高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第5章 空间解析几何

高等数学A

5.5 曲面及其方程

5.5 曲面及其方程

曲面及其方程 曲面方程引例

旋转曲面 柱 面

二次曲面

举例 概念

椭球面 抛物面 马鞍面

锥面 双曲面

单叶双曲面 双叶双曲面

曲面及其方程引例

) , ,

( _{0 0 0}

0 x y z

引例：在空间直角坐标系中，球心在 ，半P

径为 R 的球面上的点 满足什么条件？

点 到 的距离等于定值R，即，

构成一个中心轴为Z轴的单位圆柱面。

引例：在空间直角坐标系中，满足 的点构 成什么图形？

) , ,

(x y z P

) , ,

(x y z

P P0⁽x0^, y0^,z0⁾

2 2

0 2

0 2

0) ( ) ( )

(xx  y y  zz  R

2 1

2  y 

x

水桶的表面、台灯的罩子面等．

曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．

曲面方程的定义：

曲面的实例很多：

曲面及其方程的概念

定义5.5.1 设空间曲面 S及三元方程 F(x, y, z)=0.

如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0,则称 F(x, y, z)=0 为 S 的方程. 反之，

F(x, y, z)=0 的任一解 (x, y, z) 对应的空间点 (x, y, z) 在 S 上,, 则称S为 F(x, y, z)=0 的图形.

研究空间曲面有两个基本问题：

（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．

（讨论旋转曲面）

（讨论柱面、二次曲面）

（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．

例1 建立球心在 M₀(x₀, y₀, z₀), 半径为 R 的球面的方程.

例 2 求与原点O^及M₀ (2,3,4)^{的距离之比为}1 : 2 ^的

点的全体所组成的曲面方程.

例 3 已知A(1,2,3)^，B(2,1,4)^，求线段AB ^的

垂直平分面的方程.

例4 方程 的图形是怎样的？ z  (x  1)²  ( y  2)²  1

例5 求

表示的曲面，其中 为常数。

2 2 2

0 x  y  z Dx  Ey  Fz G 

, , ,

D E F G 曲面及其方程---举例

以下给出几例常见的曲面.

例1 建立球心在 M₀(x₀, y₀, z₀), 半径为 R 的球面的方程.

解：

M₀ • R

x O y

z

M

根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R.

即 |M₀M|=R.

曲面及其方程---举例

设M点坐标为(x, y, z)，则根据两点间距离计算公式

, )

( )

( )

(x  x₀ ²  y  y₀ ²  z  z₀ ²  R

或 (x  x₀)²  (y  y₀)²  (z  z₀)²  R². (5.1)

反之, 任取 (x, y, z) 满足 (5.1). 则 M(x, y, z) 到 M₀ 的距离为 R. 故 (x, y, z) 在球面上. 因此 (5.1) 即为 所求球面的方程.

---球面标准方程

特殊地：球心在原点时方程为

2 2

2

2 y z R

x   

曲面及其方程---举例

例 2 求与原点O^及M₀(2,3,4)^{的距离之比为}1: 2 ^的

点的全体所组成的曲面方程.

解 设

M ( x , y , z )

2 , 1

|

|

|

|

0

MM 

根据题意有 MO

     

1 4

3

2 ^{2 2 2}

2 2

2

 













z y

x

z y

x

 

9 116 3

1 4 3

2 2 ²

2

 



 

 





 



 

 x y z

所求方程为

曲面及其方程---举例

例 3 已知A(1,2,3)^，B(2,1,4)^，求线段AB ^的

垂直平分面的方程.

设M(x, y, z)^{是所求平面上任一点，}

根据题意有 | MA || MB |,



 

 





 

 



 x y z

化简得所求方程 2x  6 y  2z  7  0.

解

曲面及其方程---举例

z

x

o y

例4 方程 的图形是怎样的？ z  (x  1)²  ( y  2)²  1

根据题意有 z  1

用平面z  c^{去截图形得圆：}

) 1 (

1 )

2 (

) 1

(x  ²  y  ²   c c  

当平面z  c^{上下移动时，}

得到一系列圆

圆心在

( 1 , 2 , c )

1  c

半径随

c

解

c 曲面及其方程---举例

例5 求

表示的曲面，其中 为常数。

2 2 2

0 x  y  z  Dx  Ey  Fz  G

, , ,

D E F G

解 通过配方，有

2 2 2

0  x  y  z  Dx  Ey  Fz  G

2 2 2 2 2 2

(x D / 2) (y E / 2) (z F / 2) G (D E F ) / 4

         

即

2 2 2 2 2 2

(x  D / 2)  (y  E / 2)  (z F / 2)  (D  E  F ) / 4 G

当 时，方程表示的曲面为 以 为球心，

为半径的球面。当 时，

球面退化为一点 。

当 时，在空间中不存 在坐标满足方程的点，这时常称方程所表示的“曲 面”为虚球面。

2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0





2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0





2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0

2 2 2

0

, ,

1

, .

x  y  z  ax by     cz d 形如

的二次方程 其图形或者是球面 或者是一个 点 或者不代表

定

任何图形 理

曲面及其方程---举例

定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.

