1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1/16 3-1 一、單一選擇題 1.( ) 已知多項式 f（x）＝3x4－5x3＋2x2＋7x＋1，則 2 ） ） （ （f x 的次數為？ (Ａ) 2 (Ｂ) 4 (Ｃ) 6 (Ｄ) 8 (Ｅ) 10。 答案：(Ｄ) 解析： 2 4 3 2 2 1 7 2 5 3 － ＋ ＋ ＋） ＝（ ） ） （ （f x x x x x 最高次項為 8 9x 故選(Ｄ) 2.( ) 下列何者是多項式 f（x）＝2x4＋3x3－2x2－x－2的因式？ (Ａ) x＋1 (Ｂ) x＋2 (Ｃ) x＋5 (Ｄ) x－3。 答案：(Ｂ) 解析：由因式定理可知若 x－a 為 f（x）的因式，則 f（a）＝0 (Ａ)╳： f（－1）＝2－3－2＋1－2＝－40 (Ｂ)○：f（－2） 2 2 2 2 2 3 2 2（－）4＋（－）3－（－）2－（－）－ ＝ 0 2 2 8 24 32－ －＋－＝ ＝ (Ｃ)╳： 2 ＋ 3 － 2 － 1 － 2 －5 －10 ＋35 －165 ＋830 2 － 7 ＋33 －166 ＋828 (Ｄ)╳： 2 ＋3 － 2 － 1 － 2 3 ＋6 ＋27 ＋75 ＋222 2 ＋9 ＋25 ＋74 ＋220 故選(Ｂ) 二、填充題 1. 設3（x－1）3＋4（x－1）2＋2＝a（x－1）（x－2）（x＋1）＋b（x－1）（x－2）＋c（x－2）＋d，試求 序組（a，b，c，d）＝【 】。 答案：（3，1，7，9） 解析：令 x＝2d＝3＋4＋2＝9 令 x＝1－c＋d＝2c＝7 令 x＝－16b－3c＋d＝－6b＝1 令 x＝02a＋2b－2c＋d＝3a＝3 故序組（a，b，c，d）＝（3，1，7，9）
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2/16 2.若多項式 g（x）除以 3x－1 的餘式為 2，f（x）除以 g（x）的商式為 3x－1，餘式為 3， 試問 f（x）除以 2 1 3 －） （ x 的餘式為【 】。 答案：6x＋1 解析：g（x）除以 3x－1 的餘式為 2設 g（x）＝（3x－1）Q（x）＋2 f（x）除以 g（x）的商式為 3x－1，餘式為 3f（x）＝g（x）（3x－1）＋3 故 f（x）＝g（x）（3x－1）＋3 ＝〔（3x－1）Q（x）＋2〕（3x－1）＋3 ＝（3x－1）2Q（x）＋2（3x－1）＋3 ＝（3x－1）2Q（x）＋6x＋1 故餘式為 6x＋1 3. 設 a，b 為實數且x4＋ax3－3x2＋bx－2可被x2＋x－1整除，則數對（a，b）＝【 】。 答案：（－3，6） 解析： 2 2 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 x a x x x x a x x b x x x x a x x b x a x a x a x a x b a x x x ＋（ －） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － （ －） － ＋ （ －） ＋（ －） － （ －） （－ －） ＋（ ＋ －） － ＋ －
－a－3＝0 且 b＋a－3＝0a＝－3，b＝6
故數對（a，b）＝（－3，6） 4. 設多項式 f（x）除以x2＋ x5 －6，餘式為 2x－1；除以x2－x－6，餘式為 x＋4， 則多項式 f（x）除以x2＋x－2的餘式為【 】。 答案： 3 4 3 1 ＋ － x 解析：∵ 2＋5 －6＝（ ＋6）（ －1） x x x x ， 2－ －6＝（ －3）（ ＋2） x x x x ∴f（1）＝2×1－1＝1，f（－2）＝（－2）＋4＝2 設 f（x）除以x2＋x－2的餘式為 ax＋b 即 f（x）＝（x2＋x－2）q（x）＋ax＋b ∵x2＋x－2＝（x＋2）（x－1） ∴a＋b＝1，－2a＋b＝2 解得 3 1 ＝－ a ， 3 4 ＝ b 故餘式為 3 4 3 1 ＋ － x 5. 多項式（1＋2x＋3x2＋＋9x8＋10x9）2展開後 4 x 項係數為【 】。