第一章 基本概念

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一、 本書包括：基本概念、相交線、平行線、三角形、四邊形、 面積、勾股定理、相似形、圓、視圖等章節，供八年級下、 九年級下使用。 二、 本書的習題共分三類：練習、習題、複習參考題。 (1) 練習 供課內練習使用。 (2) 習題 供課內課外作業選用。 (3) 複習參考題 供每章複習選用，其中少量帶有「*」號 的題可供學有餘力的學生參考使用。 三、 本套書據大陸地區 1984 發佈之初級中學課本改編。

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1. 先逐字逐句閱讀各章節之解說。 2. 遇有例題先讀懂之後，再將書本合上，另自行在筆記本上模 擬解法。 3. 在筆記本上寫各章節之練習、習題、複習參考題之詳解，可 不抄題目，但要標明題號與頁碼，每一題都必須詳細寫出演 算過程與想法。若有幾何圖形必須準確繪製。 4. 每一題做完後必須養成立即驗算的習慣，驗算無誤後在題號 上作「ˇ」之記號。 5. 遇有不會作或不明確題意的問題，請回頭重複閱讀此章節之 解說，直到完全明白為止。 6. 可組織 4-6 人之讀書會，編定進度，定期聚會互相討論。 7. 本套書可在三個月內(共約費時 200 小時)完全學好初中全部 數學課程，其中代數與幾何可併行研讀。

引 言

……….……….. 1

第一章 基本概念

……….……… 3 一 直線、射線、線段……… 3 二 角……… 15

第二章 相交線、平行線

………...………. 33 一 相交線、垂線……… 33 二 平行線……… 41 三 命題、定理、證明……… 54

第三章 三角形

………...………...……….. 67 一 三角形……… 67 二 全等三角形……… 77 三 等腰三角形……… 92 四 基本作圖……… 100 五 直角三角形……… 106 六 逆定理、對稱……… 114

第四章 四邊形

…... ………...…...……… 131 一 多邊形……… 131 二 平行四邊形……… 136 三 梯形……… 154

第五章 面積、勾股定理

……….……… 171 一 面積……… 171 二 勾股定理……… 179

第六章 相似形

……….……… 189 一 比例線段……… 189 二 相似三角形……… 211 三* 位似圖形……… 234

第七章 圓

………...………...………...……….. 247 一 圓的有關性質……… 247 二 直線與圓的位置關係……… 268 三 圓與圓的位置關係……… 285 四 正多邊形與圓……… 296 五 點的軌跡……… 311 附錄 圓周長與圓面積……… 326

第八章* 視圖

…... ………...…...……… 329

在我們周圍有各種各樣的物體。例如，課本、書桌、黑板、 人們生活的地球、空中的太陽、月亮…等等。這些物體都有一定 的形狀與大小，並且在不同位置上，如黑板是長方形的、地球的 半徑約 6370 km、課本在書桌上等。這些物體還有其它的性質， 如書桌是木製的、地球上有生命、太陽能發光、月亮不能發光等。 在工程建設與日常生活中，我們常常須要研究物體的形狀、 大小與位置關係。例如興建房屋、建築堤壩、製造機器零件時， 都要考慮它們的形狀、大小與確定它們施工或安裝的位置。但是 在「幾何」*裡，只研究物體的形狀、大小與位置關係，而不考慮 物體的其它性質。 對於一個物體，當只研究它的形狀、大小而不考慮其它性質 時，我們就說它是幾何體，幾何體簡稱為體。圖 1 中的木塊、鋼 材、籃球，當只考慮它們的形狀、大小時，我們就說它們是長方 體、圓柱體與球體。 體是由面圍成的，面有平的、有曲的。例如長方體是由六個 平的面所圍成的，圓柱體是由兩個平的面與一個曲的面所圍成的 (圖 2)。 * 「幾何(Geometry)」是一個翻譯名詞，它是由我國明代科學家徐光啓(公元 1562~1633 年)首先使用的。原意是「測量土地的技術」。 圖 1 圖 2

面與面相交於線。線有直的、有曲的。例如，長方體相鄰的 兩個面相交於一條直的線(長方體的稜)。圓柱體的側面與一個底 面相交於一條曲的線(圖 2)。 線與線相交於點。如長方體相鄰的兩條稜相交於一個點(長方 體的頂點)。 點、線、面或若干個點、線、面組合在一起，就成為幾何圖 形。 在我們即將要學習的幾何裡，只研究在同一平面內的圖形— 平面圖形。在小學裡學過的三角形、長方形與圓都是平面圖形， 而長方體、圓柱與球都不是平面圖形。接下來，我們將要學習許 多常用的平面圖形及其性質。

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1.1 ۡቢ

在小學裡我們學過直線。一根拉緊的線、一張紙的摺痕都給 我們一條直線的形象。直線是向兩方無限延伸著的。 一條直線上有無限多個點。點可以用一個大寫字母來表示。 如圖 1-1 中的點，記作點 A、點 B、點 C、…。直線可以用表示 它上面任意兩個點的大寫字母來表示，也 可以用一個小寫字母來表示。例如圖 1-1 中的直線可以記作直線 AB，也可以記作直 線 l。 畫直線可以用直尺，把直尺放在紙上 或黑板上，用筆沿著直尺的邊緣就可以畫 出一條直線，但畫出的只是直線之一部份。 例如圖 1-2，經過一個點 A 可以畫出任 意多條直線 a、b、c、…。也就是說，經過 一點的直線有無數多條。 如我們經過兩點畫直線，例如圖 1-3， 經過點 A 與點 B 只能畫出一條直線來。人 們總結了這一經驗，得到直線的基本性質： 經過兩點有一條直線，且恰只有一條直線。 這句話可以簡單說成：兩點確定一條直線。 在幾何裡，像這樣，人們從實踐經驗中總結出來的圖形之基 本性質，我們把它叫做公理。公理可以作為說明其它問題的根據。 在日常生活與生產實踐中，經常用到直線的這種性質。例 如，架電線的工人在豎立電線桿時，只要定出兩根桿的位置(即兩 個點)，就能定出一排電線桿所在直線的位置，而且只能定出一條 圖 1-1 l C B A 圖 1-2 a b c 圖 1-3 B A A

