《分式》全章复习与巩固（基础）

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《分式》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质 1．分式一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式.其中 A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B≠0 时，分式

A

B

才有意义. 2.分式的基本性质　　（M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算 1．约分　利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　

(2)

3．基本运算法则　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算

a b

c c

c



 

；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算

a c

ac

b d

 

bd

，其中

a b c d

、、、

是整式，

bd



0

. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算

a

c

a d

ad

b d

   

b c

bc

，其中

a b c d

、、、

是整式，

bcd



0

. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质 1、在

_x

_y

a

_m

xy

x

1 ,

3 ,

)

1 (

,

2

1 ,

1

2





中，分式的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5

(3)

【答案】C；【解析】





2

₁

1 x x

3

1 a

x

x y

m



，，，

_是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 2、当

x

为何值时，分式 2

₉

3 x

x





的值为 0？【思路点拨】先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于 0，当它使分母的值不等于 0 时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解：要使分式的值为 0，必须满足分子等于 0 且分母不等于 0．由题意，得 2

_{9 0,}

3 0.

x

  



_{ }



解得

x



3

． ∴ 当

x



3

时，分式 2

₉

3 x

x





的值为 0．【总结升华】分式的值为 0 的条件是：分子为 0，且分母不为 0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则

_x

＝_______；　　　　（2）当

x

________时，分式没有意义．【答案】（1）由

x

2



4

＝0，得

x

 

2

. 当

x

＝2 时

x

－2＝0，所以

x

＝－2；　　　　　　　　　（2）当

x

 

1 0

，即

x

＝1 时，分式没有意义．类型二、分式运算 3、计算： 2 2 2 2

1

3

2 (

1)

4

1 x

x



_{ }

_





．【答案与解析】解： 2 2 2 2 2 2

1

3

2 (1

)(1

)

1 (

2)(

1)

(

1)

4

1 (

2)

(

1)

1 x

x



_{ }

_



_





_









2 2

(

1)

(

2)(

1)

x



 





．

(4)

【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把

₍

_x

_

₁₎

2_和 2

₃

₂

1 x

x





先约分；二是将

(1



x

)

和

(

x



1)

约分后的结果错认为是 1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•滨州）化简： ÷（ ﹣ ）【答案】解：原式= ÷ = • =﹣ ．类型三、分式方程的解法 4、（2016•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x 1﹣ ）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x 1﹣ ）（x+1），得 3x+3 x 3=0﹣ ﹣ ，解得 x=0．检验：把 x=0 代入（x 1﹣ ）（x+1）= 1﹣ ≠0． ∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】





1

2

3

1

2

4

4 x

x



 



，【答案】解：方程两边同乘以

2 

x



4 

，得









1 2

4 2 2

3

2 x

x



 



 

∴

(5)

检验：当

3

2 x

 

时，最简公分母

2 

x



4 



0

， ∴

3

2 x

 

是原方程的解．类型四、分式方程的应用 5、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为 600 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加 20%，结果提前 5 天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设 x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设 x 米管道，由题意得： ﹣ =5，解得：x=20，经检验：x=20 是原方程的解．答：原计划每天铺设 20 米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这 5 步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为 3 km，王老师家到学校的路程为 0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的 3 倍，每天比平时步行上班多用了 20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】解：设王老师步行的速度为

x

km/h，则他骑自行车的速度为 3

x

km/h．根据题意得：

2 3 0.5

0.5 20

3 x

x

60  

_

_

．解得：

x



5

．经检验

x



5

是原方程的根且符合题意．当

x



5

时，

3 x



15

．答：王老师步行的速度为 5km/h，他骑自行车的速度为 15km/h．