【嘉義高中】 答案：35 解析： 2 8 9 2 10 9 3 2 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） （ x x x x ＝（＋ ＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ 9） 10 5 4 3 2 1 x x x x x ×（1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋＋10x9） 4 x 項係數為 1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P3/16 6. 設多項式 f（x）除以 x－1 所得的餘式為 6，f（x）除以 x－2 所得的餘式為 4， 則 f（x）除以（x－1）（x－2）所得的餘式為【 】。 答案：－2x＋8 解析：設 f（x）＝（x－1）（x－2）Q（x）＋（ax＋b） ∵f（1）＝6 ∴a＋b＝6 ………① 又 f（2）＝4 ∴2a＋b＝4………② 由②－①得 a＝－2，b＝8 故 f（x）除以（x－1）（x－2）所得的餘式為－2x＋8 7.設 f（x）與 g（x）為實係數多項式，以x2－ x3 ＋2除 f（x）得餘式 3x－4，以 x－1 除 g（x） 得餘式 5，則以 x－1 除 f（x）＋g（x）的餘式為【 】。 答案：4 解析：設 f（x）＝（x2－3x＋2）q（x）＋3x－4f（1）＝0．q（1）＋3－4＝－1 又 g（1）＝5 故 x－1 除 f（x）＋g（x）的餘式為 f（1）＋g（1）＝4 三、計算題 1. 若多項式 f（x）＝3x2＋2且g（x）＝2x2－3x＋1，試將下列各式以降冪排列表示： (１) f（x）＋2g（x）。 (２) f（x）g（x）。 (３)x2f（x）－g（x）。 答案：(１)7x2－ x6 ＋4；(２)6x4－9x3＋7x2－6x＋2；(３) 3x4＋ x3 －1 解析：(１) f（x）＋2g（x）＝（3x2＋2）＋（4x2－6x＋2） ＝7x2－ x6 ＋4 (２) f（x）g（x）＝3x2（2x2－3x＋1）＋2（2x2－3x＋1） ＝6x4－9x3＋3x2＋4x2－6x＋2 ＝6x4－9x3＋7x2－6x＋2 (３)x2f（x）－g（x）＝（ ＋ ）－（ － ＋） 1 3 2 2 3 4 2 2 x x x x ＝3x4＋ x3 －1 2. (１)試求多項式 f（x）＝x10－4x8＋3x2＋1除以 x－2 的餘式。 (２)試求 134－172．132＋40．13－13 的值。 答案：(１) 13；(２) 0 解析：(１)由餘式定理知，f（x）除以 x－2 的餘式為 f（2）＝210－428＋322＋1＝13 (２)設 f（x）＝x4－172x2＋40x－13 由餘式定理知，f（13）等於 f（x）除以 x－13 的餘式 利用綜合除法得 f（x）除以 x－13 如下 1 ＋ 0 －172 ＋40 －13 13 ＋13 ＋169 －39 ＋13 1 ＋13 － 3 ＋ 1 ＋ 0 計算得 f（x）除以 x－13 的餘式為 0 所求為 f（13）＝0
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4/16 3. 設多項式 f（x）除以多項式 x＋2 的商式為 q（x），餘式為 5，試求： (１) f（x）除以 3x＋6 的商式和餘式。 (２) 2f（x）除以 x＋2 的商式和餘式。 (３) xf（x）除以 x＋2 的餘式。 答案：(１)商式為 q（x） 3 1 ，餘式為 5；(２)商式為 2q（x），餘式為 10；(３)餘式為－10 解析：由除法原理，f（x）＝（x＋2）q（x）＋5………（＊） (１)將（＊）式改寫成 5 3 1 2 3（ ＋） （ ）＋ ）＝ （ x q x x f 故 f（x）除以 3x＋6 的商式為 q（x） 3 1 ，餘式為 5 (２)將（＊）式左右同乘 2，得 2f（x）＝2（x＋2）q（x）＋2．5＝（x＋2）（2q（x））＋10 故 2f（x）除以 x＋2 的商式為 2q（x），餘式為 10 (３)將（＊）式左右同乘 x，得 xf（x）＝x．