這樣的直線(圖 1-4)；鋸木料時，經過刨平木板上的兩個點，就能 彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條這樣的墨線(圖 1-5)。 在圖 1-6 中，兩條相異直線 AB、CD 都經過同一點 O，我們 說這兩條直線相交，點 O 是這兩條直線的交點，說成「直線 AB、 CD 相交於點 O」。 根據直線的公理，可以推出下面的性質： 兩條相異直線相交，恰只有一個交點。 這是因為，假如兩條相異直線有兩個交點，那麼，經過兩個 點有兩條相異直線。這與「經過兩點恰只有一條直線」是不符合 的，所以兩條相異直線有兩個交點是不可能的。 圖 1-4 圖 1-5 圖 1-6 A B D O C

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1. 已知圖中的三個點，它們不在同一條直線上。 (1) 經過其中每兩個點都畫一條直線， 這樣總共可以畫幾條直線？ (2) 分別用大寫字母表示圖中的點，並 說出每一條直線的名稱。 (3) 分別用一個小寫字母表示圖中的每 一條直線，並說明各條直線是由哪 兩個點確定的。 (第 1 題)

2. 讀下列語句，並畫出它們的圖形： (1) 直線 AB 經過點 C；

(2) 點 D 在直線 EF 上，但在直線 GH 外(即點 D 不在直線

GH 上)；

(3) 直線 a、b 相交於點 C，直線 b、c 相交於點 A，直線 a、

c 相交於點 B。這時我們說「直線 a、b、c 兩兩相交」。 ¾ 動動眼：這些是直線嗎？拿直尺比對看看。

1.2 डቢᄃቢ߱

在圖 1-7 中，點 O 是直線 l 上的一個 點，它把直線分成兩部分。這兩部分都是 各自向一個方向無限延伸的。在直線上某 一個點連同一旁的部分叫做射線，這個點叫做射線的端點。探照 燈、手電筒的光線都是從一個點向著一個方向射出的，這種光線 可以看成射線的具體例子。 射線可用它的端點與射線上任意一 點的大寫字母來表示，表示端點的字母寫 在前面，如射線 OA (圖 1-8)。 如果點 A、B 是直線 l 上的兩個點，這 兩個點將直線分成了三部分(圖 1-9)。直線 上兩點間的部分連同這兩點叫做線段，這 圖 1-7 l O 圖 1-8 A O 圖 1-9 B A l I II III

兩點叫做線段的端點。圖 1-9 中的第 II 部分就是以點 A、B 為端 點的線段。書桌的一條稜、直尺的一側邊都是一條線段之形象。 線段用它的兩個端點的兩個大寫字母來表示，也可以用一個 小寫字母來表示。如圖 1-10 (甲)中的線段記作線段 AB 或線段 BA，圖 1-10 (乙)中的線段記作線段 a。 如圖 1-11，線段 AB 可以任意向兩個方向之一延伸。線段向 一方延伸的部分叫做線段之延長線。對於圖 1-11 (甲)常說成「延 長線段 AB」；對於圖 1-11 (乙)常說成「延長線段 BA」，有時也說 成「反向延長線段 AB」。 在這一節裡，我們介紹了射線、射線的端點、線段、線段的 端點、線段的延長線等名詞，對於一個名詞我們須要說明它的含 意。例如，用「直線上兩點間的部分連同這兩點」來說明「線段」 的含意，這樣的語句叫做名詞的定義。

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1. (口答)： (1) 怎樣表示圖(甲)中以點 O 為端點的各條射線？ (2) 怎樣表示圖(乙)中以點 O 為端點的各條射線？ (3) 圖(乙)中射線 DE 與射線 OE 是同一條射線嗎？圖(乙)中 射線 DE 與射線 ED 呢？射線 DO 與射線 DE 呢？ 圖 1-11 (甲) B A (乙) B A 圖 1-10 a (乙) B A (甲) (第 1 題) O C B A (甲) O D E (乙)

2. 圖(甲)、(乙)各有幾條線段？用字母表示各條線段。 3. 射線、線段各有幾個端點？直線有沒有端點？ 4. 如圖，已知四點 A、B、C、D，讀下列語句，並畫出圖形。 (1) 「連結 AB」(即畫出以點 A 與點 B 為端點的線段)，並延 長線段 AB； (2) 連結 CD，並延長線段 DC，線段 AB、CD 交於點 O； (3) 連結 BC，並反向延長線段 BC。 5. 說出線段的延長線之定義。

1.3 ቢ߱۞ͧྵᄃޘณ

在生產實踐與日常生活中，經常須要比較線段的大小與度量 線段的長度。例如，比較兩個人的高矮就是比較線段的大小之例 子，量一個同學的身高就是度量線段長度之例子。 比較兩人的高矮時，兩人要併立在平地上，才能比較出高 矮，比較兩條線段的大小(通常說長短)，也是用類似的方法。 (第 2 題) (甲) (乙) C B A E D _{F G} A (第 4 題) D C B

