高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第5章 空间解析几何

高等数学A

5.6 空间曲线及其方程

5.6 空间曲线及其方程

5.6.2 空间曲线的一般方程 5.6.1 空间曲线方程引例

5.6.3 空间曲线的参数方程

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影 5.6.5 小结

5.6.1 空间曲线及其方程引例

引例：在空间直角坐标系中， 圆柱面x²+y²=1与平面

x+y+z=2的交线是什么图形？一般来说， ， 代表什么图形？

表示圆柱面与平面的交线为一个椭圆

一般来说，代表一条空间曲线。

0 ) , ,

(x y z  F

0 ) , ,

(x y z  G

x y

z

0 ( , , ) 0

( , , ) 0 F x y z

G x y z

 

 



 





 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F

空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点

不能同时满足两个方程. ^x

o z

y

S1

S2

C

空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

特点：

5.6.2 空间曲线的一般方程

例1 方程组 表示怎样的曲线？

解 ^{x2  y2  z2 1}

均表示球面，

两个球面的交线为圆.

5.6.2 空间曲线的一般方程

2 2 2

2 2 2

1 ( 1) 1

x y z

x y z

   

    



2 2 2

( 1) 1

x  y   z 

x

y z

例2 方程组 表示怎样的曲线？



 















) 4 ( 2

2 2

2

2 2

2

y a x a

y x

a z

解

z  a

 x

 y

上半球面,

) 4 ( 2

2 2

2

a

a y

x   

交线如图.

5.6.2 空间曲线的一般方程

x

y z

0



 









) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

当给定

t  t

) ,

,

( x

y

z

空间曲线的参数方程 5.6.3 空间曲线的参数方程

动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 例 3 如果空间一点M ^在圆柱面x²  y²  a^2上以 角速度





M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．

A

M

M

M ^在xoy^面的投影M( x, y,0)

t

a

x  cos 

t a

y  sin 

vt z 

 t

螺旋线的参数方程 取时间t为参数，

解

x y

z

o

5.6.3 空间曲线的参数方程

螺旋线的参数方程还可以写为



 













 b

z

a y

a x

sin cos

) ,

(    t b   ^v

螺旋线的重要性质：

, :















即

上升的高度 h  2b 螺距

  2,

5.6.3 空间曲线的参数方程

例4. 将下列曲线化为参数方程表示:

解: (1) 根据第一方程引入参数 ,

(2) 将第二方程变形为 故所求为

得所求为

 





 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F

消去变量

z

_{H ( x , y )  0}

曲线关于 的

xoy

以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.

投影柱面的特征：

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何 求空间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的 空间曲线在坐标面上的投影.

如图:投影曲线的研究过程.

空间曲线 投影柱面 投影曲线

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影

 





 0

0 )

, ( x

z y R

 





 0

0 )

, ( y

z x T

面上的投影曲线,

yoz xoz

 





 0

0 )

, ( z

y x H

空间曲线在 面上的

xoy

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

例4 求曲线 在坐标面上的投影.



 











2 1

2

1

2 2

z

z y

x

解 （1）消去变量

z

4,

2 3

2  y 

x

在 面上的投影为

xoy

, 0

4

2 3

2











 z

y x

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

所以在 面上的投影为线段.

xoz

2 ;

| 3

| ,

0 2 1

 







 x

y z

（3）同理在 面上的投影也为线段.

yoz

2 .

| 3

| ,

0 2 1

 







 y

x z

（2）因为曲线在平面 上，

2

 1 z

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

例5 求抛物面

y

 z

 x

x  2 y  z  0

的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.

截线方程为

 













0 2

2 2

z y

x

x z

y

解

如图,

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

（2）消去

y

0

0 4

2 5 ²

2













 y

x xz

z x

（3）消去

x

0

0

2 2

2













 x

z y

z y

（1）消去

z

0 4

5 ²

2













 z

x xy

y x

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.

空 间立 体

曲面

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

例6

.

, )

( 3

4 ,

2 2

2 2

面上的投影

求它在 锥面所围成

和

由上半球面 设一个立体

xoy y

x z

y x

z











解 半球面和锥面的交线为

















, ) (

3

, : 4

2 2

2 2

y x

z

y x

C z

,

2 1

2  y 

x z 得投影柱面 消去

5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

z

x o y

1

C

面上的投影为 在

则交线C xoy









 . 0

,

2 1

2

z

y

x 一个圆,

面上的投影为 所求立体在 xoy



5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影

z

x o y C

1

. 0 ,

2

1

2

 y  z 

x

空间曲线的一般方程、参数方程．

空间曲线在坐标面上的投影．

 





 0 )

, , (

0 )

, , (

z y x G

z y x F



 









) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

 





 0

0 )

, ( z

y x H

 





 0

0 )

, ( x

z y R

 





 0

0 )

, ( y

z x T

5.6.5 空间曲线小结

思考题

求椭圆抛物面

2 y

 x

 z

z

x 



2

^xoy

在

xoy

思考题解答

2 , 2

2 2 2













z x

z x

交线方程为 y

消去

z

在 面上的投影为

xoy

0

2 1

2









 z

y x