（x＋2）q（x）＋5x ＝x（x＋2）q（x）＋5（x＋2）－10 ＝（x＋2）〔xq（x）＋5〕－10 故 xf（x）除以 x＋2 的餘式為－10 4. 若多項式 f（x）＝2x3－5x2＋x－4＝a（x－2）3＋b（x－2）2＋c（x－2）＋d，其中 a，b，c，d 是常數，試求： (１) a，b，c，d 的值。 (２)計算 f（1.99）的近似值。（四捨五入至小數點後第二位） 解： 答案：（１）a＝2，b＝7，c＝5，d＝－6；(２)－6.05 解析：(１)利用綜合除法 2 －5 ＋1 －4 2 ＋4 －2 －2 2 －1 －1 －6 ………d＝－6 ＋4 ＋6 2 ＋3 ＋5 ………c＝5 ＋4 2 ＋7 ………b＝7 ………a＝2 得 a＝2，b＝7，c＝5，d＝－6 (２)將 x＝1.99 代入 f（x）＝2（x－2）3＋7（x－2）2＋5（x－2）－6 得 f（1.99）＝2（－0.01）3＋7（－0.01）2＋5（－0.01）－6 5（－0.01）－6＝－6.05
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5/16 5.設多項式 f（x）除以 x＋2 的餘式為 1，除以 x－2 的餘式為 2，試求多項式 f（x）除以x2－4的 餘式。 答案： 2 3 4 1 ＋ x 解析：設f（x）＝（x2－4）q（x）＋ax＋b，即 f（x）＝（x＋2）（x－2）q（x）＋ax＋b 因為 f（x）除以 x＋2 的餘式為 1，除以 x－2 的餘式為 2 由餘式定理得 2 2 2 1 2 2 ＝ ＋ ）＝ （ ＝ ＋ ）＝－ （－ b a f b a f ，解得 4 1 ＝ a ， 2 3 ＝ b 所以 2 3 4 1 4 2－） （ ）＋ ＋ ）＝（ （x x q x x f 即 f（x）除以x2－4的餘式為 2 3 4 1 ＋ x 6. 某人宣稱有一個二次多項式 f（x），只要輸入樂透遊戲的期號即可預知得獎號碼。試了前三期 都很準，分別是 f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝6，試找出此多項式。 解： 答案：2x2－ x5 ＋3 解析：因為 f（1）＝0，由因式定理可知 x－1 為 f（x）的因式， 故可設 f（x）＝（x－1）（ax＋b） 由 6 3 1 2 ）＝ （ ）＝ （ f f ，可得 6 3 1 3 1 2 1 2 ）＝ ＋ （ ） － （ ）＝ ＋ （ ） － （ b a b a ， 即 3 3 1 2 ＝ ＋ ＝ ＋ b a b a ，解得 a＝2，b＝－3 故 f（x）＝（x－1）（2x－3）＝2x2－5x＋3 7. 若三次多項式 f（x）滿足 f（1）＝f（3）＝0，f（2）＝1，f（4）＝4，試求 f（6）。 答案：55 解析：∵f（1）＝f（3）＝0，由因式定理知 f（x）有因式（x－1）（x－3） 又 f（x）是三次多項式，故可令 f（x）＝（x－1）（x－3）（ax＋b） 由題目條件可知 f（2）＝1，f（4）＝4，得 4 4 1 3 4 1 2 1 1 2 ）＝ ＋ （ ）＝ （ ）＝ ＋ （ ） （－ ）＝ （ b a f b a f ，即 4 3 12 1 2 ＝ ＋ ＝－ ＋ b a b a 解得 6 7 ＝ a ， 3 10 ＝－ b 所以 3 10 6 7 3 1）（ －） － － ）＝（ （x x x x f 故 55 3 11 3 5 6）＝ ＝ （ f
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6/16 3-2 一、單一選擇題 1.( ) 下列各圖形何者可為一次函數 f（x）＝ax＋b（其中 a≠0）的圖形？ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 答案：(Ｃ) 解析：一次函數 f（x）＝ax＋b（其中 a≠0）的圖形為一斜直線 故選(Ｃ) 2. ( ) 若二次函數y＝ax2＋bx＋c，滿足 a＞0，b＜0，c＜0， 0 4 2－ ac＞ b ，試找出其圖形為下 列何者？(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 答案：(Ｂ) 解析：a＞0，故開口向上，則(Ａ)、(Ｄ)不合 判別式D＝b2－4ac＞0，故與 x 軸有兩（相異）交點，則(Ｃ)不合 故選(Ｂ) 二、填充題 1.