如圖 1-12，把線段 AB 放到線段 A B′ ′ 上，使點 A 與點 A′重合， AB 沿著 A B′ ′ 的方向落下。那麼有下面三種可能的情形： (1) 如圖 1-12 (甲)，點 B 與 B′ 重合，這時兩條線段相等，記 作 AB = A B′ ′； (2) 如圖 1-12 (乙)，點 B 落在線段 A B′ ′ 上( A′、 B′之間)，這 時線段 AB 小於線段 A B′ ′ (或說線段 A B′ ′ 大於線段 AB)，記作 AB < A B′ ′(或 A B′ ′ > AB )； (1) 如圖 1-12 (丙)，點 B 落在線段 A B′ ′ 的延長線上，也就是 點 B′ 落在線段 AB 上，這時 AB > A B′ ′(或 A B′ ′ < AB)。 在小學時，，我們曾使用刻度尺來度量線段的長度。以後， 我們還可以像圖 1-13 那樣，利用圓規配合刻度尺來進行度量。例 如，在圖 1-13 中，量得線段 AB 的長度是 1.6 cm，記作 AB = 1.6 cm。 把兩點 A、B 用線段與其它不同形狀的線連結起來(圖 1-14)。 然後把這些線拉直，進行比較，可以發現線段有下面的性質，我 們把它作為公理： 公理 在所有連結兩點的線中，線段最短。 這句話可以簡單說成：兩點之間線段最短。 連結兩點的線段長度，叫做兩點的距離。 (A) 圖 1-12 (甲) B A (B) (A) A′ B′ (A) (乙) B A B A′ B′ (丙) B A B A′ B′ 圖 1-13 1 2 3 圖 1-14 A B C A B

1. 用圓規配合刻度尺量出圖 1-14 中線段 AB、AC、CB 的長度(精 確到 1 mm)，並根據量出的結果比較線段 AB 的長度與線段 AC、BC 長度的和之大小。 2. 可以利用圓規來比較兩條線段。如圖(甲)那樣，先將圓規的兩 個角之針尖分別對準線段 AB 的兩個端點，然後把圓規的針尖 所代表之線段 AB 放到線段 CD 上，使一個針尖落在線段 CD 的一個端點上，根據另一個針尖所落的位置就可以判斷兩線 段之間的大小。利用這個辦法比較圖乙中三條線段的大小， 再比較圖丙中兩條線段 AB、CD 的大小。 3. 用刻度尺量出上題圖乙上各線段的長度；圖丙上點 A、D， ¾ 動動眼：在甲、乙兩圖中，能否分別指出哪一條鉛垂的粗線 段較短？拿尺量一量。 (第 2 題) (丙) (乙) A B (甲) A B C D A C B D (乙) (甲)

1.4 ቢ߱۞׶ăमᄃზڱ

我們學過數的加減運算，與數的加、減一樣，兩條線段也可 以進行加、減，得出新的線段。一條線段的長度是另外兩條線段 長度的和(或差)，這條線段就是另兩條線段的和(或差)。 如何畫出兩條線段的和或差呢？我們先學習下面的畫法。 【ּ 1】 已知線段 a，畫一條線段等於線段 a。 畫一條線段等於已知線段有兩種方法，一種是利用刻度尺來 畫；另一種是利用圓規與直尺來畫。 畫法一：1. 用刻度尺量出線段 a 的長度 20 mm (圖 1-15 (甲))。 2. 畫射線 AC。 3. 用刻度尺在射線 AC 上取一點 B，使 AB = 20 mm。 線段 AB 就是所求的線段。 畫法二：1. 畫射線 AC (圖 1-15 (乙))。 2. 用圓規在射線 AC 上截取 AB = a。 線段 AB 就是所求的線段。 【ּ 2】 已知線段 AB 與 CD，且 AB CD> 。讀下面的語句，並用 圓規畫圖： (1) 在線段 AB 上取一點 E，使 AE =CD ； (2) 延長線段 AB 至點 F，使 BF =CD 。 畫法： (1) 用圓規在線段 AB 上截取 AE =CD 。點 E 就是所求 的點(圖 1-16)。 (2) 1. 延長線段 AB。 2. 用圓規在 AB 的延長線上截取 BF =CD。點 F 就是所求的點。 圖 1-15 a A B C 20 mm (甲) a A B C a (乙)

從以上的畫圖過程可知， AE =CD 、 BF =CD 。所以線段 AF 的長度就是線段 AB 的長度加線段 CD 的長度；線段 BE 的長 度就是線段 AB 的長度減去線段 CD 的長度。也就是說。線段 AF 是線段 AB 與 CD 的和，記作 AF = AB+CD；線段 BE 是線段 AB 與 CD 的差，記作 BE = AB CD− 。 例 2 實際上就是線段的和與差之畫法。 如果一條線段 b 是 n 條線段 a 的和，那麼我們說線段 b 是線 段 a 的 n 倍，或線段 a 是線段 b 的 n 分之一。記作 b na= 或a b n = 。 將一條線段分成兩條相等線段的點，叫做 線段的中點。如圖 1-17，點 M 是線段 EM 的 中點。記作 EM = MF 或 1 2 EM = EF 。 【ּ 3】 已知線段 a，用直尺與圓規畫一條線段，使它等於 3a。 畫法： 1. 畫射線 AE (圖 1-18)。 2. 在射線 AE 上從點 A 起順次截取 AB= BC =CD = 。 a 線段 AD 就是所求的線段。 【ּ 4】 已知線段 a、b ( a b> )，畫一條線段等於 2a b− 。 畫法： 1. 畫線段AB = 2a (圖 1-19)。 2. 在線段 AB 上截取 BC = 。 b 線段 AC 就是所求的線段。 圖 1-16 F B E A D C 圖 1-17 F M E 圖 1-18 A a E B C D a a a

【ּ 5】 已知線段 AB。畫它的中點 M。 畫法： 1. 用刻度尺量得 AB = 2.4cm，計算得1 1 2.4 2 AB = ×2 cm 1.2 = cm (圖 1-20)。 2. 在線段 AB 上截取 AM =1.2 cm。點 M 就是所求的 中點。