C L

柱 面

观察柱面的形 成过程:

这条定曲线叫 柱面的准线，

动直线叫柱面 的母线.

母线

准 线

柱面举例

柱 面

x

o z

y

x

o z

y

y x²  2

抛物柱面 y  x

平面

y

x

 2 y  x

抛物柱面方程： 平面方程：



) , ,

(x y z M



) 0 , ,

1(x y M

x

z

y l2

一般地,在三维空间

柱面,

柱面, 平行于 x 轴;

平行于 y 轴;

平行于 z 轴;

准线 xoz 面上的曲线 l_3.

母线

柱面,

准线 xoy 面上的曲线 l_1.

母线

准线 yoz 面上的曲线 l_2.

母线

表示 方程

(

,

)

0

表示 方程

(

,

)

0

表示 方程

(

,

)

0

x ^y

z l3

x y

z

l1

从柱面方程看柱面的特征：

只含 x, y ^而缺z ^的方程F ( x, y)  0 ^，在

空间直角坐标系中 表 示母线平行于z ^{轴的 柱}

面，其准线为xoy 面上曲线C（其他类推） _. 实

例

2 1

2 2

2  

c z b

y 椭圆柱面 // 轴 x

2 1

2 2

2  

b y a

x 双曲柱面 // 轴 z pz

x²  2 抛物柱面 // 轴 y

柱 面

椭圆柱面

2

1

2 2

2

 

b y a

x

x

y z

O

双曲柱面

2

1

2 2

2

 

 b

y a

x

x

o z

y

定义

这条定直线叫旋转

曲面的轴． ^播放

旋转曲面

以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:

故旋转曲面方程为

, ) , ,

(

当绕 z 轴旋转时,

0 )

,

(

, )

, ,

0

(

1 y z C

M 

若点

给定 yoz 面上曲线 C:

) , , 0

( _{1 1}

1 y z

M )

, ,

(x y z M

1 2

2

1

,

z

z   

则有

0 )

,

(

则有

该点转到

0 )

,

(

o z

y x

C

旋转曲面

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

0 )

, (

:

o y

x z

0 )

,

( y  x

 z

 f

旋转曲面

旋转曲面举例

例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.

解: 在yoz面上直线L 的方程为

绕

z

) (

2

2 a x y

z  

x

y z



两边平方

L

) , , 0

( y z M

例7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．

（1）双曲线 ₂

1

2 2

2

 

c z a

x

x

z

绕x^轴旋转

绕

z

2 1

2 2

2

2   

c z y

a x

2 1

2 2

2

2   

c z a

y x

旋 转双 曲 面

旋转曲面举例

（2）椭圆

 

 







 0

2

1

2 2

2

x

c z a

y

绕

y

z

绕

y

绕

z

2 1

2 2

2

2   

c z x

a y

2 1

2 2

2

2   

c z a

y x

旋 转椭 球 面

（3）抛物线

 





 0

2

2 x

pz

y 绕 z ^轴；

pz y

x²  ²  2 _{旋转抛物面}

旋转曲面举例

思考题

指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？

; 2 )

1

( x  (2) x²  y²  4; .

1 )

3

( y  x 

思考题解答

平面解析几何中 空间解析几何中

 2 x

2 4

2  y 

x

 1

 x y

平行于y ^{轴的直线 平行于}yoz ^面的平面

圆心在(0,0)^，

半径为2^的圆

以z^{轴为中心轴的圆柱面}

斜率为1的直线 平行于z ^轴的平面

方程

二次曲面的定义：

三元二次方程所表示的曲面称之．

相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．

以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

二次曲面

o z

x y

（一）椭球面

2 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x

椭球面与 三个坐标面 的交线：

, 0

2 1

2 2

2











 y

c z a

x

. 0

2 1

2 2

2











 x

c z b

y

, 0

2 1

2

2 2











 z

b y a

x

二次曲面：椭球面

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.

椭球面与平面 的交线为椭圆 z  z₁

同理与平面 和 的交线也是椭圆 .

x1

x  y  y₁



















1

2 1 2

2 2

2

2 1 2

2 2

2

1 )

( )

( z z

z c c

b

y z

c c a

x

c z |

| ₁

二次曲面：椭球面

椭球面的几种特殊情况：

, )

1

( a  b ₂ 1

2 2

2 2

2   

c z a

y a

x 旋转椭球面

2 1

2 2

2  

c z a

由椭圆 绕 轴旋转而成． x z

旋转椭球面与椭球面的区别：

2 1

2 2

2

2   

c z a

y

方程可写为 x

与平面 交线为圆.

z  z

二次曲面：椭球面

, )

2

( a  b  c ₂ 1

2 2

2 2

2   

a z a

y a

x 球面

2.