已知線型函數 f（x）＝ax＋b，每當 x 增加 2 單位時，其相對應的函數值減少 6 單位， 而二次函數g（x）＝x2＋ax＋b 與 x 軸交於 A，B 兩點，且AB＝5，則 b＝【 】。 答案：－4 解析：x 增加 2，對應值減少 6，故 3 2 6 ＝－ － ＝ a 0 3 2 ＝ ＋ － ）＝ （x x x b g 2 4 9 3 b x＝ － 9 4 5 2 4 9 3 2 4 9 3 ＝ － ＝ － － － － ＋ b b b b＝－4 2. 若二次函數 f（x）＝kx2＋8x－5的圖形恆在直線 y＝2x＋4 的下方，試求實數 k 的範圍為 【 】。 答案：k＜－1 解析：由題意知kx2＋8x－5＜2x＋4對所有實數 x 恆成立 即得kx2＋ x6 －9＜0恆成立 故 k＜0，且判別式D＝62－4．k．（－9）＜0，得 0 1 0 ＜ ＋ ＜ k k 因此 k＜－1
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7/16 3. 坐標平面上，點 P 關於 x 軸的對稱點為點 Q，點 Q 關於原點的對稱點為點 R，若點 R 關於
直線 x－y＝0 的對稱點坐標為（1，3），則點 P 的坐標為【 】。
答案：（－3，1）
解析：設點 P 的坐標為（a，b），則點 Q 的坐標為（a，－b），點 R 的坐標為（－a，b）
點 R 關於直線 x－y＝0 的對稱點為（b，－a）＝（1，3）a＝－3，b＝1
故點 P 的坐標為（－3，1） 4. 若ax2＋4x＋a的值恆為負，則實數 a 的範圍為【 】。 答案：a＜－2 解析：ax2＋4x＋a的值恆為負 ax2＋4x＋a＜0恆成立 ∴ 0 0 判別式＜ ＜ a 0 4 4 0 2 ＜ － ＜ a a a 0 4 0 2 ＜ － ＜ a a 4 0 2 ＞ ＜ a a 2 2 0 ＜－ 或 ＞ ＜ a a a 故 a＜－2 5. 已知二次函數在 x＝3 時有最大值 5，且圖形經過（0，－13），則此函數為【 】。 答案： f（x）＝－2x2＋12x－13 解析：二次函數在 x＝3 時有最大值 5即頂點（3，5）且開口向下 設 f（x）＝a（x－3）2＋5，又 f（x）過（0，－13） ∴f（0）＝9a＋5＝－13a＝－2 故 f（x）＝－2（x－3）2＋5＝－2x2＋12x－13 6. 過三點（1，1），（0，2），（2，4）之二次函數為【 】。 答案：y＝2x2－3x＋2 解析：設此二次函數為y＝ax2＋bx＋c 過點（1，1）a＋b＋c＝1………① 過點（0，2）c＝2………② 過點（2，4）4a＋2b＋c＝4………③ 將②代入①、③得 1 2 1 ＝ ＋ － ＝ ＋ b a b a 3 2 ＝－ ＝ b a 故此二次函數為y＝2x2－3x＋2 7. 若二次函數 （ ）＝（ ＋1） 2－（2 ＋1） ＋（ ＋2） a x a x a x h 的函數值恆為正數，則 a 值的範圍為 【 】。 答案： 8 7 ＞－ a 解析：∵二次函數的值恆為正數 ∴二次函數圖形的開口朝上且與 x 軸不相交 因此首項係數大於 0 且判別式小於 0 即 1 2 0 4 1 2 0 1 2 ）＜ ＋ （ ） ＋ （ － ） ＋ （ ＞ ＋ a a a a ，化簡得 0 7 8 1 ＜ － － ＞－ a a 故 8 7 ＞－ a
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8/16 三、計算題 1. (１)已知一次函數 f（x）＝2x－1。 ①試求 f（－1），f（0），f（1），f（2）之值。 ②在坐標平面上描繪此函數圖形。 (２)一次函數圖形如圖，已知直線L1：y＝a1x＋b1，L2：y＝a2x＋b2。 ①試判斷 a1，a2 的正負。 ②試判斷 b1，b2 的正負。 答案：(１)① f（－1）＝－3，f（0）＝－1，f（1）＝1，f（2）＝3；②圖略； (２)① a1＜0，a2＞0；② b1＜0，b2＞0 解析：(１)① f（－1）＝－3，f（0）＝－1，f（1）＝1，f（2）＝3 ②由①得下表 x －1 0 1 2 f（x） －3 －1 1 3 直接描點得圖形如圖 (２)① L1 為左上右下傾斜的直線，故 a1＜0 L2 為右上左下傾斜的直線，故 a2＞0 ② L1 與 y 軸交於（0，b1），故 b1＜0 L2 與 y 軸交於（0，b2），故 b2＞0 2. 