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1. 已知線段 AB、CD。在線段 AB 的延長線上取點 G，使得 BG =CD ； 在 線 段 AB 的 反 向 延 長 線 上 取 點 K ， 使 得 AK = BG。† 2. 已知線段 a、b ( a > )，用圓規與直尺畫一條線段，使它等於b (1) a+2b； (2) 3a b− 。 3. 用刻度尺畫一條線段 AB =5.4 cm，並且把它三等分。 4. 如圖，已知直線 l 上四點 A、B、C、D，根據圖形填空： (1) AD =( ) (+ ) (+ ) = AB+( ) = AC +( ) ； (2) BC = AC−( ) =( ) −CD = AD−( )−( )。 † 本書第一、二章的畫圖題，作題時可不寫畫法，但要保留畫圖痕跡，並說明 結果。 圖 1-19 A a B C b 2a b 圖 1-20 A C B 1.2 cm 2.4 cm (第 4 題) A l B C D

1. (1) 在牆上要釘穩一根橫木條，至少要釘幾根釘？為什麼？ (2) 在教室裡要將一行桌子排齊可以用什麼方法？您能說 出這種方法的道理嗎？ (3) 將甲、乙兩把尺如圖那樣拼在一起，如果甲尺經校正確 定為直的，那麼乙尺可能是直的嗎？為什麼？ 2. 當點 A 在直線 BC 上時，過三點 A、B、C 的直線有幾條？當 點 A 不在直線 BC 上時，過這三點可以畫一條直線嗎？ 3. 已知點 A、B、C 不在同一條直線上，它們的位置如圖。 (1) 畫線段 AB； (2) 畫射線 AC； (3) 畫直線 BC。 4. 在直線 AB 上分別以 O、D、E 為端點的射線共有幾條？怎樣 表示它們？ 5. 用圓規與刻度尺量出圖中線段 AB、BC、CD、DA 的長度(精 確到 1 mm)，並計算： (1) AB+ BC +CD+DA； (2) 2(AB+ BC)。 6. 如圖，在直接測量 l 的長度不方便時，可以先量得 h、m、n 的長，再計算 l 的長。 (1) 用 h、m、n 的代數式表示 l； (2) 已知h =31mm、n = mm、5 m = mm，計算 l 的長度。 8 甲 乙 (第 1 題) (第 3 題) C B A (第 4 題) A B D O E (第 5 題) A B D C

7. 如圖，已知 AD =76mm、BD = 70mm、CD =19mm，求 AB 的長 x 與 BC 的長 y。 8. 已知線段 AB，在 AB 的延長線上取一點 C，使 BC = AB，再 在 BA 的延長線上取一點 D，使DA= 2AB。 (1) 線段 AC 等於線段 AB 的幾倍？ (2) 線段 AB 等於線段 DB 的幾分之幾？ (3) 線段 DB 等於線段 DC 的幾分之幾？ 9. 已知線段 a、b、c ( a > )，用直尺與圓規畫一條線段，使它b 等於 a b c− + 。 10. 已知線段 a、b ( a > )，用直尺與圓規畫一條線段，使它等於 b (1) 3a+ b； (2) 2a b− ； (3) 2(a b− 。 ) 11. 根據圖形填空： (1) AC = ( )+ BC； (2) CD= AD−( )； (3) (AB+ BC = )−CD； (4) 如果 AB =CD，AC 與 BD 相等嗎？如果 AC = BD，則 AB 與 CD 相等嗎？ 12. 點 M 是線段 AB 的中點，根據圖形填空： (1) AM = ( )； (2) 1( ) 2 BM = ； (3) AB = 2( ) =2( )。 (第 11 題) A B C D (第 6 題) m l h n (第 7 題) A y B x D C

13. 已知線段 AB 與它上面的一點 C，畫線段 AC 的中點 D、線段 BC 的中點 E。那麼 1 2 DE = AB嗎？

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1.5 ֎

鐘錶上的時針與分針、圓規張開的兩角，它們都給我們角的 形象(圖 1-21)。 在小學裡我們已經學過角，現在我們來看圖 1-22 中的兩個圖 形。它們都是由兩條射線組成的，而且兩條射線有公共端點。這 種有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點叫 做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。 我們再來看圖 1-23 (甲)，一條射線 OA 由原來的位置，繞著 它的端點 O 旋轉到另一個位置。這時，在開始位置的射線 OA 與 終止位置的射線 OB 就形成了一個角。因此，我們也可以把角看 成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的。開始位置的射線 OA 叫做角的始邊，終止位置的射線 OB 叫做角的終邊。角的始邊旋 轉到角的終邊所經過之平面部分(圖 1-23(乙)中的陰影部分，往右 (第 12 題) (第 13 題) 圖 1-21 圖 1-22

側無限延伸)是角的內部，平面的其餘部分是角的外部(圖 1-23(乙) 中的無陰影部分)，射線 OA、OB 上的點是角上之點。 一條射線由原來的位置 OA，繞著它的端點 O 旋轉至位置 OB，當 OB 與 OA 成一直線時，所成的角叫做平角(圖 1-24(甲))； 再旋轉下去，當終邊 OB 與始邊 OA 重合時，所成的角叫做周角(圖 1-24(乙))。 本書今後所說的角，除非特別註明，都是指小於平角的角。 我們用符號「∠」來表示角。一個角可以用三個大寫字母來 表示，就是角的兩條邊上各取一個點，把表示頂點的字母寫在這 兩個點的字母之中間。例如圖 1-23 中的角可以記作∠AOB (讀作 「角 AOB」)或∠BOA；又如，圖 1-25(甲)中的三個角可以分別記 作∠AOB、∠BOC、∠AOC 或∠BOA、∠COB、∠COA。 以某一點為頂點的角只有一個時，這個角也可以用表示這個 點的字母來代替。如圖 1-23 中的∠AOB 也可以記作∠O，但圖 1-25(甲)中的三個角不能記作∠O。 角還可以用一個小寫的希臘字母或一個數碼寫在角的內部 靠近頂點處，並加上弧線來表示。如圖 1-25(乙)中的三個角可以 分別記作∠ 、α ∠ 、