2 2

2 y z a

x   

). (

1

2 1 2

2 2 2

2













 z z

z c c

y a 截面上圆的方程 x

方程可写为

二次曲面：椭球面

（二）抛物面

q z y p

x  

2 2

2 2

（ 与 同号） p q

椭圆抛物面 用截痕法讨论：

（1）用坐标面 曲面相截 xoy(z  0)

截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)

设 p  0, q  0

原点也叫椭圆抛物面的顶点.

二次曲面：抛物面

x

y z

o

与平面 的交线为椭圆. z  z₁













1

1 2

1 2

2 1 2

z z

qz y pz

x 当 变动时，这种椭

圆的中心都在 轴上.

z1

z )

0 (z₁ 

与平面 不相交. z  z₁ (z₁  0)

（2）用坐标面 与曲面相截 xoz ( y  0)







 0

2 2 y

pz

截得抛物线 x

二次曲面：抛物面

x

y z

o

与平面 的交线为抛物线. y  y₁











 



 



1

2 2 1

2 2 y y

q z y

p

x ^{它的轴平行于 轴} z

顶点 



 





q y y

, 2 ,

0

2 1 1

（3）用坐标面 ， 与曲面相截 yoz ( x  0) x  x₁

均可得抛物线.

同理当 时可类似讨论. p  0, q  0

二次曲面：抛物面

x

y z

o

z

x o y

x y

z

o

椭圆抛物面的图形如下：

0 ,

0 

 q

p p  0, q  0

二次曲面：抛物面

特殊地：当 时，方程变为 p  q p z

y p

x  

2 2

2 2

旋转抛物面

) 0 ( p 

（由 面上的抛物线 绕它的轴 旋转而成的）

xoz x²  2 pz











1

1 2

2 2

z z

pz y

x

与平面 的交线为圆. z  z₁ (z₁  0)

当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上.

z1

z

二次曲面：旋转抛物面

q z y p

x  

 2 2

2 2

（ 与 同号） p q

双曲抛物面（马鞍面）

用截痕法讨论：

设 p  0, q  0

图形如下：

x

y z

o

二次曲面：马鞍面

（三）双曲面

单叶双曲面

2 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x

（1）用坐标面 与曲面相截 xoy(z  0)

截得中心在原点 的椭圆. O(0,0,0)











 0

2 1

2

2 2

z

b y a

x

二次曲面：双曲面

x

o y

z

与平面 的交线为椭圆. z  z₁

当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上.

z1

 z













1

2 2 1 2

2 2

2

1 z

z

c z b

y a

x

（2）用坐标面 与曲面相截 xoz ( y  0)

截得中心在原点的双曲线.











 0

2 1

2 2

2

y

c z a

x 实轴与 轴相合，

虚轴与 轴相合.

x z

二次曲面：双曲面

x

o y

z















1

2 2 1 2

2 2

2

1 y

y

b y c

z a

x

双曲线的中心都在 轴上. y

与平面 的交线为双曲线. y  y₁ ( y₁  b)

, )

1

(  y₁²  b² 实轴与 轴平行, x 虚轴与 轴平行. z ,

) 2

(  y₁²  b² 实轴与 轴平行, z 虚轴与 轴平行. x ,

) 3

(  y₁  b 截痕为一对相交于点 的直线. ( b0, ,0)

二次曲面：双曲面

x

o y

z

0 ,











 b y

c z a

x

0 .











 b y

c z a

x

, )

4

(  y₁  b

截痕为一对相交于点 的直线. (0,b,0)

0 ,















b y

c z a

x

0 .















b y

c z a

x

（3）用坐标面 ， 与曲面相截 yoz ( x  0) x  x₁

均可得双曲线.

二次曲面：双曲面 z

x ^y

单叶双曲面图形

x

o y

z

平面 的截痕是两对相交直线. x  a

二次曲面：双曲面

双叶双曲面

2 1

2 2

2 2

2    

c z b

y a

x

x

o y

二次曲面：双曲面

二次曲面：锥面

) ,

2 (

2 2 2

2

b 为正数 a

b z y a

x  

上的截痕为

在平面

在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .

z

x

o y

) 1 (

)

( ²

2 2

2  

t b

y t

a

x

,

可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.

①

(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)

x ^y

z

曲面方程的概念

旋转曲面的概念及求法.

柱面的概念(母线、准线).

. 0 )

, ,

(x y z  F

小结

椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.

（熟知这几个常见曲面的特性）