已知 f（x）＝x2－3x＋2，試求下列各小題。 (１) f（0）。 (２) f（1）。 (３) f（t）。 (４) f（2x）。 (５) f（x＋1）。 答案：(１) 2；(２) 0；(３)t2－ t3＋2；(４)4x2－ x6 ＋2；(５)x －2 x 解析：(１) （0）＝02－3．0＋2＝2 f (２) f（1）＝12－3．1＋2＝0 (３) f（t）＝t2－3t＋2 (４) f（2x）＝（2x）2－3．（2x）＋2＝4x2－6x＋2 (５) （ ＋1）＝（ ＋1）2－3．（ ＋1）＋2 x x x f ＝x －2 x
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9/16 3. 已知 f（x）為一次函數且 x 每增加 1，相對應的 f（x）值就增加 2，又已知 f（0）＝3： (１)試求 f（1）。 (２)試畫出此一次函數的圖形。 (３)試求此一次函數。 答案：(１) 5；(２)略；(３) f（x）＝2x＋3 解析：(１) f（1）＝f（0）＋2＝3＋2＝5 (２) x 0 1 2 3 4 f（x） 3 5 7 9 11 其圖形如圖 (３)令 f（x）＝ax＋b，由 f（0）＝3，f（1）＝5， 可得 5 3 ＝ ＋ ＝ b a b ，故 3 2 ＝ ＝ b a 即 f（x）＝2x＋3 4. 如圖為兩條直線 y＝2x＋3 與 y＝－x＋3 的圖形， 且 P 點坐標為（2，k），試求 k 的值。 答案：1 解析：由直線的傾斜方向知 P 點在直線 y＝－x＋3 上 將 P 點代入，得 k＝－2＋3＝1 5. 試求下列二次函數的最大值和最小值： (１) f（x）＝x2＋x＋4，1x3。 (２)g（x）＝－x2＋2x－4，x－2。 答案：(１)最大值為 16，最小值為 6；(２)最大值為－3，最小值不存在 解析：(１) 4 1 4 2 1 2 － ＋ ＋ ）＝ （ x x f ＝ 4 15 2 1 2 ＋ ＋ x 由圖可知 最小值為 f（1）＝1＋1＋4＝6 最大值為 f（3）＝9＋3＋4＝16 (２)g（x）＝－（x2－2x）－4＝－（x－1）2－4＋1 ＝－（x－1）2－3 由圖可知 最大值為 g（1）＝－1＋2－4＝－3 g（x）最小值不存在
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10/16 6.若二次函數g（x）＝－x2－3x＋k的函數值有正也有負，試求 k 的範圍。 答案： 4 9 ＞－ k 解析：由二次函數圖形的分類可知 當 g（x）的函數值有正也有負，此時判別式b2－ ac4 ＞0 即（－3）2－4（－1）k＞0，化簡得 9＋4k＞0 故 4 9 ＞－ k 7.將y＝－3（x－1）2＋2的圖形水平左移 h 單位，再鉛直上移 3 單位後，得到y＝－（x＋）2＋k 3 3 的 圖形，試求 h 與 k 的值。 答案：h＝4，k＝5 解析：僅觀察頂點的坐標改變， 將原二次函數圖形的頂點（1，2）水平左移 h 單位，再鉛直上移 3 單位後 得到的新二次函數圖形的頂點為（1－h，5） 依題目的條件知，（1－h，5）與（－3，k）會重合 故 h＝4，k＝5 8.根據記載：從地面向上升高，在海拔 11 公里以下的高度，每升高 1 公里，氣溫降低 6 ℃；在海 拔 11 公里以上的高度，氣溫幾乎不變。假設地面溫度為 20 ℃，上空 x 公里處的大氣溫度是 y ℃，那麼 y 可以表示成 x 的函數為 y＝f（x）。試寫出 0x11 時，y＝f（x）的關係式。 答案：f（x）＝20－6x，0x11 解析：由題意知 x＝0 時，f（0）＝20 每上升 1 公里降低 6 ℃，故上升 x 公里（0x11），溫度降 6x ℃ 得 f（x）＝20－6x，0x11 9.已知 y＝f（x）為二次函數， (１)若其圖形以（2，3）為頂點，且過點（3，1），試求 f（x）。 (２)若其圖形與 x 軸交於（－1，0），（3，0），且其頂點的 y 坐標為 4，試求 f（x）。 