β

∠ ，圖 1-25(丙)中的∠DOA、∠COB 可以γ 分別記作∠1、∠2。 A O B A O B (甲) (乙) 圖 1-23 A O B O A (B) (甲) (乙) 圖 1-24 圖 1-25 A O B C (甲) (乙) (丙) A B C O D 1 2 B A C α β γ

1. (口答) 指出圖中的角之頂點與邊；並用幾種不同的記法來表 示圖中之角。 2. (口答) 用三個大寫字母分別表示圖 1-25(乙)中的三個角。 3. (口答)圖中以 O 為頂點的角有幾個？怎樣表示這些角？以 C 為頂點的角呢？ 4. (1) 指出圖中以 E 為頂點的平角之兩條邊，並用三個大寫字 母表示這個平角； (2) 一條直線可以看成一個平角嗎？為什麼？

1.6 ֎۞ͧྵᄃޘณ

在小學我們學過，角是有大小的。怎樣比較兩個角的大小 呢？我們先作一個實驗。如圖 1-26 那樣，將兩塊三角板疊放在一 起，使要比較的兩個角之頂點與其中一邊分別對齊，這時，我們 可以看到，在圖 1-26(甲)中，兩角的另一邊也疊合在一起；而在 圖 1-26(乙)中，兩角的另一邊是不疊合在一起的。這樣就可以比 較出兩個角的大小了。比較兩個角的大小，與上面的方法相同。 (第 4 題) D E F B A C a (第 1 題) B O C A (第 3 題) D 圖 1-26 (甲) (乙)

如圖 1-27，把∠AOB放到 A O B∠ ′ ′ ′上面，使頂點 O 與 O′ 重合， 邊 OA 與 O A′ ′重合，另一邊 OB 與 O B′ ′ 在O A′ ′的同側。這時，有 下面三種可能情形： (1) 邊 OB 與 O B′ ′ 重合(圖 1-27(甲))。這時，兩個角相等，記 作 AOB∠ = ∠A O B′ ′ ′。 (2) 點 B 落在 A O B∠ ′ ′ ′的內部(圖 1-27(乙))。這時， AOB∠ 小 於 A O B∠ ′ ′ ′(或說∠A O B′ ′ ′大於 AOB∠ )，記作∠AOB < ∠A O B′ ′ ′ (或 A O B′ ′ ′ AOB ∠ > ∠ )。 (3) 點 B 落在 A O B∠ ′ ′ ′的外部(圖 1-27(丙))，也就是說點 B′ 落 在 AOB∠ 的內部。這時 AOB∠ > ∠A O B′ ′ ′(或∠A O B′ ′ ′< ∠AOB )。

在小學，我們曾用量角器來度量角，它的度量單位是度、分、 秒。把周角分成 360 等份，每一份是一度，記作1°；每一度分成 60 等份，每一份是一分，記作1′ ；每一分再分成 60 等份，每一 份是一秒，記作1′′ 。 一個角的度數是 48 56 27° ′ ′′，讀作 48 度 56 分 27 秒。 1 2 360 1 180 1 60 1 60 = = ° ° ′ ° = ′ = ′′ 周角 平角 平角= 【ּ 1】 用度、分、秒表示 57.32° 。

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ྋ !!! 先把 0.32° 化為分： 60 0.32 19.2′× = ′； 再把 0.2′ 化為秒； 60′′×0.2 12= ′′。 ∴ 57.32° = °57 19 12′ ′′ A O B B 圖 1-27 (甲) (乙) (丙) B (O) O′ B′ A′ A O B A O B O′ B′ A′ O′ B′ A′ (O) (O)

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ྋ !!! 先把 45′′ 化為分：45 1 45 0.75 60 ′ ′′ = × = ′； 再把 23.75′ 化為度；23.75 1 23.75 0.396 60 ° ′ = × ≈ ° 。 ∴ 10 23 45° ′ ′′≈10.396° 【ּ 3】 計算： (1) 180° −(35 18° ′+ °62 56 )′ ； (2) 32 16° ′× ； 5 (3) 15 20° ′÷ 。 6

ś

ྋ !!! (1) 180° −(35 18° ′+ °62 56 ) 180′ = ° − °98 14′ = °81 46′； (2) 32 16° ′× =5 160° +80′=161 20° ′； (3) 15 20° ′÷ = ° +6 2 200′÷ = °6 2 33′+120′′÷ = °6 2 33 20′ ′′ 【ּ 4】 由 2 點 30 分到 2 點 55 分，時鐘的分針轉了多少角度？

ś

ྋ !! 時鐘表面共分成了 12 大格，每格佔周 角的 1 12，由 2 點 30 分到 2 點 55 分， 分針共走了 5 格。 5 360 150 12 AOB ∠ = × ° = ° 。 答：分針轉了150° 角。

ቚ ௫!

1. 用量角器量圖中∠1 與∠2 的度數(精確到1° )，並且計算出 AOC ∠ 的度數。 圖 1-28 (第 1 題) A O C B 1 2

ቚ ௫!

