3-1-1向量-有向線段與向量

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(1)第三冊 1-1 向量-有向線段與向量【定義】有向線段：線段以 PQ 或 QP 表示，但若從 P 點走向 Q 點，我們用線段將 P 點和 Q 點連接起來，並在 Q 點處畫一箭號表示它的方向，向這樣帶有箭號的線段稱之，並以 PQ 表示。 P 點稱為有向線段的始點， Q 點稱為有向線段的終點。線段 PQ 的長度稱為有向線段的長，以 | PQ | 表示。當從 P 點走向 Q 點時，我們說他的位移是 PQ 。 (有始點與終點) 向量：平面上的移動量除了考慮距離也要考慮方向，如位移、速度、加速度、力等，這種有向(方向)的量(大小量值)稱為向量，決定向量主要有大小(長度)與方向(角度)，我們用有向線段來表示向量，有向線段的長度代表向量的大小，即用 | PQ | 表示；有向線段的方向代表向量的方向，即用 PQ 表示，一般以 u 表示。(不在意始點與終點) 向量的相等：若 AB = CD 若且為若 AB, CD 兩向量的大小相等且方向相同。零向量：當 P = Q 時， PQ 為零向量，記為 PQ = 0 ，即始點與終點相同的向量。零向量的長度為零，方向可以為任意方向。反向量：滿足 a + b = 0 的向量 b ，稱為 a 的反向量，即大小相等，方向相反的向量。表示法： 1. 兩相異點可以決定一個線段，但兩相異點可以決定兩個有向線段。 2. 兩個不同的有向線段只要大小相同、方向相同，就可以表示同一個向量。 3. 每個向量有確定的大小與方向，但可以畫在任何位置。 4.. 在討論向量時，若始點與終點不是討論的重點時，也可以用符號 a, b, c, u , v, w 等表示。. 5.. 給定一個向量 u ，則過任一點 A 都可作一個向量 AB 與 u 同向並等長，記為 AB = u 。同樣地，可用另一個向量 CD 來代表 u ，只要 AB 與 CD 代表同一個向量，即兩者的大小相等，方向相同。 B u. D. A C 【定義】向量的加法運算：給定二個向量 u , v 如何定義向量的加法 u + v 呢？(合成之意) 1. 三角形法(當 u = AB 的終點為 v = BC 的始點時用此法)：. 1.

(2) 由向量的意義，可設 u = AB ， v = BC ，則定義 u + v = AB + BC = AC (即位移之意)。. C. A. B. 2. 平行四邊形法(當 u = AB 的終點不為 v = AC 的始點時用此法，先將兩向量的始點移至同一位置)：由三角形法，如果 u = AB ， v = AC ，則 u + v = AB + AC = AB + BD = AD ，其中 ABDC 為平行四邊形。(即合力之意). C. A. D. B. 向量的減法運算：給定兩個向量 u , v ，如何定義 u − v 呢？設 u = AB ， v = AC ，我們定義 u − v = u + (−v) 。向量的係數積：(有坐標化之意) 1.. 當 r > 0 時，則 r u 與 u 同向，大小為 | r || u | 。. 2.. 當 r = 0 時，則 r u = 0 。. 3.. 當 r < 0 時，則 r u 與 u 反向，大小為 | r || u | 。. 註：即長度 | r u |=| r || u | 【性質】向量加法的性質： 1.. 交換律： u + v = u + v. 2.. 結合律： (u + v) + w = u + (v + w). 3.. 零向量： u + 0 = 0 + u = 0 ， 0 表示起點與終點重合的向量，稱為零向量。. 4.. 可逆性：對於任一向量 u ，若以 AB 表示 u ，則 BA 所表示的向量以 − u 表示，. 由於 AB + BA = AA = 0 ，故 u + (−u ) = u − u = 0 。向量係數積的基本性質：設 u, v 為向量， r , s 為實數，則 1.. r (u + v) = r u + r v. 2.. (r + s )u = r u + su. 3.. r ( su ) = (rs )u. 4.. 1u = u. 5.. 0⋅u = 0 2.