解： 答案：(１) （ ）＝－2 2＋8 －5 x x x f ；(２) （ ）＝－ 2＋2 ＋3 x x x f 解析：(１)因為頂點在（2，3），可令 f（x）＝a（x－2）2＋3 代入（3，1）得 1＝f（3）＝a（3－2）2＋3 化簡為 a＋3＝1，得 a＝－2 故 f（x）＝－2（x－2）2＋3＝－2x2＋8x－5 (２)因為圖形通過（－1，0），（3，0） 故 f（－1）＝0，f（3）＝0 可令 f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝a（x2－2x－3） ＝ （（ －1）2－4） x a ＝a（x－1）2－4a 故頂點的 y 坐標為－4a＝4，得 a＝－1 故 f（x）＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋2x＋3
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/16 10. 若二次函數 f（x）的圖形通過（1，－2），（－2，4）兩點，且 f（－2）＝f（4）， 試求函數 f（x）。 答案： 3 4 3 4 3 2 2 － － ）＝ （x x x f 解析：∵f（－2）＝f（4） ∴f（x）的對稱軸為 1 2 4 2 ＝ ）＋ （－ ＝ x （1，－2）為 f（x）圖形的頂點 設 （ ）＝ （ －1）2－2 x a x f 將（－2，4）代入，得 9a－2＝4，解得 3 2 ＝ a 故 f（x）＝ 1 2 3 2（x－）2－ ＝ 3 4 3 4 3 2 2－ x－ x 3-3 一、單一選擇題 1.( ) 下列四個圖形中哪一個選項為y＝－x3＋2x的圖形。 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 答案：(Ｄ) 解析：因為y＝－x3＋2x的 3 x 項係數小於 0，所以圖形的最右方會下降到負無限大 x x y＝－ 3＋2 的 x 項係數大於 0，則圖形在 x＝0 附近時的走向應該要往右增高，故選(Ｄ) 2. ( ) 設 f（x）＝－2（x－1）（x－2）2，則 y＝f（x）的圖形概貌為下列何者？ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) (Ｅ) 答案：(Ｃ) 解析： 2 2 1 2（ －）（ －） ）＝－ （x x x f 曲線為左上右下的圖形，又在 x＝2 時有重根 故選(Ｃ)
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12/16 二、填充題 1. 若 x－3＜2x＋a 的解為 x＞－2，則 a 的值為【 】。 答案：－1 解析：移項化簡得 －3－a＜2x－x，即 x＞－3－a －3－a＝－2 故 a＝－1 2.設 f（x）為三次實係數多項式其部分圖形如圖，則： (１) f（x）＝【 】。 (２) f（－6）＝【 】。 答案：(１)－ （ ＋2）（ －1）（ －4） 8 3 x x x ；(２) 105 解析：(１)∵y＝f（x）之圖形通過（－2，0）、（1，0）與（4，0）三點 ∴令 f（x）＝a（x＋2）（x－1）（x－4），又過點（2，3） ∴3＝a×4×1×（－2） 8 3 ＝－ a f（x）＝－ （ ＋2）（ －1）（ －4） 8 3 x x x (２) f（－6）＝－ （－4）（－7）（－10） 8 3 ＝105 3.設y f x
的圖形如圖，則 (1) f x
0的解為____________。 (2) f x
0的解為____________。 (3) y f x
3
的圖形與 x 軸有____________個交點。 答案： (1)x 3，1，2，4 (2)x 3或 1 x 2或x4 (3)4 解析： (1) f x
0有四個根 x 3，1，2，4。 (2) f x
0的解為x 3或 1 x 2或x4。 (3) y f x
3
表示將y f x
的圖形向右平移 3 單位，交點數不變，即 4 個。 4.解不等式
x1
11 x1
10 x3
0，得 x 範圍為____________。 答案： x3或x 1或x1 解析： 因為
