微積分一:講義2-4

2.4反函數與隱函數的導函數

Definition i A function f is increasing on I if for any x1, x2 ∈ I, we have x1  x2

implies fx1  fx2.

ii A function f is decreasing on I if for any x1, x2 ∈ I, we have x1  x2

implies fx1  fx2.

Theorem (Existence)i A function has an inverse if and only if it is one-to-one.

ii If f is strictly monotonic on its entire domain. then it is one-to-one and

therefore has an inverse.

2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 15 10 5 0 -5 -10 -15 x y x y a fx  x3  x − 1 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 15 10 5 0 -5 -10 -15 x y x y b fx  x3 − x  1 定理2.13: 令函數f 在區間I  a, b可微且有一反函數g. 若點x滿足 f′_{gx ≠ 0則反函} 數g在點x可微且 g′x  1 f′gx. 證明因為 fgx  x, 利用連鎖律及對等式兩邊微分. 則 f′gxg′x  1. 因為f′_{gx ≠ 0. 因此} g′x  1 f′gx. 例題19:若fx  1 4x 3 _{ x − 1, 則 1 f}−1_{3  ?; 2 f}−1_′_{3  ?.} 解1因為 f2  3, 因此 f−1_{3  2.} 2 因為f′_{x } 3 4x 2  1. 則f−1′3  1 f′f−13  1 f′2  1 4. B:隱函數的導函數

(B-1) 隱函數與顯函數的表示法 視為 y  fx 例題20:可以寫成隱函數型式與顯函數型式 隱函數型式 顯函數型式 導函數 xy  1 y  1 x dy dx  −x−2  −1 x2 例題21:可以寫成隱函數型式與但不可以寫成顯函數型式 隱函數型式 顯函數型式 導函數 x2  y2  1 _y  1 − x2 _{或 y}  − 1 − x2 _? dy dx  ? (B-2) 隱函數的導函數 如何找隱函數的導函數? 可依下列四個步驟求之: 1. Step1: 先在方程式兩邊對x微分. Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出.

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx.

例題21:給定方程式x2  y2  1, 試求出 dy/dx  ? 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 x y x y x2_{ y}2 _{ 1} 解 Step1: 先在方程式兩邊對x微分: d dxx 2 y2  d dx1 則可得 2x  2ydy dx  0. Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. 2ydy dx  −2x. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出.

2ydy

dx  −2x

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx.

dy dx  − xy . 例題22:給定方程式y3  y2 − 5y − x2  −4, 試求出 dy/dx  ? 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 x y x y y3  y2 − 5y − x2  −4 解 Step1: 先在方程式兩邊對x微分: d dxy 3  y2 − 5y − x2  d dx−4 則可得 3y2 dy dx  2y dy dx − 5 dy dx − 2x  0. Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. 3y2dy dx  2y dy dx − 5 dy dx  2x. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出. dy dx3y 2  2y − 5  2x

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx.

dy dx  2x 3y2  2y − 5. 例題23:試求出方程式x2 4y2  4之圖形在點 _{2 ,}− 1 2 的切線斜率. 解 Step1: 先在方程式兩邊對x微分: d dxx 2  4y2  d dx4 則可得 2x  8ydy dx  0. Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. 8ydy dx  −2x. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出.

8ydy

dx  −2x.

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx.

dy dx  − x4y. 把點 2 ,− 1 2 帶入就可得 dy dx|x,y 2 ,− 1 2  1 2. 例題24:試求出方程式3x2  y2_2  100xy之圖形在點3, 1 的切線斜率. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 x y x y 解 Step1: 先在方程式兩邊對x微分: d dx 3x 2  y2_2  d dx100xy 則可得 6x2  y2 2x  2ydy dx  100 y  x dy dx 或 12xx2  y2  12yx2  y2dy dx  100y  100x dy dx Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. 12yx2  y2 dx dy − 100x dxdy  100y − 12xx 2  y2. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出. dx dy12yx 2 y2 − 100x  100y − 12xx2  y2.

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx

dx dy  100y− 12xx2  y2 12yx2  y2 − 100x 把點3, 1帶入就可得 dy dx|x,y3,1  100− 369  1 129  1 − 300  139 . 例題25:試求出方程式x2_x2  y2_{  y}2_{之圖形在點} 2 2 , 2 2 的切線方程式.

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x y x y 解 若m為方程式x2x2 y2  y2_{之圖形在點} 2 2 , 2 2 的切線斜率, 則 m  dy dx |x,y 2 2 , 2 2 且切線方程式為 y− 2 2  m x − 2 2 . 因此我們只需算出切線斜率m : Step1: 先在方程式兩邊對x微分: d dxx 2_x2 _{ y}2_{  d} dxy 2_. 則可得 2xx2  y2  x2 _2x 2ydy dx  2y dy dx 或 2xx2 y2  2x3  2x2_ydy dx  2y dy dx. Step2: 把含有dy/dx項的移到左手邊且把其它項移到右手邊. 2x2_ydy dx − 2y dy dx  −2xx 2 y2_{  2x}3_. Step 3:把方程式左手邊的因式dy/dx移出. dy dx2x 2_y− 2y  −2xx2  y2 − 2x3_.

Step 4:方程式同除以左手邊不包含dy/dx之因式以解出 dy/dx

dx dy  − 2xx2  y2 − 2x3 2x2_y− 2y 把點 2 2 , 2 2 帶入就可得 m  dy dx |x,y 2 2 , 2 2  −2 2 2  1 2  1 2  − 2 2 2 2 − 2  −32 2 − 2 2  3. 則切線方程式為 y− 2 2  3 x − 2 2 或