(3) 【定義】平行：兩向量 u // v ⇔ u = t v 。若不平行，則記為 u // v 。線性組合： r u + s v 之形式稱為 u, v 的線性組合。【問題】 1. 正四邊形的任兩不同頂點之間可以組成幾個不同的向量？ 2. 正立方體的任兩不同頂點之間可以組成幾個不同的向量？ 3. 如圖正六邊形，(1)試用 a = AB, b = AF 兩向量的線性組合表示其餘各種向量？(2)試求任兩向量之間的內積。 D. E. C. F. O. A. B. 4. 如圖正五邊形，(1)試用 a = AB, b = AE 兩向量的線性組合表示其餘各種向量？(2)試求任兩向量之間的內積。 D E. C O. A B. 5. 邊長為 1 的正立方體八個頂點中，共有幾種不同的向量？【定義】兩向量夾角：兩向量 u, v 的夾角定義為將兩向量平移使其始點重合，則它們的兩個夾角中較小的那一個 θ 就稱為向量 u, v 的夾角且滿足 0 ≤ θ ≤ π 。向量的垂直：若兩向量 u, v 的夾角為直角時，我們稱此兩向量垂直，記為 u ⊥ v 。我們將任何向量與零向量視為垂直。分量(投影量)：. | v | cos θ 稱為 v 在 u 方向上的分量(或投影量)(不一定為正數)。正射影向量： v 在 u 方向上的投影向量稱為 v 在 u 方向上的正射影且等於 (. u ⋅v | u |2. )u 。. 正射影長： v 在 u 方向上的投影向量長稱為 v 在 u 方向上的正射影長且等於. | u ⋅v | |u|. 向量內積： 3. 。.

(4) 兩向量 u, v 的內積定為 u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cosθ ，其中 θ 為 u ⋅ v 的夾角，且 0 ≤ θ ≤ π 。故 u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cosθ =| u | (| v | cosθ ) 是 v 在 u 方向上的投影量乘以 u 的長度註： 1. 內積"⋅"念成 dot 且兩向量的內積是一個實數而非一個向量，內積的符號不可以省略。 2. 2.. u 是無意義的符號，但 | u | 2 則表長度平方。. 3.. u ⋅ v 有正有負， | u ⋅ v | 則為正。. 4. 5. 6.. u × v 表示向量的外積。兩向量之間沒有乘法，也沒有除法。兩向量的內積隨著兩向量的夾角而變化。. 7.. 內積也可以用物理意義解釋：想成物體在定力 f 的作用下，且在力 f 的方向有位移 s，則該力對物體所作的 W =| f | × | s | ；但當力的方向與位移的方向有一夾角時，所作的功就不再單純的只是力與位移的乘積，而與夾角有關，即. W =| f | × | s | × cosθ 。【問題】 1. 試討論兩向量的夾角(鈍角、直角、銳角)與兩向量的內積正負之間的關係為何？. 2.. u ⋅ v 可以解釋成 u 在 v 方向上的投影量乘以 v 的長度嗎？. 3. u ⋅ v 會等於 v ⋅ u 嗎？ 4. 試說明內積與餘弦定理之間的關係。【性質】內積的基本性質：設 u , v, w 為向量， r 為實數，則 1.. u ⋅ u =| u |2 ≥ 0 ，且 u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0 。. 2.. u ⋅v = v ⋅u 。. 3.. (r u ) ⋅ v = u ⋅ (r v) = r (u ⋅ v) 。. 4.. u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w 。(用投影概念證明). 5. | u + v |2 =| u |2 +2u v + | v |2 。【問題】試證：兩向量 u, v 垂直若且為若 u ⋅ v = 0 ，即若 u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0 。 1 2. 試證： u ⋅ v = (| u + v |2 − | u − v |2 ) 。 4. 1.. 試證：以 u , v 為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為 | u |2 | v |2 −(u ⋅ v) 2 。 1 4. 試證：以 u, v 為相鄰兩邊的三角形的面積為 | u |2 | v |2 −(u ⋅ v) 2 。 2. 3.. 5.. 設兩向量 u, v ，試證明(1)柯西不等式： | u ⋅ v |≤| u || v | 。 (2)三角不等式： | u | − | v |≤| u ± v |≤| u | + | v | 。. 6.. 試證： (u + v + w) 2 =| u |2 + | v |2 + | w |2 +2(u v + v w + wu ) 。 4.

(5)