数学（理）试题

1

高三年级数学（理科）

时间120 分钟 满分：150 分

第Ⅰ卷（选择题

共_{60 分）} 一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要 求） 1. 已知集合

M  {y | y  x

2

_

_{1, x  R}}

_，集合

_{N {x | y  3 x}

2

_}

_，则

_{M I N }

_{（ ）}

A {( 2,1),( 2,1)}

B

{ 2, 2,1}

C

[1, 3]

D 

2. 已知

z

是纯虚数，

2

1

z

i





是实数，那么

z 

（ ）

A

．

2i

B

．

i

C

．



i

D

．



2i

3. 使不等式

| | 2

x 

成立的一个必要不充分条件是（ ）

3

|

1

|

x





A

B x  

|

1| 2

C

log

2

(

x



1

)



1

2

1

|

|

1

_

x

D

4. 在可行域内任取一点

( y

x

,

)

，如果执行如下图的程序框图，那么输出数对

( y

x

,

)

的概率是 （ ）

A

8



B

4



_C

6



D

2



[来源:学§科§网 Z§X§X§K] [来源:Z&xx&k.Com] [来源:学科网] 5 题图 5. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（ ）

A

13

B

7 3 2



C

7

2



D

不能确定 6. 若

cos

4

5



 

，



是第三象限的角，则

sin

+ )

4







（

（ ）

2

A

7 2

10



B 7 2

10

C

2

10



D

2

10

7 某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该 门功课考试分数的极差与 中位数之和为（ ）

A

117

B

118

C

118．5

D

119．5 8_{. 函数}

( ) 2cos(

)(

0,| |

)

2

f x





x



 









在区间 _, 3 6   _     上单调，且

f

(

3

)

f x

( )







( )

6

f





恒成立， 则此函数图象与

y

轴交点的纵坐标为( )

A 1

B

2

C

3

6

2

2

D



9. 如图，正方体

ABCD A B C D



_{1 1 1 1}中，

P

为底面

ABCD

上的动 点，

PE AC



₁ 于

E

，且

PA PE



，则点

P

的轨迹是 （ ）

A

线段

B

圆

C

椭圆的一部分

D

抛物线的一部分 10. 双曲线 2 2

₁

9 16

x

_

y

_

_右焦点为

_F

_，

_P

_{是双曲线上一点，点}

_M

_满足

_|

_{MF }

uuur

_{| 1}

_，

_{MF MP}

uuur uuur

_

_

₀

则

|

MP

uuur

|

最小值为（ ）

A 3

B 2

C

3

D

2

11. 已知

f x

 

是以2 为周期的偶函数，当

x



 

0,1

时，

f x

 



x

，那么在区间





1,3



内，关于

x

的方 程

f x

 



kx k k R









有4 个根，则

k

的取值范围是（ ）

A

0

1

4

k

 

或

3

6

k 

B

0

1

4

k

 

C

0

1

4

k

 

或

3

6

k 

D

0

1

4

k

 

12. 已知正项数列

{ }

a

_n 的前

n

项和为

S

_n满足：

2

_{n n}

1

n

S

a

a





（

n N



*），若

3 1 2 3

1

1

1

1

( )

n

f n

S

S

S

S







 

L

，记

[ ]

m

表示不超过

m

的最大整数，则

[ (100)]

f



（ ）

A 17

B 18

C 19

D 20

第_{II 卷（非选择题 共 90 分）} 二、填空题：（本大题共4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上） 13. 已知 1 2 2 1

(3

1

)

a



_

_

x





x dx

，则 6

1

(

)

2

a

x

x





_

_











展开式中的常数项为 。 14. 已知函数

f

(x

)

在定义域

( 

0

,

)

上是单调函数，若对任意的

x



( 

0

,

)

，都有

[

(

)



1

]



2

x

x

f

f

，则

)

5

1

(

f

的值是_{___________.} 15. 已知直线

y kx





2(

k



0)

与抛物线

C x

:

2



8

y

相交于

A B

,

两点，

F

为

C

的焦点，若

|

FA

| 2|



FB

|

， 则

k 

。 16. 设正数数列

 

a

_n 的前

n

项和为

b

_n，数列

 

b

_n 的前

n

项积为

c

_n，若

b c

_n



_n



1

则数列

{ }

1

n

a

中最接近

2020

的数是 。 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分，解答适应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 将解答过程写在相应答题区域，答在区域之外的判作无效． 17.（本题 12 分）已知公差不为零的等差数列

 

a

_n 各项均为正数，其前

n

项和为

S

_n，满足

2

S

₂



a a

₂



₂



1



且

a a a

₁

, ,

_{2 4}成等比数列。 （_{1）求数列}

 

a

_n 的通项公式； （2）设 ₁

2

an n n

b a





g

，求数列

 

b

n 的前

n

项和为

T

n. 18. （本题 12 分）如图，已知三棱柱

ABC A B C



_{1 1 1}的侧棱与底面垂直，

AA AB AC

₁







1

，

AB AC



，

,

M N

分别是

CC

₁，

BC

的中点，点

P

在直线

A B

_{1 1}上，且

A

₁

P





A

₁

B

₁ （Ⅰ）证明：无论 取何值，总有

AM  PN

； （Ⅱ）当 取何值时，直线

PN

与平面

ABC

所成的角



最大？ 并求该角取最大值时的正切值． （Ⅲ）是否存在点

P

，使得平面

PMN

与平面

ABC

所成的二面 角为

30

0，若存在，试确定点

P

的位置，若不存在，请说明理由．

A

B

C

1

A

1

B

C

1

P

M

N

4 19. （本题 12 分）某公司共冇职工 8000 名，从中随机抽取了 100 名，调查上、下班乘车所用时间，得 下 表： 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工 路途补贴，补贴金额

y

(元）与乘车时 间

t

(分钟）的关系 是

]

20

[

40

200

t

y





，其中

]

20

[ t

表示不超过

]

20

[ t

的最大整数.以样本频率为概率： (I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)； (II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少有两名路途补贴超过 300 元的概率. 20. （本题 12 分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆经过点M(2,1). （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线

l

平行于_{OM ，且与椭圆交于}A、B两个不同点，连接（或延长）

MA MB

,

分别交

x

轴于点

( ,0), ( ,0)

S s

T t

，探求

s t



是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 21.（本题 12 分） 已知函数

f x

 



e kx x R

x



2

,



.

（_1）若

1

2

k 

，求证：当

x 

(0,

)

时，

f x 

( ) 1

； （_2）若

f x

( )

在区间

(0,



)

上单调递增，试求

k

的取值范围； （3）求证：

(

2

₄

1)(

2

₄

1)(

2

₄

1) (

2

₄

1)

4

(

*

)

1



2



3



L

n

 

e n N



请考生在第

22

～

23

两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线

C

的极坐标方程为





4cos



，以极点为原点，极轴为

x

轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线

l

的参数方程为

3

5

2

1

2

x

t

y

t



 





 



（

t

为参数）_. ⑴ 求曲线

C

的直角坐标方程与直线

l

的普通方程； ⑵ 设曲线

C

与直线

l

相交于

P

、

Q

两点，以

PQ

为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数

f

(

x

)



|

2

x



m

|



4

x

（1）当

m



2

时，解不等式

f

( 

x

)

1

； （_{2）若不等式}

f

( 

x

)

2

的解集为



x x  

|

2



_,求

m

的值。 所用时间（分 钟）

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100)

人数

25

50

15

5

5