2. 畫直線 AB，在 AB 上任取一點 O，並任意畫射線 OC。用量

角器量 AOC∠ 的度數(精確到1° )，並且計算出 COB∠ 的度數。 3. 用度、分、秒表示： (1) 33.33° ； (2) 156.27° 。 4. 用度表示： (1) 50 41 30° ′ ′′； (2) 118 20 42° ′ ′′。 5. 計算： (1) 37 28° ′+ °44 49′； (2) 108 18° ′− °52 00 30′ ′′； (3) 25 36° ′× ； (4) 40 40 34 ° ′÷ 。 6. 由 3 點到 5 點 30 分，時鐘的時針轉了多少角度？

1.7 ֎۞׶ăमᄃ൪ڱ

與線段一樣，對於任意兩個角也可以進行加、減，得出新的 角。一個角的度數是另兩個角度數的和(或差)，這個角就是另兩 個角的和(或差)。 下面我們來學習利用量角器畫一個角及畫兩個角的和、差之 方法。 【ּ 1】 已知 AOB∠ ，用量角器畫一個角等於 AOB∠ 。 畫法： 1. 用量角器量得∠AOB = 41° (圖 1-29)。 2. 畫射線 O A′ ′。 3. 用量角器畫∠A O B′ ′ ′ = 41° 。 ∠A O B′ ′ ′就是所求的角。 90 O B A 90 O′ B′ A′ 圖 1-29

準點 O′ ，將標有 0 的線對準 O A′ ′，然後在量角器上找出 41°線， 靠它的外端畫一個點 B′ ，畫射線 O B′ ′ ， A O B∠ ′ ′ ′就等於 41°。 【ּ 2】 已知∠1、∠2，用量角器畫一個角，使它等於 1∠ + ∠ 。 2 畫法： 1. 用量角器畫∠ABC = ∠ (圖 1-30)。 1 2. 以點 B 為頂點，射線 BC 為一邊，在 ABC∠ 的外部 畫∠CBD = ∠ 。 2 ∠ABD就是所求的角。 【ּ 3】 已知∠1、∠2，且 1∠ > ∠ 。用量角器畫一個角，使它2 等於 1∠ − ∠ 。 2 畫法： 1. 用量角器畫∠ABC = ∠ (圖 1-31)。 1 2. 以點 B 為頂點，射線 BA 為一邊畫∠ABD = ∠ ，並2 且使射線 BD 在 ABC∠ 的內部。 ∠CBD就是所求的角。 畫兩角的和或差，也可以先計算出兩角的度數之和或差後， 再利用量角器畫這個角。 如果∠ 是 n 個

α

∠ 的和，那麼我們就說β ∠ 是

α

∠ 的 n 倍或β β ∠ 是∠ 的 n 分之一。記作

α

∠ = ∠ 或α n β 1 n β α ∠ = ∠ 。 從一個角的頂點引出之一條射線，把這個角分成兩個相等的 角，這條射線叫做角的平分線。如圖 1-32，射線 OK 把 GOH∠ 分 圖 1-31 2 _A D B C 1 圖 1-30 1 2 _A C B D

成兩個相等的角，它是 GOH∠ 的平分線。記作 GOK∠ = ∠KOH 或

1 2

GOK GOH

∠ = ∠ 或∠GOH = ∠2 GOK( 2= ∠KOH)。

【ּ 4】 已知 ABC∠ ，畫它的角平分線。 畫法： 1. 量得∠ABC =42° (圖 1-33)，求得 1 21 2∠ABC = ° 。 2. 以點 B 為頂點，BA 為一邊，在 ABC∠ 的內部畫 21 ABD ∠ = ° 。 射線 BD 就是所求的角平分線。

ቚ ௫!

1. 已知∠ < ° ，畫一個角，使它等於 2α 90 ∠ 。 α 2. 用一塊三角板畫一個 90° 的角，再畫它的角平分線。 3. 用量角器與直尺畫一個角等於 84° ，再把這個角三等分。 4. 一副三角板中，一塊三角板的三個角是 30° 、 60° 、 90° ，另 一塊三角板的三個角是 45° 、 45° 、 90° 。利用三角板畫等於 下列度數的角： 30° 、 75° 、105° 、15° 。

1.8 ֎۞̶ᙷ

根據角的大小，我們可以將角分成不同的類型。 如圖 1-34，射線 OB 是平角∠AOC的 平分線。即 AOB∠ = 1 2 BOC AOC ∠ = ∠ 90 = °。 O G K H B A D C 圖 1-32 圖 1-33 O B A 圖 1-34 C

的 AOB∠ 、 BOC∠ 都是直角。直角可以用 Rt∠ 表示。記作 AOB ∠ = ∠ 或 Rt AOBRt ∠ 。圖中角頂處的符號「 」表示這個角 是直角。 因為直角是平角的一半，所以 1 4 1 2 1 90 = = ° 周角 直角 平角= 直角 直角 因為每個直角都是 90° ，所以所有的直角都相等。 小於直角的角叫做銳角，大於直角而小於平角的角叫做鈍 角。如圖 1-35 (甲)中， AOB∠ < ∠，所以 AOBRt ∠ 是銳角，圖 1-35 (乙)中，180° > ∠CQD > ∠，所以 CQDRt ∠ 是鈍角。 兩個角的和等於直角時，說這兩個角互為餘角，簡稱互餘。 也可以說其中一個角是另一個角的餘角。而兩個角的和等於平角 時，說這兩個角互為補角，簡稱互補。也可以說其中一個角是另 一個角的補角。將一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這 個角的另一邊構成一個角，這時說，它與原來的角互為鄰補角。 圖 1-35 (甲) O B A Q D C (乙) 1 3 1 2 4 3 2 3 2 1 4 A C _B D 圖 1-36 (甲) (乙) (丙)

如圖 1-36 (甲)中， 1∠ 與 2∠ 互餘，我們可以記作 1∠ + ∠ = ° ，2 90 或 1 90∠ = ° − ∠ ；如圖 1-36 (乙)中， 32 ∠ 與 4∠ 互補，我們可以記 作 3∠ + ∠ =4 180° 或 3 180∠ = ° − ∠ ；如圖 1-36 (丙)中，AB、CD4 是兩條直線， 1∠ 與 2∠ 、 2∠ 與 3∠ 都互為鄰補角。 【ּ 1】 已知∠ = °α 32 18 30′ ′′，求∠ 的餘角與補角之大小。

