中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
第5章 空间解析几何
高等数学A
5.6 空间曲线及其方程
5.6 空间曲线及其方程
5.6.2 空间曲线的一般方程 5.6.1 空间曲线方程引例
5.6.3 空间曲线的参数方程
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影 5.6.5 小结
5.6.1 空间曲线及其方程引例
引例:在空间直角坐标系中, 圆柱面x2+y2=1与平面
x+y+z=2的交线是什么图形?一般来说, , 代表什么图形?
表示圆柱面与平面的交线为一个椭圆
一般来说,代表一条空间曲线。
0 ) , ,
(x y z F
0 ) , ,
(x y z G
x y
z
0 ( , , ) 0
( , , ) 0 F x y z
G x y z
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x F
空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 曲线上,不在曲线上的点
不能同时满足两个方程. x
o z
y
S1
S2
C
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
特点:
5.6.2 空间曲线的一般方程
例1 方程组 表示怎样的曲线?
解 x2 y2 z2 1
均表示球面,
两个球面的交线为圆.
5.6.2 空间曲线的一般方程
2 2 2
2 2 2
1 ( 1) 1
x y z
x y z
2 2 2
( 1) 1
x y z
x
y z
例2 方程组 表示怎样的曲线?
) 4 ( 2
2 2
2
2 2
2
y a x a
y x
a z
解
z a
2 x
2 y
2上半球面,
) 4 ( 2
2 2
2
a
a y
x
圆柱面,交线如图.
5.6.2 空间曲线的一般方程
x
y z
0
) (
) (
) (
t z z
t y y
t x x
当给定
t t
1 时,就 得到曲线上的一个点) ,
,
( x
1y
1z
1 ,随着参数的变化可得到曲线上的全 部点.空间曲线的参数方程 5.6.3 空间曲线的参数方程
动点从A点出 发,经过t时间,运动到M点 例 3 如果空间一点M 在圆柱面x2 y2 a2上以 角速度
绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中
、v 都是常数),那么点M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.
A
M
M
M 在xoy面的投影M( x, y,0)
t
a
x cos
t a
y sin
vt z
t
螺旋线的参数方程 取时间t为参数,
解
x y
z
o
5.6.3 空间曲线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
b
z
a y
a x
sin cos
) ,
( t b v
螺旋线的重要性质:
, :
0
0
z : b
0 b
0 b
, 上升的高度与转过的角度成正比.即
上升的高度 h 2b 螺距
2,
5.6.3 空间曲线的参数方程
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 ,
(2) 将第二方程变形为 故所求为
得所求为
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x F
消去变量
z
后得:H ( x , y ) 0
曲线关于 的
xoy
投影柱面 设空间曲线的一般方程:以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.
投影柱面的特征:
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
在讲直线与平面之关系时,曾介绍过如何 求空间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的 空间曲线在坐标面上的投影.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线 投影柱面 投影曲线
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
0
0 )
, ( x
z y R
0
0 )
, ( y
z x T
面上的投影曲线,
yoz xoz
面上的投影曲线,
0
0 )
, ( z
y x H
空间曲线在 面上的
xoy
投影曲线5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
例4 求曲线 在坐标面上的投影.
2 1
2
1
2 2
z
z y
x
解 (1)消去变量
z
后得4,
2 3
2 y
x
在 面上的投影为
xoy
, 0
4
2 3
2
z
y x
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
所以在 面上的投影为线段.
xoz
2 ;
| 3
| ,
0 2 1
x
y z
(3)同理在 面上的投影也为线段.
yoz
2 .
| 3
| ,
0 2 1
y
x z
(2)因为曲线在平面 上,
2
1 z
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
例5 求抛物面
y
2 z
2 x
与平面x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
截线方程为
0 2
2 2
z y
x
x z
y
解
如图,
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
(2)消去
y
得投影 ,0
0 4
2 5 2
2
y
x xz
z x
(3)消去
x
得投影 .0
0
2 2
2
x
z y
z y
(1)消去
z
得投影 , 00 4
5 2
2
z
x xy
y x
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间立 体
曲面
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
例6
.
, )
( 3
4 ,
2 2
2 2
面上的投影
求它在 锥面所围成
和
由上半球面 设一个立体
xoy y
x z
y x
z
解 半球面和锥面的交线为
, ) (
3
, : 4
2 2
2 2
y x
z
y x
C z
,
2 1
2 y
x z 得投影柱面 消去
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
z
x o y
1
C
面上的投影为 在
则交线C xoy
. 0
,
2 1
2
z
y
x 一个圆,
面上的投影为 所求立体在 xoy
5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影
z
x o y C
1
. 0 ,
2
1
2
y z
x
空间曲线的一般方程、参数方程.
空间曲线在坐标面上的投影.
0 )
, , (
0 )
, , (
z y x G
z y x F
) (
) (
) (
t z z
t y y
t x x
0
0 )
, ( z
y x H
0
0 )
, ( x
z y R
0
0 )
, ( y
z x T
5.6.5 空间曲线小结
思考题
求椭圆抛物面
2 y
2 x
2 z
与抛物柱面z
x
22
的交线关于xoy
面的投影柱面和在
xoy
面上的投影曲线方程.思考题解答
2 , 2
2 2 2
z x
z x
交线方程为 y
消去
z
得投影柱面 x2 y2 1,在 面上的投影为
xoy
.0
2 1
2
z
y x