上不一 樣的單元感到非常好奇，這股好奇的動力讓學生在開始時非常認真學 33.
(43) 習 ， 研 究 者 觀 察 學 生 表 情 發 現 ， 其 餘 同 學 在 30分 鐘 之 後 ， 好 奇 的 動 力 就 消失不見，只是平常心的在聽課，偶而會有同學提問，跟老師互動。 經研究者的觀察發現，實驗組的學生一直處於充滿期待的狀態，而 控制組的學生在新奇感消失之後，學習的動機隨即減弱。「好奇」是本 研究學生學習數學的主要動力，除了來自「不同的數學教師上不一樣的 單元」的新鮮感外，虛擬計算機在探索數字樣式的過程中會利用動畫或 問句提示下一步，讓學生在學習過程中有種期待，使學生能夠一直維持 學生學習數學的興趣。 （二）虛擬計算機營造學生輕鬆的學習氣氛 教學中，經研究者觀察發現實驗組的學生比控制組的學生積極學 習，實驗組的學生上課時對於教師提問的問題會主動、大聲回答，對探 索過程中所遇到的問題也會主動與教師討論，也會提出一些自己的想法 和教師、同學一起討論。在教學活動之後，課程意見表中問到學生是否 希 望 教 師 再 使 用 軟 體 輔 助 教 學 ， 在 收 回 的 課 程 意 見 表 32份 中 ， 有 25位 同 學的意見是希望能再使用軟體輔助教學，部分學生回應如下： 阿. 豪：希望，用軟體教學老師和學生的互動變多。. 小. 瑩：用軟體比較有趣。. 小. 莉：是的。這樣的數學課才不會太無聊。. 阿. 仁：希望，可以讓我們更快樂學習。. 在教學過程中，學生積極參與討論，顯示學生在這樣的上課環境能 夠沒有壓力、輕鬆的學習，因此有些同學在課程意見表中提到「這樣的 數學課才不會太無聊」、「可以讓我們更快樂學習」。使用虛擬計算機 進行教學，讓學生覺得數學和軟體都是有趣的，教師和學生互動變多， 教室內參與討論的學生增加，學生沒有壓力，便能營造出輕鬆的學習環 境，達到好的學習效果。 （三）虛擬計算機增強學生解題的自信心 依據研究者的教室觀察及分析課程意見表的資料發現，學生在自己 操作過虛擬計算機之後，對於自己的解題及想法有正向的回應： 小. 芳：比較容易就把數字算出來，遇到不會的題目，只要一看就會了。. 小. 莉：之前我對這種東西都搞不清楚，想了半天還是想不出來，可是用了以 後就好多了。. 小. 容：我現在比較有數字排列的概念。 34.
(44) 阿. 倫：因為有了軟體就可以不用一個一個算，自行操作時會比較知道錯在哪 裡。. 小. 詩：現在比較會算了，也進一步的了解數字樣式該如何解。. 阿. 浩：使用虛擬計算機讓我增進一些數學能力。. 小. 貞：不斷練習，可較熟練，有助學習。. 讓學生自己動手練習，的確增加學生對數字樣式探索的信心。研究 者從學生測驗中觀察及測驗題本的作答過程發現，兩班在前測時，測驗 時 間 過 了 十 五 分 鐘 後，教 室 裡 發 呆、沉 思、轉 筆 和 東 張 西 望 的 學 生 變 多 ， 面對第一次遇見的數字樣式，學生頂多只是思考，都不願意去「試試 看」，即使研究者告訴學生「盡量寫，不一定要完整的句子，用算式或 畫圖表示也可以」，但學生還是不敢下筆去寫。到後測時，實驗組的學 生對於他們可以輕易觀察到規律的數字樣式大都能夠輕鬆的將他們的 規律寫出來，而且會試著將思考的過程用式子寫出來，對於不能輕易觀 察到規律的數字樣式，也會試著自己去探尋；相較於控制組的學生在面 對不能輕易觀察到規律的數字樣式時，表現的結果與前測的表現沒有太 大的不同。這似乎表示使用虛擬計算機教學能讓學生更了解數字樣式一 般化的探索過程，經過自己操作練習，面對數字樣式一般化時會更有自 信能夠完成解題。 （四）虛擬計算機促使學生願意主動學習 研究者在電腦教室觀察發現，開始時，學生非常專心地操作虛擬計 算機，努力將研究者安排的數字樣式探索問題一一解決，當學生完成研 究者安排的練習之後，學生會主動向研究者要求再作多一點的練習： 小. 莉：老師，我做完了，有沒有別的題目？. 研究者：你試著按『下一題』，就會出現新的題目了。 小. 莉：真的有耶！. 小. 貞：真的好多題目哦！（小貞一直按「下一題」）. 研究者在課程意見表的資料中發現，學生在自行操作過虛擬計算機 之後，會希望能再多做一些練習，甚至回家後還能夠練習，例如有些學 生提到： 小. 貞：不斷練習，可較熟練，有助學習。. 阿. 元：題目很多，讓我了解許多數字的規律。. 阿. 聖 ： 如 果 我 不 會 的 題 目 他 會 提 示 我 。（「 他 」 是 指 虛 擬 計 算 機 ） 35.
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