10 1 x 恆大於或等於 0 且
11 1 x 可降為一次式， 所以原不等式可改寫成
x1
x 3
0或x1， 故x3或x 1或x1。 y=f(x) x y O (-3,0) (-1,0) (,0) (,0)1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13/16 三、計算題 1. 考慮函數y＝2x2－x－5，試求： (１)此函數在 x＝1 附近的一次近似。 (２)此函數在 x＝1.02 的近似值。（四捨五入至小數點後第二位） 答案：(１) y＝3（x－1）－4；(２)－3.94 解析：(１)連續利用綜合除法將y＝2x2－x－5表示成y＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c 2 －1 －5 1 ＋2 ＋1 2 ＋1 －4 ＋2 2 ＋3 因此y＝2（x－1）2＋3（x－1）－4，則y＝2x2－x－5在 x＝1 附近的一次近似為 y＝3（x－1）－4 (２)將 x＝1.02 代入 x－1 可得 x－1＝0.02，所以y＝2x2－x－5在 x＝1.02 的近似值，可用此函 數在 x＝1 附近的一次近似求出，故此函數在 x＝1.02 的近似值為 3×0.02－4＝－3.94 2. 試解下列各一元二次不等式： (１)－2x2＋5x－20。 (２)6x2＋ x29 －22＞0。 (３)（1－x）（3x＋4）0。 (４)－x2－x＋5＞0。 答案：(１) 2 2 1 x ；(２) 2 11 3 2 ＜－ 或 ＞ x x ；(３) 3 4 1或 － x x ；(４) 2 21 1 2 21 1 － ＋ ＜ ＜ － － x 解析：(１)－2x2＋5x－20 2x2－ x5 ＋20 （2x－1）（x－2）0 2 2 1 x (２)6x2＋ x29 －22＞0（3x－2）（2x＋11）＞0 2 11 3 2 ＜－ 或 ＞ x x (３)（1－x）（3x＋4）0（x－1）（3x＋4）0 3 4 1或 － x x (４)－ 2－ ＋5＞0 x x 2＋x－5＜0 x 令x2＋x－5＝0得兩根為 2 21 1 － ＝ x 故－x2－x＋5＞0之解為 2 21 1 2 21 1 －＋ ＜ ＜ － － x
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/16 3.試解下列各一元二次不等式： (１) 3x（x－1）＋5＜2x－3。 (２)x2－8＜5x2＋20x＋20。 (３) 2－ x2 ＋3＜0 x 。 (４)－2x2＋3x－8＜0。 答案：(１)無實數解；(２)所有實數；(３)無實數解；(４)所有實數 解析：(１) 3x（x－1）＋5＜2x－33x2－ x5 ＋8＜0 ∵D＝25－96＜0， 0 12 71 6 5 3 8 5 3 2 2 ＞ ＋ － ＝ ＋ － x x x ∴x 無實數解 (２)x2－8＜5x2＋20x＋20 x2＋ x5 ＋7＞0 ∵D＝25－28＜0， 0 4 3 2 5 7 5 2 2 ＞ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ x x x ∴其解為所有實數 (３)∵D＝4－12＜0，x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0 但題目x2－ x2 ＋3＜0 ∴x 無實數解 (４)－2x2＋3x－8＜02x2－ x3 ＋8＞0 ∵D＝9－64＜0， 0 8 55 4 3 2 8 3 2 2 2 ＞ ＋ － ＝ ＋ － x x x ∴其解為所有實數 4.(１)試解不等式（ －1）（ －4）（ ＋3）3＜0 x x x 。 (２)試解不等式（x＋1）2（x＋2）（x2＋x＋3）＞0。 