α

ś

ྋ !!! ∠ 的餘角 90α = ° − °32 18 30′ ′′= °57 41 30′ ′′； ∠ 的補角 180α = ° − °32 18 30′ ′′ =147 41 30° ′ ′′。 【ּ 2】 已知∠ = ∠ ，α β ∠ 的補角是α ∠ 的餘角的 3 倍，求β ∠α 的大小。

ś

ྋ !! !∠ 的補角為180α ° − ∠ ，α ∠ 的餘角為90

β

° − ∠ ，根據

β

題意，得； 180° − ∠ =α 3(90° − ∠ (1) β) 已知 ∠ = ∠ β α (2) 將(2)式代入(1)式，得 180° − ∠ =α 3(90° − ∠α) (3) 解方程，得 ∠ =α 45° 上面的推理過程中，由(1)式變到(3)式是將(1)式中的∠ 用與β 它相等的量∠ 來代替，這種等式變形叫做等量代換。 α 圖 1-37 中，∠2、∠3 都是∠1 的餘角，下面我們來比較這兩 個角的大小。 根據兩角互餘的定義，有 1 2 90 1 3 90 ∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° 圖 1-37 1 _{2 3}

1 2 1 3 ∠ + ∠ = ∠ + ∠ 根據等式的性質，上式中兩邊同減去∠1，得 2 3 ∠ = ∠ 這樣，我們得到了餘角的一個性質： 同角(或等角)的餘角相等。 同樣可以得到： 同角(或等角)的補角相等。

ቚ ௫!

1. (1) 把兩塊三角板像圖(甲)那樣拼在一起，那麼三點 A、O、 B 在一條直線上。為什麼？ (2) 將 Rt AOB∠ 的一邊 OA 反向延長圖(乙)，這時 BOC∠ 是 什麼角？為什麼？ 2. 已知∠ = °α 62 17 15′ ′′，求∠ 的餘角與補角之度數，並指出它α 們是銳角還是鈍角。

3. 如圖，∠EOC = ∠AOC = ∠BOD = ∠ 。在圖中分別找出與Rt AOB ∠ 、 BOC∠ 互餘的角。圖中有與 BOC∠ 互補的角嗎？圖 中有鄰補角嗎？ (第 1 題) (甲) (乙) O B A O B A (第 3 題) O B A E D C

௫ ᗟ ˟

! 1. 分別用三個大寫字母表示圖中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、 ∠6、∠7、∠8。 2. 如圖，AOD 是直線，圖中小於180° 的角有幾個？是哪幾個？ 3. 1 4 平角等於多少度？ 1 6周角呢？ 4. 在括號內填入適當的分數： (1) 15° =( )平角； (2) 60° =( )平角； (3) 45° =( )周角； (4) 135° =( )平角。

ቚ ௫!

4. 互補的兩個角能不能都是銳角、鈍角、直角？互餘的兩個角 呢？ 5. 如圖，OA 是表示北偏東 30° 方向的一 條射線。仿照這條射線畫出表示下列 方向的射線： (1) 北偏東 50° ； (2) 北偏西 60° ； (3) 南偏西10° ； (4) 南偏東 25° (5) 東北方向(即北偏東 45°)； (6) 西南方向(即南偏西 45°)。 1 C B A H G D F E 3 5 6 8 7 2 4 (第 1 題) (第 2 題) A B D C O (第 5 題) O 東 A 北 南 西 北偏東 30° 30°

(1) 4.56°； (2) 64.23° 。 6. 用度表示： (1) 30 45′° ； (2) 25 12 18° ′ ′′。 7. 計算： (1) 23 35 36° ′ ′′+ °66 24 24′ ′′； (2) 180° −132 46 50° ′ ′′； (3) 15 27 38° ′ ′′× ； 3 (4) 49 28 52° ′ ′′÷ 。 4 8. 根據圖形，在括號內填上適當的角： (1) ∠AOC =( ) (+ ) ； (2) (∠AOD− ∠BOD = )； (3) ∠BOC =( )− ∠COD。 9. 根據圖形填空： (1) 因為∠AOB = ∠COD，

所以∠AOB + ∠BOC = ∠COD+( )， 即∠AOC = ( ) 。

(2) 因為∠AOC = ∠BOD，

所以∠AOC − ∠BOC = ∠BOD−( )， 即∠AOB =( )。 (第 8 題) A D C B O (第 9 題) A D C B O (第 10 題) A D C B O (第 11 題) A D C B O

10. 如圖，已知 AOB 是直線，∠AOD = ° ，73 ∠BOC = ° ，求58

COD

∠ 的大小。

11. 如圖，已知∠AOB =165° ，∠AOC = ∠BOD = ° ，求 COD90 ∠ 的大小。 12. 用三角板畫一個 90° 的角，再把它三等分。 13. 用直尺與量角器畫∠AOB =100° ，再把 AOB∠ 分成 5 等分。 14. 用直尺與量角器把一個周角分成 9 等分。 15. 已知三個銳角∠ 、 21 ∠ 、 3∠ ( 2∠ > ∠ )。用直尺與量角器畫3 一個角，使它等於： (1) ∠ + ∠ ； 1 2 (2) ∠ − ∠ ； 2 3 (3) ∠ + ∠ − ∠ ； (3) 2 21 2 3 ∠ − ∠ 。 3 16. 用直尺與量角器畫∠AOB = ° ，再畫它的角平分線。 70 17. 求下列各角的餘角與補角之大小： (1) 76 45′° 的角； (2) 14 20 30° ′ ′′的角； (3) n°的角( 0< <n 90)。 18. 一個角等於它的餘角之 3 倍，求這個角。 19. 已知一個銳角，畫它的餘角與補角。