答案：(１)x＜－3或1＜x＜4，亦可記為（－，－3 ） （1，4）；(２)x＞－2，x－1， 亦可記為（－2，－1）（－1，） 解析：(１)（x－1）（x－4）（x＋3）3＜0 x （－∞，－3） （－3，1） （1，4） （4，∞） x－1 － － ＋ ＋ x－4 － － － ＋ 3 3） ＋ （x － ＋ ＋ ＋ 3 3 4 1）（－）（＋） － （x x x － ＋ － ＋ 故（x－1）（x－4）（x＋3）3＜0的解為x＜－3或1＜x＜4，亦可記為（－，－3 ） （1，4） (２)（x＋1）2（x＋2）（x2＋x＋3）＞0 x （－∞，－2） （－2，－1） （－1，∞） 2 1） ＋ （x ＋ ＋ ＋ x＋2 － ＋ ＋ 3 2 ＋ ＋x x ＋ ＋ ＋ ） ＋ ＋ （ ） ＋ （ ） ＋ （x 12 x 2 x2 x 3 － ＋ ＋ 3 2＋x＋ x 的判別式b2－ ac4 ＝12－4．1．3＝－11＜0， 因此x2＋x＋3恆正 故（x＋1）2（x＋2）（x2＋x＋3）＞0的解為x＞－2，x－1，亦可記為 ） ， （－ ） ，－ （－2 1 1
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P15/16 5.試問有多少個整數滿足不等式（x＋6）（x＋4）（x－1）（x－5）0？ 解： 解析：（x＋6）（x＋4）（x－1）（x－5）0， 依 x 在數線上的值判斷 x＋6，x＋4，x－1，x－5 的正負號， 綜合判斷可得 則滿足不等式的解為－6x－4或1x5， 故滿足不等式的整數有－6，－5，－4，1，2，3，4，5，共 8 個 6. 已知 f（x）＝－2x3＋12x2－3x－25＝－2（x－2）3＋21（x－2）＋1 ，則： (１)試說明如何平移y＝－2x3＋21x的圖形得到y＝－2x3＋12x2－3x－25的圖形？ (２)試求 y＝f（x）圖形的對稱中心。 答案：(１)略；(２)（2，1） 解析：(１)y＝－2x3＋21x的圖形向右平移 2 單位且向上平移 1 單位即為 1 2 21 2 2（ －）3＋ （ －）＋ ＝－ x x y ＝－2x3＋12x2－3x－25的圖形 (２)由(１)及y＝－2x3＋21x以原點為對稱中心 故 y＝f（x）圖形的對稱中心為（2，1） 7. (１)若已知x3－3x2－x＋6＝（x＋b）3＋a（x＋b）＋k，試求 a、b、k 的值。 (２)試說明如何平移y＝x3－4x的圖形後得到y＝x3－3x2－x＋6的圖形，並求出y＝x3－3x2－x＋6圖 形的對稱中心。 答案：(１) a＝－4，b＝－1，k＝3；(２)向右平移 1 單位，再向上平移 3 單位，對稱中心為（1， 3） 解析：(１)比較二次項係數 2 2 3 3x ＝ bx － ，得 b＝－1 利用綜合除法 1 －3 －1 ＋6 1 ＋1 －2 －3 1 －2 －3 ＋3 ＋1 －1 1 －1 －4 ＋1 1 ＋0 得x3－3x2－x＋6＝（x－1）3－4（x－1）＋3 故 a＝－4，b＝－1，k＝3 (２)∵x3－3x2－x＋6＝（x－1）3－4（x－1）＋3 ∴將y＝x3－4x的圖形向右平移 1 單位，再向上平移 3 單位 可得y＝x3－3x2－x＋6的圖形，如圖 又y＝x3－4x的對稱中心在原點（0，0），經上述平移後 可知y＝x3－3x2－x＋6的對稱中心為（1，3）
1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16/16 8. 若三次函數 f（x）＝ax3＋px滿足 f（－5）＜0，f（－2）＞0，試判斷 a，p 的正負號。 答案：a＞0，p＜0 解析：(１)若 a＞0，p＜0 (２)若 a＞0，p＞0 (３)若 a＜0，p＞0 (４)若 a＜0，p＜0 因為 f（－5）＜0 且 f（－2）＞0，唯一符合的圖形只有(１) 故 a＞0，p＜0 9. 已知多項式 f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋2有一個因式x2＋x－2，試求 f（x）＜0 的解。 答案：x＜－2 或 1 2 1 ＜ ＜ x 解析：設f（x）＝（x2＋x－2）（2x＋c） 比較常數項得－2c＝2，得 c＝－1 故 f（x）＝（x2＋x－2）（2x－1）＝（x＋2）（x－1）（2x－1） 考量每個因式的正負號，可得下表 x （－，－2） 2 1 2， － 1 2 1 ， （1，） x＋2 － ＋ ＋ ＋ 2x－1 － － ＋ ＋ x－1 － － － ＋ （x＋2）（2x－1）（x－1） － ＋ － ＋ 故 f（x）＜0 的解為 x＜－2 或 1 2 1 ＜ ＜ x