20. 如圖，已知∠AOB = ∠COD = ∠ ， AODRt ∠ 與 BOC∠ 是否相

等，為什麼？ (第 20 題) A D C B O

一、本章主要內容是點、直線、射線、線段及角的概念、性 質與畫法；線段、角的比較、度量和與差。 二、幾何圖形的概念，是從實際物體中抽象出來的，它們反 映了物體在形狀、大小與位置關係方面的一些本質屬性。 三、線段與射線都是直線的一部份，線段有兩個端點，射線 有一個端點，直線沒有端點。兩點決定一條直線。兩點之間線段 最短。 點、直線、射線、線段是組成各種圖形的基本圖形。這些圖 形以及它們的性質，是平面幾何之基礎。 四、角是由具有公共端點的兩條射線組成的。兩條邊成一直 線的角是平角，平角的 2 倍是周角，平角的一半是直角。小於直 角的角是銳角，大於直角而小於平角的角是鈍角。兩個角的和等 於 1 直角時，這兩個角互為餘角；兩個角的和等於 1 平角時，這 兩個角互為補角。 同角或等角的餘角相等；同角或等角的補角相等。 五、定義是說明名詞含意的語句，使各名詞互不相混。 圖形的某些性質是人們經過長期實踐證實是正確的，我們把 它當作公理，作為推出其它圖形性質的根據。 本章中講了兩條公理： 經過兩點有一條直線，且恰只有一條直線； 在所有經過連結兩點的線中，線段最短。

ኑ௫ણ҂ᗟ˘!

1. A、B、C、D 四點在同一條直線上，AD =50mm，AB =14mm， 18 CD = mm，求 BC 的長。 2. 測量員沿著一塊地的周圍測繪這塊地時，先從點 A 向北偏東 75° 走 240 m 到點 B，再從點 B 向北偏西 20°走 360 m 到點 C， 再從 C 向南偏西 65° 走 450 m 到點 D，最後從 D 回到 A。使用 1 cm 表示 100 m 的比例，畫出圖來，並量出點 A 與 D 的距離 (精確到 10 m)，以及從 D 到 A 的方向(精確到1° )。 3. 判斷下列說法是否正確？為什麼？

(1) 延長直線 AB； (2) 延長射線 OA； (3) 延長線段 AB。

4. 先畫線段 AB = 20mm，延長 AB 至 C，使 AC = 2AB，在射線 AB 的反向延長線上取一點 E，使 1 3 AE = CE。再計算： (1) 線段 CE 的長； (2) 線段 AC 是線段 CE 的幾分之幾？ (3) 線段 CE 是線段 BC 的幾倍？ 5. 下列說法正確嗎？為什麼？ (1) 畫出兩點 A、B 的距離； (2) 已知線段 AC 的長為 10 cm，在線段 AC 上畫一點 B，使 AB = cm，7 BC = cm。 4 6. 看圖說話： 已知： 2 c b > 。 畫線段 AD 等於 (第 1 題) A B C D a b c A D a a _b 2 c

畫法： (1) (2) (3) (4) 7. 畫∠ = °，在 AA 50 ∠ 的兩邊分別取 B、C 兩點，使 AB =35mm， 30 AC = mm，連結 BC。 (1) 量 BC 的長(精確到 1 mm)；

(2) 量 ABC∠ 與 BCA∠ 的度數(精確到1° )，計算 A∠ + ∠ABC BCA

+∠ 的度數和。

8. 畫 AB =60mm，∠DAB = ° ，35 ∠EBA= ° ，AD 與 BE 相交44 於 C。畫 CAB∠ 、 ABC∠ 、 BCA∠ 的平分線。

9. 計算：

(1) 77 42° ′+ °32 30′+ °69 48′； (2) 180° − °46 37 45′ ′′； (3) 180 43 26° ′ ′′× ； (4) 3605 ° ÷ (精確到1′ )。7 10. 已知直線 AB、CD 相交於點 O，用

量角器畫各角的平分線 OE、OH、

OG、OF，並計算∠EOH、 HOG∠ 。

E、O、G 三點在同一條直線上嗎？ 11. 判斷正誤，若為錯誤，請改正之： (1) 在 ∠ABC 的一邊 之延長線 上 取一點 D； (2) 兩條射線組成的圖形叫做角； (3) ∠ = ∠B ABC + ∠CBD。 A B a a M A B C _M b A B D C _M 2 c (第 10 題) A O H G F E D C B

12. 把一個平角三等分，求兩旁兩個角的平分線所成的角之度數。 13. 一個角的補角等於這個角的餘角之 4 倍，求這個角。

14. 已知∠ 與α ∠ 互為補角，並且

β

∠ 比α ∠ 大 30°，求

β

∠ 與α ∠

β

的大小。

15. 已知： AOB∠ 與 BOC∠ 是鄰補角，OD 是 AOB∠ 的角平分線，

OE 是∠BOC的角平分線。 (1) 畫出它們的圖形； (2) 求 DOE∠ 的大小； (3) 指出 BOE∠ 的餘角； (4) 指出 EOC∠ 的餘角、補角、鄰補角。 ‹ 公元前 380 年，哲學家柏拉圖(Plato; 427 B.C. − 347 B.C.)在 希臘首都雅典，建立了一個名為柏拉圖學園的學術機構，它 好像今天的大學學府，用來訓練人才。嚴格地說，柏拉圖不 算是一名數學家，不過他認為數學，尤其是幾何學，是訓練 思考能力的一個重要工具，故此，他非常重視幾何學的教 學。柏拉圖在他的學園門口，掛了一塊門牌，上面寫著： 不懂幾何者勿入！

Let no one ignorant of geometry enter my door. (Let no one unversed in geometry enter here. )

‹ 公元前二世紀希臘數學家歐幾里得(Euclid)總結了前人的豐 富經驗材料，用抽象分析方法，提煉出一系列基本概念與公 理，著述了原本(Elements) 。在西方論及數學發展時，多奉 原本為數學公理化論述的藍本，甚至視為現代數學公理化精 神的泉源。